22.1.3 二次函数y=ax2+k的图像与性质1
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九年级数学上册 22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=ax-h2+k的图象和性质一导学课件
14．已知二次函数y＝ax2＋3(a≠0)与直线y＝2x－3 交于点(1，b)． (1)求a和b的值； (2)写出抛物线y＝ax2＋3的解析式，并求二 次函数y＝ax2＋3的最大值．
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图 象和性质（一）
1 …核…心…目…标…..…
2 …课…前…预…习…..… 3 …课…堂…导…学…..… 4 …课…后…巩…固…..… 5 …能…力…培…优…..…
核心目标
了解二次函数y＝ax2 ＋k与y＝ax2的联系，掌握二 次函数y＝ax2＋k的性质．
也在此抛物线上的是( )
A．(2，1)
B．(－2，1)
C．(1，－2)
D．(－1，2)
课后巩固
10．如下图，在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax ＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )
A
B
C
D
课后巩固
11．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移3个单位，那么
所得新抛物线＝
1 2
x2；③y＝－2x2＋1；
④y12＝
x2－3.其中形状相同的是
__________，形状相同、开口方向也相同的是
13．二__次__函__数_(y填＝序mx号2＋)．m－2的图象的顶点在y轴的负 半轴上，且开口向上，则m的取值范围为 __________．
课后巩固
课前预习
1．如右图,在同一直角坐标系中, 画出二次函数y＝x2＋1，y＝ x2－1的图象，并填空： (1)抛物线y＝x2＋1的开口向 ______________，对称轴是 ______________，顶点坐标 是_______________； (2)抛物线y＝x2－1的开口向_____________， 对称轴是____________，顶点坐标是
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图 象和性质（一）
1 …核…心…目…标…..…
2 …课…前…预…习…..… 3 …课…堂…导…学…..… 4 …课…后…巩…固…..… 5 …能…力…培…优…..…
核心目标
了解二次函数y＝ax2 ＋k与y＝ax2的联系，掌握二 次函数y＝ax2＋k的性质．
也在此抛物线上的是( )
A．(2，1)
B．(－2，1)
C．(1，－2)
D．(－1，2)
课后巩固
10．如下图，在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax ＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )
A
B
C
D
课后巩固
11．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移3个单位，那么
所得新抛物线＝
1 2
x2；③y＝－2x2＋1；
④y12＝
x2－3.其中形状相同的是
__________，形状相同、开口方向也相同的是
13．二__次__函__数_(y填＝序mx号2＋)．m－2的图象的顶点在y轴的负 半轴上，且开口向上，则m的取值范围为 __________．
课后巩固
课前预习
1．如右图,在同一直角坐标系中, 画出二次函数y＝x2＋1，y＝ x2－1的图象，并填空： (1)抛物线y＝x2＋1的开口向 ______________，对称轴是 ______________，顶点坐标 是_______________； (2)抛物线y＝x2－1的开口向_____________， 对称轴是____________，顶点坐标是
03-第二十二章22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为 (1,2),故A、B、C均不正确.∵抛物线开口向上,顶点(1,2)在第一象限, ∴抛物线与x轴没有交点,故D正确.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
的面积为16,则抛物线l2的函数表达式为
.
图22-1-3-2
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
解析 当y=0时,有 1 (x-2)2-2=0,
2
解得x1=0,x2=4,∴OA=4.
∵S阴影=OA·AB=16,∴AB=4,
∴抛物线l2的函数表达式为y= 1 (x-2)2-2+4= 1 (x-2)2+2.
当x=0时,y有最大值,y最大值=k
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
例1 (2017湖南邵阳模拟)关于二次函数y=-2x2+1的图象,下列说法中,正 确的是 ( ) A.对称轴为直线x=1 B.顶点坐标为(-2,1) C.可以由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位得到 D.在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降
当x=h时,y有最大值,y最大值=0
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
例2 (2017广东潮州潮安期中)二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,以下说法:
①它们的图象都是开口向上;②它们的图象的对称轴都是y轴,顶点坐标
都是原点(0,0);③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;④它
22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质【2014版】
2 22.1.3二次函数y=ax +k图象
一、二次函数y=ax2图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图像都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图像性质:
y x2
8 6 4 2
y 2 x2
y
2
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
－4 －2
1 2 x 2
4
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点; 在y轴的左侧y随x的增大而减小，在y轴的右侧y随x的 增大而增大； 2 4 －4 －2 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛 －2 物线的最高点;在y轴的左侧y随x的增大 －4 1 而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减 y x －6 2 小， －8 y x （3）|a|越大,抛物线的开口越小; y 2 x
抛物线y ax 2向上（或向下）平移 k 个单位长度， 得到抛物线y ax 2 k (k 向上，k 0向下)
课堂练习：
1 2 1、抛物线y x 2的开口 向下 ，对称轴 y轴 ， 3 （0，-2） 顶点坐标 ，当x 0 时，y有最 大 值为 -2 . 3 2 2、抛物线y x +3的开口 向上 ，对称轴 y轴 ， 5 顶点坐标 （0，3） ，当x 0 时，y有最 小 值为 3 .
9
y = x 2+1 y=x2 y = x 2-1
6
3
－3
3
讨论 （1）抛物线y=x21
y=x2
方向、对称轴、顶点各是什么？ （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2 有什么关系？ （3）它们的位置由什么决定的？ 答：(1)它们开口方向向上，对称轴是y
轴，顶点分别是（0，1）（0，-1）。
一、二次函数y=ax2图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图像都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图像性质:
y x2
8 6 4 2
y 2 x2
y
2
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
－4 －2
1 2 x 2
4
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点; 在y轴的左侧y随x的增大而减小，在y轴的右侧y随x的 增大而增大； 2 4 －4 －2 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛 －2 物线的最高点;在y轴的左侧y随x的增大 －4 1 而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减 y x －6 2 小， －8 y x （3）|a|越大,抛物线的开口越小; y 2 x
抛物线y ax 2向上（或向下）平移 k 个单位长度， 得到抛物线y ax 2 k (k 向上，k 0向下)
课堂练习：
1 2 1、抛物线y x 2的开口 向下 ，对称轴 y轴 ， 3 （0，-2） 顶点坐标 ，当x 0 时，y有最 大 值为 -2 . 3 2 2、抛物线y x +3的开口 向上 ，对称轴 y轴 ， 5 顶点坐标 （0，3） ，当x 0 时，y有最 小 值为 3 .
9
y = x 2+1 y=x2 y = x 2-1
6
3
－3
3
讨论 （1）抛物线y=x21
y=x2
方向、对称轴、顶点各是什么？ （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2 有什么关系？ （3）它们的位置由什么决定的？ 答：(1)它们开口方向向上，对称轴是y
轴，顶点分别是（0，1）（0，-1）。
人教版九年级数学上册22.1.3二次函数 的图像和性质(第一课时)
4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____
>2
x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方
，则k
<2
.
课堂检测
基础巩固题
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位.
>0
（2）函数y=-x2+1，当x
对称轴右侧y随x增大而减小
__________________________
探究新知
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
y=ax2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（x=0）
y轴（x=0）
顶点坐标
（0,k）
（0,k）
最值
增减性
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的
是 y轴 ，在 对称轴左 侧，y随着x的增大而增大；
在 对称轴右侧，y随着x的增大而减小.
探究新知
知识点 4
二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式
点的坐标
y=2x2-1
-1
(x, 2x2-1 )
+1
y=2x2
(x, 2x2 )
y=2x2+1
(x, 2x2+1)
函数对应值表
x
…
y=2x2-1
(0，-1)
y=x
2
探究新知
素养考点 1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
>2
x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方
，则k
<2
.
课堂检测
基础巩固题
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位.
>0
（2）函数y=-x2+1，当x
对称轴右侧y随x增大而减小
__________________________
探究新知
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
y=ax2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（x=0）
y轴（x=0）
顶点坐标
（0,k）
（0,k）
最值
增减性
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的
是 y轴 ，在 对称轴左 侧，y随着x的增大而增大；
在 对称轴右侧，y随着x的增大而减小.
探究新知
知识点 4
二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式
点的坐标
y=2x2-1
-1
(x, 2x2-1 )
+1
y=2x2
(x, 2x2 )
y=2x2+1
(x, 2x2+1)
函数对应值表
x
…
y=2x2-1
(0，-1)
y=x
2
探究新知
素养考点 1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
2022-2022九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时
15．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：
(1)经过点(－3，2)；
(2)与y＝12x2的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
解：(1)y＝13x2－1 (2)y＝－12x2－1 (3)－x2－1
第14题图
16．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位． (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
它与抛物线y＝2x2的形状___相__同____．
2．抛物线y＝－3x2－2的开口向__下_____，对称轴是___y_轴_____，顶点 坐标是_(_0_，__－__2_)__．
3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－
1 2
x2＋1的图象上，且x1＜x2
＜0，则y1与y2的大小关系为__y_1_＜__y_2_____．
18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，
则当x取x1＋x2时，函数值为( D
A．a＋c
B．a－c
) C．－c
D．c
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的
示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－
1 40
x2＋10，为保护廊
桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏
△ABC的面积为__2___2___．
13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝ ___4____，c＝__－__3___．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过
点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝
(1)经过点(－3，2)；
(2)与y＝12x2的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
解：(1)y＝13x2－1 (2)y＝－12x2－1 (3)－x2－1
第14题图
16．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位． (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
它与抛物线y＝2x2的形状___相__同____．
2．抛物线y＝－3x2－2的开口向__下_____，对称轴是___y_轴_____，顶点 坐标是_(_0_，__－__2_)__．
3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－
1 2
x2＋1的图象上，且x1＜x2
＜0，则y1与y2的大小关系为__y_1_＜__y_2_____．
18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，
则当x取x1＋x2时，函数值为( D
A．a＋c
B．a－c
) C．－c
D．c
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的
示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－
1 40
x2＋10，为保护廊
桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏
△ABC的面积为__2___2___．
13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝ ___4____，c＝__－__3___．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过
点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝
人教版数学九年级上册22.1.3二次函数的图像(1)课件
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午2时6分22.4.1214:06April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二2时6分57秒14:06:5712 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
y y＝x2+1
y = x2
y＝x2-1
x O1
知识梳理
（一）抛物线y=ax2+k特点：
1.当a>0时，开口向 ；当a<0时，开口 ；
2. 顶点坐标是
；
3. 对称轴是
。
（二）抛物线y=ax2+k与y=ax2形状相同，位置不同，y=ax2+k
是由y=ax2 平移得到的。
二次函数图象的平移规律：上 下 。
，它们
的形状__________，当x= 时，y有最 值是 。
3．由抛物线y=5x2-3平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式
是
，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y=-x2
的方向相反，形状相同的抛物线解析
式
．
当堂反馈
5. 抛物线y=4x2+1关于x轴对称的抛物线解析式为 _________________．
探索知新
（一）画二次函数y＝x2，y＝x2+1，y 1 2 3 …
y＝
x2+1
…
…
y＝x2-
1
… 开口
方向
顶 点
对 称 轴
有最 高(低)
点
增减… 性
y y＝x2+1
y = x2
y y＝x2+1
y = x2
y＝x2-1
x O1
知识梳理
（一）抛物线y=ax2+k特点：
1.当a>0时，开口向 ；当a<0时，开口 ；
2. 顶点坐标是
；
3. 对称轴是
。
（二）抛物线y=ax2+k与y=ax2形状相同，位置不同，y=ax2+k
是由y=ax2 平移得到的。
二次函数图象的平移规律：上 下 。
，它们
的形状__________，当x= 时，y有最 值是 。
3．由抛物线y=5x2-3平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式
是
，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y=-x2
的方向相反，形状相同的抛物线解析
式
．
当堂反馈
5. 抛物线y=4x2+1关于x轴对称的抛物线解析式为 _________________．
探索知新
（一）画二次函数y＝x2，y＝x2+1，y 1 2 3 …
y＝
x2+1
…
…
y＝x2-
1
… 开口
方向
顶 点
对 称 轴
有最 高(低)
点
增减… 性
y y＝x2+1
y = x2
22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质(教案)
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点内容，运用直观的图像演示、具体的例题讲解、小组合作讨论等方法，帮助学生深入理解二次函数的图像特征、性质和实际应用，确保学生能够透彻掌握本节课的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax^2+k的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
我还注意到，在小组讨论中，部分学生依赖性强，独立思考能力较弱。为了培养学生的自主学习能力，我计划在今后的教学中，逐步增加学生的独立思考时间，鼓励他们提出自己的观点和解决方案。
此外，教学过程中的互动提问环节，学生的反应速度和准确性还有待提高。我将在今后的教学中，多设计一些启发式问题，引导学生主动探索，提高他们的思维敏捷性。
- a<0时，函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减。
（3）掌握二次函数y=ax^2+k的最值问题，能够求解函数的最大值和最小值。
- a>0时，函数最小值为k，无最大值。
- a<0时，函数最大值为k，无最小值。
（4）了解二次函数y=ax^2+k与坐标轴的交点，包括与x轴、y轴的交点及根的分布情况。
-与x轴的交点：当k=0时，交点为原点；当k≠0时，交点个数取决于判别式Δ=b^2-4ac的值。
-与y轴的交点：交点为（0，k）。
-根的分布：根据判别式Δ的正负判断根的分布情况。
2.教学难点
（1）理解二次函数图像与系数a、k的关系，特别是开口方向与a的正负关系。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax^2+k的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
我还注意到，在小组讨论中，部分学生依赖性强，独立思考能力较弱。为了培养学生的自主学习能力，我计划在今后的教学中，逐步增加学生的独立思考时间，鼓励他们提出自己的观点和解决方案。
此外，教学过程中的互动提问环节，学生的反应速度和准确性还有待提高。我将在今后的教学中，多设计一些启发式问题，引导学生主动探索，提高他们的思维敏捷性。
- a<0时，函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减。
（3）掌握二次函数y=ax^2+k的最值问题，能够求解函数的最大值和最小值。
- a>0时，函数最小值为k，无最大值。
- a<0时，函数最大值为k，无最小值。
（4）了解二次函数y=ax^2+k与坐标轴的交点，包括与x轴、y轴的交点及根的分布情况。
-与x轴的交点：当k=0时，交点为原点；当k≠0时，交点个数取决于判别式Δ=b^2-4ac的值。
-与y轴的交点：交点为（0，k）。
-根的分布：根据判别式Δ的正负判断根的分布情况。
2.教学难点
（1）理解二次函数图像与系数a、k的关系，特别是开口方向与a的正负关系。
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
− 3
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
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x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
《22.1.3 第1课时 二次函数y=ax^2+k的图象和性质》习题课件
数学 九年级 上册•R
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质 22 ． 13 二次函数y＝a－h2＋的图象和
性质 第1课时 二次函数y＝a2＋的图象和性质
二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质 二次函数 y＝ax2＋k 的图象是一条 抛物线 .它与抛物线 y＝ax2 的形状 相 同，只是 顶点位置 不同，它的对称轴为 y 轴，顶点坐标为 0， .
PMF 周长有最小值．
8．(泸州中考)已知抛物线 y＝14x2＋1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到 定点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离始终相等，如图，点 M 的坐标为( 3，3)， P 是抛物线 y＝14x2＋1 上一个动点，则△PMF 周长的最小值是( C )
A．3
B．4
C．5
D．6
【点拨】过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，交抛物线 y＝14x2＋1 于点 P，此时△
下 平移|k|个单位得 y＝ax2＋k.
易错点 在确定抛物线 y＝ax2＋k 的顶点坐标时，误写成(k,0)．
自我诊断 2. 抛物线 y＝3x2－3 的顶点坐标是( B )
A．(0,3)
B．(0，－3)
C．(3,0)
D．(－3,0)
1．二次函数 y＝－3x2＋7 的图象是将( D ) A．抛物线 y＝3x2 向左平移 7 个单位得到的 B．抛物线 y＝－3x2 向左平移 7 个单位得到的 C．抛物线 y＝3x2 向上平移 7 个单位得到的 D．抛物线 y＝－3x2 向上平移 7 个单位得到的
2．对于抛物线 y＝7x2＋5 与和 y＝－7x2，下列结论：①抛物线的形状相同；
②抛物线的开口方向相同；③抛物线的对称轴相同；④抛物线的顶点相
同．其中，结论正确的有( B )
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质 22 ． 13 二次函数y＝a－h2＋的图象和
性质 第1课时 二次函数y＝a2＋的图象和性质
二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质 二次函数 y＝ax2＋k 的图象是一条 抛物线 .它与抛物线 y＝ax2 的形状 相 同，只是 顶点位置 不同，它的对称轴为 y 轴，顶点坐标为 0， .
PMF 周长有最小值．
8．(泸州中考)已知抛物线 y＝14x2＋1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到 定点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离始终相等，如图，点 M 的坐标为( 3，3)， P 是抛物线 y＝14x2＋1 上一个动点，则△PMF 周长的最小值是( C )
A．3
B．4
C．5
D．6
【点拨】过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，交抛物线 y＝14x2＋1 于点 P，此时△
下 平移|k|个单位得 y＝ax2＋k.
易错点 在确定抛物线 y＝ax2＋k 的顶点坐标时，误写成(k,0)．
自我诊断 2. 抛物线 y＝3x2－3 的顶点坐标是( B )
A．(0,3)
B．(0，－3)
C．(3,0)
D．(－3,0)
1．二次函数 y＝－3x2＋7 的图象是将( D ) A．抛物线 y＝3x2 向左平移 7 个单位得到的 B．抛物线 y＝－3x2 向左平移 7 个单位得到的 C．抛物线 y＝3x2 向上平移 7 个单位得到的 D．抛物线 y＝－3x2 向上平移 7 个单位得到的
2．对于抛物线 y＝7x2＋5 与和 y＝－7x2，下列结论：①抛物线的形状相同；
②抛物线的开口方向相同；③抛物线的对称轴相同；④抛物线的顶点相
同．其中，结论正确的有( B )
九年级数学上册 第二十二章 22.1 二次函数的图像及性质 22.1.3 二次函数y=ax2+k的图
第二十二章 22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质知识点:二次函数y=ax2+k的图象及其性质二次函数y=ax2+k的性质与二次函数y=ax2的性质很多都相同,只是图象顶点坐标及最值有所区别,但也可以由二次函数y=ax2的图象的顶点平移得到二次函数y=a x2+k的图象的顶点的坐标,因而学习二次函数y=ax2+k的性质,可在熟记二次函数y=ax2的性质的基础上类比学习.二次函数图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值y=ax2+ka>0k>0向上(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小当x=0时,y最小值=ka>0k<0向上(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小当x=0时,y最小值=k a<0k>0向下(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大当x=0时,y最大值=k a<0k<0向下(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大当x=0时,y最大值=k 二次函数的解析式中常数项的变化与其图象移动的关系:上加下减.考点1：二次函数y=ax2+k的图象【例1】小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分(如图),若投中篮框中心,则他与篮底的距离l是( )A.3.5 mB.4 mC.4.5 mD.4.6 m答案:B点拨：由题意令y=3.05,可得3.05=-x2+3.5,解得x=±1.5(负值不符合题意,舍去),所以他与篮底的距离l=1.5+2.5=4(m).考点2：二次函数y=ax2+k的性质【例2】将抛物线y=-3x2向上平移1个单位后,得到的抛物线对应的函数解析式是.答案:y=-3x2+1点拨：由“上加下减”的规律知,该抛物线向上平移1个单位后得到的抛物线对应的函数解析式为y=-3x2+1.感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
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做一做：
1、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）,求该抛物 线线的解析式。 （2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶 点坐标是（0，1）的抛物线解析式。 （3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的 解析式，
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 y
,对称轴
侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y=
增大；在
侧，y随着x的增大而减小，当x= _____
时，函数y的值最大，最大值是
−2x2线怎样平移得到的__________.
（ 2）抛物线 y= x² -5 的顶点坐标是____，对称轴是 ____,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称 轴的右侧，y随着x的 ，当x=____时，函数y的 值最___，最小值是 .
1 yy x 2 1 1 2
x
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 2 y x -2 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 y x2 3 2
(1) 口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛 物线y=x2有什么关系? 抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上, -5 -4 -3 -2 -1 对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
抛物线y=x2+1,y=x2－1的开
x
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口
对称性
顶点
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
增减性
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是最低点
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 ，在___
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 ——y=ax2+k
y=x2+1
y=x2-1
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点 a>0 a<0
顶点是最低点
开口
对称性 顶点 增减性
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像 x 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 解: 列表
y=x2+1
… 10
… 8
5
3
2
0
1
-1
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2
0
y
5
3
10 …
8 …
y=x2-1
y=x2+1 y=x2－1
2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数 y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ） y
y
yyBiblioteka oxox
o
x
o
x
A
B
C
D
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口
对称性
顶点
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
增减性
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
o1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位 y
抛物线y=x2 把抛物线y=2x2+1向上平 移5个单位,会得到那条抛物线? 向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4