2020-2021学年吉林省长春外国语学校高一(上)期末数学试卷
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2020-2021学年吉林省长春外国语学校高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{xǀ﹣1＜x＜3}，B＝{1，2，3}（ ）
A．{1} B．{1，2} C．{3} D．{1，3}
2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，那么￢p是（ ）
A． B．
C．∃x∈R，x2+x+1≤0 D．
3．（5分）已知α是第三象限角，，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
6．（5分）函数y＝sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（ ）
A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．x＝ D．x＝
7．（5分）若sinx+cosx＝4﹣m，则实数m的取值范围是（ ）
A．2≤m≤6 B．﹣6≤m≤6 C．2＜m＜6 D．2≤m≤4
8．（5分）在下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（ ）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．
9．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
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A． B．
C． D．
10．（5分）设a＝20.4，b＝30.4，c＝log32，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
11．（5分）已知，tan（α+β）＝﹣3，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（5分）设x，y∈R，a＞1，若ax＝by＝3，a+b＝2，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知tanα＝3，则＝
．
14．（5分）已知幂函数f（x）＝k•xα的图象经过（2，），则k•α＝ ．
15．（5分）下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③﹣1＜x＜0；⑤x＞﹣1．其中可以作为x2＜1的一个充分不必要条件的所有序号为 ．
16．（5分）在△ABC中，sinA＝，cosB＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知命题p：方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根；命题q：m＜1．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围．
18．（12分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+3．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3），求a；
（2）若f（1）＝4，a＞0，求的最小值．
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19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）2﹣2x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并画出的f（x）；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣k，函数g（x）有一个零点？二个零点？三个零点？
20．（12分）已知角α是第三象限角，且f（α）＝．
（1）化简f（α）；
（2）若sin（α﹣π）＝，求f（α）的值；
（3）若α＝﹣2310°，求f（α）的值．
21．（12分）已知函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）
22．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣a•2x+1+a+1．
（1）若a＝2，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）x∈（﹣∞，0）时，不等式f（x）＜2﹣a恒成立；
（3）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）．
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2020-2021学年吉林省长春外国语学校高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{xǀ﹣1＜x＜3}，B＝{1，2，3}（ ）
A．{1} B．{1，2} C．{3} D．{1，3}
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{xǀ﹣1＜x＜3}，B＝{4，2，
∴A∩B＝{1，4}．
故选：B．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，那么￢p是（ ）
A． B．
C．∃x∈R，x2+x+1≤0 D．
【分析】根据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．
【解答】解：根据全称命题命题p：∀x∈R，x2+x+1＞4，那么￢p是的否定为特称命题，
即：￢p为∃x∈R，x2+x+1≤3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，对量词及结论都要进行否定．
3．（5分）已知α是第三象限角，，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由同角三角函数的关系，算出sinα＝﹣（舍正），再由二倍角的正弦公式加以计算，即可得到sin2α的值．
【解答】解：∵，α是第三象限角，
∴sinα＝﹣＝﹣
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因此，sin2α＝2sinαcosα＝6×（﹣）＝
故选：D．
【点评】本题给出第三象限角的余弦值，求它的二倍角的正弦之值．着重考查了同角三角函数的关系、二倍角的正弦公式等知识，属于基础题．
4．（5分）已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设扇形的圆心角为α，根据面积公式列方程求出α的值．
【解答】解：设扇形的圆心角为α，则
由扇形的半径为R＝2，
面积为S＝•α•R2＝•α•22＝，
解得α＝．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积公式计算问题，是基础题．
5．（5分）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【分析】判断函数的单调性，利用f（﹣1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，
f（﹣2）＝＜0，
可得f（﹣1）f（0）＜7．
由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣6，0）．
故选：B．
【点评】本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
6．（5分）函数y＝sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（ ）
A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．x＝ D．x＝
【分析】令2x+＝求出x的值，然后根据k的不同取值对选项进行验证即可．
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【解答】解：令2x+＝，∴x＝
当k＝0时为D选项，
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数对称轴的求法．属基础题．
7．（5分）若sinx+cosx＝4﹣m，则实数m的取值范围是（ ）
A．2≤m≤6 B．﹣6≤m≤6 C．2＜m＜6 D．2≤m≤4
【分析】由两角和与差的正弦函数公式化简已知可得m＝4﹣2sin（x+），根据正弦函数的性质可求sin（x+）的取值范围，即可得解．
【解答】解：∵sinx+cosx＝2sin（x+，故：m＝4﹣2sin（x+），
又∵sin（x+）∈[﹣1，
∴5sin（x+）∈[﹣2，
∴可解得：m∈[8，6]
故选：A．
【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的值域，属于基本知识的考查．
8．（5分）在下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（ ）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．
【分析】根据三角函数的性质对各选项依次判断即可．
【解答】解：对于A：y＝|sinx|，将y＝sinx在x轴下方的图象翻折到上方，在区间（，故A不符合题意；
对于B：y＝cosx的最小正周期T＝2π，故B不符合题意；
对于C：y＝tanx的最小正周期T＝π，且在区间，故C符合题意；
对于D：y＝cos的最小正周期T＝，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
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9．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先由函数的定义域可排除选项A和D，再由x∈（0，1）时，f（x）与0的大小关系，可得解．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，排除选项A和D，
当x∈（0，6）时，
但在选项C中，由于x2＜1，所以f（x）＜4，
故选：B．
【点评】本题考查函数图象的识别，可从函数的性质或特殊点（范围）的函数取值进行思考，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．
10．（5分）设a＝20.4，b＝30.4，c＝log32，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【分析】可得出30.4＞20.4＞1，log32＜1，从而得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵30.5＞20.4＞20＝4，log32＜log53＝1，
∴c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数、指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
11．（5分）已知，tan（α+β）＝﹣3，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
