垂径定理(学案)

3.3.2垂径定理导学案

课题

垂径定理 单元 3 学科 数学 年级 九年级

知识目标 1.进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.

2.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题

重点

难点 垂径定理的推论

垂径定理及推论的应用

教学过程

知识链接 问题：

谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论

合作探究 一、教材79页

想一想

垂径定理的逆命题是什么？

已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.

求证：CD⊥AB，⌒AC =⌒BC

师生共同归纳

定理1： .

探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。

已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，⌒AC =⌒BC

求证：CD⊥AB

归纳出：定理2：

。

二、教材79页例题

例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).

自主尝试 1．下列命题中，正确的是( )

A． 过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B．过弦的中点的直线必过圆心

C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心

D．弦的垂线平分弦所对的弧

2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )

A．8 B．2 C．10 D．5

3．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2√3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )

A． 1 cm B．2 cm C.√2cm D.√3 cm

【方法宝典】

利用垂径定理推论进行解答即可。

当堂检测 1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ).

九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1. 理解圆的弦、直径、半径、圆心等基本概念，掌握它们的性质和关系。

2. 掌握垂径定理的内容及其证明过程，能够灵活运用垂径定理解决相关问题。

3. 学会运用垂径定理解决生活中的实际问题，如计算圆的半径、弦长等。

（二）过程与方法

1. 提高学生的逻辑思维能力，使其能够运用所学知识进行推理、证明。

2. 培养学生的观察能力和空间想象力，使其能够准确识别图形，找出解题关键。

3. 增强学生的合作意识和团队精神，使其在交流讨论中相互学习、共同提高。

4. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的应用意识。

（三）情感态度与价值观

1. 培养学生热爱数学、勇于探索的精神，使其树立正确的数学观念。

2. 培养学生严谨、务实的科学态度，使其在解决问题时遵循逻辑规律，避免盲目猜测。

3. 培养学生克服困难的意志，使其在面对挑战时保持积极向上的心态。

4. 通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。

二、学情分析

九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：

1. 学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑。教师需要耐心引导学生，使其逐步理解证明思路。

2. 学生在运用垂径定理解决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。

3. 针对不同学生的学习水平，教师需要因材施教，给予学生个性化的指导，使他们在原有基础上得到提高。

4. 学生在解决实际问题时，可能缺乏将理论知识与实际情境相结合的能力。教师应注重培养学生的应用意识，引导他们将所学知识运用到生活实践中。

三、教学重难点和教学设想

人教版九年级上册《垂径定

理》教案目录

•课程介绍与目标

•知识回顾与铺垫

•垂径定理的引入与证明

•垂径定理在几何问题中的应用

•垂径定理在生活中的实际应用

•课堂练习与巩固提高

•总结回顾与拓展延伸

01

课程介绍与目标

教材版本

人教版九年级上册

内容概述

本节课主要学习垂径定理及其推论，包括圆的性质、直径与弦的关系等。垂径

定理是圆的重要性质之一，在解决与圆有关的问题时具有广泛的应用。教材版本及内容概述

知识与技能过程与方法

情感态度与价值观教学目标与要求

掌握垂径定理及其推论，理解圆的性质，能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。通过观察、实验、推理等活动，培养学生的探究能力和数学思维能力。感受数学之美，体会数学在解决实际问题中的应用价值，培养学生的数学兴趣和自信心。教学方法

采用启发式教学法，引导学生通过观察、实验、推理等活动主动探究垂径定理及其推论。

教学手段

利用多媒体课件、几何画板等辅助教学工具，帮助学生更好地理解垂径定理及其推

论。同时，鼓励学生动手实践，通过实验操作验证垂径定理的正确性。教学方法与手段

02

知识回顾与铺垫圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的性质包括圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等；圆上任意两点间的

部分叫做圆弧，简称弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径。圆的性质及定义

经过圆心的弦叫做直径。直径是最长的弦，且一个圆有无数条直径。

直径

半径

弦

连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆中，所有的半径都相等。连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦的长度可能等于直径，也可能小于直径。0302

01直径、半径、弦等概念

顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它

所对的弧的度数。圆心角

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧的长度与圆心角的度数成正比。弧

在同一个圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。

弦与弧的关系圆心角、弧、弦之间的关系

03

垂径定理的引入与证明垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理

课题：§24.1.2垂径定理（第一课时）

执教：韶关市第十五中学 阮韶霞 班级：九（5）班

教学目标：

1、 理解圆的轴对称性，

2、 理解并会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题；

3、 在研究过程中，进一步体验“实验——归纳一猜测__证明”的方法；感受数形结合、方程 等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识 图能力.

教学重点：使学生掌握垂径定理及应用。

教学难点：对垂径定理的探索及证明（选学内容，作一般了解）。

教学用具：圆规，三角尺，课件 教学过程

一、 复习引入

圆相关的概念：

_______________________________ 叫做弦。

_______________________ 叫做直径。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆， _______________ 叫优弧,

叫劣弧。

_________________ 叫做弦心距。

____________________ 叫做弓形高。

二、 讲授新课

（一） 想一想

1、 圆是轴对称图形吗？

2、 如果是，它的对称轴是什么？

3、 你能找到多少条对称轴？

（二） 做一做

1. 把准备好的圆对折，使圆的两半部分重合。

2. 得到一条折痕CD。

3. 在OO上任取一点A,过点A画折痕CD的垂线，垂线与圆交于另一点B,垂足点M。

几何语言符号:三-练1练

1、下列也些图形可以使用垂径定理?

2.如图，AB是OO的直径，弦CD丄AB于点M, 不能得出的结论是（

A. OA=OB AC=AD

C. BC=BD D> OM=MD

3＞如图，已知在OO中，弦AB的长为8厘米，圆心O到 AB的距离为3厘米，则OO的半径长为 __________

变式1弦AB的长为18厘米，OO的半径为15厘米, 则圆心O到AB的距离为 ___________ o

变式2 OO的半径为10厘米，圆心O到AB的 距离为6厘米，则弦AB的长为 ____________