高三数学专题04-数学开放性问题怎么解

高中数学开放题型解析教案教学内容：开放题是指题目没有固定答案，学生可以尽情发挥自己的思维能力、创造力来解答问题。

在高中数学教学中，开放题型是培养学生综合运用所学知识、思维能力的重要方式。

教学目标：1. 学生能够灵活运用所学知识，解决实际问题。

2. 学生能够培养创造性思维，提高解决问题的能力。

3. 学生能够通过解析开放题，提高学习兴趣和学习效果。

教学过程：1. 导入环节：通过介绍开放题的概念和作用，引导学生主动思考问题，并激发学生的兴趣。

2. 激发思维：给学生一些开放题目，让学生自由发挥，思考解决问题的方法和策略。

3. 分组探讨：将学生分成小组，鼓励他们互相讨论，分享解答的思路和方法。

引导学生相互学习，共同提高。

4. 整理总结：让学生展示自己的解答过程和思路，并对解答进行总结和评价，让学生了解自己的不足之处，以便改善。

5. 深化拓展：给学生更复杂的开放题目，让他们挑战自己，锻炼解决问题的能力，并不断提高。

教学评价：1. 通过观察学生的表现，了解学生的思维能力和解决问题的方法。

2. 对学生的解答进行点评和评价，鼓励学生的努力和创新。

3. 让学生自主评价自己的解答过程，发现自己的不足，以便不断进步。

教学延伸：1. 给学生更多开放题的练习，培养学生的解决问题能力和思维发展。

2. 鼓励学生自主探索，参加数学竞赛等活动，提高解决问题的能力和水平。

教学反思：1. 教学中要注重引导学生思考问题的方法，培养学生的创造性思维。

2. 要给学生足够的时间和空间来解决问题，不要过分干预学生的思考过程。

3. 要及时纠正学生解答中的错误，帮助学生及时发现问题，改正错误。

教学心得：通过本次教学，我发现学生的解决问题的能力和创造性思维有了很大的进步，他们在解答开放题时积极思考，勇于尝试，培养了解决实际问题的能力。

希望在接下来的教学中能够进一步引导学生，不断提高他们的解决问题能力和水平。

浅谈高中数学开放性问题数学开放性问题创新意识随着中国的日益发展，传统的教育模式已经不能适应知识经济的到来，现在知识教学中对确定事实的灌输、唯一答案的寻求，封闭习题的操练，难以适应对学生创新意识、创新精神、创新能力培养的要求。

必须改进我们的教学，将确定的事实、探究真理的方法和开放性、创造性态度融为一体，实现知识教学的革命，素质教育才可能真正深入。

一、数学开放性问题的含义开放性问题是相对于条件完备、结论确定的传统封闭题而言的。

是指那些条件不完备、结论不确定的，给学生形成了较大认知空间的问题。

它的核心是考查学生应用数学知识解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。

开放性问题是最富有教育价值的一种数学问题的题型。

二、数学开放题的特点（1）问题的条件常常是不完备的；（2）问题的答案是不确定的，具有层次性；（3）问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性；（4）问题的研究具有探索性和发展性；（5）问题的教学具有参与性和学生主体性。

由于开放题没有固定的标准答案，这就使教师在课堂教学中难以使用“灌输式”的教学方法，学生主动参与解题活动不但成为可能，而且是非常自然和必要的。

一些学生希望老师与学生一起来分享这种成功的喜悦，任何一个好教师都不会压制学生的这种愿望，这就使课堂教学自然地走向了以学生主动参与为主要特征的开放式的教学。

三、数学开放题的类型（1）条件开放题，未知的是解题假设。

（2）结论开放题，未知的是解题目标。

（3）策略开放题，未知的是解题推理。

四、数学开放题的教育价值1.开放题的教学有利于倡导民主的教学氛围由于开放题结果的多样性和解题策略的不唯一性，不同的学生常常有不同的解题策略和得到不同的结果，这为学生与学生之间进行交流提供了较大的空间。

学生之间通过开放性问题的讨论，能体会到同一个数学问题可以从不同的角度去观察，可以有不同的解决方式，相互之间受到有益的启发。

同时，学生之间的讨论过程是学生对数学开放题进行分析、综合、比较等思维活动的过程。

探索型问题一（开放性问题）【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型.开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在《2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】 一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一.例1 （1）如图7.1，△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上的一点，要使 △ABC ∽△BCD ，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________ _______________________（只需填写一个你认为适当的条件即可）.（2001年淄博市中考题） （2）如图7.2，在△ABC 和△FED 中，AD=FC ，AB=FE ，当添加条 件：__________________时，就可得到△ABC ≌△FED （只需填写一个你认为正确的条件）. （2003年无锡市中考题） 解：（1）BD=BC.（也可以是：∠ABC=∠BDC ；或∠A=∠DBC ；或BC ∶CD=AC ∶BC ；或BC 2=AC •CD 中的某一个）（2）∠A=∠F. （或BC=ED 等） 说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出能使结论成立的一个答案即可.例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2,4x y =⎧⎨=⎩和2,4x y =-⎧⎨=-⎩，试写出符合要求的方程组____________________________.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x ，又含y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方程实际上就是寻找x 与y 之间的关系.解：2,8.y x xy =⎧⎨=⎩说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A （2，4），B （-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）.B A CD 图7.1AB C DEF 图7.2本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合——一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，也是一个策略开放题.例3 已知：如图7.3.1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是»BD的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E.（1）求证：AB •DA=CD •BE ；（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在»BD上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）（2000年北京海淀区中考题）分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结AC.∵A 是»BD 的中点,∴»»AB AD =,∠ACB=∠ACD.∵EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB=∠ACB.又∵∠ABE=∠D ，∴△EAB ∽△ACD ，∴AB ∶CD=EB ∶AD ， ∴AB •AD=CD •BE.（2）解：如图7.3.2中，若有△EAB ∽△ACD ，则原结论成立，故我们只需探求使△EAB ∽△ACD 的条件. 由于∠ABE=∠D ，所以只要∠BAE=∠DAC 即可，这只要»»BF CD =即可.所以本题只要»»BF AD =，原结论就成立.说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法——分析法.例4 如图7.4，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧»AC 上一点，DE ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点.（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？（2）点D 在劣弧»AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ？为什么？ (2002年济南市中考题)分析：（1）连OC.要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO=900即可.由∠OCA=∠OAC ，∠PFC=∠AFH ，即可寻找出△PCF 所要满足的条件 （2）要使AD 2=DE ·DF ，即AD DFDE AD=，也就是要使△DAF ∽△DEA ， 这样问题就较容易解决了.解：（1）当PC=PF （或∠PCF=∠PFC ，或△PCF 是等边三角形）时，PC 与⊙O 相切. 连OC.∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC ，∴∠PCO=∠PCF+∠OCA=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠AHF=900, ∴PC 与⊙O 相切.图7.3.1图7.3.2 H BAEP O CD F 图7.4（2）当点D 是»AC 的中点时，AD 2=DE ·DF.连结AE.∵»»AD CD=，∴∠DAF=∠DEA. 又∵∠ADF=∠EDA ，∴△DAF ∽△DEA ， ∴AD DFDE AD=，即AD 2=DE ·DF. 说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC 与⊙O 相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论. 例5 如图7.5.1，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论DE 是⊙O 的切线.问：（1）若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 长为半径的圆 仍交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.（2）如果AB=AC=5cm, sinA=35,那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O与AC 相切？ （2001年黑龙江省中考题）分析：（1）连OD. ∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB=∠C ，∴ OD ∥AC ， 从而可得OD ⊥DE ，结论仍然成立.（2）若⊙O 与AC 相切，设切点为F ，连OF ，则由Rt △AOF 中可 求得OF=158，即OB=158. 解：（1）结论仍然成立. 如图7.5.2，连OD ，则OD=OB ，∠OBD=∠ODB. 又AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ODB=∠C ， ∴OD ∥AC.∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ， ∴DE 是⊙O 的切线.（2）如图7.5.3，若AC 与⊙O 切于点F ，连OF ，则OF ⊥AC ，即△AOF 是直角三角形，∴sinA=355OF OB AO OB ==-， ∴OB=158， 即当OB=158时，⊙O 与AC 相切.说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用方法.图7.5.1AOBECD图7.5.2ABCO F图7.5.3例6 如图7.6.1，⊙O 的直径AB ，过半径OA 的中点G 作弦CE ⊥AB ，在»CB上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M.（1）求∠COA 和∠FDM 的度数；（2）求证：△FDM ∽△COM ；（3）如图7.6.2，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一 点，点D 改取在»EB上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线 AB 于点F 、M. 试判断：此时是否仍有△FDM ∽△COM ？证明你的结论. （2003年苏州市中考题）（1）解：∵AB 是⊙O 的直径，CE ⊥AB ，∴»»AC CE，CG=EG. 在Rt △COG 中，∵OG=12OC ，∴∠OCG=30o ，∴∠COA=60o . 又∠CDE 的度数=12¼CAE 的度数=»AC 的度数=∠COA=60o ，∴∠FDM=180o -∠COA=120o .（2）证明：∵∠COM=180o -∠COA=120o ，∴∠COM=∠FDM. 在Rt △CGM 和Rt △EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ， ∴∠GMC=∠GME.又∠DMF=∠GME ，∴∠OMC=∠DMF ， ∴△FDM ∽△COM.（3）解：结论仍然成立.∵∠FDM=180o -∠CDE ， ∴∠CDE 的度数=12¼CAE 的度数=»AC 的度数=∠COA ， ∴∠FDM=180o -∠COA=∠COM.∵AB 为直径，CE ⊥AB ，∴在Rt △CGM 和Rt △EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ， ∴∠GMC=∠GME ， ∴△FDM ∽△COM.说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立. 在探求时应寻着（2）的解题思路来进行.三、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目.例7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含150角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.（2000年荆州市中考题）DAF C EDM OG BAF CEMO G B 图7.6.1图7.6.2分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或450-300，或600+450-900等来得到150的角. 解：如图所示. 图7.7.1中就包含有两中构造方法， ∠ABD 和∠ACD 都等于15o ；图7.7.2中，∠EFG=15o .请同学们试着拼出其它的图形.说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这类问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到.例8 如图，把边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm ×1cm ）.（1）不是正方形的菱形（一个）； （2）不是正方形的矩形（一个）； （3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）； （5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）. （2001年徐州市中考题）解：（1） （2）3）（4）（5） （6）说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力，有利于充分发挥学生的想象力和创造力，这对培养学生的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可以运算得（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，－6，10，用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24，运算如下： （1）_____________________；（2）________________________；（3）_________________________. 另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）____________________________，使其结果等于24. （2001年杭州市中考题）分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加. 本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其实就是有理数的运算.本题具有开放性，答案是不唯一的.AB C D E F G图7.7.1 图7.7.1图7.8解：（1）3×[4＋（－6）＋10]＝24；（2）4－（－6）÷3×10＝24；（3）（10－4）－3×（－6）＝24. （4）[（－5）×（－13）＋7]÷3＝24.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性.四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题.例10 某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答.（2001年吉林省中考题）分析：这里“距离”和“速度”都有了，故我们可以考虑从时间上去把本题补完整. 解一：摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地，则摩托车比运货汽车早到几分钟？设摩托车比运货汽车早到x 分钟，则4040603545x ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，x=4021.答：摩托车比运货汽车早到4021分钟. 解二：摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行，则几分钟后它们相遇？ 设摩托车与运货汽车出发x 分钟后相遇，则（45+35）×60x= 40，x=30. 答：摩托车与运货汽车出发30分钟后相遇.解三：运货汽车从甲地出发10分钟后，摩托车从甲地出发去追赶运货汽车，问在到达乙地前，摩托车能否追上运货汽车？运货汽车走完全程需408357=小时，摩托车走完全程需408459=小时， 摩托车比运货汽车少用88167963-=小时.∵1610906360126-=>， ∴摩托车在运货汽车到达乙地前能追上.解四：摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行，问经过几小时摩托车可追上运货汽车？设经过x 小时摩托车可追上运货汽车，则 45x=40+35x ，解得x=4.答：经过4小时摩托车可追上运货汽车.说明：由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题，所以我们还可以编出很多这样的问题来，同学们不妨试试.习题七一、填空题 1．（1）写出和为6的两个无理数_________________.（2003年绍兴市中考题）（2）若关于x 的方程x 2+kx-12=0的两根均是整数，则k 的值可以是______________.（只要求写出两个） （2001年浙江省中考题） 2．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连结AD ，请你添加一个条件，使△ABD ≌△ACD ，并说明全等的理由. 你添加的条件是_________________________.（2002年金华市中考题） 二、解答题3.做一做:用四块如图1的瓷砖聘成一个正方形,使 拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3 图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不 相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.（2003年无锡市中考题）4．先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题.编写要求：（1）编写一道行程问题的应用题，使得根据题意列出的方程为120120110x x -=+； （2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且解符合实际. （2001年青岛市中考题）5．同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）. 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.（2000年广东省中考题）6．如图，⊙O 与⊙O 1完外切于点T ，PT 为其内公切线，AB 为其外公切线，A 、B 为切点，AB 与TP 相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明.（2001年杭州市中考题） 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，给出5个论断： ①CD ⊥AB ；②BE ⊥AC ；③AE=CE ；④∠ABE=30o ；⑤CD=BE. （1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗？ 答：____________; （2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是__________________ （只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组 成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明.（2003年徐州市中考题） 8．如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点.（1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连接BE 后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）. （2002年江西省中考题）图1 图2 图3 图4 第3题A BP TO O 第6题 A BD C E第7题 B A C D E第8题9．已知在直角坐标系中，直线y=+x轴、y轴分别交于点A、点B，以AB为一边的等腰△ABC的底角为300，请在坐标系中画出△ABC，并求出点C的坐标.（2000年北京市崇文区中考题）10．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28o.（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在点D，使AB•CD=AC•BC？为什么？（2001年广州市中考题）参考答案：1.（1（2）1,-1(或4，-4；或11，-11)2．答案不唯一. 添加的条件可以是：①AB=AC；②∠B=∠C；③BD=DC（或D是BC中点）；④∠BAD=∠CAD（或AD平分∠BAC）等.3．略.4．所编应用题符合编写要求. 正确设未知数、列方程，正确求出方程的解.5．方案（2）：若这角是直角，则这两个三角形全等.方案（3）：在两个钝角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（4）：在两个锐角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.6．AB=2PT. 证明略.7．（1）一定. （2）①、③、④. （3）已知，如图，在△ABCD、E分别在AB、AC上，CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30o. 求证：CD=BE. 证明：作EF∥CD交AB于F. ∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF. ∵CD⊥AB，∴EF⊥AB. 在Rt△EFB中，∠EFB=90o，∠EBF=30o，∴BE=2EF，∴CD=BE. 图要正确.8．（1）证明：连结AC、AD，∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=AD. 又∵F为CD的中点，∴AF⊥CD.（2）①BE∥CD；②AF⊥BE；③△ACF≌△ADF；④∠BCF=∠EDF；⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形. （还可写出其它的结果）9．如图，C1（6，0），C2（0，-，C3（0），C4（-4，C5（2），C6（2，.10．（1）∵AB是直径，∠ACB=90o. 又∠A=28o，∴∠B=62o.又MN是切线，C为切点，∴∠ACM=62o.（2）在MN上存在符合条件的点D. 证明：过点A作AD⊥MN于D. 在Rt△ABC和Rt△ACD中，MN切半圆ACB于点C，∴∠B=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，∴AB BCAC CD=，即AB•CD=AC•BC.A BCMN第10题ACBDEF第7题。

浅谈高考数学开放性问题开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的，是一种新的教育理念的具体体现。

自二十世纪70年代，一些欧美国家在中小学教学中较为普遍地使用数学开放题以来，数学开放题已逐渐被数学教育界认为是最富有教育价值的一种数学问题，因为数学开放题能够激起学生的求知欲和学习兴趣，而强烈的求知欲望，浓厚的学习兴趣是创新能力发展的内在动力。

80年代介绍到我国后，在国内引起了广泛的关注，各类刊物发表了大量的介绍、探讨开放题的理论文章或进行教学实验方面的文章，并形成了一个教育界讨论研究的亮点。

二十世纪90年代，在全国和各地的高考数学试题中连续出现具有开放性的题目。

例如1993年的存在性问题，1994年的信息迁移题，1995年的结论探索性问题，1996年的主观试题客观化，1997年填空题选择化，1998的条件开放题，1999年的结论和条件探索开放。

2003年以后，随着新课程标准的改革和推进，又不断增加图表型问题（如程序框图、三视图），创新型问题，回归分析与独立性检验问题，合情推理与演绎推理问题等。

一、近几年高考数学开放题的常见题型有:1.按命题要素的发散倾向分为条件开放型、结论开放型、方法开放型、综合开放型；2.按解题目标的操作摸式分为规律探索型、分类讨论型、数学建模型、问题探求型、情景研究型；3.按信息过程的训练价值分为知识巩固型、知识发散型、信息迁移型；4.按问题答案的机构类型分为有限可列型、有限混沌型、无限离散型、无限连续型。

二、高考数学开放题的命题无论是改造陈题，还是自创新题，编制数学开放题都要围绕使用开放题的目的进行，开放题应当随着使用目的和对象的变化而改变，应作为常规问题的补充，在研究型课程中适合学生研究性学习的开放题应具备起点低、入口宽、可拓展性强的特点。

其主要从以下几方面着手：1、以一定的知识结构为依托，从知识网络的交汇点寻找编制问题的切入点。

以一定的知识为背景，编制出开放题，面对实际问题情景，学生可以分析问题情景，根据自己的理解构造具体的数学问题，然后尝试求解形成的数学问题并完成解答.2、以某一数学定理或公式为依据，编制开放题。

数学开放性问题怎么解数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.例 1 设等比数列{}n a 的公比为 q ；前 n 项和为 n S ；是否存在常数 c ；使数列 {}c S n +也成等比数列？若存在；求出常数c ；若不存在；请 明 理 由.讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数c ； 使数列{}c S n + 成等比数列.212)())((c S c S c S n n n +=++++211222(++++--=-⋅∴n n n n n n S S S c S S S(i) 当 1=q 时；1na S n = 代入上式得()[])2()1((1)2(122121+--+=+-+n n n a ca n a n n a 即21a =0但01≠a , 于是不存在常数c ；使{}c S n +成等比数列.(ii) 当 1≠q 时；qq a S n n --=1)1(； 代 入 上 式 得1,)1()1()1()1(1212221-=∴--=---q a c q q q ca q q q a n n .综 上 可 知 , 存 在 常 数 11-=q a c ；使{}c S n +成等比数列.等比数列n 项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比1=q 的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床；并立即投入生产使用；计划第一年维修、保养费用12万元；从第二年开始；每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元；该机床使用后；每年的总收入为50万元；设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始；该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后；对机床的处理方案有两种：(i )当年平均盈利额达到最大值时；以30万元价格处理该机床；(ii )当盈利额达到最大值时；以12万元价格处理该机床；问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. （1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y =984022-+-x x . （2）解不等式 984022-+-x x ＞0, 得 5110-＜x ＜5110+.∵ x ∈N ； ∴ 3 ≤x ≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利.（3）(i) ∵）x x x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当xx 982=时；即x=7时；等号成立.∴ 到2008年；年平均盈利额达到最大值；工厂共获利12×7+30=114万元.(ii) y=-2x 2+40x-98= -2（x-10）2+102； ∴当x=10时；y max =102.故到2011年；盈利额达到最大值；工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题；二、三元均值不等式是常用的工具. 例3 已知函数f (x )=412-x (x <-2)(1)求f (x )的反函数f -1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =-f -1(a n )(n ∈N ),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1-S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N ,有b n <25m 成立？若存在；求出m 的值；若不存在说明理由.讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性. (1) y =412-x ,∵x <-2；∴x= -214y +, 即y =f -1(x )= - 214x +(x >0).(2) ∵21141n n a a +=+ , ∴22111n n a a -+=4. ∴{21na }是公差为4的等差数列. ∵a 1=1, ∴21n a =211a +4(n -1)=4n -3. ∵a n >0 , ∴a n =341-n .(3) b n =S n +1-S n =a n +12=141+n , 由b n <25m ,得 m >1425+n 对于n ∈N 成立.∵1425+n ≤5 , ∴m >5,存在最小正数m =6,使得对任意n ∈N 有b n <25m成立. 为了求a n ,我们先求21n a ,这是因为{21na }是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.例4 已知数列))(,(,1,}{11N n a a P a a n n n ∈=+且点中在直线x-y+1=0上. （1） 求数列{a n }的通项公式；（2）若函数),2,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 求函数f(n)的最小值；(3)设n nn S a b ,1=表示数列{b n }的前n 项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.（1）011=+-+n n a a.1,01,,01,01,011113221n n a a n a a a a a a a a n n n n =-+==-+-=+-=+-=+-∴-得以上各式相加（2） n n n n f 212111)(+++++=, 221121213121)1(+++++++++=+n n n n n n f ,01122122111221121)()1(=+-+++>+-+++=-+∴n n n n n n n f n f .,)(是单调递增的n f ∴.127)2()(=f n f 的最小值是故 （3）n s n b n n 12111+++=⇒= ,,1)1(),2(1111+=--≥=-∴---n n n n n s s n ns n n s s 即 1)2()1(221+=---∴---n n n s s n s n . ,1,121211112-++++=-∴+=--n s s s s ns s s s n n.)(),2()1(121n n g n n s n ns s s s n n n =∴≥⋅-=-=+++∴-故存在关于n 的整式,)(n n g =使等式对于一切不小2的自然数n 恒成立.事实上, 数列{a n }是等差数列, 你知道吗？例5 深夜；一辆出租车被牵涉进一起交通事故；该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司；其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。

高考数学开放题的类型及解题策略数学开放题是相对于条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题。

条件完备、答案固定的数学题在发展学生思维、提高学生素质方面带有一定的局限性，而开放性试题以其复杂多变、综合性强、知识覆盖面宽，注重考察探索精神和创新意识等特征而逐渐成为高考热点。

纵观近几年高考试题，开放性试题的趋势有增无减。

本文对近几年高考数学开放性试题进行归类，并分别探讨它们的解题策略。

一、条件开放型：此类试题，命题中已给出结论，但题设的条件不充分，需探求结论成立的条件或部分条件。

求解此类问题时，应运用“执果索因法”寻求结论成立的充分条件。

例如：（1998年全国理）在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD 满足条件时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。

）解析：由已知，BD//B1D1，要使A1C⊥B1D1,只需A1C⊥BD.由三垂线定理知，AC⊥BD即可。

当然，答案也可以是ABCD是正方形，或菱形等。

二、条件、结论均开放型：此类试题，条件、结论均是开放的，要求考生自己去探索，没有现成的公式可套。

求解此类问题时，应先组成命题，再通过代数运算或逻辑推理去验证真假。

例如（1999年全国高考理科试题）“α，β是两个不同的平面，m、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断（1）m⊥n ,（2）α⊥β(3)n⊥β(4)m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。

”解析：由题意，可组成四个命题，逐一判断，得到答案是“m⊥α,n⊥β,α⊥β=>m⊥n”或“m⊥n，m⊥α，n⊥β=>α⊥β”。

三、结论探索型此类题型的结论不明确，或结论不唯一。

求解此类问题时，可以“执因索果”直推结论，也可以综合运用观察，分析、类比、划归、特殊化等方法猜想结论，再“执果索因”，论证猜想。

高考数学开放性问题的类型及其求解策略摘要：当今时代下，更多的开始需求一些有着开放性思维的人才，因而在高考的试卷中便出现了开放性问题。

与此同时，近几年来开放性试题在高考试卷中所占据的比重也是在逐渐增加，在单选题、多选题、填空题以及解答题中都开始命制相应的开放性试题，并且在卷纸最后的压轴题也开始设计成开放性问题的形式，这为学生的数学学习也带来了一定的挑战。

关键词：高考数学；开放性问题；求解策略引言：近些年来，随着社会的不断发展，对于人才的要求愈发增加，高考作为对人才的一次重要筛选，主要是以试卷的形式进行，因而在试卷的题型上也开始有所变化，出现了更多的开放性试题。

开放性试题主要便是指一类已知条件或者结论不够完善的题目，这些题目由命题人依据数学学科的特点，将高中阶段的数学知识进行有机结合，并将其赋予一个新的情境而产生。

这些题目的求解策略大多需要考生掌握教全面的数学知识体系，通过观察、分析、探索，创造性地运用数学知识、数学思想、数学方法，进行有效解答，会更加有利于筛选出拥有较强数学思维、较高创新能力以及分析解决问题能力的人才。

一、题设开放类型题设开放型是指在命题中已给出最终结论，但是给予的题设条件不够充分，需要学生通过对结论的探索分析，寻找能够使得结论成立的题设，然后完成题目的解答。

在对于题设开放类型题目求解的过程中一般都要采用执果索因的策略进行题目的解答，也就是要找到能够使得题中结论成立的一个或者多个充分条件，在找到答案以后为了确保答案的准确，也可以再利用题设进行结论的推导，从而对自己探索的结果进行验证。

例1：如图，在三棱柱中，已知，当底面满足条件____________时，有分析：本题是题设开放型试题，也就是要寻找成立的充分条件，当底面满足条件时，推导出，，，，从而，由此能够证明当底面满足条件时，有 .本题是题设开放型试题，考查了线面垂直的证明、空间中线、线面、面面间位置关系等基础知识，在解题的过程中一定要综合考虑，对知识进行灵活运用，在多种解答中选取自己掌握的最完善的解答步骤也是做这类开放题型的一个重要策略。