微积分的公式大全

微积分的公式大全

微积分（Calculus）是数学中的一个分支，研究函数的变化率以及与函数相关的一些重要概念，如极限、导数、积分等。本文将为你介绍微积分中的一些重要公式。在开始之前，我们先定义一些符号：

-f(x)表示一个函数

-a表示一个常数

- dx 表示自变量的微增量，通常取极小值

- dy 表示函数的微增量，即f(x+dx)-f(x)

下面是一些微积分中常用的公式：

1.极限

- 极限定义：lim(x->a) f(x) = L，表示当自变量 x 接近 a 时，函数 f(x) 的值接近 L。

-基本极限：

a. lim(x->a) = a，表示当 x 接近 a 时，常数 a 的值保持不变

b. lim(x->a) x^n = a^n，表示当 x 接近 a 时，幂函数的值保持不变

c. lim(x->a) sinx = sin a，表示当 x 接近 a 时，正弦函数的值保持不变

d. lim(x->a) cosx = cos a，表示当 x 接近 a 时，余弦函数的值保持不变 e. lim(x->a) ex = e^a，表示当 x 接近 a 时，指数函数的值保持不变

2.导数

- 导数定义：f'(x) = lim(dx->0) dy/dx = lim(dx->0) [f(x+dx)-f(x)]/dx，表示函数 f(x) 在 x 处的变化率。

-基本导数：

a.(c)'=0，表示一个常数c的导数为0

b. (x^n)' = nx^(n-1)，表示一个幂函数 x^n 的导数

c. (sinx)' = cosx，表示正弦函数的导数

d. (cosx)' = -sinx，表示余弦函数的导数

e.(e^x)'=e^x，表示指数函数的导数

f. (lnx)' = 1/x，表示自然对数函数的导数

g. (a^x)' = ln(a) * a^x，表示以 a 为底的指数函数的导数

3.积分

- 积分定义：∫[a, b] f(x) dx = lim(n->∞) Σ f(xi)Δx，表示在区间 [a, b] 上函数 f(x) 的累积增量。

1 / 15 锐角三角函数公式

sin α=∠α的对边 / 斜边

cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

2 / 15 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

3 / 15 =sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

4 / 15 降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

5 / 15 1-cos2α=2sin^2α

微积分的起源与发展

主要内容：

一、微积分为什么会产生

二、中国古代数学对微积分创立的贡献

三、对微积分理论有重要影响的重要科学家

四、微积分的现代发展

一、微积分为什么会产生

微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。归结起来，大约有四种主要类型的问题：

第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。

1 常 用 积 分 公 式

(一）含有axb的积分（0a)

1．dxaxb＝1lnaxbCa

2．()daxbx＝11()(1)axbCa（1）

3．dxxaxb＝21(ln)axbbaxbCa

4．2dxxaxb＝22311()2()ln2axbbaxbbaxbCa

5．d()xxaxb＝1lnaxbCbx

6．2d()xxaxb＝21lnaaxbCbxbx

7．2d()xxaxb＝21(ln)baxbCaaxb

8．22d()xxaxb＝231(2ln)baxbbaxbCaaxb

9．2d()xxaxb＝211ln()axbCbaxbbx

（二）含有axb的积分

10．daxbx＝32()3axbCa

11．dxaxbx＝322(32)()15axbaxbCa

12．2dxaxbx＝222332(15128)()105axabxbaxbCa

13．dxxaxb＝22(2)3axbaxbCa 2 14．2dxxaxb＝22232(348)15axabxbaxbCa

15．dxxaxb＝1ln(0)2arctan(0)axbbCbbaxbbaxbCbbb

16．2dxxaxb＝d2axbaxbxbxaxb

17．daxbxx＝d2xaxbbxaxb

18．2daxbxx＝d2axbaxxxaxb

(三）含有22xa的积分

19．22dxxa=1arctanxCaa

20．22d()nxxa=2221222123d2(1)()2(1)()nnxnxnaxanaxa

21．22dxxa=1ln2xaCaxa