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1、)125.0cos()(n n x π=的基本周期是 16 。
2、一个序列)(n x 的离散傅里叶变换的变换定义为∑-=-=10/2)()(N n Nnk j en x k X π3、对于M点的有限长序列，频域采样不失真恢复时域序列的条件是频域采样点数N 不小于M4、有界输入一有界输出的系统称之为 稳定系统 三、填空题（本大题10分，每小题2分）1、在对连续信号进行频谱分析时，频谱分析范围受 采样 速率的限制。
2、⎰∞∞-=ωωδd ( 1 。
3、对于一个系统而言，如果对于任意时刻0n ，系统在该时刻的响应仅取决于在时刻及其以前的输入，则称该系统为 因果 系统。
4、对一个LSI 系统而言，系统的输出等于输入信号与系统单位采样响应的线性 卷积 。
5、假设时域采样频率为32kHz ，现对输入序列的32个点进行DFT 运算。
此时，DFT 输出的各点频率间隔为 1000 Hz 。
四、计算题（本大题20分） 某两个序列的线性卷积为)5(3)3(2)2(2)1()()()()(-+-+-+-+=*=n n n n n n x n h n y l δδδδδ计算这两个序列的4点圆周卷积。
解：将序列)(rL n y l +的值列在表中，求n =0，1，2，3时这些值的和。
只有序列)(n y l 和)4(+n y l 在30≤≤n 区间内有非零值，所以只需列将30≤≤n 各列内的值相加，有)()(n h n y =④)3(2)2(2)1(4)()(-+-+-+=n n n n n x δδδδ五、分析推导题（本大题12分）如果)(n x 是一个周期为N 的周期序列，则它也是周期为2N 的周期序列，把)(n x 看作周期为N 的周期序列，其DFT 为)(1k X ，再把)(n x 看作周期为2N 的周期序列，其DFT 为)(2k X，试利用)(1k X 确定)(2k X 。
解：∑-==11)()(N n nkNWn x k X∑-==12022)()(N n nk NWn x k X令n m 2=，则N M 2=∑-==122)2()(N m kmMWm x k X =)2/(1k X六、证明题（本大题18分）一个有限冲击响应滤波器，它的单位采样相应)(n h 的长度为)12(+N 。
数字信号处理期末考试试题以及参考答案1.序列x(n)=cos(nπ/46)+sin(nπ/46)的周期为24.2.采样间隔T=0.02s，对连续信号xa(t)=cos(40πt)进行采样，采样所得的时域离散信号x(n)的周期为5.3.某线性移不变离散系统的单位抽样响应为h(n)=3nu(n)，该系统是因果不稳定系统。
4.采样信号的采样频率为fs，采样周期为Ts，采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期函数，周期为fs，折叠频率为fs/2.5.关于序列的傅里叶变换X(ejω)说法中，正确的是X(ejω)关于ω是周期的，周期为2π。
6.已知序列x(n)=2δ(n-1)+δ(n)-δ(n+1)，则X(ejω)ω=π的值为2.7.某序列的DFT表达式为X(k)=Σx(n)Wn=N-1nk，由此可看出，该序列的时域长度是N，变换后数字域上相邻两个频率样点之间的间隔为2π/M。
8.设实连续信号x(t)中含有频率40Hz的余弦信号，现用fs=120Hz的采样频率对其进行采样，并利用N=1024点DFT分析信号的频谱，得到频谱的谱峰出现在第341条谱线附近。
9.已知x(n)={1,2,3,4}，x((n+1) mod 6)=1，则x((-n) mod6)={2,1,0,0,4,3}。
10.下列表示错误的是(N应为序列长度)：(W_N(N-n)k-nkN/2=-W_Nn(k-N/2))2抽样点间的最大时间间隔T105s2fh在一个记录中的最小抽样点数N2fhT500个点。
3．（5分）简述FIR滤波器和IIR滤波器的区别。
答：FIR滤波器是一种只有前向通道的滤波器，其输出仅由输入和滤波器的系数决定，没有反馈路径。
而IIR滤波器则包含反馈路径，其输出不仅由输入和系数决定，还与滤波器的前一次输出有关。
因此，XXX滤波器具有线性相位和稳定性，而IIR滤波器则可能具有非线性相位和不稳定性。
4．（5分）简述FFT算法的基本思想和应用场景。
数字信号处理试题及答案一、 填空题(30分，每空1分）1、对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散时间 信号，再进行幅度量化后就是 数字 信号。
2、已知线性时不变系统的单位脉冲响应为)(n h ，则系统具有因果性要求)0(0)(<=n n h ,系统稳定要求∞<∑∞-∞=n n h )(。
3、若有限长序列x(n)的长度为N,h(n ）的长度为M ，则其卷积和的长度L 为 N+M—1。
4、傅里叶变换的几种形式:连续时间、连续频率—傅里叶变换；连续时间离散频率—傅里叶级数；离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换；散时间、离散频率-离散傅里叶变换5、 序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆上 的N 点等间隔采样.6、若序列的Fourier 变换存在且连续，且是其z 变换在单位圆上的值，则序列x （n ）一定绝对可和。
7、 用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要__256___次复乘法，采用基2FFT 算法,需要__32__ 次复乘法 。
8、线性相位FIR 数字滤波器的单位脉冲响应()h n 应满足条件()()1--±=n N h n h 。
9. IIR 数字滤波器的基本结构中, 直接 型运算累积误差较大； 级联型 运算累积误差较小； 并联型 运算误差最小且运算速度最高.10. 数字滤波器按功能分包括 低通 、 高通 、 带通 、 带阻 滤波器。
11. 若滤波器通带内 群延迟响应 = 常数，则为线性相位滤波器.12. ()⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A n x 73cos π的周期为 14 13. 求z 反变换通常有 围线积分法（留数法）、部分分式法、长除法等。
14. 用模拟滤波器设计IIR 数字滤波器的方法包括：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法.15. 任一因果稳定系统都可以表示成全通系统和 最小相位系统 的级联。
二、选择题(20分，每空2分）1。
数字信号处理试卷及答案1一、填空题（每空1分, 共10分）1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。
2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。
3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。
4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。
5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。
6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。
7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。
二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z变换是（ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 73．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT的是（ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完全不失真恢复原信号（ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统（ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n)7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 （ ）A. 实轴B.原点C.单位圆D.虚轴 8．已知序列Z变换的收敛域为｜z ｜>2，则该序列为（ ）A.有限长序列 B.无限长序列 C.反因果序列 D.因果序列9．若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是 ( ) A.N≥M B.N≤M C.N≤2M D.N≥2M10．设因果稳定的LTI 系统的单位抽样响应h(n)，在n<0时，h(n)= ( )A.0 B .∞ C. -∞ D.1 三、判断题（每题1分, 共10分）1．序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
数字信号处理试题及答案一、选择题1. 数字信号处理中的离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换的______。
A. 连续形式B. 离散形式C. 快速算法D. 近似计算答案：B2. 在数字信号处理中，若信号是周期的，则其傅里叶变换是______。
A. 周期的B. 非周期的C. 连续的D. 离散的答案：A二、填空题1. 数字信号处理中，______是将模拟信号转换为数字信号的过程。
答案：采样2. 快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的______算法。
答案：DFT三、简答题1. 简述数字滤波器的基本原理。
答案：数字滤波器的基本原理是根据信号的频率特性，通过数学运算对信号进行滤波处理。
它通常包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等类型，用于选择性地保留或抑制信号中的某些频率成分。
2. 解释什么是窗函数，并说明其在信号处理中的作用。
答案：窗函数是一种数学函数，用于对信号进行加权，以减少信号在离散化过程中的不连续性带来的影响。
在信号处理中，窗函数用于平滑信号的开始和结束部分，减少频谱泄露效应，提高频谱分析的准确性。
四、计算题1. 给定一个信号 x[n] = {1, 2, 3, 4}，计算其 DFT X[k]。
答案：首先，根据 DFT 的定义，计算 X[k] 的每个分量：X[0] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10X[1] = 1 - 2 + 3 - 4 = -2X[2] = 1 + 2 - 3 - 4 = -4X[3] = 1 - 2 - 3 + 4 = 0因此，X[k] = {10, -2, -4, 0}。
2. 已知一个低通滤波器的截止频率为0.3π rad/sample，设计一个简单的理想低通滤波器。
答案：理想低通滤波器的频率响应为：H(ω) = { 1, |ω| ≤ 0.3π{ 0, |ω| > 0.3π }五、论述题1. 论述数字信号处理在现代通信系统中的应用及其重要性。
答案：数字信号处理在现代通信系统中扮演着至关重要的角色。
【最新整理，下载后即可编辑】==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1.①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15}2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
（1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-= （2）)81(j e)(π-=n n x解： （1） 因为ω=73π, 所以314π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。
（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。
3.加法乘法序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。
移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。
②尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。
卷积和：①h(n)*求x(n)，其他02n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤=}23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)=②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n )x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)解得y (n )={2,7,19,28,29,15}③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=}{1,4,6,5,2答案：x(n)=4. 如果输入信号为，求下述系统的输出信号。
数字信号处理历年考试习题整理一. 填空题1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。
2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。
3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。
4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。
5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的混叠现象。
6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。
7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。
8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。
9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。
10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。
12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m(n)表示，其数学表达式为x m(n)=x((n-m))N R N(n)。
13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。
14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。
15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。
16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，串联型和并联型四种。
A一、选择题（每题3分，共5题） 1、 )63()(π-=n j en x ，该序列是 。
A.非周期序列B.周期6π=NC.周期π6=ND. 周期π2=N2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。
A.a Z <B.a Z ≤C.a Z >D.a Z ≥3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()( =⋅=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ，n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。
A.70≤≤nB.197≤≤nC.1912≤≤nD.190≤≤n4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N满足 。
A.16>NB.16=NC.16<ND.16≠N5.已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜<1，则该序列为 。
A.有限长序列 B.右边序列 C.左边序列 D.双边序列 二、填空题（每题3分，共5题）1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再进行幅度量化后就是 信号。
2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须 ，这就是奈奎斯特抽样定理。
3、对两序列x(n)和y(n)，其线性相关定义为 。
4、快速傅里叶变换（FFT ）算法基本可分为两大类，分别是： ； 。
5、无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型， ，______ 和______ 四种。
三、1)(-≤≥⎩⎨⎧-=n n ba n x nn 求该序列的Z 变换、收敛域、零点和极点。
（10分）四、求()()112111)(----=zz Z X ，21<<z 的反变换。
数字信号处理试题和答案⼀. 填空题1、⼀线性时不变系统，输⼊为 x（n）时，输出为y（n）；则输⼊为2x（n）时，输出为 2y(n) ；输⼊为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。
2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最⾼频率fmax 关系为： fs>=2fmax。
3、已知⼀个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅⽴叶变换为X（e jw），它的N点离散傅⽴叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。
4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。
5、⽤脉冲响应不变法进⾏IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产⽣的现象。
6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中⼼是 (N-1)/2 。
7、⽤窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗⽐加三⾓窗时，所设计出的滤波器的过渡带⽐较窄，阻带衰减⽐较⼩。
8、⽆限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。
9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。
10、⽤窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，⽽周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。
12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列⽤xm (n)表⽰，其数学表达式为xm(n)=x((n-m))N RN (n)。
13．对按时间抽取的基2-FFT流图进⾏转置，并将输⼊变输出，输出变输⼊即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。
14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。
15.⽤DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。
16.⽆限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，串联型和并联型四种。
数字信号处理试题及答案1. 试题1.1 选择题1. 设x(n)为长度为N的实序列，其中0≤n≤N-1。
要将其进行离散傅立叶变换（DFT），DFT的结果为X(k)，其中0≤k≤N-1。
以下哪个式子为正确的傅立叶变换公式？A. X(k) = ∑[x(n) * exp(-j2πkn/N)]，0≤k≤N-1B. X(k) = ∑[x(n) * exp(-j2πnk/N)]，0≤k≤N-1C. X(k) = ∑[x(n) * exp(-jπkn/N)]，0≤k≤N-1D. X(k) = ∑[x(n) * exp(-jπnk/N)]，0≤k≤N-12. 在基于FFT算法的离散傅立叶变换中，当序列长度N为2的整数幂时，计算复杂度为：A. O(N^2)B. O(NlogN)C. O(logN)D. O(N)3. 对于一个由N个采样值组成的序列，它的z变换被定义为下式：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)]，其中n取0至N-1以下哪个选项正确表示该序列的z变换？A. X(z) = X(z)e^(-i2π/N)B. X(z) = X(z)e^(-iπ/N)C. X(z) = X(z^-1)e^(-i2π/N)D. X(z) = X(z^-1)e^(-iπ/N)1.2 简答题1. 请简要说明数字信号处理（DSP）的基本概念和应用领域。
2. 解释频率抽样定理（Nyquist定理）。
3. 在数字滤波器设计中，有两种常见的滤波器类型：FIR和IIR滤波器。
请解释它们的区别，并举例说明各自应用的情况。
2. 答案1.1 选择题答案1. B2. B3. D1.2 简答题答案1. 数字信号处理（DSP）是一种利用数字计算机或数字信号处理器对信号进行采样、量化、处理和重建的技术。
它可以应用于音频处理、图像处理、通信系统、雷达系统等领域。
DSP可以实现信号的滤波、变换、编码、解码、增强等功能。
2. 频率抽样定理（Nyquist定理）指出，为了正确地恢复一个连续时间信号，我们需要对其进行采样，并且采样频率要大于信号中最高频率的两倍。
《数字信号处理》计算型试题解答A 卷三、（15分）已知LSI 离散时间系统的单位抽样响应为：⑴ 求该系统的系统函数)(z H ，并画出零极点分布图； ⑵ 写出该系统的差分方程。
解：⑴ 系统的系统函数)(z H 是其单位抽样响应()h n 的z 变换，因此：11111071113333():111111211242424z z z z z H z ROC z z z z z z z ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+==>⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 零点：1,03z =- 极点：11,24z = 零极点分布图：()10171()3234n n h n u n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⑵ 由于()1112111111()333111()1114824z z Y z H z X z z z z z ------++===⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以系统的差分方程是311()(1)(2)()(1)483y n y n y n x n x n --+-=+-四、（15分） 已知序列()x n 的z 变换为求其可能对应的几种不同ROC 的z 反变换。
Im[]j z 2()341zX z z z =-+解：1121211()34134(1)(3)z z z X z z z z z z z ------===-+-+-- 设11()13A BX z z z--=+-- 有111131(1)()23(3)()2z z A z X z B z X z -=-==-==-=-故111111()121213X z z z --⎛⎫⎪⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭ 由于()X z 有两个极点：11,3z z ==。
所以()X z 的三个不同ROC 分别为：ROC1:z 11ROC2:z 131ROC3:z 3><<<于是可得()X z 的三个不同的ROC 对应的序列分别为：111ROC1:z 1()()()2231111ROC2:z 1()(1)()32231111ROC3:z ()(1)(1)3223nnn x n u n u n x n u n u n x n u n u n ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭⎛⎫<<=---- ⎪⎝⎭⎛⎫<=---+-- ⎪⎝⎭五、（10分）已知一因果系统差分方程为()3(1)()y n y n x n +-=，求：⑴ 系统的单位脉冲响应()h n ； ⑵ 若2()()()x n n n u n =+，求()y n 。
解：⑴ 对差分方程两边取z 变换： 1()3()()Y z z Y z X z -+= 系统函数：1()1()()133Y z zH z X z z z -===++ 对系统函数)(z H 求z 反变换即得单位抽样响应()h n ：()()()3nh n u n =-⑵ 当2()()()x n n n u n =+时，有 ()()()231()(1)11z z zX z z z z +=+>--用z 变换法求系统的响应()y n()()()()()2333()()()13112(3)31Y z H z X z z z z zz z z z z z z =⎡⎤+=+⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦=>+-用留数法求()y n ：()()2132()31n n z Y z zz z +-=+-()()()()2223213222212()2!311(2)(1)213()()324832138209()32n n z z n n z d z y n dz z z n n n u n u n n n u n ++==-++⎡⎤=+⎢⎥+-⎣⎦+++⎡⎤=--+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+++⎣⎦六、（15分） 已知序列8()()x n R n =，求)(n x 的32点DFT 和64点DFT 。
解：求()x n 的DTFT ：()()()()44478720222sin 411sin /2j j j j j j j nj j j j n ee e e X e e e e e e e ωωωωωωωωωωωωω--------=--====-⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 求)(n x 的32点DFT ：()()2327216732sin 4161sin 216sin 4sin 32j k j k jk X k X e k ek k ek ωπωππππππ=-⋅-=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭求)(n x 的64点DFT ：()()2647232764sin 4321sin 232sin 8sin 64j k j k jk X k X e k ek k ek ωπωππππππ=-⋅-=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭七、（10分）已知[]50()DFT ()117k X k x n k =⎧==⎨≤≤⎩，求()I D F T [()]xn Xk =。
解：2178017447444777788844811()IDFT [()]()518111155881111155881N j nk nk Nk k j n j n j n j n j n j n j n j nj n j n j n j x n X k X k We Ne e e e e e e e e e e e πππππππππππ--==----⎡⎤===+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫-⎡⎤⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤--⎢⎥=+=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑ ()8877sin sin 11885510788sin sin 88n j n n j n e n n e n n n ππππππ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=+-≤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即()[1.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5]x n =解法二：()14()07X k k k δ=+≤≤因为[]DFT ()1n δ=，而1的N 点DFT 为()N k δ 所以 4()IDFT [()]()()0.5078x n X k n n n δδ==+=+≤≤八、（15分）已知两个4点序列分别为[][]12()1,2,0,1,()2,2,1,1x n x n ==，试利用一次4点DFT 运算来同时计算[]11()()DFT x n X k =和[]22()()DFT x n X k =。
解： 利用两个4点实序列构造一个复序列 []12()()()12,22,,1w n x n jx n j j j j =+=+++ 则[]3023444440()()()(0)(1)(2)(3)nk k k k n W k DFT w n w n W w W w W w W w W ====+++∑2424jjW eej ππ--===-00004444012344440246444403694444(0)(0)(1)(2)(3)46(1)(0)(1)(2)(3)2(2)(0)(1)(2)(3)2(3)(0)(1)(2)(3)2W w W w W w W w W jW w W w W w W w W W w W w W w W w W W w W w W w W w W j=+++=+=+++==+++=-=+++=[]()46,2,2,2W k j j ∴=+- [][]4444(())()46,2,2,2(())()46,2,2,2W k R k j j W N k R k j j *=+--=---[][][]{}[][]111444()Re ()()()Re ()()1(())(())()218,22,4,2224,1,2,1ep x n w n X k DFT x n DFT w n W k W k W N k R k j j j j *====⎡⎤=+-⎣⎦=--+=--+由得[][][]{}[][]222444()Im ()1()()Im ()()1(())(())()2112,22,0,2226,1,0,1op x n w n X k DFT x n DFT w n W k jW k W N k R k j j j j jj j *====⎡⎤=--⎣⎦=+-+=-+由得B 卷一、（12分） 试判断系统 )()]([0n n x n x T -= 是否为：⑴ 线性系统；⑵ 移不变系统；⑶ 因果系统；⑷ 稳定系统。
解：⑴)]([)]([)()()]()([21020121n x bT n x aT n n bx n n ax n bx n ax T +=-+-=+满足叠加原理 ∴ 是线性系统。
⑵ )()()]([0m n y n m n x m n x T -=--=- ∴ 是移不变系统。
⑶ 当00≥n 时，输出与未来输入无关，是因果系统。
当00<n 时，输出取决于未来输入，是非因果系统。
⑷ ∞<≤-∞<≤M n n x M n x )(,)(0则若 ∴ 是稳定系统。
二、（15分） 有一调幅信号)6002cos()]1002cos(1[)(t t t x a ⨯⨯+=ππ用DFT 做频谱分析，要求能分辨)(t x a 的所有频率分量，问： ⑴ 抽样频率应为多少赫兹（Hz ）? ⑵ 抽样时间间隔应为多少秒（Sec ）? ⑶ 抽样点数应为多少点？ 解：)6002cos()]1002cos(1[)(t t t x a ⨯⨯+=ππ)5002cos(21)7002cos(21)6002cos(t t t ⨯+⨯+⨯=πππ⑴ 抽样频率应为 Hz f s 14007002=⨯≥。
⑵ 抽样时间间隔应为 ms Sec f T s 71.000071.0140011===≤ ⑶ 61715()()cos(2)cos(2)cos(2)14214214a t nTx n x t n n n πππ===⨯+⨯+⨯ ()x n 为周期序列，周期14N =。
∴抽样点数至少应为14点。
或 因为频率分别为500、600、700 Hz ，得 0100F Hz = 0140014100s f N F === ∴最小记录点数 14N =。
三、（18分） 已知离散LSI 系统的差分方程： )1(31)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y⑴ 求系统的系统函数)(z H ，并画出零极点分布图； ⑵ 若该系统是因果稳定的，写出)(z H 的收敛域； ⑶ 求该因果稳定系统的单位抽样响应。
解：⑴ 对差分方程两边取z 变换：121311()()()()()483Y z z Y z z Y z X z z X z ----+=+ 系统函数：1112111111()33()3111()1114824z z Y z H z X z z z z z ------++===⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭零点：1,03z =- 极点：11,24z = 零极点分布图：⑵ 由于系统是因果稳定系统，故收敛域：12z >⑶ 对系统函数)(z H 求z 反变换即得单位抽样响应()h n 。
