人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷(2)

必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积一、单选题1．如图，位于贵州黔南的“中国天眼”是具有我国自主知识产权､世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠所在球的半径为R ，球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，球冠底面圆的周长为C .已知球冠的表面积公式为2S Rh π=，若65000,500S C ππ==，则球冠所在球的表面积为（ ）A ．1620000πB ．1690000πC ．1720000πD ．1790000π 2．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)813．已知ABC O 的球面上，若球O 的体积为32π3，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 4．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．128πD ．144π5．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且12BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．319aB ．332aC ．313aD ．与点M 的位置有关6．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，且正四棱锥P ABCD -的底面面积为6，侧面积为，则球O 的表面积为（ ）A ．323πBC ．16πD ．32π 7．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）AB C D 8．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的，约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金比在几何世界中有很多黄金图形，在三角形中，如果相邻两边之比等于黄金分割比，且它们的夹角的余弦值为黄金分割比值，那么这个三角形一定是直角三角形，这个三角形称为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中，以黄金分割直角三角形的长直角边作为正四棱锥的高，以短直角边的边长作为底面正方形的边心距(正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离)，斜边作为正四棱锥的斜高，所得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为（ ）A B C ．1 D ．149．阿基米德（Archimedes ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为36π，则圆柱的体积为 （ ）A ．36πB ．45πC ．54πD ．63π 10．平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，且2224AB BD +=，沿BD 将四边形折起成平面ABD ⊥平面BDC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．2πC ．4πD ．16π 11．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．122ππ+B ．144ππ+C ．12ππ+ D ．142ππ+ 12．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）A B ．C D ．二、填空题13．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．14．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为______.15．已知圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面）是一个边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________．16．若球的大圆的面积为9π，则该球的体积为________17．若五棱台11111ABCDE A B C D E -的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为______．三、解答题18．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和.19．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点．（1）求证：//OB 平面1ACD ；（2）求几何体111ACB A D 的体积．20．如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm ，高为30cm ，杯内有20cm 深的溶液．如图①，现将水杯倾斜，且倾斜时点B 始终在桌面上，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α．(1)求图①中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．21．“圆锥的两条母线所作的一切截面中，以轴截面的面积最大”是否成立？答案第1页，共1页 参考答案：1．B2．D3．C4．D5．A6．C7．C8．D9．C10．C11．A12．A13．114．9π15．2π16．36π17．518．圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为25a π. 19．（1）见解析；（2）4.20．(1)2πα-；(2)45°﹒21．答案见解析。

课时2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(35分钟 100分)基础 达标 了解旋转体的体积和表面积公式,并能进行简单的计算,解决球的组合体及三视图中球的有关问题 素养突破培养学生数学运算和直观想象素养1.简单组合体有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成的;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的.2.在处理与球有关的相接、相切问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,而这类截面往往指的是轴截面(球的大圆)等.几个常用结论(1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径; (2)球外接于长方体,长方体的顶点均在球面上,长方体的对角线长等于球的直径;(3)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径;(4)球与棱锥相切,则可利用V 棱锥=13S 底h=13S 棱锥表R ,R 为球的半径.题组一 几何体的表面积和侧面积1.(7分)某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小的底面的半径为 ( )A .7B .6C .5D .32.(7分)一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积S= ( )A .32+πB .32+2πC .28+2πD .28+π3.(7分)如图,已知平行于圆柱轴的截面ABB 1A 1是正方形,面积为12,它与轴的距离是底面半径的一半,则圆柱的底面半径为 .4.(15分)圆锥的高为h,底面半径为r,过两条母线作一截面,截得底面圆弧的14,求该截面的面积.题组二几何体的体积5.(7分)若分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周,则所形成的几何体的体积之比是()A.1∶√2∶√3B.6∶2√3∶√3C.6∶2√3∶3D.3∶2√3∶66.(7分)某几何体的三视图如图所示,则其体积为()A.3π4B.π+24C.π+12D.3π+247.(7分)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺=10寸).题组三与球有关的切、接问题8.(7分)若球O的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则S1S2=()A.π3B.π4C.π2D.π9.(7分)一平面截一球得到直径为2√5cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则该球的体积是()A.12π cm3B.36π cm3C.64√6π cm3D.108π cm310.(7分)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()πa2A.πa2B.73πa2D.5πa2C.11311.(7分)已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的半径为()A.2B.√5C.√6D.312.(15分)轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为1 cm,求球的体积.课时2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.A 解析:本题考查圆台的侧面积.设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r )·3=84π,解得r=7.2.A 解析:本题考查三视图与几何体的表面积.由三视图可知,此几何体的上半部分为半个球,下半部分是一个长方体,故其表面积S=4π×12+4×2×3+2×2+2×2-π=32+π.3.2 解析:本题考查圆柱的截面问题.∵正方形ABB 1A 1的面积为12,∴AA 1=AB=2√3, 设圆柱的底面半径为r ,则AB=2√r 2-(r2)2=2√3,解得r=2.4.解析:本题考查圆锥截面面积的求法.∵圆锥的高为h ,底面半径为r ,且过两条母线作一截面,截得底面圆弧的14, ∴∠AOB=π2,∴AB=√2r ;过点O 作OM ⊥AB 于点M ,连接PM ,∴PM ⊥AB , 在Rt △POM 中,OM=√22r ,∴PM=√ℎ2+(√22r )2, ∴截面△P AB 的面积为S=12AB ·PM=12×√2r×√ℎ2+(√22r )2=r√2ℎ2+r 22.5.C 解析:本题考查圆锥的体积.设Rt △ABC 中,∠BAC=30°,BC=1,则AB=2,AC=√3,求得斜边上的高CD=√32,旋转所得几何体的体积分别为V 1=13π(√3)2×1=π,V 2=13π×12×√3=√33π, V 3=13π(√32)2×2=12π,故V 1∶V 2∶V 3=1∶√33∶12=6∶2√3∶3.6.D 解析:本题考查三视图及几何体的体积.由几何体的三视图知,该几何体的一部分是以腰长为1的等腰直角三角形为底面,高为3的三棱锥,另一部分是底面半径为1,高为3的圆锥的四分之三.所以几何体的体积为13×3π4×3+13×12×1×1×3=3π4+12=3π+24,故选D 项.7.3 解析:本题考查数学史与几何体的体积.由题意知盆内所盛水的上底面直径为28+122=20寸,下底面半径为6寸,高为9寸,故体积为V=13×9×(π×102+π×62+π×10×6)=588π,又盆上口面积为π×142=196π.故平地降雨量为588π196π=3寸.8.C 解析:本题考查正方体的外接球问题.设球的内接正方体的棱长为a ,球的半径为R , 则3a 2=4R 2,所以a 2=43R 2,球的表面积S 1=4πR 2,正方体的表面积S 2=6a 2=6×43R 2=8R 2,所以S1S 2=π2.9.B 解析:本题考查球的截面问题.设球心为O ,截面圆心为O 1,连接OO 1,则OO 1垂直于截面圆O 1,如图所示.在Rt △OO 1A 中,O 1A=√5 cm,OO 1=2 cm,所以球的半径R=OA=√22+(√5)2=3 cm, 所以球的体积V=43×π×33=36π cm 3.10.B 解析:本题考查三棱柱的外接球问题.由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.如图,P 为三棱柱上底面的中心,O 为球心,易知AP=23×√32a=√33a ,OP=12a ,所以球的半径R=OA 满足R 2=(√33a )2+(12a )2=712a 2,故S 球=4πR 2=73πa 2.11.A 解析:本题考查四棱锥的外接球问题.设正四棱锥的底面边长为a , 由V=13a 2×3=a 2=6,得a=√6.由题意知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为r ,则(3-r )2+(√3)2=r 2,解得r=2.12.解析:本题考查内切球问题.如右图所示,作出轴截面,O 是球心,与边BC ,AC 相切于点D ,E. 连接AD ,OE ,∵△ABC 是正三角形,∴CD=12AC.∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ,∴OE AO =CDAC . ∵CD=1 cm,∴AC=2 cm,AD=√3 cm,设OE=r cm,则AO=(√3-r ) cm,∴√3-r =12,∴r=√33 cm,V 球=43π(√33)3=4√327π cm 3,即球的体积等于4√327π cm 3.。

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、选择题1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A．1∶2B．1C．1D2【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．2．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2 AC AB==，结合勾股定理，底面半径2r==，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π24V r h⎛⎫==⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，故选B.3．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A．2πB．3πC．πD．4π【答案】D【解析】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．故选：D．4．圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为()．A．81πB．100πC．14πD．169π【答案】B【解析】设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，．5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为22RπB．圆锥的侧面积为22RπC．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2【答案】CD【解析】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2224R R Rππ⨯=，∴A错误；圆锥的侧面积为2R Rπ=，∴B错误；球面面积为24Rπ，∵圆柱的侧面积为24Rπ，∴C正确；2322V R R Rππ=⋅=圆柱，2312233V R R Rππ⋅==圆锥，343V R=π球33324:2::3:1:233:V V V R R Rπππ∴==圆柱圆锥球，∴D正确.故选：CD.6．（多选题）如图所示，ABC 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D .下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36πC ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π【答案】AD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥 ∴侧面积为3515ππ⨯⨯=，体积为2134123ππ⨯⨯⨯=，∴A 正确，B 错误；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥侧面积为4520ππ⨯⨯=，体积为2143163ππ⨯⨯⨯=，∴C 错误，D 正确.故选：AD .二、填空题7． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 【答案】92π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=.8．如图，若球O 的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心O 在圆台的两底面之间），则圆台的体积为______．【答案】259π3【解析】解：作经过球心的截面（如图），由题意得13O A =，24O B =，5OA OB ==，则14OO =，23OO =，127O O =，所以()22π259347π33V ⨯⨯==.9．已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为_______．【答案】6π【解析】由题意，圆柱的截面是面积为4的正方形，可得其边长为2，可得圆柱的底面半径为1r =，母线2l =，所以该圆柱的表面积为221222212216S S S rl r πππππ=+=+=⨯⨯+⨯=。

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积练习一、单选题1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π2.已知正方体、等边圆柱(轴截面是正方形)、球的体积相等，它们的表面积分别为S正，S柱，S球，则下列不正确的是()A. S正<S球<S柱B. S正<S柱<S球C. S球<S柱<S正D. S球<S正<S柱3.若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为()A. 1B. 12C. √32D. 344.一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比()A. 2:3B. 2:1C. 1:2D. 3:25.用与球心距离为1的平面去截球，截面面积为π，则球的体积为()A. 32π3B. 8π3C. 8√2πD. 8√2π36.祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()A. ①②B. ①③C. ②④D. ①④7.已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A. 2√10B. 2√5C. 3D. 28.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为A. 3π+2B. 4π+2C. 3π+3D. 4π+39.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠()A. 98颗B. 106颗C. 120颗D. 126颗10.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的()A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且AD=3√3.若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则AA1=A. √2B. 2C. √5D. 2√212.将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的表面积最小值为()A. 16πB. (16+16√2)πC. 16D. 16√2π二、单空题13.已知四棱锥P−ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，，则该球的体积为______．且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为16314.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D−ABC体积的最大值为．15.已知圆锥的母线长为2，高为√3，则该圆锥的外接球的表面积是______．16.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了4cm，则钢球的半径是________．三、解答题17.如图(1)，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2√2，AD=2，求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．18.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为√3的圆柱，求圆柱的表面积．19.．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，(其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中)，容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD，其外周长为100毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD的长为2x毫米.(注：V k=43πR3,V柱=Sℎ，其中R为球半径，S为圆柱底面积，h为圆柱的高)(1)求容器中防蚊液的体积y关于x的函数关系式；(2)如何设计AD与AB的长度，使得y最大？答案和解析1.【答案】A【解答】解：正四棱锥的高为3，体积为6，∴底面积为6，正方形边长为√6，正方形的对角线为√(√6)2+(√6)2=2√3，设球的半径为R，则R2=(3−R)2+(√3)2，∴R=2，∴球的表面积为4πR2=4π×4=16π．2.【答案】C【解答】解：正方体的棱长为a，体积V=a3，S正=6a2=6√V23，等边圆柱(轴截面是正方形)的高为2h，体积V=π⋅ℎ2⋅2ℎ=2πℎ3，S柱=6πℎ2= 3√2πV23，球的半径为R，体积V=43πR3，S球=4πR2=√36πV23，∴S球<S柱<S正，3.【答案】D【解答】解：轴截面，圆柱为矩形，圆锥为三角形，且高相等，所以它们的底面圆的半径之比为圆柱：圆锥=1：2；所以圆柱与圆锥的底面积之比为1：4，所以圆柱与圆锥的体积之比为3：4，4.【答案】D【解答】解：设球的半径为R，则球的表面积S球=4πR2，所以圆柱的底面半径为R，高为2R，则圆柱的全面积S柱=2×πR2+2πR×2R=6πR2，则圆柱的全面积与球的表面积之比等于6πR2：4πR2=3：2．5.【答案】D【解答】解：设截面圆半径为r，截面面积为π，所以，又与球心距离d=1，所以球的半径R=√r2+d2=√2.，所以根据球的体积公式知V球=4πR33=8√2π3，6.【答案】D【解答】解：设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆半径为h，则截面圆环的面积为π(R2−ℎ2);②中截面圆的半径为R−ℎ，则截面圆的面积为π(R−ℎ)2;③中截面圆的半径为R−ℎ2，则截面圆的面积为④中截面圆的半径为√R2−ℎ2，则截面圆的面积为π(R2−ℎ2)，所以①④中截面的面积相等，故选D．7.【答案】A【解答】解：圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC=√22+62=2√10．8.【答案】A【解析】【解答】 解：由三视图可知，这个几何体是由一个底面半径为1且高为1的半圆柱，和一个半径为1的半球的前半部分组成．所以它的下底面为半圆，面积为π2，后表面为一个矩形加半圆，面积为2×1+π2， 前表面为半个圆柱侧面加14个球面，面积为π×1×1+14×4π×1=2π． 所以其表面积为3π+2．9.【答案】D【解答】解：作出在轴截面图如图，由题意，OP =8，O 1P =4，OA =3， 设O 1A 1=x ，则48=x 3，即x =32．则最大放入珍珠的体积V =13π×32×8−13π×(32)2×4=21π，一颗珍珠的体积是43π×(12)3=π6.由21ππ6=126．∴最多可以放入珍珠126颗．10.【答案】C【解答】解：设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V =43πr 3.当气球 的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为43π(2r)3=8×43πr 3．11.【答案】D【解答】解：由展开图可知，直三棱柱ABC—A 1B 1C 1的底面是边长为√3的等边三角形，其外接圆的半径满足2r =√3sin60∘=2，所以r =1．由4πR 2=12π得R =√3．由球的性质可知，球心O到底面ABC的距离为d=√R2−r2=√2，结合球和直三棱柱的对称性可知，AA1=2d=2√2，12.【答案】B【解答】解：由题意，当正方体为圆柱的内接正方体时，圆柱表面积最小，所以圆柱的底面半径为正方体底面对角线的一半为2√2，圆柱高为正方体的棱长，所以圆柱的表面积最小值为．13.【答案】8√6π【解析】解：设此球半径为R，因底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为163，则13×2×2×PA=163，∴PA=4，可以把四棱锥P−ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体，则这个长方体的外接球就是四棱锥P−ABCD的外接球，球心O就是PC的中点，∴(2R)2=PC2=AP2+AB2+AC2=42+22+22=24，∴R=√6，则该球的体积为4πR33=8√6π.14.【答案】18√3【解答】解：设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，∴12×AB2×sin60°=9√3，解得AB=6，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=23×√32×6=2√3，OO′=√42−(2√3)2=2，则三棱锥D−ABC高的最大值为：6，则三棱锥D−ABC体积的最大值为：13×9√3×6=18√3．故答案为：18√3．15.【答案】163π【解析】解：∵圆锥的母线长为2，高为√3， ∴该圆锥的底面半径为r =√4−3=1， 由题意，圆锥轴截面的顶角为60°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O 的半径为R ， 由勾股定理可得R 2=(√3−R)2+12， 解得R =2√33， ∴球O 的表面积为4πR 2=4π×(2√33)2=163π．16.【答案】3 cm【解答】解：设钢球的半径为r ，则36π=43πr 3，解得r =3 cm ．17.【答案】解：如图，∵∠ADC =135°，∴∠CDE =45°，又CD =2√2，∴DE =CE =2，又AB =5，AD =2， ∴BC =5．则圆台上底面半径r 1=2，下底面半径r 2=5，高ℎ=4，母线长l =5，圆锥底面半径r 1=2，高ℎ′=2．∴S 表面=S 圆台底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2√2 =(4√2+60)π；V =V 圆台−V 圆锥=13π(25+10+4)×4−13π×4×2=1483π．18.【答案】解：设圆柱的底面半径为r ，表面积为S ，则由三角形相似得r2=√16−4−√3√16−4，得r =1，∴S 底=2π,S 侧=2√3π， ∴S =2π+2√3π．19.【答案】解：(1)由2AB +2πx =100得AB =50−πx ，由AB >0得，x ∈(0,50π)，所以防蚊液体积y =12×43πx 3+πx 2(50−πx)=(23π−π2)x 3+50πx 2，x ∈(0,50π);(2)求导得，令得x ⩽1003π−2；令得x ⩾1003π−2，所以y 在(0,1003π−2)上单调增，在(1003π−2,50π)上单调减， 所以当x =1003π−2时，y 有最大值， 此时AD =2x =2003π−2，AB =50π−1003π−2，答：当AD 为2003π−2毫米，AB 为50π−1003π−2毫米时，防蚊液的体积有最大值．。