深度解析-坐标系

设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
x＝ρcos θ，

y＝ρsin θ
ρ2＝x2＋y2，
或 tan
θ＝yxx≠0
.
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为 r 的圆
因为圆与直线相切，所以|2×32＋224＋×402＋a|＝32，
解得 a＝－3±3 5.
4．在极坐标系中，求曲线 ρ＝2cos θ 关于直线 θ＝π4对称的曲线的极坐标方程．
解 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立直角坐标系， 则曲线 ρ＝2cos θ 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
且圆心为(1,0)．
(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程． (2)求在极坐标系中，圆 ρ＝2cos θ 垂直于极轴的两条切线方程． 解 (1)将 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ 代入 x2＋y2－2x＝0，得 ρ2－2ρcos θ＝0，整理得 ρ＝2cos θ. (2)由 ρ＝2cos θ，得 ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其
得 x＝1， y＝1，
故曲线
C1 与曲线 C2 交点的直角坐标为(1,1)． 思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与 x 轴的正半 轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式 x ＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些， 解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，进行整体代换．
(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线 ρsin(θ＋π4)＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长．
解
由
ρsin(θ＋π4)＝2，得
2 2 (ρsin
θ＋ρcos
θ)＝2
可化为
x＋y－2
2＝0.圆 ρ＝4 可化为 x2＋y2
＝16，由圆中的弦长公式得：2 r2－d2＝2 42－2 22＝4 3.故所求弦长为 4 3. 2
编制：高中数学群 648051755
第 1 课时 坐标系
1．平面直角坐标系
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：xy′ ′＝ ＝λμ··xy
λ>0， μ>0
的作用下，点
P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
于是所求直线方程为 y－1＝12(x－12)，
化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
即
ρ＝4sin
3 θ－2cos
θ.
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设 P(ρ，θ)是曲线上任意 一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
垂直于 x 轴的两条切线方程为 x＝0 和 x＝2，相应的极坐标方程为 θ＝π2(ρ∈R)和 ρcos θ＝2. 题型二 求曲线的极坐标方程
例 2 将圆 x2＋y2＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (1)写出曲线 C 的方程； (2)设直线 l：2x＋y－2＝0 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程． 解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点(x，y)，依题意，得yx＝＝2x1y，1.
ρcos θ＝a(－2π<θ<π2) ρsin_θ＝a(0<θ<π)
1．(2016·北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程． 解 点(2，π2)在直角坐标系下的坐标为 (2cos π2，2sin π2)，即(0,2)． ∴过点(0,2)且与 x 轴平行的直线方程为 y＝2. 即为 ρsin θ＝2. 2．在极坐标系中，已知两点 A、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB(其中 O 为极点) 的面积． 解 由题意知 A、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积 S△AOB＝12OA·OB·sin∠AOB
由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a. 在 Rt△DOB 中，易求 DB＝ 33a，∴B 点的坐标为( 33a，a)． 又∵B 在 x2＋y2－4y＝0 上，∴( 33a)2＋a2－4a＝0， 即43a2－4a＝0，解得 a＝0(舍去)或 a＝3.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例 1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段 y＝1－
在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P( 2，π4)，圆心为直线 ρsinθ－3π＝－ 23与极
轴的交点，求圆 C 的极坐标方程．
解 在 ρsinθ－π3＝－ 23中，
令 θ＝0，得 ρ＝1， 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)． 如图所示，因为圆 C 经过点
P 2，π4，
所以圆 C 的半径 PC＝ 22＋12－2×1× 2cos 4π＝1， 于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ. 题型三 极坐标方程的应用 例 3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2 ＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝4π(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积． 解 (1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－2， C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将 θ＝π4代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得 ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 为等腰直角三角形， 所以△C2MN 的面积为12. 思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方 程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方 向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴．平 面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从射线 Ox 到射线 OM 的角度 θ 来刻画(如图 所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标．ρ 称为点 M 的极径，θ 称为点 M 的极角．一般认为 ρ≥0.当极角 θ 的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ， θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意角． (2)极坐标与直角坐标的互化
2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的
极坐标．
解 曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 化为直角坐标方程为 x＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1 －yx＝ ＝11，，
∴y＝1－x 化成极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即
ρ＝cos
1 θ＋sin
θ.
∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，
∴0≤θ≤π2.
(2)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由 ρsin2θ＝cos θ，得 ρ2sin2θ＝ρcos θ，所以曲线 C1 的直角坐标
方程为 y2＝x.由 ρsin θ＝1，得曲线 C2 的直角坐标方程为 y＝1.由yy2＝＝1x，
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 圆心为(r，π2)，半径为 r 的圆
ρ＝2rcos_θ(－π2≤θ<π2) ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为 α 的直线
θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线 过点(a，2π)，与极轴平行的直线
故 S△AOB＝12×4×5×sin 56π＝5. 7．已知 P(5，23π)，O 为极点，求使△POP′为正三角形的点 P′的坐标． 解 设 P′点的极坐标为(ρ，θ)． ∵△POP′为正三角形，如图所示，
＝12×3×4×sin π6＝3. 3．在以 O 为极点的极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 和直线 ρsin θ＝a 相交于 A，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求 a 的值． 解 由 ρ＝4sin θ 可得 x2＋y2＝4y，即 x2＋(y－2)2＝4. 由 ρsin θ＝a 可得 y＝a. 设圆的圆心为 O′，y＝a 与 x2＋(y－2)2＝4 的两交点 A，B 与 O 构成等边三角形，如图所示．
1．(2015·广东)已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsinθ－4π＝ 2，点 A 的极坐标为2 2，74π，求
点 A 到直线 l 的距离．
解 依题可知直线 l：2ρsinθ－π4＝ 2和点 A2 2，74π可化为 l：x－y＋1＝0 和 A(2，－2)，
所以点 A 到直线 l 的距离为 d＝|2－12＋－2－＋112|＝5 2 2.
直线 θ＝4π的直角坐标方程为 y＝x，