2021年华杯赛试题的详解和讨论

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2015 年华杯赛决赛的试题讨论

——干点正事，学点东西，吸其精华

华杯赛南京赛区开明数学工作室考点 满涛

2015 年 4 月 11 日，举办完本届华杯赛，心情放松，本想自由一下，下午还得上课。阅卷老师三五成群来到了工人新村，少年宫的老师也来了。你们工作吧， 我不参与阅卷，不碰卷子。16：00 下课时，拿到小学的两份卷子看看，有问题， 答案不对啊，我给少年宫郑老师喊下来，让她致电少年宫施主任，施主任很快联系了全国组委会，组委会的答复是正确无误，让我们不要看网上的答案和讨论， 我也没看啊？18：00 左右，准备吃饭，但没有吃，创新的张总监用办公室电话我，我没接，回过去才知道，有人举报作弊。咋办，我华杯赛自 2013 年风波后我不牵头了，我让郑老师立刻通知施主任，交代完让他处理。

4 月 13 日，组委会说答案有歧义，修正！

关于第二十届“华杯赛”决赛试题答案修正的通知各参赛代表队：

根据“华杯赛”主试委员会意见，现将第二十届“华杯赛”决赛相关试题答案修正如下：

一、第二十届“华杯赛”决赛试题参考答案小中 A、B 卷第十题

修正后答案为：15 种 ， 具体解答另附。2015 年 4 月 14 日周二上午南京学而思胡伟老师称还有一种认为：染三种颜色、四种颜色、五种颜色，加起来的和55，正确！

这是题目：

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 组（小学中年级组）

（时间: 2015 年 4 月 11 日 10:00～11:30）

10．用五种不同的颜色涂正方体的六个面. 如果相邻的两个面不能涂同种颜色,

则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）

答案呢？

2015 年 4 月 11 日下午，阅卷现场，每位老师拿到的是：

10.答案: 30 种.

解答. 由题意，涂有相同颜色的 2 个面相对，总可以将相同颜色的 2 个面置于上 1173565152 5

6 6 4 下底面，有 5 种涂法. 固定 1 种涂法，即上下底的颜色后，总可以在保持上下底

的颜色条件下，通过转动将余下 4 种颜色中 1 种固定为正面的涂色.余下 3 种颜

色涂后面、左右侧面，共有 6 种涂法. 所以，共有 30 种涂法.

想了想，百度硬盘搜索！

我高三时参加的全国高中数学联赛

1996 年全国高中数学联合竞赛试卷第一试

(10 月 13 日上午 8：00－9：20)

二、填空题：

5． 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，

每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有 种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．)

解：至少 3 种颜色：

6 种颜色全用：上面固定用某色，下面可有 5 种选择，其余 4 面有(4－1)!=6

种方法，共计 30 种方法；

用 5 种颜色：上下用同色：6 种方法，选 4 色：C4(4－1)! =30；6×30÷2 =90

种方法；．

用 4 种颜色：C2C2=90 种方法．

用 3 种颜色：C3=20 种方法．

∴共有 230 种方法．

20 年后，这道题出给了像我们的孩子般大小的三四年级小学生做，社会进

步好快！接着是 4 月 16 日修正答案 2 发给每个参赛队，还有充斥论坛的愤怒等等，以及家长帮的“好奇心重”与“starfall12345”对我的不敬，乱啊！

当夜幕降临的时候，我看了《那夜凌晨，我坐上了旺角开往大埔的红色小

VAN》，我一直相信自己的眼光，因为寒假我买的四张三区 DVD，《黄金时代》、

《一个人的武林》、《黄飞鸿》以及这张都获奖了，《亲爱的》也去过影院看了。吸取些华杯赛的精华，老教授（老一辈的）还是很给力的，顺便谈谈我对竞

赛试题的学习观点。不要被竞赛特别是杯赛绑架，要学习其中对学校课程学习有用的东西，充实我们的课堂。 1173565153 2

5 2 1 5  2

2

试题 1：第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初二组）

好题一套，比初一简单，贴合课本，是中学数学教学和竞赛的有机结合，摒弃部份题目。

1. 在 1 与  2 中, 较大的是 ．

【评注】比较无理数的大小，八年级上学期第四章简单的无理数。全国初中数学联赛出过类似的问题，是很好地检测学生学习无理数的好题。

【答案】 1

【解答 1】估值判断 2 1较大．要证 2 1 5  2 , 即 2 1  , 3  2  5,

只需证2  2 , 即  1, 显然成立, 故 2 1较大．

【解答 2】注意

2 1  1 ,

5  2  1 ,

通过估值得 1 5  2 , 所以 2 1 5  2 , 故 2 1较大．解答 2 取倒数很

好，是一种方法。我们看看全国初中数学联赛的类似试题：

（2012-1）已知a 2 1， b 3  2 ， c 6  2 ，那么a, b, c 的大小关系是

A. a  b  c

【答】C. B. a  c  b C. b  a  c D. b  c  a

因 为 1 a 2 1 ， 1 b 3  ， 所 以 0  1  1

a b ， 故 b  a . 又

c  a  ( 6  2)  ( 2 1) 6  ( 2 1) ，而( 6)2  ( 2 1)2  3  2  0 ，所以

 2 1，故c  a .因此b  a  c . 2 5

2

2 2

2

2

6 1173565154 6 5

6  2 6 5 2. 记 N  135 2013  2  4 6 2014 , N 除以 2015 的余数等

于 ．

【评注】和初一组一致的一个问题，和学校学习结合不紧密，删去！

【答案】0

【解答】由于

N  1 3 5  2013  2  4  6  2014

 1 3 5  2013

 (2015  2013)(2015  2011)(2015  2009)  (2015 1)

 1 3 5  2013  (2013)(2011)(2009)  (1)  2015  n

 1 3 5  2013 1  (1)1007 2015  n  2015  n,

其中 n 为某整数. 因此 N 是 2015 的倍数, 所以余数是 0．

3. 如图, 在矩形 OABC 中, OA = 6, OC = 5．反比例函数 y  7 x

的图象分别与 AB 和 BC 交于 E 和 F 点．那么三角形 OEF

与三角形 BFE 的面积差等于 ．

【评注】反比例函数上的点的坐标、面积不变性。和八年级下册第十一章紧密结合，是 2012 年华杯赛初赛初二组试题的姊妹。好题，练练手！

【答案】161 30

【解答】由已知: A(6,0), B(6,5), C(0,5) , E6, 7 , F  7 ,5 , 所以

      S  s  1  6 7  1  5 7  7

OAE OCF 2 6 2 5

S  1  5  7   6  7   1  23  23  529 .

BEF 2    60 5 1173565155 4 7

故

SOEF

 SBEF

 (30  S

OAE

 SOCF

 SBEF

)  S

BEF

=

5

11

．

30

你记得

2013

年的那题吗，那是亲们在上小学六年级：

如图, 在直角坐标系 Oxy 中, A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的点,

四边形 OACB 是 矩 形 , OA=7, OB=4. 已 知 反 比 例 函 数

y  k (k  0) 在第一象限的图象分别与 AC, BC 交于 F, E. 当 x

ECF 的面积等于 32 时, k 的值等于（ ）.

7

（A）8 （B）10 （C）12 （D）14

【答案】C

【解答】先表示点的坐标，E 点的坐标 k ,4 , F 点的坐标 7, k  . 因此,

      S  1  4  k  7  k   32 .

ECF 2 7 4  7

  整理得

k2  56k  528  0 ,

解得 k 12 或 k  44 . 容易验证: k=44 不是解.完美，是因为那个完全平方！那

么今年的题除了解法思路一致，并没有完全平方公式便于计算的完美.

4. 设 A 和 n 都是自然数, 且 A  (n  7)(n  8) ．如果 A 是平方数, 那么 n 的最大可能值是 ．

【评注】用初中的方法解是完美的，即：用完全平方公式和平方数的定义，用下面的解法 1，有点那个！解法 2 巧变成勾股数，精妙！