北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之导数解答题word版含答案

北京市西城区高三毕业班第二次模拟测试文科数学试题&参考答案第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|11}A x x =∈-<<R ，{|(2)0}B x x x =∈⋅-<R ，那么A B = （A ）{|01}x x ∈<<R （B ）{|02}x x ∈<<R （C ）{|10}x x ∈-<<R（D ）{|12}x x ∈-<<R2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是 （A ）(3,2)（B ）(3,2)-（C ）(4,6)（D ）(4,6)-3．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x =（C ）211y x =+ （D ）y 4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则 （A ）1±（B ）2±（C ）4±（D ）8±5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11a b<”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A（B（C ）2 （D）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为 （A ）43（B ）2 （C ）83（D ）48．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____． 10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a 1b =，则c =____．12．已知圆22:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．13．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+． （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且π()2sin()4f ββ=+，求β的值． 16．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由． 17．（本小题满分13分）设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记n n n c a b =+，1,2,3,n =．（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，ED M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：ED CD ⊥； （Ⅱ）求证：//AD MN ；（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由． 19．（本小题满分13分）B 餐厅分数频数分布表已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由；（Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．A 3．D4．C 5．D6．B7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．12i +10．711．212．22(2)(2)1x y -+-=13．2-；114．4；42 注：第13、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分]所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2sin()44ββ+=+． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++．① [ 7分] 因为β是锐角，所以 ππ3π444β<+<，[ 8分] 所以πsin()04β+>，[ 9分]①式化简为π1cos()42β+=． [10分]所以 ππ43β+=，[12分]所以π12β=． [13分] 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=． [ 3分]（Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12M ,M ；对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123N ,N ,N ． 从这5人中随机选出2人的选法为：12(M ,M )，11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，12(N ,N )，13(N ,N )，23(N ,N )，共10种．[ 7分]其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，共6种．[ 9分]故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P ==．[10分] （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20， 所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%． B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%． 所以会选择B餐厅用餐． [13分]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 21n a n =-．[ 2分]因为 {}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列， 所以1n n b q -=．[ 4分]所以121n n n n c a b n q -=+=-+．[ 5分] 因为 {}n c 是等差数列， 所以2132c c c =+，[ 6分]即 22(3)25q q +=++，解得 1q =．[ 7分]经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列．[ 8分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知121(1,2,)n n c n q n -=-+=．所以121111111(21)nnnnnnk k n k k k k k k k k k S c a b k qn q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．[10分]当1q =时，2n S n n =+．[11分]当1q ≠时，211n n q S n q -=+-．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥．[ 1分]又因为CD EA ⊥，[ 2分] 所以CD ⊥平面EAD ．[ 3分] 所以ED CD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 5分]所以//AD 平面FBC ．[ 7分] 又因为平面ADMN 平面FBC MN =，所以//AD MN ．[ 8分]（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[ 9分]连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．[10分] 所以AD DM ⊥．因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．[11分] 因为平面ADMN 平面BCF MN =， 若使平面ADMN ⊥平面BCF ，则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥．[12分]在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==．所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点． 所以12FM FC =．[14分] 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x x x '=-+-．[ 2分]当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分] 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解．令2110(2)x x -+=-，整理得2540x x -+=，解得1x =，或4x =．所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要0a >均符合要求．（Ⅱ）由（Ⅰ）得 21()(2)a f x xx '=-+-．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <．由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．[ 8分]()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ．[10分]2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----． [11分]因为1202x x <<<，且0a >，所以21022a a x x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．[13分]20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ． 因为椭圆C ， 所以 2222222112c a b b a a a -==-=， 即 222a b =．[ 1分] 由22222,211,a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩[ 3分] 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．[ 4分] （Ⅱ）将y x m =+代入22142x y +=， 消去y 整理得2220x m +-=．[ 5分]令2224(2)0m m ∆=-->，解得22m -<<．设1122(,),(,)A x y B x y ．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB ==[ 6分]点P 到直线0x -=的距离为d ==． [7分]所以PAB △的面积12S AB d =⋅=，[ 8分]当且仅当m =时，S =．所以PAB △的面积的最大值是．[ 9分]（Ⅲ）||||PM PN =．证明如下：[10分]设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，则12k k +==[11分]由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x -+--0=，所以直线PA ，PB 的倾斜角互补．[13分]所以12∠=∠，所以PMN PNM ∠=∠．所以||||．[14分] PM PN。

三、导数及其应用1、（2011丰台二模文11）若[0,2]x ∈π，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是 （0，π） （开闭均可）．2、（2011海淀二模文14）已知函数'()f x 、'()g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示: ①若(1)1f =，则(1)f -= 1 ；② 设函数()()(),h x f x g x =-则(1),(0),(1)h h h -的大小关系为 (0)(1)(1)h h h <<-.（用“<”连接）1、(2011朝阳二模理18)（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x x a =+-，a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在1[, 2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数)(x f 的极值点.解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞. ……………………………1分因为1()20f x x x'=+>，所以()f x 在[1,]e 上是增函数， 当1x =时，()f x 取得最小值(1)1f =.所以()f x 在[1,]e 上的最小值为1. ……………………………3分（Ⅱ）解法一：21221()2()x ax f x x a x x-+'=+-=设2()221g x x ax =-+， ……………………………………4分)x依题意，在区间1[, 2]2上存在子区间使得不等式()0g x >成立. ……………5分 注意到抛物线2()221g x x ax =-+开口向上，所以只要(2)0g >，或1()02g >即可 ……………………………………6分由(2)0g >，即8410a -+>，得94a <， 由1()02g >，即1102a -+>，得32a <，所以94a <，所以实数a 的取值范围是9(, )4-∞. ……………………………………8分解法二：21221()2()x ax f x x a x x-+'=+-=， ……………………………4分依题意得，在区间1[, 2]2上存在子区间使不等式22210x ax -+>成立.又因为0x >，所以12(2)a x x<+. ……………………………………5分设1()2g x x x=+，所以2a 小于函数()g x 在区间1[, 2]2的最大值.又因为21()2g x x'=-，由21()20g x x '=->解得x >；由21()20g x x '=-<解得0x <<.所以函数()g x 在区间( 2)2上递增，在区间1(,22上递减. 所以函数()g x 在12x =，或2x =处取得最大值. 又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，94a <所以实数a 的取值范围是9(, )4-∞. ……………………………………8分（Ⅲ）因为2221()x ax f x x-+'=，令2()221h x x ax =-+①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x没有极值点； ……………………………………9分②当0a >时，（ⅰ）当0∆≤，即0a <时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，此时，函数()f x 没有极值点； ……………………………………10分（ⅱ）当0∆>，即a >易知，当22a a x +<<时，()0h x <，这时()0f x '<；当0x <<或x >()0h x >，这时()0f x '>；所以，当a >x =是函数()f x 的极大值点；x =是函数()f x 的极小值点. ……………………………………12分综上，当a ()f x 没有极值点；当a >x =是函数()f x 的极大值点；x =是函数()f x 的极小值点. ………2、（2011昌平二模理19）.(本小题满分14分) 已知函数32ln )(+-=ax x a x f （0≠a ）. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ）函数)(x f y =的图像在2=x 处的切线的斜率为,23若函数])([31)('23m x f x x x g ++=，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围。

海淀区高三年级第二学期期末练习数学(文科） ﻩﻩ 2０１８.5第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1）已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则()U A B =(A){1} （B ）{3,5} （C){1,6} (D ）{1,3,5,6} （２)已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则(Ａ) 1i z =-+ （B ） 1i z =+ (C) +i z 是实数 （Ｄ） +i z 是纯虚数 （３）若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴,则a 的值为 （A)1 （Ｂ） 1- (C ）2 (D) 2-(4）已知0x y >>，则 (Ａ)11x y> ﻩ（Ｂ） 11()()22x y >（C) cos cos x y >ﻩ（D ） ln(1)ln(1)x y +>+（5)如图，半径为1的圆内有一阴影区域,在圆内随机撒入一大把豆子,共n 颗,其中落在阴影区域内的豆子共m 颗,则阴影区域的面积约为(A)m n （B) n m (C)m n π （D) n mπ（6)设C 是双曲线，则 “C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的 （Ａ)充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件 (Ｃ）充分必要条件 (D ）既不充分也不必要条件(7）某校为了解高一年级30０名学生对历史、地理学科的选课情况,对学生进行编号,用1,2，……30０表示,并用(,i i x y ）表示第i 名学生的选课情况．其中01,i i i x ⎧=⎨⎩第名学生不选历史第名学生选历史，,01,i i i y ⎧=⎨⎩第名学生不选地理第名学生选地理.， 根据如图所示的程序框图,下列说法中错误的是 (Ａ）m 为选择历史的学生人数 （B)n 为选择地理的学生人数（C)S 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数（D ）S 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和(8）如图,已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()(0)g x kx m m =+>,则函数()()()F x g x f x =- （Ａ)有极小值,没有极大值 （B)有极大值,没有极小值（C)至少有两个极小值和一个极大值 （D ）至少有一个极小值和两个极大值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共3０分。

【海淀】20．（本小题满分13分）已知函数2()xa x f x e -=，其中0a >．（Ⅰ）当=3a 时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程； （Ⅱ）求证：当0x >时，2()f x e >-．20．解：（Ⅰ）因为()xa xf x -=e 2所以'()xx x af x --=e 22当a =3时，'()xx x f x --=e223所以'()f -=10，而()f -=e 12曲线()y f x =在(1,(1))f --处的切线方程为2e y = （Ⅱ）法一：因为'()xx x af x --=e 22，令'()f x =0得,x a x a =+=++121111显然当a >0时，,x x <>1202所以x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞上的变化情况如下表:所以()f x 在区间(,)x 20上单调递减，在(,)x +∞2单调递增， 所以()f x 在(,)+∞0上的最小值为()f x 2，所以只需证明()f x >-e22因为x x a --=22220，所以()x x a x x f x --==e e2222222 设()x xF x -=e2，其中2x >所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121当x >2时，'()F x >0，所以()F x 在区间(,)+∞2单调递增， 因为x >22，所以()())(F x x F f >-==e2221，问题得证 法二：因为a >0，所以当x >0时，()x x a x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中0x >所以()'()x xx x x x F x -=-=e e222 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:所以()F x 在区间(,)02上单调递减，在(,)+∞2上单调递增， 所以函数()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时2()e F x >- 所以()()f x F x >>-e2，问题得证法三：因为“对任意的x >0，22e exa x ->-”等价于“对任意的x >0，220e e x a x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x a x +->”，故只需证“x >0时，22e e()0x a x +->” 设2()2e e()x g x a x =+-，其中0x ≥所以'()2e 2e xg x x =-设()'()h x g x =，'()2e 2e xh x =-,令'()0h x =，得1x =所以x ，'()h x ，()h x 的变化情况如下表:所以()h x 在1x =处取得极小值，而(1)2e 2e 0h =-= 所以()0h x ≥所以x >0时，'()0g x ≥，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增，得g()(0)x g > 而(0)20g =>，所以()0g x >问题得证【西城】20．（本小题满分13分）已知函数，其中． （Ⅰ）如果曲线与x 轴相切，求的值； （Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围． 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得， ……………… 1分 因为曲线与x 轴相切，所以此切线的斜率为0，……………… 2分 由，解得，又由曲线与x 轴相切，得， 解得.……………… 3分（Ⅱ）由题意，，令函数， ……………… 4分求导，得， 由，解得，当x 变化时，与的变化情况如下表所示：()ln f x x x a =-+a ∈R ()y f x =a ln2e a =()f x x ≤2()()=f xg x x(1,e)a 11()1-'=-=xf x x x()y f x =()0'=f x 1=x ()y f x =(1)10f a =-+=1=a ()ln ln 2e f x x x =-+()()ln 2ln 2e F x f x x x x =-=-+112()2-'=-=xF x x x()0'=F x 12=x ()'F x ()F x所以函数在上单调递增，在上单调递减， ……………… 6分故当时，，所以任给，，即. ……………… 7分（Ⅲ）由题意，得， 求导，得， 因为，所以与的正负号相同.…… 8分 对求导，得， 由，解得. 当x 变化时，与的变化情况如下表所示：所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为，，所以；. ……………… 10分 如果函数在区间上单调递增，则当时，. 所以在区间上恒成立，即，解得，且当时，的解有有限个，即当函数在区间上单调递增时，； ○1………… 11分 如果函数在区间上单调递减，则当时，， 所以在区间上恒成立，即，解得，且当时，的解有有限个，所以当函数在区间上单调递减时，. ○2………… 12分 ()F x 1(0,)2(,)2+∞12=x max11()()ln 1ln 2022F x F ==-+=e (0,)∈+∞x ()()0F x f x x =-≤()f x x ≤22()ln ()-+==f x x x ag x x x 32ln 12()-+-'=x x ag x x(1,e)x ∈()g x '()2ln 12h x x x a =-+-()h x 22()1-'=-=x h x x x()0'=h x 2=x ()h x '()h x x (1,2)2(2,e)()h x (1,2)(2,e)(1)22h a =-(e)e 12h a =--min ()(2)32ln 22h x h a ==--max ()(1)22h x h a ==-2()()=f xg x x(1,e)(1,e)x ∈()0≥'g x ()0h x ≥(1,e)min0()(2)32ln 22h x h a ==--≥3ln 22≤-a 3ln 22=-a ()0g x '=()g x (1,)e 3ln 22≤-a 2()()=f xg x x(1,e)(1,e)x ∈()0≤'g x ()0h x ≤(1,e)max 0()(1)22h x h a ==-≤1≥a 1=a ()0g x '=()g x (1,)e 1≥a因为函数在区间上不是单调函数， 结合○1○2，可得，所以实数的取值范围是.……………… 13分【东城】（19）（本小题13分） 已知函数21()2x f x axe x x =--，a ∈R ． (Ⅰ) 当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ) 求()f x 的单调区间． （19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ,'()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-．当1a =时，'(0)0f =，(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0y =．………………………..7分 (Ⅱ) '()(1)1(1)(1)xxf x ae x x x ae =+--=+-. (1) 当0a £时，10x ae -<，所以当1x >-时，'()0f x <；当1x <-时，'()0f x >. 所以()f x 的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞).(2) 当0a >时，令'()0f x =，得11x =-，2ln x a =-.①当ln 1a -=-，即a e =时，'()0f x ³，所以()f x 的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间； ②当ln 1a -<-，即a e >时，当ln 1a x -<<-时，'()0f x <；当ln 1x a x <->-或时，'()0f x >.2()()=f x g x x (1,e)3ln 212-<<a a 3ln 212-<<a所以()f x 的单调递减区间为(ln ,1)a --，单调递增区间为(,ln )a -?，(1,)-+?；③当ln 1a ->-，即0a e <<时，当1ln x a -<<-时，'()0f x <；当1ln 或x x a <->-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(1,ln )a --，单调递增区间为(,1)-?，(ln ,)a -+?. …………………………………………………………………………………………13分【朝阳】20. （本小题满分13分） 已知函数2()e (1)(0)2x mf x x x m =-+≥. （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值； （Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围. 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当0m =时：()(1)e xf x x '=+，令()0f x '=解得1x =-，又因为当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，函数()f x 为增函数.所以，()f x 的极小值为1(1)ef -=-. ……………3分 （Ⅱ）()(1)(e )xf x x m '=+-. 当0m >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x m =.(ⅰ)若1em =，则1()(1)(e )0e x f x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增；（ⅱ）若1em >，则ln 1m >-.故当()0f x '>时，1ln x x m <->或；当()0f x '<时，1ln x m -<<.所以()f x 在(),1-∞-，()ln ,m +∞单调递增，在()1,ln m -单调递减. (ⅲ)若10em <<，则ln 1m <-.故当()0f x '>时，ln 1x m x <>-或； 当()0f x '<时，ln 1m x <<-.所以()f x 在(),ln m -∞，()1,-+∞单调递增，在()ln ,1m -单调递减. …………………8分（Ⅲ）（1）当0m =时，()e xf x x =，令()0f x =，得0x =.因为当0x <时，()0f x <，当0x >时，()0f x >， 所以此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点. （2）当0m >时： （ⅰ）当1em =时，由（Ⅱ）可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增，且1(1)0e f -=-<，2(1)e 0e f =->，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.（ⅱ）当1em >时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，又(ln )(1)0f m f <-<， 只需讨论(1)e 2f m =-的符号：当1ee 2m <<时，(1)0f >，()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点； 当e2m ≥时，(1)0f ≤，函数()f x 在区间()1-∞，上无零点.(ⅲ)当10e m <<时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，(1)e 20f m =->，2(ln )ln 022m mf m m =--<，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.综上所述，e02m ≤<. …………………13分【丰台】20．（本小题13分）已知函数()sin f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)2x π∈时，310()6f x x <<.20．（共13分）解：（Ⅰ）因为()1cos f x x '=-.所以()12f π'=，()122f ππ=-，所以曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程1()22y x ππ-+=-.整理得：10x y --= ………………5分 （Ⅱ）先证()0f x >.因为()1cos f x x '=-，(0,)2x ∈π，所以()0f x '>.所以函数()f x 在(0,)2π上单调递增，所以()(0)0f x f >=，即sin 0x x ->.① ………………8分 再证31()6f x x <. 设()31()6g x f x x =-，则21()1cos 2g x x x '=--，设21()1cos 2h x x x =--，则()sin h x x x '=-，由①可知()0h x '<，所以()h x 在(0,)2π上单调递减， ()(0)0h x h <=.所以(0,)2x π∈时，()0g x '<.所以()g x 在(0,)2π上单调递减，()(0)0g x g <=.即()316f x x <.②综合①②可知:当(0,)2x ∈π时，()3106f x x <<. ………………13分【石景山】20. （本小题13分）已知函数()()ln f x x a x =+．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 20.（本小题13分）解：（Ⅰ）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.(1)1,(1)0f f '==， 所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-. （Ⅱ）()f x 有极小值⇔函数()f x '有左负右正的变号零点.()1()ln ln 1af x x x a x x x'=++=++令()()g x f x '=，则221()a x ag x x x x-'=-=令()0g x '=，解得x a =. ,(),()x g x g x '的变化情况如下表：① 若ln 20a +≥，即2a e -≥，则()0g x ≥，所以()f x '不存在变号零点，不合题意. ② 若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，(1)10g a =+>.所以0(,1)x a ∃∈，使得0()0g x =；且当0(,)x a x ∈时，()0g x <，当0(,1)x x ∈时，()0g x >. 所以当(,1)x a ∈时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：所以20a e -<<.。

2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

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第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)-=-a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b （D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=-A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（4）设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（A ）30-=m n （B ）30-=m n （C ）30+=m n （D ）30+=m n （7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan -x （B ）1tan --x （C ）tan (1)--x （D ）tan (1)-+x （8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm （D ）348cm （9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)-（B ）[2,1)-（C ）3(3,)2-（D ）3[2,)2-（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2013.5本试卷共4页,150分。

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—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2 已知a =ln21,b=sin 21,c=212-，则a,b ，c 的大小关系为A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005 下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.f(x) =x 2 +xB.f(x) = |lnx|C.f(x) =xsinxD.f(x) =e x +e -x6 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.1+1+2俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若m=54，则a 5＝3 B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C.若m ={}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 复数ii-12=______ 10 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11 已知数列{a n }是等比数列，且a 1 .a3 =4,a 4=8,a 3的值为____. 12 直线y= x+1被圆x 2-2x +y 2-3 =0所截得的弦长为_____ 13 已知函数f(x)=sin()10)(62<<-ωπωx 的图象经过点[0,π]上的单调递增区间为________14 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-+≥-)1(10401x k y y x y 其中k 0,>∈k R(I)当k=1时的最大值为______； (II)若2x y的最大值为1，则实数a 的取值范围是_____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15 (本小题满分13分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (I)若a 1=1，S 10= 100，求{a n }的通项公式。

北京市东城区高三第二次模拟考试文科数学试题&参考答案学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。

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第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知全集是实数集.右边的韦恩图表示集合与关系，那么阴影部分所表示的集合可能为A ．B ．C ．D ． 2．已知向量，，且，那么的值为A ．B ．C ．D ． 3．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是U R {|2}M x x =>{|13}N x x =<<{}2x x <{}12x x <<{}3x x >{}1x x ≤(1,2)=a (,4)x =b ⊥a b x 2-4-8-16-[-1,1]A ．B ．C ．D ．4．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为A ．B ．C ．D ． 5．已知，那么“”的充分必要条件是A ．B ．C ．D ．6．已知直线与圆相交于，两点，且(其中为原点)，那么的值是A B C D ．7．日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．下图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为A Bx x f sin )(=()|1|f x x =+()f x x =-()cos f x x =0,2,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩1248,R x y ∈x y >22x y >lg lg x y >11x y>22x y >(0)x y m m +=>122=+y x P Q ︒=∠120POQ O m 32223C D8．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水(，单位：L). 现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计. 设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精(单位：L)，下列关于数,列的说法正确的是A ．当时，数列有最大值B ．设，则数列为递减数列C ．对任意的，始终有D ．对任意的，都有第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学（文科）2013.05学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．第Ⅰ卷（选择题共40分）1、 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，{|22,}B x x x =-<<∈R ，那么集合AB 是（ ）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x 的值等于（ ） A ．0.754 B ．0.048C ．0.018D ．0.0123、 ()2203log 0x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，，，则()()1f f -等于（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．44、 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、 已知命题:p x ∀∈R ，()sin πsin x x -=；命题:q α，β均是第一象限的角，且αβ>，则sin sin αβ>．下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧6、 已知x ，y 满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、 根据表格中的数据，可以断定函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）频率x俯视图侧（左）视图正（主）视图A ．()12，B ．()2e ，C ．()e 3，D ．()35，8、 在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n -=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列； ④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、 已知向量()23a =-，，()1b λ=，，若a b ∥，则λ=________． 10、 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为________，4S 的值为________．11、 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为________．12、 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且+2A C B = 若1a =，b =c 的值为________．13、 过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB的中点P 到y 轴的距离等于________．14、 对定义域的任意x ，若有()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数：①1y x x =-，②log 1a y x =+，③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩ 其中满足“翻负”变换的函数是________． （写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15、 （本小题共13分）已知函数)()sin sin f x xx x =-．⑴求()f x 的最小正周期；⑵当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、 （本小题共13分）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）⑴求x ，y ；⑵若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．17、 （本小题共14分）如图，BCD △是等边三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B '⊥． ⑴求证：平面GNM ∥平面ADC '； ⑵求证：C A '⊥平面ABD ．GN MDCBA18、 （本小题共14分）已知函数()ln af x x=+（0a >）．19、 （本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =，原点到过点()0A a ，，()0B b -，的． ⑴求椭圆C 的方程；⑵如果直线1y kx =+（0k ≠）交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20、 （本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，410n a -=，411n a +=（*n ∈N ）． ⑴求4a ，7a ；⑵是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=．北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32- （10）12152（11）4（12）3π2 （13）4 （14）①③ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin sin )f x x x x =-2cos sin x x x =-=21cos 2sin )2x x x -11=2cos2)22x x +- 1sin(2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2T π==π2． （Ⅱ） 因为203x π<<， 所以32662x πππ<+<． 所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可得 2992718x y ==，所以11x =，3y =．（Ⅱ）记从高二年级抽取的3人为1b ，2b ，3b ，从高三年级抽取的2人为1c ，2c ，则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，11(,)b c ，12(,)b c ，23(,)b b ，21(,)b c ，22(,)b c ，31(,)b c ，32(,)b c ，12(,)c c 共10种． ……8分设选中的2人都来自高二的事件为A ，则A 包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种．因此3()0.310P A ==．故选中的2人都来自高二的概率为0.3． ………………………………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为M ，N 分别是BD ，'BC 的中点， 所以//MN DC '． 因为MN ⊄平面ADC '，DC '⊂平面ADC '，所以//MN 平面ADC '． 同理//NG 平面ADC '． 又因为MNNG N =，所以平面//GNM 平面ADC '．（Ⅱ）因为90BAD ∠=， 所以AD AB ⊥．又因为'AD C B ⊥，且'AB C B B =， 所以AD ⊥平面'C AB ． 因为'C A ⊂平面'C AB ， 所以'AD C A ⊥．因为△BCD 是等边三角形，AB AD =， 不防设1AB =，则BC CD BD ===可得1C A '=．由勾股定理的逆定理，可得'AB C A ⊥． 因为ABAD A =，A BCDMNG所以'C A ⊥平面ABD ． ………………………………………………14分 （18）（共14分）解:(Ⅰ)()ln af x x x =+，定义域为(0,)+∞,则|221()a x a f x x x x -=-=．因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈，所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a ． (Ⅱ)由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤0(30)x >>，所以20012a x x ≥-+对030x >>恒成立． 又当00x >时, 200311222x x -<-+≤,（19）解(Ⅰ)因为c a=，222a b c -=， 所以 2a b =．因为原点到直线AB ：1x y a b -=的距离d ==， 解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164x y+=．(Ⅱ) 由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>． 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ，则1224214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+． 所以21M BM M y k x k +==-．所以20M M x ky k ++=．即 224201414k k k k k -++=++．又因为0k ≠，所以218k =．所以k =．………………………………13分 （20）（共13分） 解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ）， 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====．与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ）， 则22n T n na a a +==，而222n T n t n ta a a +++==从而n t na a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．…………13分。

2020年北京各区二模数学分类汇编------函数与导数一、选填题部分1.（2020海淀二模）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =（D ）ln y x =答案 A.2.（2020密云二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A.sin y x =B.cos y x =C.||y x x =D.ln ||y x = 答案B3.（2020密云二模）已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ． 2答案B4.（2020昌平二模）设0.30.512,(),ln 22a b c -===，则（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）a b c << （D ）b a c << 答案B5. （2020昌平二模）点P 在函数e x y =的图象上.若满足到直线y x a =+的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（A ） （B ） （C ）3 （D ）4 答案C6.（2020东城二模）已知三个函数33,3,log xy x y y x ===，则(A)定义域都为R (B)值域都为 R (C)在其定义域上都是增函数 (D)都是奇函数 答案C7.（2020东城二模）已知函数()log af x x b=+的图象如图所示，那么函数()xg x a b=+的图象可能为(A)（B）（C）（D）答案B8.（2020西城二模）.函数1()f x xx=-是( A)奇函数,且值域为0+∞（，）( B)奇函数,且值域为R( C)偶函数,且值域为0+∞（，）( D)偶函数,且值域为R答案B9.（2020丰台二模）函数()f x=的定义域为（A）(02),（B）[02],（C）(0)(2)-∞+∞U,,（D）(0][2)-∞+∞U,,答案C10.（2020丰台二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x=--+，则()f x（A）是奇函数，且在定义域上是增函数（B）是奇函数，且在定义域上是减函数（C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数 答案 B11.（2020房山二模）函数2()e xf x x =-的零点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3答案B12.（2020房山二模）已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x（A ）是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数 （B ）是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数 （C ）是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数 （D ）是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数 答案 C13. （2020朝阳二模）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A )(0,)+∞ (B )(0,1)(1,)+∞U (C )[0,)+∞ (D )[0,1)(1,)+∞U 答案B14.（2020顺义二模）下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递减的是 （A ）2y x =-（B ）2y x =-（C ）cos y x =（D ）12xy =（）答案A15. （2020顺义二模）已知()f x ＝21|1|,02,0x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则()(1)f x f --在区间[],2m m +上的最大值的取值范围是 （A ）[]1,4 （B ）[]2,4（C ）[]1,3（D ）[]1,2答案D二、解答题部分：1.（2020丰台二模）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围. 答案解：（Ⅰ）因为1()e x x f x +=，定义域R ，所以'()exxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. ………5分 （Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g x f x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()eeex xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数. 所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e xx h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)e e xxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a -，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意. 当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数， 所以()(0)0h x h <=，不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. ………15分2．（2020密云二模）已知函数()ln ,f x x a x a =-∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．答案 解：（Ⅰ）解：当1a =时，()ln ,0f x x x x =->，所以1'()1,0f x x x=->，因此'(1)0k f ==． 又因为(1)1f =，所以切点为(1,1)．所以切线方程为1y =．（Ⅱ）解：1()ln 0ah x x a x x a x+=-+>∈R ，，． 所以221(1)(1)'()10a a x x a h x x x x x ++--=-->=，． 因为0x >，所以10x +>．（1）当10a +≤，即a ≤-1时因为0x >，所以(1)0x a -+>，故'()0h x >． 此时函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．所以函数()h x 不存在最小值． （2）当10a +>，即a >-1时令'()0h x =，因为0x >，所以1x a =+．()h x 与'()h x 在(0,)+∞上的变化情况如下：所以当1x a =+时，()h x 有极小值，也是最小值，并且min ()(1)2ln(1)h x h a a a a =+=+-+． 综上所述，当a ≤-1时，函数()h x 不存在最小值；当1a >-时，函数()h x 有最小值2ln(1)a a a +-+．（Ⅲ）解：当0x >时，2ln x x x x -≤．3.（2020昌平二模）已知函数31(),.3f x x ax a a =-+∈R （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(01)，处的切线方程； （II ）求函数()y f x =的单调区间；（III ）当(0,2)x ∈时，比较()f x 与|1|a --的大小. 答案解：（Ⅰ）当1a =时，31() 1.3f x x x =-+ 因为2'()1f x x =-， …………….1分所以'(0)1f =-. …………….2分 所以曲线()y f x =在点(01)，处的切线方程为10x y +-=. …………….4分 （II ）定义域为R .因为2'(),.f x x a a =-∈R ①当0a =时，'()0f x ≥恒成立.所以函数()y f x =在∞∞(-,+)上单调递增. …………….5分 ②当0a <时，'()0f x >恒成立.所以函数()y f x =在∞∞(-,+)上单调递增. …………….6分③当0a >时，令'()0f x =，则x =x = …………….7分所以当'()0f x >时，x <x >当'()0f x <时，x <<…………….8分所以函数()y f x =在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减. …………….9分 综上可知，当0a ≤时，函数()y f x =在∞∞(-,+)上单调递增；当0a >时，函数()y f x =在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减.（III ）法一：由（Ⅱ）可知，（1）当0a ≤时，函数()y f x =在∞∞(-,+)上单调递增； 所以当(0,2)x ∈时，min ()(0).f x f a >= 因为|1|=(1)1a a a ----=-，所以()|1|f x a >--. …………….10分（2）当0a >时，函数()y f x =在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减.①当01<≤，即01a <≤时，|1|0a --≤.所以当(0,2)x ∈时，函数()y f x =在上单调递减，上单调递增，min ()f x f =313a =-(0a =>所以()|1|f x a >--. …………….11分②当12<<，即14a <<时，|1|=10a a ---<.由上可知min ()f x f =(1)a =，因为2(1)(1)213a a a --=--，设2()21,(14)3g x x x =--<<.因为'()20g x =>，所以()g x 在(1,4)上单调递增. 所以1()(1)03g x g >=>.所以(1)(1)210a a a --=--> 所以()|1|f x a >--. …………….13分2≥，即4a ≥时，|1|=10a a ---<.因为函数()y f x =在上单调递减， 所以当(0,2)x ∈时，min 8()(2)13f x f a a ==->-. 所以()|1|f x a >--.综上可知，当(0,2)x ∈时，()|1|f x a >--. …………….14分（III ）法二：因为()(|1|)()|1|f x a f x a ---=+-，①当1a ≤时，因为(0,2)x ∈， 所以ax x -≥-.所以3311()|1|=()11133f x a f x a x ax x x +-+-=-+>-+. ……………10分 ②当1a >时，()|1|=()1f x a f x a +-+-331121(2)133x ax a x a x =-+-=+--因为(0,2)x ∈， 所以(2)(2)a x x -≥-. 所以333111()|1|(2)1(2)11333f x a x a x x x x x +-=+-->+--=-+.. 11分 设31()13g x x x =-+. 因为2'()1(1)(1)g x x x x =-=+-， 所以当'()0g x >时，1x <-或1x >，当'()0g x <时，11x -<<. …………….12分 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增. ……………13分 所以min 1()(1)03g x g ==>. 所以当(0,2)x ∈时，()|1|f x a >--. …………….14分4.（2020东城二模）已知()sin ()xf x e x ax a =++∈R .（Ⅰ）当2a =-时，求证：()f x 在(0)-∞，上单调递减； （Ⅱ）若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若()f x 有最小值，请直接给出实数a 的取值范围. 答案（Ⅰ）解：'()cos xf x e x a =++,对于2a =-，当0x <时，1,cos 1xe x <≤， 所以'()cos 20xf x e x =+-<. 所以()f x 在(),0-∞上单调递减. ………………………………4分 （Ⅱ）解：当0x =时，()11f x =≥，对于R ∈a ，命题成立，当0x >时，设()cos =++xg x e x a ， 则'()sin xg x e x =-. 因为1,sin 1>≤xe x ，所以'()sin 11=0xg x e x =->-，()g x 在()0,+∞上单调递增. 又(0)2=+g a ， 所以()2>+g x a .所以'()f x 在()0,+∞上单调递增，且'()2>+f x a . ① 当2a ≥-时，'()0>f x ， 所以()f x 在()0,+∞上单调递增. 因为(0)1f =， 所以()1>f x 恒成立.② 当2a <-时，'(0)20f a =+<， 因为'()f x 在[0,)+∞上单调递增，又当ln(2)=-x a 时，'()2cos 2cos 0=-+++=+>f x a x a x ， 所以存在0(0,)x ∈+∞，对于0(0,)∈x x ，'()0f x <恒成立. 所以()f x 在()00,x 上单调递减，所以当0(0,)∈x x 时，()(0)1<=f x f ，不合题意.综上，当2a ≥-时，对于0x ≥，()1f x ≥恒成立. ………………………………13分（Ⅲ）解：0a <.………………………………15分5.（2020海淀二模）已知函数()e (sin cos )x f x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线.答案解：（Ⅰ）()e (sin cos )+e (cos sin )x xf x x x x x '=+-2e cos x x =.令()0,f x '>得22()22k x k k πππ-<<π+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为(2,2)22k k πππ-π+()k ∈Z .（Ⅱ）证明：要证曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线，即证方程'()2f x =在区间(0,)2π上有且只有一个解.令()f x '2e cos 2x x ==，得e cos 1x x =.设c (1)e os xg x x =-，则()e cos e sin sin()4x x xg x x x x π'=-=-.当(0,)2x π∈时，令()0g x '=，得4x π=.当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：所以()g x 在(0,)4π上单调增，在(,)42ππ上单调减.因为0(0)g =,所以当(0,]4x π∈时，()0g x >；又1(0)2g π=-<，所以当(,)42x ππ∈时，()g x 有且只有一个零点.所以当(0,)2x π∈时，c (1)e os xg x x =-有且只有一个零点.即方程2()f x '=，(0,)2x π∈有且只有一个解.所以曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线.6.（2020西城二模）设函数 ()ln f x ax x = ,其中a R ∈. 曲线()y f x =在点( 1, f ( 1) )处的切线经过点( 3, 2) . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 ()f x 的极值; (Ⅲ)证明: 2()xx f x e e>- 答案解：（Ⅰ）由()ln f x ax x =，得()ln f x a x a '=+， ……………… 2分 则(1)0f =，(1)f a '=.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)y a x =-. ……………… 4分 将点(3,2)代入切线方程，得1a =. ……………… 5分 （Ⅱ）由题意，得()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+. 令()0f x '=，得1ex =. ……………… 7分 随着x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,+)e ∞上单调递增. ……………… 9分所以函数()f x 存在极小值，且极小值为11()e ef =-；函数()f x 不存在极大值.……………… 10分（Ⅲ）“2()e ex x f x >-”等价于“2ln 0e e x x x x -+>”. ……………… 11分 由（Ⅱ），得1()ln e f x x x =≥-（当且仅当1ex =时等号成立）. ①所以21ln e e e ex x x xx x -+-≥.故只要证明10ee xx-≥即可（需验证等号不同时成立）. ……………… 12分 设1()e e x x g x =-，(0,+)x ∈∞，则1()ex x g x -'=. ……………… 13分因为当(0,1)x ∈时，1()0e x x g x -'=<；当(1,)x ∈+∞时，1()0ex x g x -'=>，所以函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,+)∞上单调递增. 所以()(1)0g x g =≥（当且仅当1x =时等号成立）. ② 因为①②两个不等式中的等号不同时成立， 所以当(0,)x ∈+∞时，2()e ex x f x >-. ……………… 15分7.（2020房山二模）已知函数cos ()e 1sin x xf x x=++．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅲ）求证：当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥． 答案（Ⅰ）由sin 1x ≠-，得π2π()2x k k ≠-+∈Z 所以()f x 的定义域为π{|2π()}2x x k k ≠-+∈Z（Ⅱ）0cos0(0)e 21sin 0f =+=+22sin (1sin )cos 1()e e (1sin )1sin x xx x x f x x x -+-'=+=-+++ （π2π()2x k k ≠-+∈Z ）(0)0f '=所以，曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为2y = （Ⅲ）法一：由1()e 1sin x f x x'=-++，令1()e 1sin x g x x=-++，则2cos ()e (1sin )xx g x x '=++ 当ππ(,)22x ∈-时，()0g x '>，则()g x 在ππ(,)22-上单调递增，且(0)0g =所以当π(,0)2x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当π(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(0)2f =所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 法二：1()e 1sin x f x x'=-++当0x =时，01(0)e 01sin 0f '=-+=+；当(,0)2x π∈-时，sin (1,0),x ∈-1sin (0,1),x +∈11(1,),(,1),1sin 1sin x x-∈+∞∈-∞-++2e (e ,1)xπ-∈，所以当(,0)2x π∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(0,)2x π∈时，sin (0,1),x ∈11111sin (1,2),(,1),(1,),1sin 21sin 2x x x -+∈∈∈--++2e (1,e )xπ∈，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(0)2f =所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 8. （2020朝阳二模）已知函数()2sin cos =--f x x x x ax ()∈a R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1．（ⅰ）求a 的值；（ⅱ）证明：函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点； （Ⅱ）当1≤a 时，证明：对任意(0,π)∈x ，()0>f x ． 答案 解：（Ⅰ）（ⅰ）因为()2sin cos =--f x x x x ax，所以()2cos (cos sin )cos sin '=---=+-f x x x x x a x x x a ．因为曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1，所以(0)1'=f ，即11-=a ，故0=a ． 经检验，符合题意．……………4分（ⅱ)由（ⅰ）可知()2sin cos =-f x x x x ，()cos sin '=+f x x x x ．设()()'=g x f x ，则()cos '=g x x x ．令()0'=g x ，又)π(0,∈x ，得2π=x ． 当(0,)2π∈x 时，()0'>g x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<g x ，所以()g x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减．又(0)1=g ，ππ()22=g ，(π)1=-g ，因此，当π(0,]2∈x 时，()(0)0>>g x g ，即()0'>f x ，此时()f x 在区间π(0,]2上无极值点；当π(,π)2∈x 时，()0=g x 有唯一解0x ，即()0'=f x 有唯一解0x ，且易知当0π(,)2∈x x 时，()0'>f x ，当0(,π)∈x x 时，()0'<f x ，故此时()f x 在区间π(,π)2内有唯一极大值点0x ．综上可知，函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点．……………10分（Ⅱ）因为()cos sin '=+-f x x x x a ，设()()'=h x f x ，则()cos '=h x x x ．令()0'=h x ，又(0,π)∈x ，得π2=x ．且当π(0,)2∈x 时，()0'>h x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<h x ，所以()'f x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减．当1≤a 时，(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，()1'π=--f a ．（1）当()10'π=--≥f a ，即1≤-a 时，()0'≥f x ．此时函数()f x 在(0,π)内单调递增，()(0)0>=f x f ；（2）当()10'π=--<f a ，即11-<≤a 时，因为(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ， 所以，在π(0,)2内()0'≥f x 恒成立，而在区间π(,π)2内()'f x 有且只有一个零点，记为1x ，则函数()f x 在1(0,)x 内单调递增，在1(,π)x 内单调递减． 又因为(0)0=f ，()(1)0π=-π≥f a ，所以此时()0>f x ．由（1）（2）可知，当1≤a 时，对任意(0,π)∈x ，总有()0>f x ．……………15分9.（2020顺义二模）（本小题14分）已知函数2()e x f x ax =-,a ∈R .（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程； （II ）若()f x 在(0,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；（III ）当1a =-时，试写出方程()1f x =根的个数.（只需写出结论）解：（I ）1a =时，2()x f x e x =-．()2x f x e x '=-（或在这里求的()2x f x e ax '=-也可以）． -------------2分 ∴ 0(0)01f e =-=，0(0)01k f e '==-=． -------------4分 所求切线方程为1y x =+ ---------------5分 （II ）方法一：()2x f x e ax '=-.若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥-------6分 即2x e a x ≤恒成立，等价于min ()2x e a x ≤． ----------------7分设()2x e g x x =，则2(1)()2x e x g x x -'=， ---------------8分令()0g x '=得1x =当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g =． ------------------11分 所以,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ------------------12分方法二：()2x f x e ax '=-．若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥--------6分 等价于min (())0f x '≥．设()2x h x e ax =-，()2x h x e a '=-．当(0,)x ∈+∞时，1x e > ----------------7分 分类讨论：①当21a ≤，即12a ≤时，()0h x '≥恒成立， 所以()2x h x e ax =-在(0,)x ∈+∞上单调递增， 那么()(0)1h x h ≥=，所以12a ≤时，满足()0f x '≥． -------------------8分 ②当21a >，即12a >时，令()20x h x e a '=-=，得ln2x a =．当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,ln 2)x a ∈上单调递减； 当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)x a ∈+∞上单调递增；所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)h a a a =- ----------------10分由2(1ln 2)0a a -≥解得2e a ≤，所以122ea <≤ ． -------------------11分综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． --------------------12分（III ） 2个 -------------------14分。