2019-2020人教A版数学必修1 课时分层作业8 分段函数与映射

第一章1.2 1.2.2第二课时 分段函数及映射课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( ) ①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ； ②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ； ③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.2．若A 为含三个元素的数集，B ＝{－1,3,5}，使得f ：x →2x －1是从A 到B 的映射，则A 等于( )A ．{－1,2,3}B ．{－1,0,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2}解析：选C 由映射的概念，A 中的元素在关系x →2x －1下，成为－1,3,5，则A ＝{0,2,3}．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f [f (3)]＝( )A.15B ．3C.23 D ．139解析：选D f (3)＝23，f [f (3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139. 4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2.若f (x )＝3，则x ＝( )A ．1B ．±3 C.32D ． 3解析：选D 若⎩⎨⎧ x ＋2＝3，x ≤－1，即⎩⎨⎧x ＝1，x ≤－1无解；若⎩⎨⎧ x 2＝3，－1＜x ＜2，⎩⎨⎧x ＝±3，－1＜x ＜2，所以x ＝ 3. 若⎩⎨⎧2x ＝3，x ≥2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，x ≥2无解．综上可知，x ＝ 3.5．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎨⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x ＝________.解析：由题意知，⎩⎨⎧ 5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－10.所以y ＝3x －10.由3x －10＝20，得x ＝10. 答案：107．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1＜x ＜2，x ＋1，x ≥2的值域是________．解析：当0≤x ≤1时，2x 2∈[0,2]；当x ≥2时，x ＋1≥3，所以函数f (x )的值域是[0,2]∪[3，＋∞)．答案：[0,2]∪[3，＋∞)8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元．则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 答案：139．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．解：∵当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ，f (0)＝c ，f (－1)＝(－1)2－b ＋c .∵f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎨⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－2.则f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1. 由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， ∴方程f (x )＝x 的解为－2,2.10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．解：当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4＜x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8＜x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4＜x ≤8，24－2x ，8＜x ≤12.‖层级二‖|应试能力达标|1．函数f (x )＝x 2－2|x |的图象是( )解析：选C f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，分段画出，应选C.2．(2019·兰州高一检测)已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析：选B g (π)＝0，f [g (π)]＝f (0)＝0.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x ＜0}解析：选A 当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1， 所以0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x ＜0，综上，x ≤1.∴解集为{x |x ≤1}，故选A. 4.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自点O 开始移动．设线段OE ＝x ，过点E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D解法一：当x∈[0,2]时，直线OA：y＝12x，此时S＝12·x·⎝⎛⎭⎪⎫x2＝x24；当x∈(2,3]时，直线AB：y＝3－x，S＝12·3·1－12·(3－x)·(3－x)＝－x22＋3x－3；当x>3时，S＝32.对比图形特征易得D符合．解法二：显然当x＝2时，面积为1，排除A，B，注意到x∈[0,2]时，面积增速越来越快，排除C.5．(2019·聊城高一检测)若定义运算a⊙b＝⎩⎨⎧b，a≥b，a，a＜b，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意知f(x)＝⎩⎨⎧2－x，x≥1，x，x＜1.画出图象为由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．答案：(－∞，1]6．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2，－1≤x＜0，－12x，0＜x＜2，3，x≥2，则f⎩⎨⎧⎭⎬⎫f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝⎛⎭⎪⎫－34＝________.解析：∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12，而0<12<2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝32.答案：327．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则实数a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－348．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0＜12，且f (x 0)＝x 0＋12， 又12≤x 0＋12＜1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12∈B ，所以f [f (x 0)]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0，又f [f (x 0)]∈A ， 所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14<x 0≤12，又0≤x 0＜12， 所以14＜x 0＜12.由Ruize收集整理。

A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据映射的概念，A 中的元素在B 中有唯一的像与之对应，这样对应可以是多对一，也可以是一对一．B 中的元素可以没有原像对应，故①②正确，选B.答案：B2．已知函数f (x )＝Error!且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )＋的图象是( )x ＝Error!x |x ．下列各对应中，构成映射的是( )，C 中集合A 中的元素1，在集合B 中有答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知f(x)＝Error!则f(1)＋f(－1)＝________.解析：因为1>0，所以f(1)＝2×1＝2；因为－1<0，所以f(－1)＝(－1)2－2＝－1.故f(1)＋f(－1)＝2＋(－1)＝1.答案：11,2]上的图象如图所示，则y＝x＋1；当x∈当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝，∴a ＝±∈[－1,1]；22当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝，∴a ＝－>－1(舍去)．3234综上，a ＝2或a ＝±.2210．已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射x答案：313．画出下列函数的图象：(1)f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)；(2)f(x)＝|x＋2|.解析：(1)f(x)＝[x]＝Error!函数图象如图1所示．图1 图2 2|＝Error!画出y＝x＋2的图象，取[－2，＋＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图．已知函数f(x)＝Error!。

课时作业(八) 分段函数及映射[学业水平层次]一、选择题1．设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤4}，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝x 2B ．f ：x →y ＝3x －2C ．f ：x →y ＝－x ＋4D ．f ：x →y ＝4－x 2【解析】 当x ∈[1，2]时，y ＝4－x 2∈[0，3]，故选项D 中的“f ”不能构成A 到B 的映射． 【答案】 D2．已知f (x )＝⎩⎨⎧x －5 （x ≥6），f （x ＋2） （x ＜6），则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 ∵3＜6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2. 【答案】 A3．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1，3－y )对应，则与B 中元素(0，1)对应的A 中元素是( )A ．(－1，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(－1，3)【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，3－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A 中的元素为(1，2)．【答案】 C4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （2）的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18【解析】 ∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f （2）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516. 【答案】 A 二、填空题5．(2022·郑州高一检测)设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________． 【解析】由f (2)＝3，得2a －1＝3∴a ＝2，∴f (x )＝2x －1，∴f (3)＝5. 【答案】 56．(2022·镇江高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________．【解析】 由题意知f (0)＝2，又f (2)＝22＋2a ∴22＋2a ＝4a ∴a ＝2. 【答案】 2图1-2-37．已知函数f (x )的图象如右图1-2-3所示，则f (x )的解析式是________．【解析】 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x ＜0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝ －1.【答案】 f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1， －1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤1三、解答题8．a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a ，0}，f ：x →2x 表示把集合M 中的元素x ，映射到集合N 中为2x ，求a ＋b 的值．【解】 由题意知，集合M 中的元素1只能对应集合N 中的a ，故a ＝2，故N ＝{2，0}，而M 中的a b 可能对应集合N 中的2或0，当b a 对应2时，则ba ＝1，则b ＝2，此时M 中有两个相同元素，不合适，故b ＝2应舍去，当b a 对应0时，则ba ＝0，则b ＝0，此时M ＝{0，1}，符合题意，综上可知a ＝2，b ＝0，即a ＋b ＝2.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋a ，x ≤1，x 2－2x ，x ≥1.(1)求a 的值； (2)求f (f (2))的值； (3)若f (m )＝3，求m 的值．【解】 (1)由函数定义，得当x ＝1时， 应有1＋a ＝12－2×1， 即a ＝－2.(2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1，x 2－2x ，x ≥1.由于2>1，所以f (2)＝22－2×2＝0， 由于0<1，所以f (f (2))＝f (0)＝0－2＝－2. (3)当m ≤1时，f (m )＝m －2，此时m －2＝3得m ＝5，与m ≤1冲突，舍去； 当m ≥1时，f (m )＝m 2－2m ，此时m 2－2m ＝3得m ＝－1或m ＝3. 又由于m ≥1，所以m ＝3.综上可知满足题意的m 的值为3. [力量提升层次]1．设f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 【解析】 g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0，故选B. 【答案】 B2．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{3，5}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射的个数是( )A ．4B ．6C ．8D ．9【解析】 ∵f (3)＝3，∴只需A 中的元素1，2都是B 中的唯一元素与之对应，1的象可以为3，5中的一个，2的象也可以为3，5中的一个，故满足条件的映射的个数为2×2＝4.故选A.【答案】 A3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【解析】 当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0，时，1－a ＞1，1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.【答案】 －344．如图1-2-4在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，图1-2-4沿着折线BCDA 由点B (起点)向A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .试求：(1)y 与x 之间的函数关系式； (2)画出y ＝f (x )的图象．【解】 (1)①当点P 在线段BC 上运动时， S △APB ＝12×4x ＝2x (0≤x ≤4)． ②当点P 在线段CD 上运动时， S △APB ＝12×4×4＝8(4＜x ≤8)． ③当点P 在线段AD 上运动时，S △APB ＝12×4×(12－x )＝24－2x (8＜x ≤12)．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，（0≤x ≤4），8，（4＜x ≤8），24－2x ，（8＜x ≤12）.(2)画出y ＝f (x )的图象， 如图所示：。

第2课时 分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应_____________________________________________________． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中____________确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的__________．一、选择题1．已知，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A ．100元B ．90元C ．80元D ．60元4．已知函数，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－525．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．18立方米 D ．26立方米6．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x二、填空题7．已知，则f (7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题10．已知，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( ) A．∅ B．∅或{1}C．{1} D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． (2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况． 2．对映射认识的拓展映射f ：A →B ，可理解为以下三点：(1)A 中每个元素在B 中必有唯一的元素与之对应；(2)对A 中不同的元素，在B 中可以有相同的元素与之对应；(3)A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多． 3．函数与映射的关系映射f ：A →B ，其中A 、B 是两个“非空集合”；而函数y ＝f (x )，x ∈A 为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射． 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2，若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ， x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.]7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6. 8.32{x |x ≥－1且x ≠0} 解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x <0，－x ， 0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. 当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入， 则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]． 11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合． 无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝kv 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 v <25212 500v 2Sv ≥252.。

课时作业（八） 分段函数与映射一、选择题1．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选A ①是映射,是一对一；②③是映射,满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射,是一对多；⑥不是映射,a 3,a 4在集合B 中没有元素与之对应．2．映射f ：A→B ,在f 作用下A 中元素(x,y)与B 中元素(x －1,3－y)对应,则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是(1,2)．3．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5， x≥6，f x ＋2， x ＜6，则f(3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A f(3)＝f(3＋2)＝f(5), f(5)＝f(5＋2)＝f(7)． ∵f(7)＝7－5＝2,故f(3)＝2.4．设x ∈R,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x|＝x|sgn x|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgn xD ．|x|＝xsgn x解析：选D 当x ＜0时,|x|＝－x,x|sgn x|＝x,xsgn|x|＝x,|x|sgn x ＝(－x)·(－1)＝x,排除A 、B 、C,故选D.5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费符合f(m)＝⎩⎪⎨⎪⎧3.71，0<m≤4，1.060.5×[m]＋2，m>4，其中[m]表示不超过m 的最大整数,从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )A ．3.71B ．4.24C ．4.77D ．7.95解析：选C f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77. 二、填空题6．集合A ＝{a,b},B ＝{－1,0,1},从A 到B 的映射f ：A→B 满足f(a)＋f(b)＝0,那么这样的映射f ：A→B 的个数是________．解析：由f(a)＝0,f(b)＝0得f(a)＋f(b)＝0； 由f(a)＝1,f(b)＝－1得f(a)＋f(b)＝0； 由f(a)＝－1,f(b)＝1得f(a)＋f(b)＝0.共3个． 答案：37．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a≥b，a ，a<b ，则函数f(x)＝x ⊙(2－x)的值域为________．解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x≥1，x ，x<1，画出函数f(x)的图象得值域是(－∞,1]．答案：(－∞,1]8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x≤0，2， x>0，若f(－4)＝f(0),f(－2)＝－2,则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数是________．解析：由f(－4)＝f(0)⇒(－4)2＋b×(－4)＋c ＝c, f(－2)＝－2⇒(－2)2＋b×(－2)＋c ＝－2, 解得b ＝4,c ＝2.则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x≤0，2，x>0.由f(x)＝x,得x 2＋4x ＋2＝x ⇒x 2＋3x ＋2＝0⇒x ＝－2或x ＝－1,即当x≤0时,有两个解．当x>0时,有一个解x ＝2.综上,f(x) ＝x 有3个解．答案：3 三、解答题9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x≤0，x 2－2x ，0<x≤4，－x ＋2，x>4.(1)求f(f(f(5)))的值； (2)画出函数的图象．解：(1)∵5>4,∴f(5)＝－5＋2＝－3. ∵－3<0,∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. ∵0<1<4,∴f(f(f(5)))＝f(1) ＝12－2×1＝－1, 即f(f(f(5)))＝－1. (2)图象如右图所示．10.在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P,从B 点开始,沿折线BCDA 向A 点运动(如图),设P 点移动的距离为x,△ABP 的面积为y,求函数y ＝f(x)及其定义域．解：如题图,当点P 在线段BC 上, 即0≤x≤4时,y ＝12×4×x＝2x ；当P 点在线段CD 上,即4<x≤8时,y ＝12×4×4＝8；当P 点在线段DA 上,即8<x≤12时,y ＝12×4×(12－x)＝24－2x.∴y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x≤4，8，4<x≤8，24－2x ，8<x≤12，且f(x)的定义域是[0,12]．11．一水池有2个相同进水口,1个出水口,每个口进出水速度如图甲、乙所示；某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示,请列出水池在不同时段的进出水口安排．解：由甲图可以看出,每个进水口1小时进水量为1个单位, 由乙图可以看出,每个出水口1小时出水量为2个单位, 由丙图：0～3点：2个进水口同时进水,不出水．3～4点：1个进水口在进水,同时1个出水口在出水． 4～6点：方案1：关闭所有进出水口,不进水不出水．方案2：2个进水口与1个出水口同时工作,保持进出水量相等．12．设A ＝{1,2,3,m},B ＝{4,7,n 4,n 2＋3n},对应关系f ：x→y＝px ＋q,已知m,n ∈N *,1对应的元素是4,2对应的元素是7,试求p,q,m,n 的值．解：因为1对应的元素为4,2对应的元素为7,列方程组⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝1.故对应关系为f ：x→y＝3x ＋1.由此判断A 中元素3对应的元素要么是n 4,要么是 n 2＋3n.若n 4＝10,则n ∈N *不成立,所以n 2＋3n ＝10,解得n ＝－5(舍去)或n ＝2. 因为集合A 中的元素m 对应的元素只能是n 4,等于16, 所以3m ＋1＝16, 所以m ＝5.故p ＝3,q ＝1,m ＝5,n ＝2.。

第2课时　分段函数与映射课后篇巩固提升基础巩固1.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345A.[2,5]B.NC.(0,20]D.{2,3,4,5},y={2,0<x<5,3,5≤x<10,4,10≤x<15,5,15≤x≤20,所以函数的值域为{2,3,4,5}.故选D.2.若f(x)=则f(5)的值为( ){x-3,x≥10,f(f(x+6)),x<10,A.8B.9C.10D.11,f(5)=f(f(11))=f(8)=f(f(14))=f(11)=8.故选A.3.已知f:x→x2是集合A到集合B={0,1,4}的一个映射,则集合A中的元素最多有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个x2=0,1,4,解得x=0,±1,±2.故选C.4.设f (x )=若f (x )=9,则x=( ){-x -3(x ≤-1),x 2(-1<x <2),3x (x ≥2),A.-12B.±3C.-12或±3D.-12或3(x )={-x -3(x ≤-1),x 2(-1<x <2),f (x )=9,3x (x ≥2),当x ≤-1时,-x-3=9,解得x=-12;当-1<x<2时,x 2=9,解得x=±3,不成立;当x ≥2时,3x=9,解得x=3.∴x=-12或x=3.故选D .5.已知函数f (x )=则不等式xf (x-1)≤1的解集为( ){-1,x <0,1,x ≥0,A .[-1,1]B.[-1,2]C.(-∞,1]D.[-1,+∞)解得-1≤x ≤1.{x -1<0,x ×(-1)≤1或{x -1≥0,x ×1≤1,6.已知f (x )=则f (f (f (5)))等于 . {0,x >0,-1,x =0,2x -3,x <0,(f (f (5)))=f (f (0))=f (-1)=2×(-1)-3=-5.57.已知f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式为 .0≤x ≤1时,f (x )=-1;当1≤x ≤2时,设f (x )=kx+b (k ≠0),则解得此时f (x )=x-2.{k +b =-1,2k +b =0,{k =1,b =-2,综上,f (x )={-1,0≤x ≤1,x-2,1<x ≤2.(x )={-1,0≤x ≤1,x -2,1<x ≤28.a ,b 为实数,集合M=,N={a ,0},f :x →2x 表示集合M 中的元素x 在集合N 中的对应元素为2x ,则{b a ,1}a+b= .M 中元素只能对应0,1只能对应a ,所以所以故a+b=2.b a {a =2,2ba =0,{a =2,b =0,9.已知函数f (x )={-2x ,x ∈(-∞,-1),2,x ∈[-1,1],2x ,x ∈(1,+∞).(1)求f ,f ,f (4.5),f ;(-32)(12)(f (12))(2)若f (a )=6,求a 的值.∵-∈(-∞,-1),32∴f =-2×=3.(-32)(-32)∵∈[-1,1],∴f =2.12(12)又2∈(1,+∞),∴f =f (2)=2×2=4.(f (12))∵4.5∈(1,+∞),∴f (4.5)=2×4.5=9.(2)经观察可知a ∉[-1,1],否则f (a )=2.若a ∈(-∞,-1),令-2a=6,得a=-3,符合题意;若a ∈(1,+∞),令2a=6,得a=3,符合题意.故a 的值为-3或3.10.设函数f (x )=若f (-2)=f (0),f (-1)=-3,求关于x 的方程f (x )=x 的解.{x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,当x ≤0时,f (x )=x 2+bx+c ,∴f (-2)=(-2)2-2b+c ,f (0)=c ,f (-1)=(-1)2-b+c.∵f (-2)=f (0),f (-1)=-3,∴解得{(-2)2-2b +c =c ,(-1)2-b +c =-3,{b =2,c =-2.则f (x )=当x ≤0时,由f (x )=x 得x 2+2x-2=x ,得x=-2或x=1.{x 2+2x -2,x ≤0,2,x >0,由于x=1>0,所以舍去.当x>0时,由f (x )=x 得x=2,∴方程f (x )=x 的解为-2,2.能力提升1.给出如图所示的对应:其中能构成从A 到B 的映射的个数为( )A.3B.4C.5D.6是映射,是一对一;②③是映射,满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应;④⑤不是映射,是一对多;⑥不是映射,a 3,a 4在集合B 中没有元素与之对应.2.若函数f (x )=则f 的值为( ){1-x 2,x ≤1,x 2+x -2,x >1,(1f (2))A. B.- C. D.181516271689(2)=22+2-2=4,f =f =1-,故选A .(1f (2))(14)(14)2=15163.函数f (x )=的值域是( ){2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2A.RB.[0,+∞)C.[0,3]D.[0,2]∪{3}y=f (x )的图象如图所示.由图知,f (x )的值域是[0,2]∪{3}.4.设f (x )=若f (a )=f (a+1),则f =( ){x ,0<x <1,(x -1),x ≥1.(1a )A.2B.4C.6D.80<a<1,由f (a )=f (a+1)得=2(a+1-1),∴a=,∴f =f (4)=2×(4-1)=6.a 14(1a )若a ≥1,由f (a )=f (a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),无解.综上,f =6.故选C .(1a )5.已知A={x|x=n 2,n ∈N },给出下列关系式:①f (x )=x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3;④f (x )=x 4;⑤f (x )=x 2+1,其中能够表示函数f :A →A 的个数是( )A.2B.3C.4D.5中,f (x )=x ,若x ∈A ,则x=n 2,n ∈N ,则f (x )=n 2,n ∈N ,满足A 中任何一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应,故正确.②中,f (x )=x 2,若x ∈A ,则x=n 2,n ∈N ,则f (x )=(n 2)2,n 2∈N ,满足A 中任何一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应,故正确.③中,f (x )=x 3,若x ∈A ,则x=n 2,n ∈N ,则f (x )=(n 2)3=(n 3)2,n 3∈N ,满足A 中任何一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应,故正确.④中,f (x )=x 4,若x ∈A ,则x=n 2,n ∈N ,则f (x )=(n 2)4=(n 4)2,n 4∈N ,满足A 中任何一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应,故正确.⑤中,f (x )=x 2+1,若x=1,则f (x )=2∉A ,不满足A 中任何一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应,故错误,故选C .6.若函数f (x )=则f (5)= . {x 2,x ∈[-1,1],f (x -2),x ∈(1,+∞),f (x )={x 2,x ∈[-1,1],f (x -2),x ∈(1,+∞),所以f (5)=f (3)=f (1)=12=1.7.函数y=的最大值是 . {2x +3,x ≤0,x +3,0<x <1,-x +5,x ≥1x ≤0时,y=2x+3≤3;当0<x<1时,y=x+3满足3<x+3<4;当x ≥1时,y=5-x ≤4.故函数的最大值是4.8.如图所示,函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4).(1)求f (f (0))的值;(2)求函数f (x )的解析式.由题图可得f (f (0))=f (4)=2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y=kx+b (k ≠0),将代入,得{x =0,y =4与{x =2,y =0{4=b ,0=2k +b ,∴∴y=-2x+4(0≤x ≤2).{b =4,k =-2.同理,线段BC 所对应的函数解析式为y=x-2(2≤x ≤6).∴f (x )={-2x +4,0≤x ≤2,x -2,2<x ≤6.9.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元,在乙家开展活动x小时的收费为g(x)元.(1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式.(2)选择哪家比较合算?请说明理由.由题意可知f(x)=5x,15≤x≤40,g(x)={90,15≤x≤30,30+2x,30<x≤40.(2)由5x=90,解得x=18,即当15≤x<18时,f(x)<g(x);当x=18时,f(x)=g(x);当18<x≤40时,f(x)>g(x).所以当15≤x<18时,选甲家比较合算;当x=18时,两家一样合算;当18<x≤40时,选乙家比较合算.。

学业分层测评(八) 分段函数及映射(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设函数f(x)＝错误!则f错误!的值为( )A.1516B．－2716C.89 D．18【解析】当x＞1时，f(x)＝x2＋x－2，则f(2)＝22＋2－2＝4，∴错误!＝错误!，当x≤1时，f(x)＝1－x2，∴f错误!＝f错误!＝1－错误!＝错误!.故选A.【答案】 A2．设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在下图中能表示从集合A到集合B的映射的是( )【导学号：97030042】【解析】在A中，当0＜x＜1时，y＜1，所以集合A到集合B不成映射，故A不成立；在B 中，当1≤x ≤2时，y ＜1，所以集合A 到集合B 不成映射，故B 不成立； 在C 中，当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在0≤y ≤2内，有两个y 值与之相对应，所以构不成映射，故C 不成立；在D 中，当0≤x ≤1时，任取一个x 值，在0≤y ≤2内，总有唯一确定的一个y 值与之相对应，故D 成立．故选D.【答案】 D3．已知f (x )＝错误!则f (3)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 由题意，得f (3)＝f (5)＝f (7)， ∵7≥6，∴f (7)＝7－5＝2.故选A. 【答案】 A 4．(2016·杭州高一检测)在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y∈R }，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与B 中的元素(－1,1)对应的A 中的元素为( )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(－1，－3)D ．(－2,0)【解析】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝1，解得x ＝0，y ＝1，故选A.【答案】 A5．设f (x )＝错误!若f (x )＝3，则x ＝( ) 【导学号：97030043】 A.3B ．±3C ．－1或3D ．不存在 【解析】∵f (x )＝错误!f (x )＝3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝3x≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧x2＝3－1<x<2或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3x≥2，∴x ∈∅或x ＝3或x ∈∅，∴x ＝3.【答案】 A 二、填空题6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x<0－12x ，0<x<23，x≥2，则f ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34的值为________，f (x )的定义域是________． 【解析】∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34＋2＝12.而0<12<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14＋2＝32.因此f ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}． 【答案】32{x |x ≥－1且x ≠0}7．已知函数f (x )的图象如图1-2-3所示，则f (x )的解析式是______．图1-2-3【解析】 由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，即f (x )＝x ＋1；当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，即f (x )＝－x . 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x＜0－x ，0≤x≤1.【答案】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0－x ，0≤x≤18．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a≥ba ，a<b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．【解析】 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x≥1x ，x<1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．【答案】 (－∞，1] 三、解答题9．画出函数y ＝|x ＋1|＋|x －3|的图象，并写出其值域． 【导学号：97030044】【解】由y ＝|x ＋1|＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x≤－14，－1<x≤32x －2，x>3，∴函数图象如图，由图象易知函数的值域为[4，＋∞)．10.如图1-2-4，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．图1-2-4【解】 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x≤48，4<x≤824－2x ，8<x≤12.[能力提升]1．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1}D ．∅【解析】 由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.【答案】 B2．下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x<0x －1，x≥0的图象的是( )【解析】 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C3．(2016·常州高一检测)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1－x －2a ，x≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________. 【导学号：97030045】【解析】 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.【答案】 －344．“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．【解】由题意可知：①当x∈[0,5]时，f(x)＝1.2x.②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，即当x∈(5,6]时，f(x)＝1.2×5＋(x－5)×3.6＝3.6x－12.③当x∈(6,7]时，f(x)＝1.2×5＋1×3.6＋(x－6)×6＝6x－26.4.∴f(x)＝错误!。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：因为f (1)＝2，所以由f (a )＋f (1)＝0，得f (a )＝－2，所以a 肯定小于0， 则f (a )＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A. 答案：A2．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应． 答案：A3．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]解析：f (x )图象大致如下：由图可知值域为[0,2]∪{3}． 答案：B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，x 2，x <0，则f (f (－2))的值是( )A ． 4B ．－4C ．8D ．－8解析：∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，∴f (f (－2))＝f (4)； 又∵4≥0，∴f (4)＝2×4＝8. 答案：C5．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2， x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y 1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：根据映射的定义进行判断．对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D. 答案：D6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2－4，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (0))＝________.解析：∵f (0)＝π，∴f (f (0))＝f (π)＝3π2－4.答案：3π2－47．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：∵43>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83；－43≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；－13≤0，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23； 23>0，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 答案：48．设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，那么A 中的元素(－1,2)的象是________，B 中的元素(－1,2)的原象是________． 解析：(－1,2)→(－1－2，－1＋2)＝(－3,1)． 设(－1,2)的原象为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.答案：(－3,1) (12，32)9．作函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|图象，并求出相应的函数值域． 解析：因为函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2 (x ≤－3)，8 (－3<x <5)，2x －2 (x ≥5).所以y ＝|x ＋3|＋|x －5|的图象如图所示：由此可知，y ＝|x ＋3|＋|x －5|的值域为[8，＋∞)． 10．已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )， 求：(1)(3,4)的象；(2)(1，－6)的原象． 解析：(1)∵x ＝3，y ＝4，∴x ＋y ＝7，xy ＝12. ∴(3,4)的象为(7,12)．(2)设(1，－6)的原象为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.故(1，－6)的原象为(－2,3)或(3，－2)．[B 组 能力提升]1．若已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2，且f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32 C ．±3D. 3解析：由x ＋2＝3，得x ＝1>－1，舍去．由x 2＝3，得x ＝±3，－1＜3＜2，－3＜－1，－3舍去． 由2x ＝3，得x ＝32<2，舍去． 所以x 的值为 3. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥2x 的解集是( )A ．(－∞，23]B ．(－∞，0]C ．(0，23]D ．(－∞，2)解析：(1)当x >0时，f (x )＝－x ＋2≥2x ，得3x ≤2，即0<x ≤23； (2)当x ≤0时，f (x )＝x ＋2≥2x ，得x ≤2，又x ≤0，∴x ≤0； 综上所述，x ≤23. 答案：A3．已知集合A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z}，C ＝R ，且从A 到B 的映射是 f ：x →y ＝2x －1，从B 到C 的映射是f ：x →y ＝13x ＋1，则从A 到C 的映射是________． 解析：根据题意，f ：A →B ，x →y ＝2x －1 f ：B →C ，y →z ＝13y ＋1. 所以，从A 到C 的映射是f ：x →z ＝13(2x －1)＋1＝16x －2，即从A 到C 的映射是f ：x →y ＝16x －2. 答案：f ：x →y ＝16x －24．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－2)，x 2(－2＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (a )＝8，则a ＝________.解析：当a ≤－2时，由a ＋2＝8，得a ＝6.不合题意． 当a ≥2时，由2a ＝8，得a ＝4，符合题意． 当－2＜a ＜2时，a 2＝8，a ＝±22，不合题意． 答案：45．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围． 解析：y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观图可知，a 的取值必须满足⎩⎨⎧a >14a －14<1，解得1<a <54.6．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝4 5°，作直线 MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N .设AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．解析：作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH ＝a 2，AG ＝32a ，∠A ＝∠D ＝45°. (1)当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB ， 由于AM ＝x ，∠A ＝45°，∴MN ＝x . ∴y ＝S △AMN ＝12x 2(0≤x ≤a 2)．(2)当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ，AH ＝a 2，BN ＝x －a2， ∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12·a 2[x ＋(x －a 2)]＝12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )．(3)当M 位于点G 的右侧时， 由于AM ＝x ，DM ＝MN ＝2a －x ，∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12·a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 24－12(4a 2－4ax ＋x 2)＝－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a )．综上有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2(0≤x ≤a 2)，12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )，－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a ).。