垂径定理导学案
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一、定理推导
1、思考：在圆里怎么平分一条弦，一条弧
2、垂径定理
条件： ，结论：
3、垂径定理推论
条件： ，结论：
二、典型问题
例题1、 基本概念
1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2．下列命题中，正确的是（ ）．
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧
例题2、垂径定理
1、 在直径为52cm的圆柱形油槽装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.
2、在直径为52cm的圆柱形油槽装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.
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. 学习.资料. 3、如图，已知在⊙O中，弦CDAB，且CDAB，垂足为H，ABOE于E，CDOF于F.
（1）求证：四边形OEHF是正方形.
（2）若3CH，9DH，求圆心O到弦AB和CD的距离.
4、已知：△ABC接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．
5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=21BF.
例题3、度数问题
1、已知：在⊙O中，弦cm12AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径.
2、已知：⊙O的半径1OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC的度数。
例题4、相交问题
如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.
A B D C
E
O OABDEFC.. . .
. 学习.资料. 例题5、平行问题
在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.
例题6、同心圆问题
如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD.
三、作业
1．下列说法：①圆的对称轴是一条直径；②经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；③与半径垂直的直线是圆的对称轴；④垂直于弦的直线是圆的对称轴，其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图7－8，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则下面结论中错误的是（ ）．
A．CE＝DE B．＝ C．∠BAC＝∠BAD D．AC＞AD
图7－8 图7－9 图7－10 图7－11
3．如图7－9，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP∶PB＝1∶5，那么⊙O的半径是（ ）．A．6cm B． 53cm C．8cm D．35cm
4．如图7－10，⊙O接△ABC中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCD，D是⊙O上的一点，则下列结论：①CD是⊙O直径；②CD平分弦AB；③＝；④＝；⑤CD⊥AB，其中正确的有（ ）．A．3个 B．4个 C．5个 D．2个
5．在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径是（ ）．
A．10cm B．8cm C．5cm D．4cm
6．圆的半径为2cm，圆中的一条弦的长为32cm，则此弦的中点到所对优弧中点的距离是（ ）． .. . .
. 学习.资料. A．1cm B．3cm
C．3cm
D．32cm
7．在下列说法中，①垂直平分弦的直线经过圆心；②直径垂直平分弦；③平行弦所夹的两条弧相等；④平分圆的两条弧的直线必过圆心，其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．⊙O的半径为12cm，弦AB为8cm，则圆心到弦的距离是________．
9．在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝10cm，则∠AOB的度数是________．
10．⊙O的半径为8cm，弦AB中点到所对劣弧中点距离为4cm，则弦AB的长为_______，∠OAB的度数是______．
11．⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC于D，则AB＝_______，∠AOB＝_____．
12．⊙O的半径为65cm，弦AB＝310cm，则弦AB所对圆心角∠AOB＝________．
13．⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，且AB把CD分成4cm和6cm两部分，则圆心O到弦AB的距离是________，弦AB的长为________．
14．⊙O中，直径MN⊥弦AB，垂足为C，MN＝10，AB＝8，则MC＝________．
15．如图7－11，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若AD＝5cm，AB＝8cm，则⊙O的半径是________．
16．如图7－12，在⊙O中，AB是弦，∠AOB＝120°，OA＝5cm，则圆心O到AB的距离是________cm，弦AB的长是________cm．
图7－12 图7－13 图7－15
17．如图7－13，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD＝14cm，CE＝8cm，则弦AB＝________cm，BC＝________cm．
20．如图7－15，⊙O半径为5cm，AB和CD是两条弦，且AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，求AB和CD的距离．
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21．如图7－16，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD＝15cm，OE∶OC＝3∶5，求弦AB的长和AC的长．
图7－16
22．如图7－17，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且圆心O到AB的距离OE＝5cm，大圆半径OA＝13cm，小圆半径为41cm，求CD、AC的长．
图7－17
24．如图7－18，⊙O的半径为7cm，弦AB的长为64cm，则由与弦AB组成的弓形的高CD等于________cm．
25．在⊙O中，半径OC为R，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB的长和∠AOB的度数为（ ）．
A．RAB23，∠AOB＝60° B．RAB23，∠AOB＝120°
C．RAB3，∠AOB＝120° D．AB＝2R，∠AOB＝120°
图7－18
26．在⊙O中，弦CD与直径AB相交成30°角，且将直径分成1cm和5cm的两条线段，则圆心O到弦CD的距离为（ ）．A．0.5cm B．1cm C．2cm D．3cm
27．过圆上一点引两条互相垂直的弦，如果圆心到这两条弦的距离分别是3cm和4cm，则这两条弦的长度分别是（ ）．A．5cm和10cm B．6cm和8cm C．8cm和12cm
D．6cm和9cm .. . .
. 学习.资料. 28．⊙O的半径为20cm，AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，则△AOB的面积是（ ）．
A．2cm325 B．2cm350 C．2cm3100 D．2cm3200
29．⊙O的半径为5，P为⊙O一点，OP＝3，则经过点P的最短的弦与最长的弦的长度的比是（ ）．A．2∶5 B．3∶5 C．4∶5 D．3∶10
