高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案

1.1 集合

1．1.1 集合及其表示方法

课程标准

(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．

(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．

(3)在具体情境中，了解空集的含义．

新知初探·自主学习——突出基础性

教材要点

知识点一 集合的概念

在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．

知识点二 元素与集合的表示及关系

1．元素与集合的符号表示

表示{元素：通常用英文小写字母________表示．集合：通常用英文大写字母________表示．

2．元素与集合的关系

关系 语言描述 记法 示例

a属于集合A a是集合

A中的元素 ________ 若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江∉A a不属于集合A a不是集合

A中的元素 ________

状元随笔 对元素和集合之间关系的两点说明

1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A ”这两种结果．

2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．

3．集合中元素的特征

特征 含义

确定性 集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准

互异性 给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现

无序性 集合中的元素无先后顺序之分

4.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.

5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．

6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；

在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；

所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；

所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

所有实数组成的集合称为实数集，记作R.

知识点三 集合的表示

1．列举法：把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做________．

2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．

状元随笔

1．列举法表示集合时的5个关注点

(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．

(2)集合中的元素必须是明确的．

(3)集合中的元素不能重复．

(4)集合中的元素是无序的．

(5)集合中的元素可以是任何事物．

2．描述法表示集合时的3个关注点

(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；

(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；

(3)不能出现未被说明的字母．

知识点四 区间及其表示

1．区间的几何表示

定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]

{x|a＜x＜b}

开区间

(a，b)

{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)

{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]

R的区间表示：实数集R可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．

3．无穷大的几何表示

定义 符号 数轴表示

{x|x≥a} [a，＋∞)

{x|x＞a} (a，＋∞)

{x|x≤b} (－∞，b]

{x|x＜b} (－∞，b)

状元随笔 关于无穷大的2点说明

(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．

(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．

基础自测

1．下列能构成集合的是( )

A．中央电视台著名节目主持人

B．我市跑得快的汽车

C．上海市所有的中学生

D．香港的高楼

2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一种表示法是( )

A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}

C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}

3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )

A．0B．1

C．－1D．0或1或－1

4．用区间表示下列集合：

(1){x|−12≤x＜5}＝________；

(2){x|x＜1或2＜x≤3}＝________．

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题型1 集合的概念[经典例题]

例1 下列对象能构成集合的是( )

①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；

构成集合的元素具有确定性．②所有的钝角三角形；

③2019年诺贝尔经济学奖得主；

④大于等于0的整数；

⑤我校所有聪明的学生．

A．①②④ B．②⑤C．③④⑤ D．②③④

方法归纳

判断一组对象组成集合的依据

判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )

A．所有的正数B．等于2的数

C．接近于0的数D．不等于0的偶数

题型2 元素与集合的关系[经典例题]

例2 (1)下列关系中，正确的有( )

①12∈R；②√2∉Q；③|－3|∈N；④|－√3|∈Q.

A．1个B．2个

C．3个D．4个

(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )

A．0B．1

C．2D．3

a分类处理：

①a＝0，a＝1，a＝2；

②a＝3，a＝4.

还讨论吗？

方法归纳

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．

跟踪训练2 (1)下列说法正确的是( )

A.0∉N

B．√2∈Q

C．π∉R

D．√4∈Z

N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．

(2)集合A中的元素x满足63−x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

题型3 集合的表示——列举法[教材P7例题1]

例3 用列举法表示下列集合：

找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来．

(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；

(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合．

(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.

(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．

方法归纳

1．用列举法表示集合的三个步骤

(1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．

(3)用“{ }”括起来．

2．在用列举法表示集合时的关注点

(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．

(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合．

跟踪训练3 用列举法表示下列集合：

(1)方程组{2x−3y=14，3x+2y=8的解集；

(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；

(3)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合．

题型4 集合的表示——描述法[数学抽象、逻辑推理]

例4 (1)用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.

状元随笔 描述法注意元素的共同特征．

(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则( )

A．d∈MB．d∈N

C．d∈PD．d∈M且d∈N

(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________．

方法归纳

1．描述法表示集合的两个步骤

2．用描述法表示集合应注意的四点

(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}．

(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，

{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．

(3)不能出现未被说明的字母．

(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．

3．解答集合表示方法综合题的策略

(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．

(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．

教材反思

列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．