全等三角形问题中罕有的帮助线的作法(有答案)泛论：全等三角形问题最重要的是结构全等三角形,结构二条边之间的相等,结构二个角之间的相等【三角形帮助线做法】图中有角等分线,可向双方作垂线. 也可将图半数看,对称今后关系现.角等分线平行线,等腰三角形来添. 角等分线加垂线,三线合一尝尝看.线段垂直等分线,常向两头把线连. 要证线段倍与半,延伸缩短可实验.三角形中两中点,衔接则成中位线. 三角形中有中线,延伸中线等中线.1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形3.角等分线在三种添帮助线4.垂直等分线联络线段两头5.用“截长法”或“补短法”：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为30.60度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目标是组成30-60-90的特别直角三角形,然后盘算边的长度与角的度数,如许可以得到在数值上相等的二条边或二个角.从而为证实全等三角形创造边.角之间的相等前提.8.盘算数值法：碰到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特别直角三角形,或40-60-80的特别直角三角形,常盘算边的长度与角的度数,如许可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证实全等三角形创造边.角之间的相等前提.罕有帮助线的作法有以下几种：最重要的是结构全等三角形,结构二条边之间的相等,二个角之间的相等.1)碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“半数”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线,倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“扭转”法结构全等三角形．3)碰到角等分线在三种添帮助线的办法,（1）可以自角等分线上的某一点向角的双方作垂线,运用的思维模式是三角形全等变换中的“半数”,所考常识点经常是角等分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角等分线上的一点作该角等分线的垂线与角的双方订交,形成一对全等三角形.（3）可以在该角的双DCBAEDF CBA方上,距离角的极点相等长度的地位上截取二点,然后从这两点再向角等分线上的某点作边线,结构一对全等三角形.4)过图形上某一点作特定的等分线,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延伸,是之与特定线段相等,再运用三角形全等的有关性质加以解释．这种作法,合适于证实线段的和.差.倍.分等类的标题．6)已知某线段的垂直等分线,那么可以在垂直等分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形.特别办法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各极点的线段衔接起来,运用三角形面积的常识解答． 一.倍长中线（线段）造全等例 1.（“愿望杯”试题）已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________.例2.如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.例 3.如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE. 运用：1.（09崇文二模）以ABC ∆的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是BC.DEEDCBADCBAPQCBA的中点．探讨：AM 与DE 的地位关系及数目关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的地位关系是, 线段AM 与DE 的数目关系是; （2）将图①中的等腰RtABD∆绕点A 沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由． 二.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC2.如图,AD ∥BC,EA,EB 分离等分∠DAB,∠CBA,CD 过点E,求证;AB ＝AD+BC. 3.如图,已知在ABC内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA 上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.求证：BQ+AQ=AB+BP4.如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证：0180=∠+∠C A5.如图在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上随意率性一点,求证;AB-AC ＞PB-PC 运用： 三.平移变换例1AD 为△ABC 的角等分线,直线MNDCBFED CBA⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .例2如图,在△ABC 的边上取两点 D.E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE.四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角等分线AD,CE订交于点O,求证：OE=OD2.如图,△ABC 中,AD 等分∠BAC,DG ⊥BC BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F.（1）解释BE=CF 的来由;（2）假如AB=a ,AC=b ,求AE.BE 的长. 运用：1.如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD .CE 分离是∠BAC .∠BCA 的等分线,AD .CE 订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由. 五.扭转例1正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为(第23题图)OP AMNEB CD F ACEFBD图①图②图③ACD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.例2D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分离交BC,CA 于点E,F.（1）当MDN ∠绕点D 迁移转变时,求证DE=DF.（2）若AB=2,求四边形DECF 的面积例3如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC ∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以060角,使其双方分离交AB 于点M,交AC 于点N,衔接MN,则AMN ∆的周长为;运用： 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？请写出你的猜测,不需证实．2.（西城09年一模）已知,PB=4,以AB 为一边作正方形（图1） A B CDEFM N（图2）C（图3）ABC DE F MNDC BAABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图 2图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之间的数目关系是; 此时=LQ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ） 如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）． 参考答案与提醒 一.倍长中线（线段）造全等例 1.（“愿望杯”试题）已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________.解：延伸AD 至E 使AE ＝2AD,连BE,由三角形性质知 AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值规模是1<AD<4EDF CBA例2.如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延伸FD 至G 使FG ＝2EF,连BG,EG, 显然BG ＝FC,在△EFG 中,留意到DE ⊥DF,由等腰三角形的三线合一知 EG ＝EF在△BEG 中,由三角形性质知 EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例 3.如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE.解：延伸AE 至G 使AG ＝2AE,连BG,DG, 显然DG ＝AC,∠GDC=∠ACD 因为DC=AC,故∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中, BD ＝AC=DG,AD ＝AD,∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG故△ADB ≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,即AD 等分∠BAE 运用：1.（09崇文二模）以的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是ABC ∆BC.DE的中点．探讨：AM与DE的地位关系及数目关系．∆为直角三角形时,AM与DE的地位关系是,（1）如图①当ABC线段AM与DE的数目关系是;（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由．C∴DE AM ⊥,DE AM 21=二.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC 解：（截长法）在AB 上取中点F,连FD△ADB 是等腰三角形,F 是底AB 中点,由三线合一知 DF ⊥AB,故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2.如图,AD ∥BC,EA,EB 分离等分∠DAB,∠CBA,CD 过点E,求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F,使AF ＝AD,△ADE ≌△AFE （SAS ）∠ADE ＝∠AFE, ∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180°CBA故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3.如图,已知在△ABC 内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA 上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 盘算数值法）延伸AB 至D,使BD BP,连DP在等腰△BPD 中,可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP △ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4.如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证： 0180=∠+∠C A解：（补短法）延伸BA 至F,使BF ＝BC,连△BDF ≌△BDC （SAS ） 故∠DFB ＝∠DCB ,FD ＝DC 又AD ＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5.如图在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P为AD上随意率性一点,求证;AB-AC＞PB-PC解：（补短法）延伸AC至F,使AF＝AB,连PD△ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF由三角形性质知PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC运用：剖析：此题衔接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后运用已知前提和等边三角形的性质经由过程证实三角形全等解决它们的问题.B∴FEC AED ∠=∠ 在ADE ∆与FCE ∆中CFE EAD ∠=∠,EF AE =,FEC AED ∠=∠∴FCE ADE ∆≅∆ ∴FC AD = ∴AE AD BC +=点评：此题的解法比较新鲜,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后运用全等三角形的性质解决. 三.平移变换例1 AD 为△ABC 的角等分线,直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .解：（镜面反射法）延伸BA 至F,使AF ＝AC,连FEAD 为△ABC 的角等分线, MN ⊥AD 知∠FAE ＝∠CAE 故有△FAE ≌△CAE （SAS ） 故EF ＝CE在△BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而P B =BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A例 2 如图,在△ABC 的边上取两点 D.E,且BD=CE,求证：O ED CB AAB+AC>AD+AE.证实：取BC中点M,连AM并延伸至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延伸ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE.四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角等分线AD,CE 订交于点O,求证：OE=OD,DC+AE =AC证实(角等分线在三种添帮助线,盘算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角等分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,衔接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2.如图,△ABC中,AD等分∠BAC,DG⊥BC且等分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.（1）解释BE=CF的来由;（2）假如AB=a,AC=b,求AE.BE的长.解：(垂直等分线联络线段两头)衔接BD,DCDG垂直等分BC,故BD＝DC因为AD等分∠BAC, DE⊥AB于E,DF⊥ACEDGFC BA于F,故有 ED ＝DF故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ） 故有BE ＝CF. AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2 运用：1.如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD .CE 分离是∠BAC .∠BCA 的等分线,AD .CE 订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由. 解：（1）FE 与FD 之间的数目关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立.证法一：如图1,在AC 上截取AE AG =,贯穿连接FG ∵21∠=∠,AF 为公共边, ∴AGF AEF ∆≅∆(第23题图) OP A MN E B C D F ACEFBD图①图②图③FED CBA∴AFG AFE ∠=∠,FG FE =∵︒=∠60B ,AD .CE 分离是BAC ∠.BCA ∠的等分线 ∴︒=∠+∠6032∴︒=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴︒=∠60CFG∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∆≅∆ ∴FD FG = ∴FD FE =证法二：如图2,过点F 分离作AB FG ⊥于点G ,BC FH ⊥于点H ∵︒=∠60B ,AD .CE 分离是BAC ∠.BCA ∠∴可得︒=∠+∠6032,F 是ABC ∆的心坎 ∴160∠+︒=∠GEF ,FG FH =又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∆≅∆ ∴FD FE = 五.扭转例 1 正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.证实：将三角形ADF 绕点A 顺时针扭转90度,至三角形ABG图 1图 2则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例 2 D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分离交BC,CA于点E,F.(1)当MDN∠绕点D迁移转变时,求证DE=DF.(2)若AB=2,求四边形DECF的面积.解：(盘算数值法)（1）衔接DC,D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,故有CD⊥AB,CD＝DA CD等分∠BCA＝90°,∠ECD＝∠DCA＝45°因为DM⊥DN,有∠EDN＝90°因为 CD⊥AB,有∠CDA＝90°从而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1例3 如图,ABC∆是等腰三角形,且∆是边长为3的等边三角形,BDC60角,使其双方分离交AB于点M,∠=,以D为极点做一个0BDC120交AC于点N,衔接MN,则AMN∆的周长为;解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 盘算数值法) AC 的延伸线与BD的延伸线交于点F,在线段CF上取点E,使CE＝BM∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,又∵BM=CE,BD=CD,∴△CDE≌△BDM,∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,∵在△DMN和△DEN中,DM=DE∠MDN=∠EDN=60°DN=DN∴△DMN≌△DEN,∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中,DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN ≌△DEN (AAS), ∴MA=FEAMN ∆的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6运用： 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？请写出你的猜测,不需证实．解：（1）∵AD AB ⊥,CD BC ⊥,BC AB =,CF AE =∴CBF ABE ∆≅∆（SAS ）; ∴CBF ABE ∠=∠,BF BE =∵︒=∠120ABC ,︒=∠60MBN∴︒=∠=∠30CBF ABE ,BEF ∆为等边三角形 ∴BF EF BE ==,BE AE CF 21==∴EF BE CF AE ==+（图1） A B C D EF MN （图2）AB C DE F MN（图3）ABC DE F MN（2）图2成立,图3不成立.证实图2,延伸DC 至点K ,使AE CK =,衔接BK 则BCK BAE ∆≅∆∴BK BE =,KBC ABE ∠=∠ ∵︒=∠60FBE ,︒=∠120ABC ∴︒=∠+∠60ABE FBC ∴︒=∠+∠60KBC FBC ∴︒=∠=∠60FBE KBF ∴EBF KBF ∆≅∆ ∴EF KF = ∴EF CF KC =+ 即EF CF AE =+图3不成立,AE .CF .EF 的关系是EF CF AE =- 2.（西城09年一模）已知以AB 为一边作正方形ABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.剖析：（1）作帮助线,过点A 作PB AE ⊥于点E ,在PAE Rt ∆中,已知APE ∠,AP 的值,依据三角函数可将AE ,PE 的值求出,由PB 的值,可求BE 的值,在ABE Rt ∆中,依据勾股定理可将AB 的值求出;求PD 的值有两种解法,解法一：可将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90得到K ABCDE FMN图 2AB P '∆,可得AB P PAD '∆≅∆,求PD 长即为求B P '的长,在P AP Rt '∆中,可将P P '的值求出,在B P P Rt '∆中,依据勾股定理可将B P '的值求出;解法二：过点P 作AB 的平行线,与DA 的延伸线交于F ,交PB 于G ,在AEG Rt ∆中,可求出AG ,EG 的长,进而可知PG 的值,在PFG Rt ∆中,可求出PF ,在PDF Rt ∆中,依据勾股定理可将PD 的值求出;（2）将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90,得到AB P '∆,PD 的最大值即为B P '的最大值,故当P '.P .B 三点共线时,B P '取得最大值,依据PB P P B P +'='可求B P '的最大值,此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ．解：（1）①如图,作PB AE ⊥于点E ∵PAE Rt ∆中,︒=∠45APB ,2=PA∴()1222===PE AE∵4=PB∴3=-=PE PB BE 在ABE Rt ∆中,︒=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB②解法一：如图,因为四边形ABCD 为正方形,可将将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90得到AB P '∆,,可得AB P PAD '∆≅∆,B P PD '=,A P PA '=∴︒='∠90P PA ,︒='∠45P AP ,︒='∠90PB P ∴2='P P ,2=PA∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ;解法二：如图,过点P 作AB 的平行线,与DA 的延伸线交于F ,设DA 的延伸线交PB 于G ．EPA DCBP ′PA CBDEP ′PACBDP ′PACBD在AEGRt ∆中,可得310cos cos =∠=∠=ABE AE EAG AE AG ,31=EG ,32=-=EG PE PG在PFG Rt ∆中,可得510cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF ,1510=FG 在PDF Rt ∆中,可得（2）如图所示,将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90,得到AB P '∆,PD 的最大值,即为B P '的最大值∵B P P '∆中,PB P P B P +'' ,22=='PA P P ,4=PB 且P .D 两点落在直线AB 的两侧∴当P '.P .B 三点共线时,B P '取得最大值（如图）此时6=+'='PB P P B P ,即B P '的最大值为6此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之G FP A CBDE间的数目关系是; 此时=LQ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ） 如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）．剖析：（1）假如DN DM =,DNM DMN ∠=∠,因为DC BD =,那么︒=∠=∠30DCB DBC ,也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD ,直角三角形MBD .NCD 中,因为DC BD =,DN DM =,依据HL 定理,两三角形全等.那么NC BM =,︒=∠=∠60DNC BMD ,三角形NCD 中,︒=∠30NDC ,NC DN 2=,在三角形DNM 中,DN DM =,︒=∠60MDN ,是以三角形DMN 是个等边三角形,是以BM NC NC DN MN +===2,三角形AMN 的周长=++=MN AN AM QABAC AB NC MB AN AM 2=+=+++,三角形ABC 的周长ABL 3=,是以3:2:=L Q ．（2）假如DN DM ≠,我们可经由过程构建全等三角形来实现线段的转换.延伸AC 至E ,使BM CE =,衔接DE ．（1）中我们已经得出,︒=∠=∠90NCD MBD ,那么三角形MBD 和ECD 中,有了一组直角,CEMB =,DCBD =,是以两三角形全等,那么DE DM =,CDE BDM ∠=∠,︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．三角形MDN 和EDN中,有DE DM =,︒=∠=∠60MDN EDN ,有一条公共边,是以两三角形全等,NE MN =,至此我们把BM 转换成了CE ,把MN 转换成了NE ,因为CE CN NE +=,是以CN BM MN +=．Q与L 的关系的求法同（1）,得出的成果是一样的.图 1N MAD CB （3）我们可经由过程构建全等三角形来实现线段的转换,思绪同（2）过D 作MDB CDH ∠=∠,三角形BDM 和CDH 中,由（1）中已经得出的︒=∠=∠90MB DCH ,我们做的角CDH BDM ∠=∠,CD BD =,是以两三角形全等（ASA ）．那么CH BM =,DH DM =,三角形MDN 和NDH 中,已知的前提有DH MD =,一条公共边ND ,要想证得两三角形全等就须要知道HDN MDN ∠=∠,因为MDB CDH ∠=∠,是以︒=∠=∠120BDC MDH ,因为︒=∠60MDN ,那么︒-︒=∠60120NDH︒=60,是以NDH MDN ∠=∠,如许就组成了两三角形全等的前提．三角形MDN 和DNH 就全等了．那么BM AC AN NH NM -+==,三角形AMN 的周长+++=++=BM AB AN MN AM AN QAB AN BM AC AN 22+=-+．因为x AN =,L AB 31=,是以三角形AMN 的周长L x Q 322+=． 解：（1）如图1,BM .NC .MN 之间的数目关系：MN NC BM =+;此时32=LQ ．（2）猜测：结论仍然成立．证实：如图2,延伸AC 至E ,使BM CE =,衔接DE ∵CD BD =,且︒=∠120BDC ∴︒=∠=∠30DCB DBC 又ABC ∆是等边三角形 ∴︒=∠=∠90NCD MBD 在MBD ∆与ECD ∆中 ∴ECD MBD ∆≅∆（SAS ）E 图 2NMAD CB NA∴DE DM =,CDE BDM ∠=∠ ∴︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN 在MDN ∆与EDN ∆中 ∴EDN MDN ∆≅∆（SAS ） ∴BM NC NE MN +== 故AMN∆的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++而等边ABC ∆的周长AB L 3= ∴3232==ABAB LQ（3）如图3,当M .N 分离在AB .CA 的延伸线上时,若x AN =,则L x Q 322+=（用x .L 暗示）．点评：本题考核了三角形全等的剖断及性质;标题中线段的转换都是依据全等三角形来实现的,当题中没有显著的全等三角形时,我们要依据前提经由过程作帮助线来构建于已知和所求前提相干的全等三角形.。
