教学设计6：3.2.2 复数代数形式的乘除运算

复数代数形式的乘除运算

学习目标：

1. 理解共轭复数的概念；

2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。

重点：

理解共轭复数的概念

难点：

能进行复数的代数形式的乘、除运算

教学过程：

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P58～P60的内容，回答下列问题．

(1)复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似于多项式相乘？

(2)观察下列三组复数：

①z1＝2＋i，z2＝2－i；

②z1＝3＋4i，z2＝3－4i；

③z1＝4i，z2＝－4i.

每组复数中的z1与z2有什么关系？

2．归纳总结

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ .

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律 z1·z2＝

结合律 (z1·z2)·z3＝ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝

(3)共轭复数的概念

一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为z，虚部不等(4)复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，

则z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．

于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

[问题思考]

(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？

(2)复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？z1·z2为何值？

(3)两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？

(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？

(5)复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么样的数？

讲一讲

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

3．理解共轭复数的概念．

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________.

2．复数乘法的运算律

对任意z1、z2、z3∈C，有

交换律 z1·z2＝____________

结合律 (z1·z2)·z3＝__________

乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________

3．设z＝a＋bi (a，b∈R)，则z＝___________叫z的共轭复数．若b≠0，则z叫虚数z的________虚数，且z＋z＝______，z－z＝________，两共轭复数在复平面内所对应点关于________对称．

4．a＋bic＋di＝_____________________________.

5．设i为虚数单位，则i1＝______，i2＝______，

i3＝_______，i4＝______.

一、选择题

1．复数i3(1＋i)2等于( )

A．2 B．－2 C．2i D．－2i

2．已知a＋2ii＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于( )

A．－1 B．1 C．2 D．3

3．设i是虚数单位，则i3i＋1i－1等于( )

A．－1 B．1 C．－i

D．i

4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )

A．x＝3，y＝3 B．x＝5，y＝1

C．x＝－1，y＝－1

D．x＝－1，y＝1

5．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz等于( )

A．i B．－i C．±1 D．±i

二、填空题

复数的乘除运算教学设计

教学目标

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的

核心素养。

教学重难点

1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；

2.难点：复数的除法运算

教学过程

（一）新知导入

1.创设情境，生成问题

两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定

两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定

相容？

2.探索交流，解决问题

【问题1】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，

应如何规定两个复数相乘？

[提示]z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋

ad)i.(实部相乘减去虚部相乘的差为实部，实部与另一复数虚部相乘的和为虚部）

【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？

[提示]满足．

【问题3】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则zz的共轭复数等于什么？zz是一个

怎样的数？[提示]z＝a－bi，zz＝a2＋b2是一个实数．

（二）复数的乘除运算

1.复数的乘法运算

复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

(2)复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1

结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)

乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

（3）例题讲解

【例1】计算（3−4i）（3+4i）【例2】计算（1−2i）（3+4i）(−2+i)

解：（3−4i）（3+4i）解：（1−2i）（3+4i）(−2+i)

=3×3+3×4i−4×3i−4i×4i;=(11−2i)(−2+i);

=−20+15i.=25.

§3.2.2 复数的乘法和除法

【学情分析】：

学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算是,应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.

在学习了复数的加减法之后，学生对复数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲出。.

【教学目标】：

（1）知识目标：

能进行复数代数形式的乘除运算.

（2）过程与方法目标：

从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过2||zzz实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。

（3）情感与能力目标：

通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。

【教学重点】：

i的运算和分母实数化。

【教学难点】：

复数除法中的分母实数化。

【课前准备】：

powerpoint课件

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图

一、复习引入

1．根据虚数单位i的定义, i满足方程21,1,1xii2即i,那么(2)()ii呢,2(1)i呢？

2．实数与实数相乘除得到的仍是实数，实数的乘除满足交换律、结合律，乘法对加法的分配律，复数的乘除还满足这些运算律吗？两个虚数相乘能得到实数吗？

通过虚数单位的定提出问题，通过实数运算的对比引出复数乘除法的定义。

二、讲授新课

（１）复数的乘法运算

1．复数的乘法：

①设12,(,,,)zabizcdiabcdR，规定

212()()()()zzabicdiacadibcibdiacbdadbci。

②复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任意复数123,,zzz有 12211231231231213()()()zzzzzzzzzzzzzzzzz

③实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数12,,,zzznm和自然数有：