三角形的角度计算

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;.. 三角形内角和定理及其推论一、填空：1．如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（）A．∠1+∠5+∠4=180°B．∠4+∠5=∠2 C．∠1+∠3+∠6=180°D．∠1+∠6=∠2 2．如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“８字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．其中正确结论是（）（1）在图1中∠A+∠D=∠C+∠B．（2）在图2中“８字形”的个数为4．（3）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时∠P=45度．（4）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变∠D+∠B=2∠P．A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．（1）试判断∠F与∠B、∠D之间的等量关系；（2）若∠B：∠D：∠F=2：x：3，求x的值3．如图，在△ABC，∠A=70°，D、E、F分别在BC、AC、AB上，且∠1=∠2，∠3=∠4，则∠EDF的度数是；4．如图，已知AF平分∠BAC，过F作FD⊥BC，若∠B比∠C大20度，则∠F的度数是；5．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（）A．B．C．D．

小专题(一) 与三角形有关的角度的计算

模型1：两个内角平分线的夹角

1.如图，在△ABC中，P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，若∠A=50°，则∠P=______.

2.如图，已知△ABC的三条内角平分线交于点I，AI的延长线与BC交于D点，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小.

模型2：一个内角平分线和一个外角平分线

3.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠A=50°，则∠D=______.

4.如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是x，y轴上的两个动点，∠BAO的角平分线与∠ABO的外角平分线相交于点C，在A，B的运动过程中，∠C的度数是一个定值，这个定值为______.

5.(达州中考改编)如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2 014BC和∠A2 014CD的平分线交于点A2 015，求∠A2 015的度数.

模型3：两个外角平分线

6.如图，在△ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的角平分线的交点，若∠A=60°，则∠P=______.

7.一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是______三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)

模型4：“8”字形图案的两条角平分线的夹角

8.已知，如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N，如图2.试解答下列问题：

TO:亲~~远水救不了近火，怕你暂时要用，先写点实用的给你吧~~~O(∩_∩)O~~~

1、以下三个特殊的三角形可以直接按图上标出的比例计算长度：（这些比例是已经通过三角函数公式计算得到的，直接套用就可以啦~~有兴趣可以自己推出来~~~）

30°

60°

45° 60°

60° 60° 45° 1

1 2

1 2

1 1 30°的直角三角形 3

1 等腰三角形（45°的）

等边三角形（60°的）

可中间加条线，变形为两个30°的直接三角形

虚线的长度则为3/2 3/2

2、二倍角的三角公式

15° 例：左图的变态三角形，因为除了30°、45°、60°的三角函数值我们可以精确知道，其余的只能百度一下才能知道。麻烦死了~~

又因为15°是30°的一半，而30°的三角值是清楚的，所以可以运用以下公式计算：

如上图：cos（2*15°）=2（cos15°）2 - 1

即cos30°=3/2=2（cos15°）2 - 1

求出cos15°=（3/2+1）/2

又因为cos15°=邻边/斜边=b/c

所以，亲，知道了b或者c即可求出另一条边哦~~

a b

c 90°

Sin2A=2sinA*cosA

Cos2A=2(cosA)2-1 = 1-2（sinA）2 75°

别着急~慢慢来，虽然还有很多其他的公式，不过计算长度，用上面的就差不多了吧，其他很变态的三角度数像63°，65°，80°、、、的三角函数值，请度娘帮你吧~~~加油哦~~~↖(^ω^)↗

1/11 与三角形有关的角

一、 三角形内角和定理

三角形内角和定理：三角形内角和为180

推论：1、直角三角形两锐角互余

2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和（学校课本没有外角概念，

小题可以直接用，大题需要证明） 二、有关角的5个几何模型

模 型 图 形 结 论 证明思路

“飞镖”模型

BDCABDAACD 延长BD交AC于点E，在

CDEABE△和△中，利用模型⑴的

结论即可

“8”字模型

ABCD 由180,ABAOB

180CDCOD，

再结合AOBCOD即可

点P是ABC

和ACB的角平

分线的交点 1902PA 由“飞镖”模型可得：

PAABPACP，再利

用角平分线的性质可得：

1(180)2ABPACPA，进

而得出结论．

点P是ABC和

外角ACD的

角平分线的交点 1

2PA 由外角可得：

PCDPBCP，

22PCDPBCA，

即可得出结论．

点P是外角

CBF

和外角BCE的

角平分线的交点 1902PA 180()PPBCPCB

1180()2FBCECB

=1180()2AACBECB

11801802AEBCECB

1902A

注：上述结论在应用时必须证明，不能直接用．

CD

BA

O

CDBA

P

CBA

P

CDBA

EFA

PCB2/11 1. 【易】（2010年重庆巴蜀中学初一下期中）如图所示，已知,OBOAODOC，且

65,20OC，则AEB的度数为（ ）

A．90 B． 115 C． 95 D． 105

2. 【易】（2010湖北武汉二中初一下期中）如图，在直角三角形中，，

是斜边上的高，，，垂足分别为、，则图中与

（除之外）相等的角的个数是（ ）