几类变系数线性常微分方程的求解

变系数微分方程的概念一、引言微分方程是描述自然界中许多现象的重要工具，它们在物理、化学、生物等领域都有广泛的应用。

而变系数微分方程是一类特殊的微分方程，它的系数随着自变量而变化。

本文将从基础概念、解法方法、应用等方面对变系数微分方程进行全面详细的介绍。

二、基础概念1. 变系数微分方程定义变系数微分方程是指微分方程中的系数不仅与未知函数有关，还与自变量有关。

2. 常见形式常见的变系数微分方程包括但不限于以下几种：（1）Bernoulli型变系数微分方程：$$ \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n $$（2）Riccati型变系数微分方程：$$ \frac{dy}{dx}=p(x)y^2+q(x)y+r(x) $$（3）Bessel型变系数微分方程：$$ x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-\alpha^2)y=0 $$其中，$p(x),q(x),r(x)$为$x$的函数，$n$为常数，$\alpha$为常数。

三、解法方法1. 变量可分离法对于形如$y'=f(x)g(y)$的变系数微分方程，可以利用变量可分离法求解。

具体步骤为：（1）将微分方程写成$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$的形式。

（2）将方程两边同时除以$g(y)$，得到$\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x)$。

（3）对上述等式两边同时积分，得到$\int\frac{1}{g(y)}dy=\intf(x)dx$。

（4）对上述等式进行积分即可得到最终解。

2. 线性微分方程法对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的二阶线性微分方程，可以利用线性微分方程法求解。

具体步骤为：（1）先求出一阶齐次线性微分方程的通解$y_1(x)$和$y_2(x)$。

（2）设特解为$y_p(x)$，代入原微分方程中求出特征值$\lambda$和特征向量$\boldsymbol{v}$。

线性常微分方程的解法一、引言线性常微分方程是数学中非常重要和常见的一类方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

本文将介绍线性常微分方程的解法。

二、一阶线性常微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于形如dy/dx + P(x)y = 0的齐次线性微分方程，可以使用特征方程的解法。

其中特征方程为dλ/dx + P(x)λ = 0，解得特征方程的解λ(x)，则齐次线性微分方程的通解为y = Cλ(x)，其中C为常数。

2. 非齐次线性微分方程的解法对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法来求解。

假设齐次线性微分方程的解为y_1(x)，则通过常数变易法，可以得到非齐次线性微分方程的通解为y = y_1(x) *∫(Q(x)/y_1(x))dx + C，其中C为常数。

三、高阶线性常微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于形如d^n(y)/dx^n + a_{n-1}(x)d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... +a_1(x)dy/dx + a_0(x)y = 0的齐次线性微分方程，可以通过假设y = e^(rx)为方程的解，带入得到特征方程a_n(r) = 0。

解得特征方程的根r_1,r_2, ..., r_k，则齐次线性微分方程的通解为y = C_1e^(r_1x) +C_2e^(r_2x) + ... + C_ke^(r_kx)，其中C_1, C_2, ..., C_k为常数。

2. 非齐次线性微分方程的解法对于形如d^n(y)/dx^n + a_{n-1}(x)d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... +a_1(x)dy/dx + a_0(x)y = F(x)的非齐次线性微分方程，可以使用待定系数法来求解。

设非齐次线性微分方程的特解为y_p(x)，通过将特解带入原方程，解得特解的形式。

然后将特解与齐次方程的通解相加，即可得到非齐次线性微分方程的通解。

常微分方程的特解法在数学中，常微分方程是研究变量是一个实数的函数的方程。

它在自然科学、工程学、经济学和金融学等各个领域都有广泛的应用。

通常我们研究的是方程的一般解。

但在实际问题中，我们有时需要求解一些特殊情况下的特解，以满足具体问题的需要。

常微分方程的特解法就是为了让我们能够快速有效地求解这些特殊情况下的解。

一、常变系数一阶线性微分方程在常变系数一阶线性微分方程中，我们通常使用变量分离法解方程。

通常情况下，常微分方程的一般形式为：$$y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$$其中p(x) 和q(x)都是已知函数。

我们可以将这个方程变形为：$$\frac{dy(x)}{dx}+p(x)y(x)=q(x)$$我们将y(x)单独放在等式左边，将x 和y(x)的导数单独放在右边，即：$$\frac{dy(x)}{y(x)}=q(x)-p(x)dx$$对于等式右边的积分：$$\int q(x)-p(x)dx$$我们可以得到：$$y(x)=Ce^{-\int p(x)dx}+\int q(x)e^{-\int p(x)dx}dx$$其中C是我们特殊情况下的常数。

二、常变系数二阶线性微分方程对于常变系数二阶线性微分方程的求解，我们通常使用特征方程法、变换法和特殊函数法。

这里我们介绍一下特征方程法。

对于形如下面这个方程的常变系数二阶线性微分方程：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$我们先将这个方程变形，得到：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$$然后我们构建特征方程：$$r^2+p(x)r+q(x)=0$$通过求解这个方程的解r，我们可以得到y(x)的一个通解：$$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$$其中$y_1(x)$和$y_2(x)$是方程$r^2+p(x)r+q(x)=0$ 的两个线性无关解。

各类变系数微分方程的解法在数学中，微分方程是一类重要的方程，用于描述某一未知函数与它的导数之间的关系。

变系数微分方程是一类特殊的微分方程，其系数在方程中是变量，随着自变量的变化而变化。

本文将介绍几种常见的变系数微分方程的解法。

1. 变量可分离的变系数微分方程的解法变量可分离的变系数微分方程是指方程中的未知函数和自变量可以分开计算导数的方程。

其解法步骤如下：1. 将方程化为标准形式，即将未知函数和自变量分开；2. 对方程两边分别积分，得到两个方程；3. 求解得到的两个方程。

2. 全微分的变系数微分方程的解法全微分的变系数微分方程是指方程可以表示为一个函数的全微分形式的方程。

其解法步骤如下：1. 将方程化为全微分形式，即将方程两边进行整理得到全微分的形式；2. 求解全微分得到的方程。

3. 齐次的变系数微分方程的解法齐次的变系数微分方程是指方程中的函数和其各阶导数的次数相同。

其解法步骤如下：1. 将方程化为齐次形式，即将方程两边进行整理得到齐次的形式；2. 进行变量代换，令齐次形式中的未知函数为新的变量；3. 求解代换后的方程。

4. 可降阶的常系数线性微分方程的解法可降阶的常系数线性微分方程是指方程中的未知函数的导数可通过多次积分得到的方程。

其解法步骤如下：1. 通过多次积分，将方程中的未知函数的导数降阶，得到最低阶数的方程；2. 求解降阶后的方程。

需要注意的是，不同类型的变系数微分方程可能需要不同的解法。

以上仅是几种常见的解法，实际问题中可能还有其他解法。

希望本文对变系数微分方程的解法有所帮助。

参考文献：1. 张全董，高等微积分学教程，北京：高等教育出版社，2005.2. 侯世和，数学分析，北京：高等教育出版社，2004.。

常微分方程的变系数线性方程常微分方程是数学中非常重要的一个分支，它是研究描述自然现象的数学模型的一个基础。

在数学的实用领域中，常微分方程广泛应用于物理学、化学、生物学等各个领域。

而变系数线性方程也是常见的一个类型，本文将会从这个角度来谈论常微分方程的变系数线性方程。

一、变系数线性方程概述变系数线性方程是指常微分方程中的一类，它的形式如下：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$其中$p(x)$和$q(x)$为$x$的函数，$f(x)$为已知函数。

我们可以发现这是关于$y$的二阶线性常微分方程，但是其系数$p(x)$和$q(x)$是关于$x$的函数，所以它被称为变系数线性方程，相对于其它常微分方程，它的求解难度稍微高一些。

变系数线性方程是许多自然现象的数学模型，比如振动系统和电路等。

其中的$p(x)$和$q(x)$是描述系统中物理特性的函数，它们的变化对系统的动态行为产生了重要影响。

因此，对变系数线性方程的求解是建模和分析这些系统的重要步骤。

二、变系数线性方程常见求解方法1.求解齐次方程我们考虑$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$的齐次方程，它可以写成标准的形式：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0$$当$p(x)$和$q(x)$为常数时，我们可以采用标准方法来求解它的通解。

在变系数线性方程中，我们也可以采用类似的方法，设$y=e^{mx}$，代入方程，可以得到特征方程：$$m^2+p(x)m+q(x)=0$$解出特征方程的根$m_1(x)$和$m_2(x)$，则原方程的通解为：$$y(x)=c_1e^{m_1(x)}+c_2e^{m_2(x)}$$其中$c_1$和$c_2$为待定系数。

2.求解非齐次方程我们前面已经知道了对于齐次方程的求解方法，针对非齐次方程，我们可以利用它与齐次方程的联系来求解。

常微分方程的变系数线性齐次方程常微分方程在数学和理工科学中都具有重要的地位，它们是描述系统动力学和其他物理现象的基本工具。

其中，变系数线性齐次方程（Variable Coefficient Linear Homogeneous Equations, VCLHEs）是常微分方程中的一类重要工具，涉及到许多实际问题的分析和求解。

在本文中，我将介绍VCLHEs的基本概念、解法和应用，并对其在科学研究和工程应用中的重要性进行探讨。

一、VCLHEs的基本概念VCLHEs是指一类常微分方程，其系数是时间的函数，形如：$$y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=0$$其中，$y(t)$为未知函数，$p(t)$和$q(t)$为已知函数，且$p(t)$和$q(t)$在一定条件下具有较好的性质。

VCLHEs可以看作是ODE（Ordinary Differential Equations，常微分方程）的一类，但与常微分方程的其他类型相比，其变系数的性质使得其解法更为复杂和多样化。

因此，对VCLHEs的理解和研究对于解决涉及到VCLHEs的实际问题有着重要的意义。

二、VCLHEs的解法根据VCLHEs的定义，我们可以将其转化为常微分方程组，得到：$$\begin{cases} y_1'(t)=y_2(t)\\ y_2'(t)=-q(t)y_1(t)-p(t)y_2(t)\\\end{cases}$$其中，$y_1(t)=y(t)$，$y_2(t)=y'(t)$。

我们可以使用矩阵的方法求解该方程组，也可以使用其他的解法，比如微分方程的变分法和之前介绍过的Laplace变换法。

对于一些特殊的VCLHEs，我们也可以使用一些特定的技巧和公式求解。

比如，对于形如$y''(t)+\omega^2(t)y(t)=0$的方程，我们可以使用复数方法求解，得到：$$y(t)=C_1\cos\Theta(t)+C_2\sin\Theta(t)$$其中，$\Theta(t)=\int \omega(t)dt$，$C_1$和$C_2$为待定系数。

常微分方程的分类及其解法常微分方程是数学中非常重要的一门学科，它涉及到的领域很广，如物理学、工程学、经济学等等都有很多应用。

常微分方程的分类及其解法，是常微分方程学习的重要内容，下面本文将就此做出一定的阐述。

一、常微分方程的分类常微分方程按照阶数，可以分为一阶常微分方程、二阶常微分方程、三阶常微分方程以及高阶常微分方程。

按照变量的个数，可以分为一元常微分方程和多元常微分方程。

按照系数的定性，可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。

二、常微分方程的解法1. 一阶常微分方程的解法（1）可分离变量方程法对于形如$y^{'}=f(x)g(y)$的方程，如果能将变量x和y分离到等式两端，即$$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$$两端对x积分，得到$$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。

这里需要注意的是，$g(y)$不能为0，如果出现$g(y)$为0的情况，需要特别处理。

（2）积分因子法对于形如$y^{'}+P(x)y=Q(x)$的方程，如果能找到一个函数$\mu(x)$，使得方程两端同时乘上$\mu(x)$得到的新方程，可以写成$$\mu(x)y^{'}+\mu(x)P(x)y=\mu(x)Q(x)$$其中左边一项可以通过链式法则写成$(\mu(x)y)^{'}$的形式，于是方程可以转化为$$ (\mu(x)y)^{'}=\mu(x)Q(x)$$这是一个可积的方程，可以积分得到原方程的解。

（3）直接积分法对于形如$y^{'}=f(x)$的方程，可以直接对方程两边积分得到$$y=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。

2. 二阶常微分方程的解法（1）常系数齐次线性方程法形如$y^{''}+py^{'}+qy=0$的方程称为齐次线性方程，如果其系数不随自变量x的变化而变化，即p、q为常数，那么称为常系数齐次线性方程。

浅谈线性微分方程的若干解法【摘要】线性微分方程是微积分中的重要内容，解析解与数值解是两种常见的求解方式。

本文将从常系数和变系数线性齐次微分方程的解法入手，介绍了特解的求解方法。

然后深入探讨了常系数和变系数线性非齐次微分方程的解法，并比较了不同类型线性微分方程的求解方法。

结合实际问题讨论了线性微分方程的解法选择。

通过本文的学习，读者可以更全面地了解线性微分方程的若干解法，从而更好地解决相关问题。

【关键词】线性微分方程、解析解、数值解、常系数、变系数、齐次微分方程、非齐次微分方程、特解、求解方法、比较、解法选择。

1. 引言1.1 线性微分方程的基本概念线性微分方程是微积分学中一个重要的分支，它广泛应用于物理、工程、经济等领域。

线性微分方程的基本概念可以简单概括为含有未知函数及其导数的线性组合等于已知函数的微分方程。

未知函数通常代表某个物理量或者变量，而已知函数则是对未知函数的约束条件。

线性微分方程可以分为常系数线性微分方程和变系数线性微分方程两种类型。

常系数线性微分方程的特点是系数不随自变量而变化，而变系数线性微分方程则相反，系数是自变量的函数。

对于线性齐次微分方程，当右端为零时，即为齐次方程，否则为非齐次方程。

而解析解与数值解的区别在于，解析解是通过解析方法得到的一个公式表达式，而数值解则是通过数值计算方法近似得到的解。

理解线性微分方程的基本概念对于学习和应用微分方程至关重要。

通过掌握线性微分方程的基本概念，我们可以更好地理解和应用不同类型的线性微分方程的解法。

在接下来的内容中，我们将详细讨论常系数和变系数线性微分方程的解法以及特解的求解方法，帮助读者更深入地了解线性微分方程的解题技巧和方法。

1.2 解析解与数值解的区别解析解与数值解是两种不同的求解线性微分方程的方法。

解析解是通过数学分析和求解得到的精确解，通常以具体的函数形式表示。

而数值解则是通过数值计算方法得到的近似解，通常以数值形式表示。

解析解的优点在于能够给出精确的解析表达式，可以直接得到解的性质和特点。

常微分方程的基本类型常微分方程是研究物理、化学、生物、经济等领域中的变化规律与关系的一种数学工具。

它的研究对象是某些变量（例如时间、物体位置、人口数量）随着自变量的变化而变化的情况。

常微分方程可以提供不同领域所需要的模型和预测，因此它是非常重要的数学分支。

在研究常微分方程时，需要首先确定它的类型。

根据方程的形式和特点，常微分方程可以分为多种类型，其中比较基本的有以下几种。

一、一阶常微分方程一阶常微分方程是指一个未知函数y关于自变量x的导数y'，与y本身及x的关系式。

一阶常微分方程的一般形式为dy/dx=f(x)，其中f(x)是x的函数。

特别地，对于一阶线性常微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是x的函数，可以通过变量分离的方法求解，得到y=(C+∫q(x)e^(-∫p(x)dx)dx)e^(∫p(x)dx)。

其中C是任意常数。

二、二阶常微分方程二阶常微分方程是指未知函数y的二阶导数y''，与y本身、一阶导数y'以及自变量x的关系式。

二阶常微分方程的一般形式为y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，其中p(x)、q(x)和f(x)都是x的函数。

特别地，对于二阶齐次常微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0，其中p(x)、q(x)是x的函数，可以通过特征根的方法求解，得到y=C1e^(m1x)+C2e^(m2x)。

其中m1和m2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的两个特征根，C1和C2是待定常数。

三、高阶常微分方程高阶常微分方程是指未知函数y的高阶导数，与y本身、低阶导数以及自变量x的关系式。

高阶常微分方程的一般形式为y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an-1y'+an=0，其中a1、a2、...、an 都是常数。

特别地，对于高阶齐次常微分方程y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an-1y'+an=0，可以通过特征根的方法求解，得到y=C1e^(m1x)+C2e^(m2x)+...+Cne^(mnx)。

常微分方程中的变系数线性方程及其解法在常微分方程学中，变系数线性方程是非常重要的一部分，也是求解常微分方程的基础。

本文将首先介绍变系数线性方程的基本概念和一些基本特征，然后详细讲解变系数线性方程如何进行解法。

一、变系数线性方程的定义和基本特征在常微分方程学中，变系数线性方程指的是形如下面的方程：$$y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)$$其中，p(x)和q(x)称为线性变系数函数，f(x)称为非齐次项。

如果f(x)等于0，则称该方程为齐次线性方程。

与一般的线性方程不同，变系数线性方程中的系数p(x)和q(x)是关于x的函数，因此在解决这类方程的时候需要采用不同的方法和技巧。

同时，由于变系数线性方程的系数是关于x的函数，因此该方程的解法也不是唯一的，可能存在多个解或者通解。

二、变系数线性方程的解法1.一阶变系数线性方程的解法对于一阶变系数线性方程$$y' + p(x)y = f(x)$$其中p(x)和f(x)是已知函数。

这类方程可以采用积分因子法求解，具体步骤如下：- 将该方程写成标准形式：$$y' + p(x)y = f(x)$$- 确定积分因子μ(x)：$$\mu(x) = e^{\int p(x)dx}$$- 两边同乘μ(x)，得到：$$\mu(x)y' + \mu(x)p(x)y = \mu(x)f(x)$$ - 将等式体右边看作一个函数g(x)，即：$$\frac{d}{dx}(\mu(x)y) = \mu(x)f(x)$$- 对等式两边进行积分，得到：$$\mu(x)y(x) = \int \mu(x)f(x)dx + C$$- 整理得出y(x)：$$y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\int \mu(x)f(x)dx +\frac{C}{\mu(x)}$$其中C是任意常数。

2.二阶变系数线性方程的解法对于二阶变系数线性方程$$y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)$$其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数。

2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。

1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。

2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。

2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。

2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。

3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。

3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。

3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。

4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。

微分方程的分类及解法微分方程是数学中的一种重要的概念，在科学中有着广泛的应用。

其解法的复杂性和微分方程本身的类型有关。

本文将详细介绍微分方程的分类及解法。

一、微分方程的分类微分方程一般按照方程中出现各种变量的次数和阶数的不同而进行分类。

具体来说，微分方程可以分为以下几类。

1.常微分方程常微分方程是指方程中仅包含一个自变量（通常为时间t）的微分方程，其一般形式为dy/dt = f(y,t)。

常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。

2.偏微分方程偏微分方程是指方程中包含多个自变量（如时间t、空间坐标x、y、z等）的微分方程。

偏微分方程的方程式比较复杂，通常只有数学专业的高年级学生才会接触到。

3.线性微分方程当方程的形式满足一次齐次线性的时候，称为线性微分方程。

即方程中出现的未知函数及其导数都是一次的，如y'' + y' + y = 0。

这种方程类型的解法相对较为简单。

4.非线性微分方程一般来说，非线性微分方程解析解比较难求。

出现非线性情况往往会极大的增加微分方程的难度。

例如，y'' + sin y = 0，和y'' +y^2 = 0这两个方程都是非线性方程。

二、微分方程的解法对于不同类型的微分方程，解法也有所不同。

本段将详细介绍几种微分方程的具体解法。

1.分离变量法分离变量法是处理一阶常微分方程最为常用的方法，也可用于一些高阶常微分方程。

当方程可以表示为dy/dt = f(y)的形式时，我们可以将一般方程分离成含有y的部分和含有t的部分，然后将两部分同时积分，在约定的边界条件下得到解。

2.常系数线性微分方程常系数线性微分方程形如y'' + ay' + by = 0，这里的a,b为常数。

这种微分方程的通解可以通过求出特征方程的两个根r1和r2，然后根据r1和r2的情况进行分类求解。

若r1和r2都是实数或都是虚数，则y = c1e^(r1x) + c2e^(r2x)。

常微分方程的经典求解方法常微分方程是研究函数\(y=y(x)\)及其导数与自变量\(x\)之间的关系的方程。

它在应用数学中有着广泛的应用，例如物理学、工程学、生物学等领域。

解微分方程的目标是找到函数\(y\)的表达式，使得方程成立。

经典的求解常微分方程的方法可以分为分离变量法、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程和常系数线性微分方程等几种方法。

一、分离变量法：对于形如\(y'=f(x)g(y)\)的微分方程，其中\(f(x)\)和\(g(y)\)是已知的函数，我们可以采用以下步骤求解。

1.将方程写成\[g(y)dy = f(x)dx\]的形式。

2.对方程两边同时积分，得到\[ \int g(y)dy = \int f(x)dx\]。

3.解释上述积分并恢复未知函数\(y\)即可。

二、一阶线性微分方程：形如\(y'+p(x)y=q(x)\)的微分方程称为一阶线性微分方程。

1.将方程写成标准形式，即\[ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)\]。

2.利用积分因子法求解。

a.计算积分因子\(\mu(x)\)，即\(\mu(x) = e^{\int p(x)dx}\)。

b.将方程两边同时乘以积分因子\(\mu(x)\)，得到\[\mu(x)y' +\mu(x)p(x)y = \mu(x)q(x)\]。

c.左边可以写成\[\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)q(x)\]。

d.将上式两边同时积分，并解释上述积分求得未知函数\(y\)即可。

三、二阶线性微分方程：形如\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)\)的微分方程称为二阶线性微分方程。

1.将方程写成标准形式。

2.设方程有特解\(y_1(x)\)和齐次线性方程\(y''+P(x)y'+Q(x)y=0\)的通解为\(y_2(x)\)。

3.利用叠加原理，方程的通解为\(y(x)=y_1(x)+y_2(x)\)。