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近世代数模拟试题一、单项选择题1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（c）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。
A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。
2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于----25--。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为----双射-------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---右单位元------。
一、单项选择题一、单项选择题((本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
多选或未选均无分。
1、设G G 有有6个元素的循环群，个元素的循环群，a a 是生成元，则G 的子集（的子集（ ）是子群。
）是子群。
A 、{}aB B、、{}e a ,C C、、{}3,a eD D、、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（、下面的代数系统（G G ，*）中，（ ）不是群）不是群）不是群A 、G 为整数集合，为整数集合，**为加法为加法B B B、、G 为偶数集合，为偶数集合，**为加法为加法C 、G 为有理数集合，为有理数集合，**为加法为加法D D D、、G 为有理数集合，为有理数集合，**为乘法为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（上，下列哪种运算是可结合的？（ ）） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C a*b=max{a,b} C、、 a*b=a+2b D a*b=a+2b D、、a*b=|a-b|4、设1s 、2s 、3s 是三个置换，是三个置换，其中其中1s =（1212））（2323））（1313）），2s =（2424））（1414）），3s =（13241324）），则3s =（ ））A 、12sB B、、1s 2sC C、、22sD D、、2s 1s5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（个或以上元的半群，它（ ））。
A 、不可能是群、不可能是群 B 、不一定是群、不一定是群 C 、一定是群、一定是群 D 、 是交换群是交换群二、二、填空题填空题填空题((本大题共10小题，小题，每空每空3分，分，共共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个、凯莱定理说：任一个子群都同一个------------------------------同构。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内 选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群A 、◎B 、"C 、◎宀D 、旨,a ，a °2、下面的代数系统（G ，*）中，（ A 、G 为整数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、 设二1、二2、匚3是三个置换，其中二 1=（ 12）（ 23）（ 13）,二 2 二（24）（14）,匚3= （1324），则匚3=（）A 、匚 21B 、二 1 二 2C 二 22 D 、二 2二1 5、 任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正 确答案。
错填、不填均无分。
1、 凯莱定理说：任一个子群都同一个 ------ 同构'2、 一个有单位元的无零因子-----称为整环。
4）不是群B 、G 为偶数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与——同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6}那么A A B=-----。
&若映射「既是单射又是满射,则称：为----------------- 。
7、：•叫做域F的一个代数元，如果存在F的----- a o’a,，…，a.使得na o • a i 亠二亠aj =0。
8、a是代数系统（A,0）的元素，对任何A均成立x£=x，则称a为------ O9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法圭寸闭；结合律成立、----------- O10、------------------------------------------------- 一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是--------------------------------- O三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={l,（1 2）}，写出H的所有陪集。
近世代数期末考试试卷及答案1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则G的子集（）是子群.A、 aB、a, eC、e, a3D、e, a,a 32、下面的代数系统（ G，* ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法 B 、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法 D 、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14），3 =（ 1324），则3 =（）A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 11 25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）.A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ---------- 同构 .2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 .3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a4 的阶等于 ------.4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与------- 同构 .5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----.6、若映射既是单射又是满射，则称为----------------- .7、叫做域F的一个代数元，如果存在 F 的a0 , a1 ,, a n使得aa1 a nn0 .8、a是代数系统( A,0)的元素，对任何x A 均成立x ax，则称a为 --------- .9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 ---------.10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------.三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群， H 是 G的子群， H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.2、设 E 是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是 E 中的运算，（ E，?）是一个代数系统，问（ E，?）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若 <G，*> 是群，则对于任意的a、 b∈ G，必有惟一的 x∈ G使得 a*x ＝ b.2、设 m是一个正整数，利用m定义整数集 Z 上的二元关系： a? b 当且仅当 m︱ a– b.近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）.A、2阶B、3 阶C、4阶D、6阶2、设 G是群， G有（）个元素，则不能肯定G是交换群 .A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（ {2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),)5、设 S3＝ {(1) ， (12) ， (13) ， (23) ，(123) ，(132)} ，那么，在 S3 中可以与 (123) 交换的所有元素有（）A、(1) ， (123) ，(132) B 、 12) ，(13) ，(23)C、(1) ， (123) D 、 S3 中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、群的单位元是 -------- 的，每个元素的逆元素是 -------- 的 .2、如果f是 A 与A间的一一映射，a是 A 的一个元，则f1f a---------- .3、区间 [1 ， 2] 上的运算ab{min a,b}的单位元是 -------.4、可换群 G中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= —————————— .5、环 Z8的零因子有 ----------------------- .6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ---------- .7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 --------- .8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----------- .9、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为 -------- .三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1， S2是 A的子环，则 S1∩ S2也是子环 .S 1 +S2也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6.1．求和1；2．确定置换1的奇偶性 . 和四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e.近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题 .1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换.和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)B 1(A A) C1(A A)，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对2、解：设 A 是任意方阵，令 2 ， 2称矩阵，且AB C.若令有AB1C1 ，这里B1 和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B B1 ，C C1，所以，表示法唯一.3、答：（Mm，m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0 和 m.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G中任意元 x，y，由于(xy)2 e ，所以 xy ( xy) 1 y 1 x1yx（对每个 x，从x2 e 可得 x x 1 ）.2、证明在 F 里ab 1 b 1 a a (a, b R, b 0)bQ所有a(a,b R, b0)有意义，作 F 的子集 bQ显然是 R 的一个商域证毕.近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分).二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、{2} ；6、一一映射；7、不都等于零的元； 8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、解： H的 3 个右陪集为： {I,(1 2)} ，{(123) ，(1 3)} ，{(1 32) ，(23)}H的 3 个左陪集为： {I,(1 2)} ，{(1 2 3) ，(2 3)} ，{(1 3 2 ) ，(1 3 )}2、答：（ E，?）不是群，因为（ E，?）中无单位元 .3、解方法一、辗转相除法 . 列以下算式：a=b+102b=3× 102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代： 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的解 .若 x ∈G也是 a*x ＝ b 的解，则 x ＝e*x ＝(a － 1*a)*x ＝a－1*(a*x ) ＝a－1*b ＝ x. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的惟一解 .2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= ｛x∈ Z； m︱ x– a｝或者也可记为a，称之为模 m剩余类 . 若 m ︱a– b 也记为 a≡b(m).当 m=2时， Z2 仅含 2 个元： [0] 与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案 . 错填、不填均无分 .1、唯一、唯一；2、a； 3、 2； 4、 24；5、； 6、相等； 7、商群； 8、特征； 9、m n；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法. 用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共8 种 .2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈ S1∩S2 有 a-b, ab ∈ S1∩S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab ∈S1 和 a-b, ab ∈S2 ，因而 a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以 S1∩ S2 是子环 .S1+S2不一定是子环 . 在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 ．(1243)(56) ，1(16524 ) ；2．两个都是偶置换 .四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么 a 0，由理想的定义a 1a 1，因而R的任意元b b ?1这就是说=R，证毕 .2、证必要性：将 b 代入即可得 . 充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以 b=a-1.。
近世代数期末考试试卷及答案1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群.A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）.A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构.2、一个有单位元的无零因子-----称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------.4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构.5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----.6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------.7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα . 8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------.9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------.10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.2、设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E中的运算，（E，•）是一个代数系统，问（E，•）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b.2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b.近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、6阶有限群的任何子群一定不是（）.A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群.A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A 、(1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的.2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------.3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------.4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————.5、环Z 8的零因子有 -----------------------.6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------.7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------.8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------.9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ.1．求στ和στ-1；2．确定置换στ和στ-1的奇偶性. 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e .近世代数模拟试题一 参考答案一、单项选择题.1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、D ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I 或S=R ；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ可知σ为奇置换，τ为偶置换. σ和τ可以写成如下对换的乘积：)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ2、解：设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(21A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=.若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一.3、答：（m M ，m +）不是群，因为m M 中有两个不同的单位元素0和m.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）.2、证明在F 里)0,,(11≠∈==--b R b a b a a b ab有意义，作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有-Q 显然是R 的一个商域 证毕. 近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分).二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}2、答：（E，•）不是群，因为（E，•）中无单位元.3、解方法一、辗转相除法.列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b.所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解.若x'∈G也是a*x＝b的解，则x'＝e*x'＝(a－1*a)*x'＝a－1*(a*x')＝a－1*b＝x.所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解.2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类.若m ︱a–b也记为a≡b(m).当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、n m ；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法.用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种.2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2： 因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环.S1+S2不一定是子环.在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；2．两个都是偶置换.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b这就是说μ=R ，证毕.2、证 必要性：将b 代入即可得.充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1.。
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ d ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（c ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（d ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，abba b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
4、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。
那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-。
5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）①11--a bc ； ②11--a c ； ③11--bc a ； ④ca b 1-。
6、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。
如果6，那么G 的阶=G （ ） ①6； ②24； ③10； ④12。
7、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）①f 的同态核是1G 的不变子群； ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；③1G 的子群的象是2G 的子群； ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。
8、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ） ①若a 是零元，则b 是零元； ②若a 是单位元，则b 是单位元； ③若a 不是零因子，则b 不是零因子；④若2R 是不交换的，则1R 不交换。
9、下列正确的命题是（ ）①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。
10、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（ ） ①()()()F I I E I E :::=； ②()()()I E F I E F :::=；③()()()I F F E F I :::=； ④()()()F I I E F E :::=。
三、（2011年近世代数）填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。
每空1分，共10分）1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f1。
3、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A 。
4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n=，那么m 与n 存在整除关系为 。
5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
6、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π。
7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 。
8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么IR 是一个域当且仅当I 是 。
9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果 。
10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果 。
四、（2011年近世代数）改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。
指出错误1分，更正错误2分。
每小题3分，共15分）1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。
4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那么必有'd d =。
5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++nn a a a αα 。
五、（2011年近世代数）计算题（共15分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的所有子群。
2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈。
如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。
3、群G=(a),|a|=7，求出群G 的所有子群。
六、（2011年近世代数）证明题（每小题10分，共40分）1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶n b =，并且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =。
2、设R 为实数集，0,,≠∈∀a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈∀+→,,:),( ，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈∀=a R b a f G b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。
3、设1I 和2I 为环R 的两个理想，试证21I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。
4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。
5、整数环Z 中，证明（3，7）=(1) 6、证明：域是欧式环。
7、证明群同态定理第一条。
8、R[x]条件下，做映射：f ：g(x)=g(0),求证：在f 映射下R[x]与R 同构,并求其核。
多所高校近世代数题库答案一、（近世代数）判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10× × √ √ × √ √ √ × ×二、（近世代数）单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④ 三、（近世代数）填空题1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。
2、a 。
3、φ。
4、n m 。
5、变换群。
6、()13524。
7、R yx ay x iiii∈∑,,。
8、一个最大理想。
9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。
10、E 的每一个元都是F 上的一个代数元。
四、（近世代数）改错题1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。
结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。
消去律成立3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。
S=I 或S=R4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那么必有d=d ′。
一定有最大公因子；d 和d ′只能差一个单位因子5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++nn a a a αα 。
不都等于零的元近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
