高考数学解析几何难点专练9轨迹问题

（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 ,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
样直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，
则半径为 ＝3，
即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
【错因】因为忽视结论的检验，没有注意到点C是直角三角形的顶点，即C点不能在直线AB上，因此造成错解．
【正解】设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，如图所示，则半径为 ＝3，即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0，也就是要除去两个点，即(－2,0)，(4,0)，因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2,0)，(4,0))．
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
例2（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =________．
易错点09解析几何
—备战2021年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
例1（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知曲线 .（）

专题突破解析几何（学生版）•一、轨迹问题•二、求值•三、最值（范围）问题•四、定点、定位、定值问题•五、存在性问题恒成立与有解问题一、轨迹问题问题一: 利用直接法求轨迹方程直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化, 列出等式化简即得动点轨迹方程.具体步骤为通过建立适当的坐标系, 设点、列式、化简从而得出轨迹方程.线段与互相垂直平分于点, , , 动点满足, 求动点的轨迹方程．问题二: 利用定义法求轨迹方程当动点的轨迹满足某种曲线的定义时, 就可由曲线的定义直接写出轨迹方程.2. , 为动点, 、为定点, , , 且满足条件,求动点A的轨迹方程.3.已知动圆与两定圆和都外切, 求动圆圆心的轨迹方程.问题三: 利用转移法求轨迹方程动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的, 这时我们可以用动点坐标来表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫相关点法。

转移法(也称代入法,相关点法): 转移法求轨迹方程的步骤:（1）设两个动点坐标为, 其中动点在已知曲线上, 动点为所求轨迹上的点；（2）寻找两个动点之间的关系, 把用表示；将用表示的代入已知曲线方程, 整理即得所求.4.已知点为圆上的一个动点, 点的坐标为, 试求线段中点的轨迹方程．问题四: 利用待定系数法求轨迹方程待定系数法求轨迹方程的步骤: (1)设出所求的曲线方程；(2)求出字母参数；(3)代入所设. 5.在面积为 的 中, ．建立适当坐标系, 求以 为焦点且过 的椭圆方程．问题五: 参数法求轨迹方程6.设椭圆方程为 ,过点 的直线 交椭圆于 两点, 是坐标原点,点 满足 .当 绕点 旋转时, 求: 动点 的轨迹方程.7、（2011安徽理）设 , 点 的坐标为 , 点 在抛物线 上运动, 点 满足 , 经过点 与 轴垂直的直线交抛物线于点 , 点 满足 , 求点 的轨迹方程．8. (2013四川) 已知椭圆 : 的两个焦点分别为 , 且椭圆 经过点 . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点, 点 是线段 上的点, 且 , 求点 的轨迹方程. 9、如图, 动点 到两定点 、 构成 , 且 , 设动点 的轨迹为 。

专题九 圆锥曲线中的轨迹问题一、解答题1. 已知点B 是圆C ：(x −1)2+y 2=16上的任意一点，点F(−1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设曲线E 与x 轴的两个交点分别为A 1，A 2，Q 为直线x =4上的动点，且Q 不在x 轴上，QA 1与E 的另一个交点为M ，QA 2与E 的另一个交点为N ，证明：△FMN 的周长为定值． 【答案】解：(1)由题意可知|PF|+|PC|=|PB|+|PC|=4>2=|FC|， 所以动点P 的轨迹是以F ，C 为焦点且长轴长为4的椭圆， 所以a =2，c =1，b 2=3， 因此E 的方程为x 24+y 23=1．(2)不妨设A 1(−2,0)，A 2(2,0)，Q(4,t)(t ≠0)为直线x =4上一点，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 直线A 1Q 方程为y =t6(x +2)，直线A 2Q 方程为y =t2(x −2)， 由{y =t6(x +2),x 24+y 23=1,得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108=0，得(−2)⋅x 1=4t 2−10827+t 2，所以x 1=54−2t 227+t 2，自我检测圆锥曲线中的轨迹问题是高考热点，在高考中常常涉及此类问题且位于难题的位置．本专题以圆锥曲线中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.所以M(54−2t 227+t 2,18t 27+t 2)，同理可得N(2t 2−63+t 2,−6t3+t 2)，所以直线MN 的方程为y +6t 3+t 2=−6t t 2−9(x −2t 2−63+t 2)，即y =−6tt 2−9x +6tt 2−9=−6tt 2−9(x −1)， 故直线MN 过定点(1,0)所以△FMN 的周长为定值=4a =8．【解析】本题考查圆锥曲线中的轨迹问题，考查 圆锥曲线中的定点与定值问题，属于中档题．(1) 由题意可知动点P 的轨迹是以F ，C 为焦点且长轴长为4的椭圆，计算可得动点P 的轨迹E 的方程； (2)不妨设A 1(−2,0)，A 2(2,0)，Q(4,t)(t ≠0)为直线x =4上一点，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线A 1Q 方程为y =t 6(x +2)，直线A 2Q 方程为y =t2(x −2)，与椭圆方程联立可得M 、N ，即可得直线MN 的方程，从而可得直线MN 过定点(1,0)，即可得△FMN 的周长为定值．2. 在平面直角坐标系xOy 中，A(−2,0)，B(2,0)，P 为不在x 轴上的动点，直线PA ，PB 的斜率满足k PA k PB =−14．(1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)若M ，N 是轨迹Γ上两点，k MN =1，求△OMN 面积的最大值． 【答案】解：(1)设P(x,y)为轨迹Γ上任意一点，则根据k PA k PB =−14． 即yx+2⋅yx−2=−14，整理得动点P 的轨迹Γ的方程为：x 24+y 2=1(y ≠0)；(2)设MN ：y =x +b ，联立{y =x +bx 24+y 2=1，整理得5x 2+8bx +4b 2−4=0，△=5−b 2>0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−85b ，x 1x 2=45(b 2−1)， |MN|=√2|x 1−x 2|=4√25√5−b 2，O 到直线MN 的距离d =√2，所以△OMN 面积S =12×4√25√5−b 2√2=25√5b 2−b 4，设f(b)=5b 2−b 4，则f′(b)=10b −4b 3=0，解得b =0或b =±√102又因为5−b 2>0，故b =0或b =±√102且S(0)=0，S(±√102)=152，故△OMN 的面积S 最大值为152．【解析】(1)设点P(x,y)，利用k PA k PB =−14即可的动点P 的轨迹方程；(2)设MN 的方程为y =x +b ，与Γ方程联立，利用根与系数关系表示出|MN|，再表示出点O 到直线MN 的距离d ，进而可表示出面积表达式，运用导数求出面积最值即可．本题考查点的轨迹方程，涉及直线与椭圆形成三角形最值问题，利用根于系数关系表示线段长度是关键，属于中档题．3. 已知点A ，B 在双曲线xy =4上，且点A ，B 关于直线y =x 对称，点A 在直线x =2(直线x =2与x 轴的交点记为点C)上的投影为点A ′，点B 在直线x =−2(直线x =−2与x 轴的交点记为点D)上的投影为点B ′，直线A′D 与BC 相交于点M ，记点M 的轨迹为曲线Г (Ⅰ)求曲线Г的方程(Ⅱ)过点T(1,0)的直线与曲线Г交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，在x 轴上是否存在定点S 使得∠PSO =∠QSO?若存在，求出定点S 的坐标;若不存在，请说明理由。

第5题
1.（北京市中国科学院附属实验学校 2020-2021 学年高二期中）已知坐标平面上点 M ( x, y ) 与
两个定点 M1 (26,1) ， M 2 (2,1) 的距离之比等于 5．
（1）求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为 C ，过点 A(2,3) 的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8，求直线 l 的
（
）
A．直线
B．圆
C．抛物线的一部分
D．椭圆
知识点二：直接法求轨迹
可以直接列出等量关系式
（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的
距离公式、直线斜率公式等。）
（2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
简化为：设点----列式---化简----去掉“多点”或者补上“少点”
（2，0）。求过点 A 且和◎B 相切的动圆圆心 P 的轨迹。
2
2.（天津市第三中学 2020-2021 学年高二上学期）已知圆 M : x 2 y 2 2 y 7 0 和点
N 0,1 ，动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，圆心 P 的轨迹为曲线 E.
（1）求曲线 E 的方程；
5
（3）在（2）的条件下，若过点 , 0 的直线 m 与曲线 W 有两个交点，求直线 m 的斜率
2
的取值范围.
知识点六：参交轨法
交轨法；轨迹交点法。
1. 动点满足第一个条件。求出对应的含参方程。用参数 t 表示。
f（x，y，t）0
=
2. 动点满足第二个条件。求出对应的含参方程。用同一参数 t 表示。
（1）求曲线 C 的方程；
（2）已知 A(2, 0) ，过点 F 的动直线 l 与曲线 C 交于 B ， D 两点，记 AOB 和 △AOD 的面积