安徽省二00九安徽高中数学竞赛通知

安徽省青少年科技活动中心
安徽省数学会文件安徽省数学会中数竞赛［2015］03号
关于公布2015年度全国高中数学联赛
安徽省获奖情况的通知
各市科协、教育局、数学会：
根据安徽省数学会中数竞赛［2015］02号文件通知的要求，2015年度全国高中数学联赛工作已顺利完成。

现将获奖情况通知如下：
经安徽省数学会竞赛委员会评卷，全国高中数学联赛组织委员会审定，评出“2015年度全国高中数学联赛”一等奖52名、二等奖487名、三等奖853名。

附：2015年度全国高中数学联赛安徽省获奖名单
安徽省青少年科技活动中心安徽省数学会
二○一五年十月二十二日
2015年度全国高中数学联赛安徽省获奖名单
一等奖
二等奖
三等奖
41
42。

关于学校举办数学竞赛的通知尊敬的各位同学：为了激发学生对数学的兴趣，提升数学水平，我校决定举办一场精彩的数学竞赛。

现将有关事项通知如下：一、比赛时间：本次数学竞赛将于下周五上午8时准时开始，请各位同学务必按时到达指定地点。

二、参赛范围：本次竞赛面向全校学生开放。

大家可以自愿组队参赛，每队成员为3至5人。

三、报名方式：有意参加本次竞赛的同学需在本周五之前前往学校数学教学部报名，并填写报名表。

教学部办公室位于教学楼二楼，每天接待时间为上午8时至下午5时。

四、竞赛形式：本次竞赛分为个人赛和团队赛两个部分。

1. 个人赛：个人赛将在第一轮中进行，考察参赛同学的数学知识和解题能力。

共有30个选择题和5道解答题，考试时间为90分钟。

2. 团队赛：团队赛将在第二轮中进行，每队代表团队解决一系列数学题目。

共有20道题，时间为120分钟。

团队合作、分工合理以及解题速度将决定团队的成绩。

五、奖项设置：本次竞赛将评选出优胜个人和优胜团队，并颁发奖状和奖品。

此外，优胜团队还将获得参加全国数学竞赛的资格。

六、考试注意事项：1. 参赛同学需自备文具，包括铅笔、橡皮擦等。

计算器不得使用。

2. 考试期间，严禁交头接耳、左顾右盼、传递答案等作弊行为。

一经发现，将取消参赛资格。

3. 参赛同学需服从考场管理人员的安排和指导，保持安静，不得擅自离开座位。

七、其他事项：1. 请参赛同学务必提前复习课内数学知识，并积极参加课外辅导班，提高自身竞赛水平。

2. 参赛同学请关注学校官方网站和公众号，及时获取竞赛相关信息和通知。

3. 竞赛成绩将作为评选学科奖学金和学生干部的重要依据，请参赛同学认真对待。

让我们共同期待这场数学竞赛带来的激情与惊喜！愿每一位参赛同学都能在竞赛中发现自己的潜力和优势，为学校争得荣誉！特此通知。

学校数学竞赛组日期：××年×月×日。

校园数学竞赛通知亲爱的同学们：你们好！为了激发同学们对数学的兴趣，提高数学思维能力和解决问题的能力，丰富校园文化生活，我校将举办一场校园数学竞赛。

现将有关事项通知如下：一、竞赛目的本次竞赛旨在鼓励同学们积极探索数学的奥秘，培养创新思维和团队合作精神，同时为同学们提供一个展示自己数学才华的平台。

二、参赛对象全体在校学生三、竞赛内容竞赛内容涵盖了数学课程中的多个知识点，包括但不限于代数、几何、概率与统计等。

题目将注重考查同学们对数学概念的理解、应用能力和解题技巧。

四、竞赛形式本次竞赛采用笔试的形式进行，分为初赛和决赛两个阶段。

初赛：初赛为闭卷考试，考试时间为具体时长。

题型包括选择题、填空题和解答题。

根据初赛成绩，选拔出一定数量的优秀选手进入决赛。

决赛：决赛同样为闭卷考试，考试时间为具体时长。

题型包括综合性较强的解答题和应用题，以考查选手的综合数学素养和创新能力。

五、竞赛时间和地点初赛时间：具体日期具体时间段初赛地点：详细教室地址决赛时间：具体日期具体时间段决赛地点：详细教室地址六、奖项设置本次竞赛将设立一、二、三等奖和优秀奖若干名。

获奖者将获得荣誉证书和相应的奖品，以表彰他们在数学竞赛中的出色表现。

一等奖：具体人数奖品：具体奖品二等奖：具体人数奖品：具体奖品三等奖：具体人数奖品：具体奖品优秀奖：具体人数奖品：具体奖品七、报名方式有意参加本次竞赛的同学，请在具体报名日期前，向所在班级的数学老师报名。

报名时请提供个人姓名、班级等信息。

八、竞赛准备为了帮助同学们更好地准备竞赛，学校将组织数学老师进行赛前辅导，具体辅导时间和地点将另行通知。

同时，同学们也可以自行复习数学课本知识，做一些相关的练习题，提高解题能力。

九、注意事项1、参赛同学需遵守考场纪律，独立完成考试，不得作弊。

如有违反，将取消参赛资格。

2、请参赛同学提前到达考场，做好考试准备。

考试开始后具体时长，不得进入考场。

3、考试过程中，请保持考场安静，不得交头接耳、传递纸条等。

数学竞赛方案数学竞赛方案15篇为了确保工作或事情能有条不紊地开展，通常会被要求事先制定方案，方案是阐明行动的时间，地点，目的，预期效果，预算及方法等的书面计划。

那么方案应该怎么制定才合适呢？下面是小编收集整理的数学竞赛方案，希望能够帮助到大家。

数学竞赛方案1一、活动目的为进一步落实《数学新课程标准》，检测学生数学计算学习情况，极力激发学生学习数学的兴趣，促使学生“准确、快速、科学、灵活”地进行计算。

我校决定举行全校性的计算比赛活动。

通过这种方式激发学生学习数学的兴趣，调动学生学习数学的积极性，巩固学生的基本计算方法，加强学生对计算的熟练程度，进一步提高学生计算的速度和正确率，提高学生的计算能力，发展学生的思维能力，使我校的校本研修进一步完善。

二、主办:教导处三、承办:数学教研组四、竞赛时间和地点:20xx年4月16日(周二)下午在学校教学楼前举行。

五、参加单位:一至六年级全体学生。

各班先自行组织预选，然后根据成绩每班选出15名学生参加学校统一组织的比赛。

六、决定名次的奖励办法。

本次比赛是以年级为单位，每个年级按总分评出一等奖一名，二等奖两名，三等奖四名，学校将给与奖励和一定的奖品。

七、竞赛办法:⑴本着公平公正公开的原则，开展竞赛时各年级同时进行。

⑵本次竞赛的时间为60分钟。

⑶各年级组的老师必须按教导处的要求提前做好准备。

口算题:80道(每小题0.5分)笔算题:20道(每小题3分)八、比赛时以广播口令为准。

九、监考老师:一年级:赵秋玲二年级:邢红妮三年级:辛靖四年级:郭红卫五年级:冯竹娟六年级:王涛数学竞赛方案2一、指导思想为加强我校数学教学工作，本着从基础入手，扎实开展数学教学工作的原则，通过竞赛，激发学生学习数学的兴趣，掌握灵活的解题技巧，启发学生思维，开发学生智力；通过竞赛，让学生学会思考，培养学生灵活运用知识解决生活中的实际问题的能力，进一步提高学生的思维水平。

二、活动范围：全学区一至六年级学生，[班级人数不足10人（含10人）的选2名学生参赛，其余的各班选5名学生参赛]三、竞赛内容1、学校统一命题，命题力求多样新颖，兼具知识性和趣味性，体现数学知识的综合应用，能提高学生的数学思考和分析问题，解决问题的能力。

参加年度全国中学生数学竞赛的通知尊敬的各位同学：首先，我代表学校数学竞赛组向大家发出参加年度全国中学生数学竞赛的通知。

作为一个学术交流的平台，这次数学竞赛旨在提高学生的数学素养，激发学习兴趣，促进数学思维能力的培养。

以下是竞赛的相关信息和要求，望大家务必认真阅读并积极参与。

一、竞赛时间及地点竞赛将于[日期]在学校[地点]举行。

请各位同学提前做好准备，按时到达考场。

迟到将不予参加竞赛。

二、参赛资格本次竞赛面向全校各年级的中学生，参赛者需在报名截止日期前报名，并由任课老师或班主任审核同意。

请各位同学积极向导师咨询并核实报名事宜。

三、竞赛内容和形式1. 内容：（1）初中组：竞赛内容涵盖初中数学知识点，如代数、几何、函数、概率统计等。

具体内容将以我校教材为主。

（2）高中组：竞赛内容涵盖高中数学知识点，如数列数学、平面向量、三角函数、微积分等。

具体内容将以我校教材为主。

2. 形式：（1）笔试形式：竞赛采用笔试形式进行，考试时间为2小时。

请携带好文具和计算器等必备用品。

（2）个人赛：竞赛为个人赛，每位参赛选手独立完成试卷，并由监考老师全程监控。

四、奖项设置根据竞赛结果，将发放一、二、三等奖以及优秀个人奖、优秀班级奖等。

同时，获奖学生将有机会代表学校参加省级及国家级数学比赛。

五、参赛要求1. 服装：请大家着正式校服参赛，穿着整洁，形象良好。

2. 行为：请遵守考试纪律，不得使用任何规定外的工具和通讯设备，不得相互交流。

如发现作弊行为，将取消参赛资格并追究责任。

六、报名方式请各位同学于[报名截止日期]前，前往学校办公室或向任课老师提交参赛报名表。

报名表将于[发放日期]开始发放，请及时领取并填写完整。

本次竞赛是一个重要的学习机会，能够训练我们的逻辑思维和数学推理能力。

希望大家积极参加，争取取得好成绩。

谢谢大家的支持与配合！最后，祝各位同学在竞赛中取得优异成绩！学校数学竞赛组 [日期]。

安徽省教育厅关于做好2024年初中学业水平考试工作的通知文章属性•【制定机关】安徽省教育厅•【公布日期】2024.03.20•【字号】皖教秘基〔2024〕39号•【施行日期】2024.03.20•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】教育综合规定正文安徽省教育厅关于做好2024年初中学业水平考试工作的通知各市教育局，广德市、宿松县教育局：为落实《安徽省教育厅关于进一步推进高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》（皖教基〔2017〕21号）要求，切实做好2024年全省初中学业水平考试工作，现就有关事宜通知如下：一、考试办法（一）考试命题考试命题依据各学科课程标准，在全面考查学生基础知识和基本技能的基础上，注重考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，引导发展素质教育，体现课程标准中坚持立德树人目标的根本要求。

文化课考试全省统一命题、统一制卷。

（二）考试科目和分值按照《安徽省教育厅关于进一步推进高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》（皖教基〔2017〕21号）要求执行，其中英语考试科目总分值中包含听力20分。

（三）考试方式语文、数学、外语、物理、化学实行纸笔闭卷考试，语文考试允许使用正版学生字典；道德与法治、历史实行纸笔开卷考试，允许携带教科书等相关资料。

生物学、地理实行纸笔闭卷考试。

各学科考试均不允许使用计算器。

音乐、美术可采取过程性与终结性考查相结合的方式。

外语听力考试免试要求。

听力残障学生，在500Hz、1000Hz、2000Hz、4000Hz 的纯音听力检测结果为每侧耳的平均听力损失都等于或大于40分贝的情况下，经教育主管部门核准后可免试外语听力。

听力免试后外语成绩折算方法为：考生外语考试成绩=考生外语笔试项目成绩×外语总分值与笔试项目分值的比值。

听力免试具体申请程序和要求由各市教育局确定。

（四）考试时间语文、数学、外语等科目具体时间安排如表：音乐、美术等科目考试时间安排在相应课程结束时进行。

高中生数学奥赛报名通知尊敬的高中生：欢迎你参加今年的高中生数学奥林匹克竞赛！为了让你更好地参与比赛，我们向你发送本次报名通知。

请仔细阅读以下内容，并按照要求完成报名流程。

一、比赛介绍高中生数学奥林匹克竞赛是一项旨在培养和选拔具有数学天赋的高中生的竞赛活动。

该竞赛旨在激发学生对数学的兴趣和热爱，培养解决问题的能力和创造性思维，提高数学水平。

这也是一个展示自己才华的舞台，通过竞争让学生们相互学习、切磋和成长。

二、报名时间及方式报名时间：本次竞赛的报名时间为2021年5月1日至5月15日。

报名方式：请扫描附件中二维码或打开我校官网（不包含链接）进入报名系统，按照页面提示填写个人信息，并上传一寸近期免冠照片。

三、报名资格1. 参赛学生必须为我校在册的高中在校学生；2. 学生需要对数学有浓厚的兴趣，并具备一定的数学基础；3. 推荐报名年级为高一至高三学生。

四、竞赛流程1. 初赛阶段：初赛采取网上在线考试的形式，考试时间为2021年6月5日。

参赛学生凭报名时所填写的个人信息登录系统进行考试。

初赛试题将覆盖高中数学的基础知识和一定的拓展内容，考察学生的逻辑推理和解题能力。

2. 决赛阶段：根据初赛成绩，选拔优秀的学生进入决赛。

决赛将在2021年6月20日举行，具体地点和时间将在初赛后通知。

五、奖项设置1. 冠军奖：将评选出一等奖，奖金2000元和荣誉证书；2. 亚军奖：将评选出二等奖，奖金1000元和荣誉证书；3. 季军奖：将评选出三等奖，奖金500元和荣誉证书；4. 其他优秀选手将获得优秀奖和荣誉证书。

六、参赛注意事项1. 准备：请带上有效的学生证和身份证明参加初赛和决赛；2. 注意事项：请遵守考场规则，不得携带任何与考试相关的资料和通讯工具；3. 考试要求：请提前熟悉网上考试界面的操作，确保顺利进行；4. 行为规范：请参赛学生保持良好的竞赛风貌和行为规范。

七、结束语高中生数学奥林匹克竞赛是一个培养高中生数学兴趣和能力的重要平台。

2024~2025学年安徽省县中联盟高三9月联考数学试题（答案在最后）考生注意：1.满分150分，芳试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}3|278,|23,A x x B x x x =-<<=-≤∈Z ，则A B = （）A.{}1,0- B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合{32}A xx =-<<∣，{}1,0,1,2,3,4,5B =-，结合集合交集的运算法则，即可求解.【详解】由题意得，集合{}3|278{32}A x x xx =-<<=-<<∣，{}{}|23,1,0,1,2,3,4,5B x x x =-≤∈=-Z ，根据集合交集的运算法则，可得{}1,0,1A B ⋂=-.故选：C.2.若2i12z z -=+，则z =（）A.23i +B.23i- C.32i+ D.32i-【答案】D 【解析】【分析】利用待定系数法，结合复数相等的充要条件可得2421a bb a -=⎧⎨=+⎩，即可求解.【详解】设复数()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-.因为2i 12z z -=+，所以i 2ii 12a b a b +-=-+，故()242i 1i a b b a -+=++，整理得2421a b b a -=⎧⎨=+⎩，所以3,2a b ==，所以32i z =+所以32i z =-故选：D.3.已知向量(a = ，若()3a b a -⊥ ，则b 在a上的投影向量为（）A.1,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,33⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.2,33⎛ ⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由()3a b a -⊥ 得到43a b ⋅= ，再结合投影向量的定义，从而可求解.【详解】因为()3a b a -⊥ ，所以230a a b -⋅= .又因为(a = ，所以43a b ⋅= ，故b 在a上的投影向量为13,333a b a a a a⎛⋅== ⎝⎭，故A 正确.故选：A.4.若()()13cos cos cos ,tan sin m βαββαββ+=+=，则cos2α=（）A.2321m - B.2161m- C.241m- D.221m-【答案】A 【解析】【分析】由()3cos tan sin βαββ+=可得()tan tan 3αββ+=，从而可得()3sin sin mαββ+=，可求出4cos mα=，再结合余弦二倍角公式即可求解.【详解】由()3cos tan sin βαββ+=，得()tan tan 3αββ+=，即()()sin sin 3cos cos αββαββ+=+，所以()3sin sin mαββ+=，所以()()()4cos cos cos cos sin sin mααββαββαββ⎡⎤=+-=+++=⎣⎦，所以2232cos22cos 11m αα=-=-，故A 正确.故选：A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径均为2，且它们的表面积相等，圆柱和圆锥的体积之比为3:高为（）A.2B. C.4D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别设出圆柱高1h ，圆锥高2h ，结合表面积相等S S =圆柱圆锥及体积比:3:V V =圆柱圆锥列出相应等式，从而可求解.【详解】设圆柱高为1h ，圆锥高为2h ，圆锥母线长为l ，底面半径均为2，则1124π4π,8π4π,3V h S h V h ==+=圆柱圆柱圆锥，4π2π,S l l =+=圆锥.因为S S =圆柱圆锥，所以122h +=①；又因为:3:V V =圆柱圆锥，所以21h =②.由①②得122,h h ==，故D 正确.故选：D.6.已知函数()()2237,22log 1,2x ax x a x f x x x -⎧--+≤⎪=⎨-->⎪⎩，在R 上单调递减，则a 的取值范围是（）A.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B.3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.30,4⎡⎤⎢⎣⎦D.{}30,4∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用二次函数，指数函数与对数函数的单调性，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】当2x >时，函数()()22log 1xf x x -=--单调递减，因为()f x 在R 上单调递减，分情况讨论：当0a =时，()()237,22log 1,2x x x f x x x --+≤⎧=⎨-->⎩，此时()223272log 21--⨯+>--，符合题意；当0a >时，需满足()223224672log 21a a a --⎧-≥⎪⎨⎪--+≥--⎩，解得304a <≤，综上，实数a 的取值范围为3[0,]4.故选：C.7.已知函数()πsin 2π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,20x ∈时，把()f x 的图象与直线12y =的所有交点的横坐标依次记为123,,,,n a a a a ，记它们的和为n S ，则n S =（）A.11803B.5803C.20D.5903【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数性质可得π1sin 2π62x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时求得16x k =+或1,2k k +∈Z ，从而再利用分组并项及等差数列求和公式从而可求解.【详解】由π1sin 2π62x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ2π2π66x k -=+或52ππ,6k k +∈Z ，解得16x k =+或1,2k k +∈Z ，所以123439401117131111,,1,1,,1919,1919,6266226622a a a a a a ===+==+==+==+= 所以40111120192019171311351662219196666222222S ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+ 111801019102033⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.8.已知()f x 的定义域为()()()(),3f x y f x y f x f y ++-=R ，且()113f =，则20251()k f k ==∑（）A.13-B.23-C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用赋值法，求得()()6f x f x +=，得到()f x 的一个周期是6，再根据函数的周期性和奇偶性，求得()()()()()()1,2,3,4,5,6f f f f f f 的值，进而得到答案.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为()()()(),3f x y f x y f x f y ++-=R ，且()113f =，令1,0x y ==，得()()()()1010310f f f f ++-=，所以()203f =；令0x =，得()()()()0030f y f y f f y ++-=，所以()()f y f y -=，所以()f x 是偶函数，令1y =，得()()()()()1131f x f x f x f f x ++-==①，所以()()()21f x f x f x ++=+②，由①②知()()210f x f x ++-=，所以()()()()30,3f x f x f x f x ++=+=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 的一个周期是6，由②得()()()201f f f +=，所以()123f =-，同理()()()312f f f +=，所以()233f =-，又由周期性和偶函数可得：()()()()()()()()112422,511,60,333f f f f f f f f =-==-=-====所以()()()()12360f f f f ++++= ，所以20256112()337()(1)(2)(3)3k k f k f k f f f ===+++=-∑∑.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了解某品牌纯净水实际生产容量（单位：mL ）情况，某中学研究小组抽取样本，得到该品牌纯净水的实际容量的样本均值为600x =，样本方差2 2.25s =，假设该品牌纯净水的实际容量X 服从正态分布()2N x s ，则（）（若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()()0.683,220.955P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈）A.()5970.02P X ≤>B.()6030.04P X ≥>C.()597598.50.13P X ≤≤<D.()598.56030.83P X ≤≤<【答案】AD 【解析】【分析】由正态分布的对称性和3σ原则进行求解相关概率，得到答案.【详解】AB 选项，因为2600, 2.25x s ==，所以()2600,1.5X N ~，因为()6002 1.56002 1.50.955P X -⨯≤≤+⨯≈，故()()10.9555976030.02252P X P X -≤=≥≈=，故A 正确，B 错误；C 选项，()0.9555976000.47752P X ≤≤≈=，又因为()600 1.5600 1.50.683P X -≤≤+≈，所以()0.683598.56000.34152P X ≤≤≈≈，所以()597598.50.47750.34150.136P Y ≤≤≈-=，故C 错误；D 选项，()6006030.4775P X ≤≤≈，所以()598.56030.34150.47750.819P X ≤≤≈+=，故D 正确.故选：AD.10.“∞”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C 过坐标原点,O C 上的点到两定点()()12,0,,0(0)F a F a a ->的距离之积为定值.则下列说法正确的是（）（参考数2.236≈）A.若1212F F =，则C 的方程为()()2222272x y x y +=-B.若C 上的点到两定点12F F ､的距离之积为16，则点()4,0-在C 上C.若3a =，点()03,y 在C 上，则2023y <<D.当3a =时，C 上第一象限内的点P 满足12PF F 的面积为92，则2212PF PF -=【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，设(),x y 为C 上任意一点，根据212OF OF a ⋅=，得到方程，化简后，结合1212F F =，得到6a =，代入后得到A 正确；B 选项，计算出4a =，代入到A 中所求方程，得到轨迹方法，检验()4,0-不在此曲线上；C 选项，由题意得到9，化简得到2018 2.124y =≈；D 选项，根据三角形面积和3a =，得到1212sin 1,90F PF F PF ∠=∠=，故点P 是曲线()()22222:18C x yx y+=-和以12F F 为直径的圆229x y +=在第一象限内的交点，求出3,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而得到2212PF PF -=.【详解】A 选项，已知原点O 在C 上，则212OF OF a ⋅=，设(),T x y 为C 上任意一点，则有2a =，整理得()()2222222x ya x y +=-.若1212F F =，则6a =，C 的方程为()()2222272x y x y +=-，故A 正确；B 选项，若1216OF OF ⋅=，则4a =，将4a =代入方程得()()2222232x y x y +=-，显然点（)4,0-不在此曲线上，故B 错误；C 选项，若3a =，点()03,y 在C 9，整理得()22018405y +=，所以218 2.124y =≈，故C 正确；D 选项，因为12PF F 的面积121219sin 22PF PF F PF ∠==，又3a =，故129PF PF =，则1212sin 1,90F PF F PF ∠=∠=，所以点P 是曲线()()22222:18C x y x y +=-和以12F F 为直径的圆229x y +=在第一象限内的交点，联立方程组解得3,22x y ==，故3,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又()()12,,,0330F F -，故22133931824PF ⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭22233931824PF ⎛⎫-+=- ⎪ =⎪⎝⎭所以2212PF PF -=，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由于原点O 在C 上，则212OF OF a ⋅=，设(),T x y 为C 上任意一点，则有212TF TF a ⋅=，从而得到轨迹方程，结合平面几何知识进行求解.11.设函数()()33f x x mx m =-+∈R ，则（）A.若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则1230x x x ++=B.存在,m n ，使得x n =为曲线()y f x =的对称轴C.存在m ，使得点()()2,2g --为函数()()2323g x f x mx mx =++的对称中心D.若曲线()y f x =上有且仅有四点能构成一个正方形，则m =【答案】ACD 【解析】【分析】由31232()()()x ax x x x x x x -+=---，化简后即可求解A ；由()()2f x f n x =-以及()()()422g x g x g +--=-即可代入化简即可判断BC ；对于D ，由函数关系式可得()f x 的图象关于点(0,3)对称，则正方形的中心为(0,3)，不妨设正方形的4个顶点分别为A 、B 、C ，D ，设出AC 的方程，与曲线联立结合弦长公式可求出||AC ，同理可得||BD ，则22||||AC BD =可得a 与k 的关系，表示出a ，再构造函数可得答案．【详解】因为()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，所以()()()31233x mx x x x x x x -+=---，所以()()3321231223311233x mx x x x x x x x x x x x x x x x -+=-+++++-，所以1230x x x ++=，所以A 正确；对于B ，假设存在这样的,m n ，使得x n =为()f x 的对称轴，即存在这样的,m n 使得()()2f x f n x =-，即()333(2)23x mx n x m n x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)n x -展开式含有3x 的项为3x -，于是等式左右两边3x 的系数不相等，原等式不可能成立，于是不存在这样的,m n ，使得x n =为()f x 的对称轴，B 错误；对于C ，假设存在m ，使得点()()2,2g --为函数()()2323g x f x mx mx =++的对称中心，则()()()()3232329,434249g x x mx g x x m x =++--=--+--+，故()()()()()323243293424922g x g x x mx x m x g +--=+++--+--+=-，化简可得()()()2949490m x m x m -+-+-=，故90m -=得9m =时，()()2,2g --是()g x 的对称中心，故C 正确；对于D ，由()()33f x x mx a =-+∈R ，得()23f x x m ='-，当0m ≤时，′≥0，所以()f x 在上单调递增，所以曲线=上不存在4个点能构成正方形，所以0m >，由于3y x mx =-为奇函数，故其图象关于()0,0对此，故()f x 的图象关于点0,3对称，所以此正方形的中心为0,3，不妨设正方形的4个顶点分别为,,,A B C D ，其中一条对角线AC 的方程为3(0)y kx k=+>，则333x mx kx -+=+，解得x =，所以AC =，同理可得BD =，由22||||AC BD =，得()()221111km k m k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()23110,k m k k-++=根据题意可知方程()23110k m k k-++=只有一个正解，因为1k =时上式不成立，所以1k ≠，所以232221112121111k k k k k k m k k k k k k k k k ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭-====-----，因为0m >，所以10k k-<，得01k <<，设1t k k =-，则0t <，令()2g t t t=+，由题意可知，只需要直线y m =-与函数()2g t t t=+的图象只有唯一的公共点即可，结合对勾函数图象可知-m =-，得m =，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由()f x 的图象关于点0,3对称，判断正方形的中心为0,3，根据333x mx kx -+=+，求解AC =，BD =，由22||||AC BD =化简求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70,97,85,90,98,73,95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是__________.【答案】125【解析】【分析】根据百分位数以及极差的计算公式即可求解.【详解】将7个数据从小到大排列为70,73,85,90,95,97,98，因为775% 5.25⨯=，所以这7人成绩的上四分位数是97.极差为987028-=，故上四分位数与极差之和是9728125+=.故答案为：12513.若曲线()2e5x f x x -=+在点()2,7处的切线l 与曲线()3ln g x x ax =+在(),m b 处相切，则m =__________.【答案】43e【解析】【分析】根据题意利用导数求出()23f '=，可进一步求出切线:31l y x =+，再列出关于,m b 的方程组，从而可求解.【详解】由题得()22ee x xf x x --+'=，所以()222222e e 3f --=+='，所以切线():732l y x -=-，即31y x =+.因为()3ln g x x ax =+，所以()3g x a x'=+，所以()333ln 31g m a m b m am b m ⎧=+=⎪⎪=+⎨=+'⎪⎪⎩，解得43e m =.故答案为：43e .14.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别是12,F F .过右焦点2F 作x 轴的垂线l ，过双曲线左支上一点M 作l 的垂线，垂足为N ，若存在点M 使得223MF MN =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为__________.【答案】3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】设(),M m n ，且MN d =()32m c =-+，整理得转化为()222222224510540ba m a cm a c ab -+--=在(],m a ∞∈--上有解，结合二次函数的性质，求得22450b a ->，进而求得其离心率e 的取值范围.【详解】设(),M m n ，其中m a ≤-，则22221m n a b-=，再设MN d =，由题意得()2,0F c，可得2,d m c MF =-+=，因为223MF MN =()32m c =-+，两边平方得2229()()4m c n m c -+=-，整理得225()4n m c =-，又由22221m n a b -=，所以2222225()4a b m m c a b --=，变形得到()222222224510540b ama cm a c ab -+--=在(],m a ∞∈--上有解，其中4222222222222221004(45)(54)16(545)1440a c b a a c a b a b c b a a b ∆=----=+-=>，令()()22222222451054f m b ama cm a c ab =-+--，则()22220540f ac a b =--<，()()22232222432245105451050,f a b a a a c a c a b a a c a c -=----=---<当22450b a ->时，显然在(],a ∞--上方程()0f m =有一个解，满足题意，可得2224()50c a a -->，所以2249c a >，可得2294c a >，解得32c a >，即32e >；当22045b a -<时，此时对称轴的方程为22210045a cm b a-=>-，此时函数()f m 在(],a ∞--与x 轴没有公共点，方程()0f m =在(],a ∞--没有实数解，不符合题意，（舍去）；当22045b a -=时，此时()0f m =，可得2222205410a c a b m a c+=>，显然方程()0f m =在(],a ∞--没有实数解，不符合题意，（舍去）；综上，离心率e 的取值范围是3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e 的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.记ABC V 的内角A B C ､､的对边分别为,,a b c，已知22sin c a A B C -=+=.（1）若b B =，求a 的值；（2）在（1）的条件下，求ABC V 的面积.【答案】（1）4（2）6+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化得2a c =，即可求解b =，1cos 2B =，由余弦定理即可求解，（2）由三角形面积公式即可代入求解.【小问1详解】由sin 2sin A B C +=和正弦定理可得2a c +=，又2c a -=，则b =.又因为(),0,πb B B =∈，所以1cos 2B =，由余弦定理得，(22222212cos ,2222a a a c b B a ac a ⎛++- +-⎝⎭===⎛+ ⎝整理得231204a -=，解得4a =.【小问2详解】由4a =及2c a -=，得2c =+因为()1cos ,0,π2B B =∈，所以sin 2B =，所以(11sin 426222ABC S ac B ==⨯⨯+⨯=+ .16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有两点()0,4A 和163,5B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的焦距；（2）试探究是否存在过点()0,5-，且与椭圆C 交于不同的两点,M N ，并满足AM AN =的直线l ？若不存在，说明理由；若存在，求出直线l 的方程.【答案】（1）6（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）代入两点坐标，得到222516a b ⎧=⎨=⎩，求出c ，得到焦距；（2）假设存在该直线l ，分情况讨论：直线l 的斜率不存在时不成立，当直线l 的斜率存在时，设直线():50l y kx k =-≠，联立椭圆方程，得到两根之和，进而求MN 中点2212580,16251625k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若AM AN =，则AQ MN ⊥，即1AQ MN k k ⋅=-，但计算出219100k =-，k 的值不存在，得到结论【小问1详解】由题意得2221619256125ba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222516a b ⎧=⎨=⎩，所以3c ==，所以椭圆C 的焦距为6.【小问2详解】假设存在该直线l ，分情况讨论：当直线l 的斜率不存在时，显然AM AN =不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线():50,l y kx k =-≠联立22125165x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()2216252502250,k x kx +-+=令()22Δ(250)422516250k k=-⨯⨯+>，得2925k>.所以()2222250250160,1010162516251625M N M N M N k k x x y y k x x k k k+=+=+-=-=-+++，取MN 的中点Q ，则2212580,16251625k Q k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，若AM AN =，则AQ MN ⊥，即1AQ MN k k ⋅=-，所以22804162511251625k k k k--+⋅=-+，解得219100k =-，k 的值不存在.综上，不存在满足题意的直线.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60,2,,BAD AB PC M N ∠=== 分别为,PD PB 的中点.（1）证明：MN ⊥平面PAC ；（2）求二面角C PB D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）连接,BD AC 交于点O ，根据题意再结合线面垂直判定得到BD ⊥平面PAC ，再结合//MN BD ，从而可求解；（2）建立空间直角坐标系，再利用空间向量法分别求出平面PBC 和平面PBD 的一个法向量，再利用空间向量面面夹角求法，从而可求解.【小问1详解】证明：连接,BD AC 交于点O ，因为PC ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以BD PC ⊥.因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥.因为,,PC AC C PC AC ⋂=⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .因为,M N 分别为,PD PB 的中点，所以//MN BD ，所以MN ⊥平面PAC .【小问2详解】取PA 的中点E ，连接OE ，由题得//OE PC ，所以OE ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，,,OA OB OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.因为底面ABCD 为菱形，60,2BAD AB PC ∠=== ，所以1,1OB OA OE ===，则()()()()0,1,0,,2,0,1,0B C P D -.所以()()()1,2,0,2,0,0,0,2BP BD PC =-=-=-.设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则11112020m BP y z m BD y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令12x =，得1z =，则(m = .设平面PBC 的一个法向量 =s s ，则2020n PC z n BP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，得y =，则()1,n = .设二面角C PB D --的大小为θ，所以cos cos ,7m nm n m n θ⋅===.所以sin 7θ==，所以二面角C PB D --的正弦值为7.18.已知函数()()()()1e 1ln 1,xf x x m x m x m =---+++∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若0m >且()f x 有2个不同的极值点,p q ，求证：()()()42ln3f p f q p q +++<.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，分别讨论1m ≤-，10m -<<，0m =和>0四种情况讨论，结合()f x '的正负情况，从而可求解单调性；（2）把原不等式转化为()()()()()41ln 1e 212ln 3mf p f q p q m m m +++=++-+-<，然后构造函数()()()1ln 1e 21m h m m m m =++-+-，求出导函数，利用导函数求出单调性区间，然后利用函数单调性求出最值进行比较大小即可.【小问1详解】()f x 的定义域为()1,∞-+，由题可得()()()11e 1e 11xx m f x x m x m x x +⎛⎫=--+=--+' ⎪+⎝⎭，设()1e 1xg x x =-+，则()g x 在()1,∞-+上单调递增，且()00g =，若1m ≤-，则()0,1,0x m x ->∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，∈0,+∞时，()()0,f x f x '>单调递增；若10m -<<，则(),0x m ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x m ∈-，∈0,+∞时，()()0,f x f x '>单调递增；若0m =，则()()0,f x f x '≥在()1,∞-+上单调递增；若0m >，则()0,x m ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,0x ∈-，(),x m ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增.综上，当1m ≤-时，()f x 在()1,0-上单调递减，在0,+∞上单调递增；当10m -<<时，()f x 在(),0m 上单调递减，在()()1,,0,m ∞-+上单调递增；当0m =时，()f x 在()1,∞-+上单调递增；当0m >时，()f x 在0,上单调递减，在()()1,0,,m ∞-+上单调递增.【小问2详解】由（1）知0m >时，()f x 恒有2个极值点,p q ，令p q <，则0,p q m ==，所以()()()()()()()4041ln 1e 21mf p f q p q f f m m m m m +++=++=++-+-，设()()()1ln 1e 21mh m m m m =++-+-，则()()ln 1e 3,mh m m =+-+'设()()m h m ϕ='，则()1e ,1m m m ϕ=-+'()m ϕ'在0,+∞上单调递减，()()00m ϕϕ''<=，所以()h m '在0,+∞上单调递减，又()()21ln2e 30,2ln3e 30h h ''=-+>=-+<，所以存在()01,2m ∈，使得()()000ln 1e30m h m m =+-+='，即()00e ln 13m m =++，当()00,m m ∈时，()()0,h m h m '>单调递增；当()0,m m ∞∈+时，()()0,h m h m '<单调递减，所以()()()()()()()0000000001ln 1e211ln 1ln 1321m h m h m m m m m m m m ≤=++-+-=++-+-+-()000ln 124m m m =++-，易知函数()ln 124y x x x =++-在()1,2上单调递增，所以()()000ln 1242ln 212242ln3m m m ++-<++⨯-=，所以()()()42ln3f p f q p q +++<.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19.拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上.（1）如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？（2）假设原来有n 个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为n D 种，写出1n D +和()1,2n n D D n -≥之间的递推关系，并证明：数列{}()12n n D nD n --≥是等比数列；（3）假设让站好的一排n 个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为n P ，证明：当n 无穷大时，n P 趋近于1e .（参考公式：23e 12!3!!nxx x x x n =++++++ ….）.【答案】（1）2种；9种（2）()11,2n n n D n D D n +-=+≥，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意第一个士兵再选位置的人第二个去选，依次类推再结合乘法原理即可求解；（2）根据题意分别求出1n +个人排队时()11,2n n n D n D D n +-=+≥，从而可求证{}1,2n n D nD n --≥为等比数列；（3）由（2）可求得()()11!1!!nn n D D n n n ---=-，从而可得()1111111!2!3!4!5!!nn n D P n n -==-+-+-++ ，从而可求解.【小问1详解】当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法；当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，比如甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法，剩下的两个人都只有1种站法，由乘法原理可得有33119⨯⨯⨯=种站法.【小问2详解】易知120,1D D ==.如果有1n +个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤：第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有n 种选法；第二步：重排其余n 个人，根据第一步，可以分为两类：第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有n D 种；第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有1n D -种.所以()11,2n n n D n D D n +-=+≥，又2121D D -=，所以()()()111111111n nn n nn n n n n n n n D n D n D D n D D nD D nD D nD D nD +------++-+-+===----.所以数列{}1,2n n D nD n --≥是首项为1，公比为1-的等比数列.【小问3详解】证明：由题意可知!nn D P n =，由（2）可得：()()()1111!1!!nnn n n n D D D nD n n n ----=-⇒-=-.所以()()()()()()()121122321(1)(1)(1)1,,,,!1!!1!2!1!2!3!2!2!1!2!n n n n n n n n n D D D D D D D D n n n n n n n n n -----------=-=-=-=------- 以上各式相加，可得：11111(1),!1!2!3!4!5!!nn D D n n --=-+-++ 所以1111(1)!2!3!4!5!!nn D n n -=-+-++.所以()()111111111111!2!3!4!5!!2!3!4!5!!n nn nD P n n n --==-+-++=-+--++ ，当n 无穷大时，11111(1)111e 2!3!4!5!!enn P n --=-+-+-+++== .【点睛】关键点点睛：本题主要根据题意找到()11,2n n n D n D D n +-=+≥，通过构造得到{}1,2n n D nD n --≥为等比数列，从而求出()()11!1!!nn n D D n n n ---=-，从而可求解.。

校园2024年数学竞赛报名及评分标准亲爱的同学们：大家好！为了激发同学们对数学的兴趣，提高数学素养，展示大家的数学才华，我们学校将举办 2024 年数学竞赛。

以下是本次竞赛的报名及评分标准的详细介绍。

一、报名相关事宜1、报名时间报名时间从开始日期至结束日期，逾期不再受理。

2、报名条件本次竞赛面向全校同学，无论你是哪个年级、哪个专业，只要对数学有浓厚的兴趣和一定的基础，都可以报名参加。

3、报名方式同学们可以通过以下两种方式进行报名：（1）线上报名：登录学校官方网站，在指定的竞赛报名页面填写个人信息，包括姓名、班级、学号、联系方式等，并提交报名申请。

（2）线下报名：在学校教学楼具体位置领取报名表格，填写完整后交回至同一地点。

4、报名注意事项（1）请同学们务必认真填写报名信息，确保准确无误。

如有虚假信息，一经发现，将取消参赛资格。

（2）报名成功后，将收到系统或工作人员的确认通知，请同学们留意相关信息。

二、评分标准1、试卷结构与分值分布本次竞赛试卷满分为 100 分，包括选择题、填空题、计算题和应用题等多种题型。

其中，选择题占X分，填空题占X分，计算题占X分，应用题占X分。

2、评分细则（1）选择题：每道选择题都有明确的答案，答对得相应分数，答错或不答不得分。

（2）填空题：答案需准确无误，若答案存在数字错误、单位错误或表述不完整等情况，则不得分。

（3）计算题：按步骤给分，要求解题过程清晰、逻辑严谨。

如果计算结果错误，但解题思路和步骤正确，可酌情给分。

（4）应用题：主要考察同学们对数学知识的实际应用能力。

答案不仅要正确，还要有合理的分析和解释。

如果解题思路清晰、方法得当，但最终答案略有偏差，可根据情况给予一定的分数。

3、加分项（1）对于在解题过程中使用了创新方法或思路的同学，将给予额外的加分奖励。

（2）如果同学们能够在规定时间内提前完成试卷，并且答案正确无误，也将获得一定的加分。

4、扣分原则（1）卷面不整洁、字迹潦草难以辨认的，将酌情扣分。