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88FAXIAN JIAOYU 2018/04————————————————————————————摘要：数学教学中激活学生原有数学知识经验和生活数学感性经验回归学生认知点，不仅能诱发学生学习数学的积极心向，也能联结新旧知识，帮助学生建构知识的一种教学策略。
教学实践中，在新旧知识联系显性呈现时通过追溯、突出类比、辨析以及抽象提炼，新旧知识联系隐性呈现时通过追溯特殊化将隐性联结转化为显性联结；新旧知识看似没有联结点，出现思维上“断点”时通过回忆比较，找寻矛盾，搭桥建模，形成联结，学生认知得以主动建构，促成知识自然生长。
关键词：追溯；联结；断点————————————————————————————随着升学压力日益加重，教学中过分强调后期“尝试错误”的机械训练来强化知识，不重视学生情感和心理发展需求，忽视学生已建立的认知与数学内容新认知结构的联结。
教学中，我们应重视学生生活和学习经验，通过追溯回忆的教学回归学生认知点，使学生在生活中建立起来的认知概念与新认知结构进行联结。
一、激发积极学习心向，促成知识自然生长的数学追溯教学探索教师在追溯教学中把学生带回去，通过数学活动激活学生记忆网络中某些知识，找到知识点最近“固着点”，依次去激活相应知识，联结到新问题的关键点，此时再把学生带回来，学生的创造能主动生成，认知结构也得以建立。
二、新旧知识联系显性呈现时新旧知识联系显性呈现时，教师只要提供一个载体帮助学生快速回忆和新知有直接关系的经验就可以了。
1.建立新的概念或是探究新的性质重在与新知有关的熟悉的概念或性质进行类比，突出辨析案例一：浙教版八上《不等式的基本性质》不等式基本性质1、2的探究过程：（1）回忆等式性质。
（2）比较教师通过问题设置引导学生比较，思考不等式的类似结论是否成立。
（3）类推比较归纳以此类推得到不等式的性质1和性质2。
探究新知之前学生已有相关的学习经验，也就是新知与旧知识的联系紧密呈显性，因此通过回忆、比较、类推三步走引导学生顺其自然地构建知识。
追根溯源探本质求简重悟促发展——《植树问题》的教学思考与实践□李静【摘要】植树问题是数学广角的经典内容。
课堂上，教师能顺利引导学生得出三种模型的公式，可一旦进入实际应用，学生往往又不知所措。
有效教学的展开可分三个层次：一是追本溯源，分析植树问题的本质属性，确定教学定位；二是求简重悟，从包含除的意义入手，经历“段数”与“棵数”建立联系的过程，体验一一对应的数学思想；三是学以致用，通过递进式的练习设计，提高学生应用所得方法解决问题的能力，由此帮助学生感悟数学思想。
【关键词】植树问题；一一对应；除法意义一直以来，植树问题都是人教版“数学广角”各类研究课、公开课的经典选择。
课堂上，教师能顺利引导学生得出三种模型的公式，学生也能说得清楚明白。
然而一旦运用到解决实际问题中，很多学生就判断不出到底是该“加1”“减1”，还是不加不减。
笔者认为，植树问题的教学不是归纳出三种类型，将它们加以记忆甚至要求学生以此为模板对号入座那么简单，而是要遵循数学广角的设计理念：经历数学学习的过程，在活动中感悟数学思想。
一、追本溯源，探究植树问题的“根”植树问题承载的数学思想是对应，教学时应该充分发挥学具、图示的作用，让学生深入理解算式的意义、将学习目标牢牢定位在对应思想的体验与感悟上，真正建立“棵数”与“段数”之间的一一对应关系。
这样，哪怕日后遗忘了所谓的公式，学生也能凭借对除法意义的理解，应用对应思想重新找回解决问题的路径与手段。
这便是学习数学广角的意义与价值所在。
“植树问题”并非是一种横空出世的新问题，它与“路灯问题”“楼梯问题”“敲钟问题”“锯木问题”等都属于间隔问题，即间隔长度不变，点和间隔依次重复出现的问题。
其中，间隔数＝总长度÷间隔长度，就是在求“一个数里面有几个另一个数”。
因此，植树问题本质上是包含除意义的生活应用。
教师完全可以将它与以前学过的用除法解决问题联系起来：间隔数就相当于“段数”，是除法运算得到这一点上，有两位教师做得比较突出，她们在引导学生探究从8个物品中找次品中，从几种不同的分组方法，强调第一次称重排除了多个物品不是次品，排除的越多，剩下的越少，后面称的次数也就应该最少。
教育实践与研究Educational Practice and Research 2016年第8期/A （3）>>>学科教学探索小学阶段，每个学期的数学教学内容中，每个章节都有“解决问题”这一环节。
同时，这部分内容又都有难度，怎样处理“解决问题”这一教学环节，不同的教学理念有不同的教学方法，教学不是单纯地教学生解决若干个问题，而是要传授给学生一种思维、一种意识，那就是解决问题的策略。
我的教学实践经验就是———追根溯源。
其实，追根溯源的方法是自古就有的，只是说法不同而已。
公元前500年的思想家老子说了一句流传千年、广为人知的格言就是：授人以鱼，不如授之以渔。
意思是传授给人以知识，不如传授给人学习知识的方法。
道理其实很简单，鱼是目的，捕鱼是手段，一条鱼能解决一时之饥饿，如果想永远有鱼吃，就要学会捕鱼的方法。
捕鱼的方法就是吃鱼的根源。
老子的另一句话就更为直接，但是知道的远不如前一句人多。
这句话就是：天下难事必作于易，天下大事必作于细。
这句话的译文是：天下的难事都是从容易的时候发展起来的，天下的大事都是从细小的地方一步步形成的。
直白地说就是：天下再难的事都是由简单的小事构成的，天下再大的事也都是由细小的事构成的。
小事就是天下大事的根源。
只要从最简单的小事中找到事物的联系，那么，再难的问题也就迎刃而解了。
当代数学家华罗庚的教学精髓是知难而“退”。
就是告诉我们，遇到数学难题时，要善于退，退到最简单的地方，发现规律，就找到解决问题的精髓了。
相距千年的两个巨人在解决疑难问题的思路上不谋而合，不能不说是一种神遇。
也对我们的教育教学起到指导和点拨作用。
具体到一节课、一个问题，如何体现追根溯源呢？一、整体教学设想首先，根据数学课程标准要求：学生是教学活动的主体，教师应当成为教学活动的组织者、指导者和参与者。
教学过程中，教师要充分发挥创造性，依据学生的年龄特征和认知水平，设计探索性和开放性的问题，给学生提供探索的机会。
和升华,是对数学规律更一般的认识,因此,可将其作为指导解题的具体解题策略.同一种数学思想方法往往概括了许多不同的知识和方法.重视数学思想方法的教学,能够帮助学生建构起思想方法层次上的数学观念,形成具有较高观点、使用广泛的数学认知结构.在解题时,也将起到灵活选择解题思路、简约解题过程的指导性作用.第二层次,对学习活动的自我调控.既然以上的研究结果表明,高才生与普通生对数学学习活动和结果的自我观察、自我评价、自我监控和自我调节存在很大差异,那么我们就应重视对学生自觉意识和元认知能力的培养.教师不应只满足于较好地去发挥了“启发者”、“质疑者”的作用,在教学中还应尽力丰富学生的元认知知识,并经常对学生进行元认知训练,使之学会学习、记忆和思维的技能,从而对所进行的学习活动能够建立起良好的自我意识,并能作出适当的自我评价和自我改进,最终成为自觉的自我学习者和能自我调控的人.第五,创设良好的学习情境.数学学习活动始于新的学习情境,呈现新的内容首先应创设有利于学生观察、思考、分析、辨别和抽象概括的情境.在这样的学习情境中,新的知识信息输入学生的头脑,并与学生原有认知结构发生冲突,学生已有的知识和能力不足以解决所面临的问题,从而产生观念上的不平衡,并努力通过新的学习活动以达到新的更高水平上的平衡.实践表明,适当的提问和举出反例就是实现上述目标的两个十分有效的手段.第六,充分重视每个学生在认识上的特殊性.由于任何认知活动都是主体主动的建构,即使对同一数学内容的学习,不同的个体也完全可能由于知识背景和思维方法等方面的差异而具有不同的思维过程,表现出一定的差异性和个体特殊性.在教学中我们不应过分地去追求统一性,而应看到合理的教学方法在很大程度上是“个体化”了的.每个学生都可能有自己的“节奏”,在各种思想方法和认知策略之间,并无绝对的“好、坏”可言.参考文献[1] 王光明 王悦.高中数学高才生与普通生的数学认知结构差异比较、析因与教学建议[J].中学数学教学参考,2004,(12).[2] 李古宝 史可富.数学认知结构的特征与数学学习过程研究[J].数学教育学报,2005.14(3).[3] 王光明.高成效的数学教学特征[J].课程教材教学研究,2004(5).对一道高考题的溯源及解法探究安徽省涡阳一中 233600 蒲荣飞 2005年高考考试说明明确指出,对于新教材已删去的内容不再考查,但是多面体及相关几何体体积的计算在小学和初中都已学习过,因此,在高考试题中出现多面体体积的计算应属正常范围.2005年高考全国卷Ⅰ第5题如图1,在多面体AB CD EF中,已知A B CD是边长为1的正方形,且△A D E、△B CF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为(A)23 (B)33 (C)43 (D)32本文将先追溯该题的源头,然后再给出该题6种不同的解法.图1 图21 溯源1999年全国高考题第10题如图2,在多面体A B CD EF 中,已知面A B CD 是边长为3的正方形,EF ∥A B ,EF =32,EF 与面A C 的距离为2,则该多面体的体积为(A )92 (B )5 (C )6 (D )152[答案]D2003年全国高中数学联赛四川初赛题如图3所示的几何体中,棱EF ∥面正方形A B CD,若EF 的长为2,其余棱长均为1,则这个几何体的体积为.[答案]23容易发现今年的高考题第5题与1999年的第10题有着惊人的相似之处,而它与2003年的四川竞赛题几乎完全相同.图3 图42 解法探究2.1 分割解法1 如图4,取EF 的中点G ,分别连结GA 、GD ,则该多面体被分割成一个三棱锥和一个三棱柱.如图5,三棱锥E -A D G 是棱长为1的正四面体.易知O G =33,从而O E =63,于是,V E-A D G=13S △A DG・O E =13×12×12sin60°×63=212.如图4,再取B C 的中点M ,连结FM ,则B C ⊥面GFM ,从而面B CF ⊥面GFM ,故只需作GN ⊥FM ,则GN ⊥面B CF ,即GN 就是三棱柱A D G -B CF 的高.于是V A D G-B CF =S △A D G ×GN =S △A DG ×GF sin ∠GFN =S △A DG×GF sin ∠EGO=12×12×sin60°×1×63=24.所以该多面体的体积为V =2V E-A DG+V A DG-B CF=212+24=23.注 该方法将多面体分割成一个正四面体和一个三棱柱后,问题关键在于求三棱柱的体积.在利用“线面垂直→面面垂直→线面垂直”寻求三棱柱的高的过程中,需要较强的逻辑思维能力.图5 图6解法2 如图6,分别作A P ⊥EF 、B Q ⊥EF ,垂足分别为P 、Q ,连结PD 、Q C ,易知PD ⊥EF 、Q C ⊥EF.于是该多面体被分割成两个全等的三棱锥和一个直三棱柱.在三棱锥E -A D P 中,易得A P =D P =32,A D =1,EP ⊥面A D P 且EP =12,于是V E-A D P =13S △A D P ・EP =13×12×1×22×12=224.又V A D P-B CQ =S △A D P ・PQ =12×1×22×12=24,所以该多面体的体积为V =2V E-A D P+V A D P-B CQ=2×224+24=23.解法3 如图7,取EF 的中点G ,分别连结GA 、GB 、GC 、GD ,则该多面体被分割成两个全等的正四面体和一个正四棱锥.在四棱锥G -A B CD 中,底面边长为1,侧棱长为1,则高为22,于是V G-AB CD=13×1×1×22=26;又由解法1知V E-A D G=212,所以该多面体的体积为V =2V E-A DG+V G-AB CD=2×212+26=23.注 以上两种分割方法均较解法1优越,就在于它们分割所得到的几何体的体积简单易求,但对空间图形的处理能力要求较高.图7 图82.2 补形解法4 如图8,过点E 作EG ∥FC 、EH ∥FB ,分别交CD 、B A 的延长线于G 、H ,则该多面体补上一个正四棱锥后便成为一个三棱柱.在四棱锥中,底边长、侧棱长均为1,从而高O E =22,于是V E-A DGH=13S A D GH・O E =13×1×1×22=26.又V B CF-HGE=12S B CGH ・O E =12×1×1×22=22,所以该多面体的体积为V=V B CF-HGE-V E-A D GH=22-26=23.解法5 如图9,分别过E 、F 作EP ⊥CD 、FG ⊥CD ,垂足分别为P 、G;再分别过P 、G 作PQ ∥A D 、GH ∥B C ,分别交A B 于Q 、H ,则多面体在两端补上两个全等的四棱锥后便成为一个直三棱柱.在直三棱柱FGH -EPQ 中,FG =FH=32,GH =1,高EF =2,于是V FGH-EPQ=S△FGH・EF =12×1×22×2=22.而四棱锥E -A D PQ 和F -B CGH可组合成图8中的正四棱锥E -A D GH ,所以该多面体的体积为V =V FGH-EPQ-V E-A DGH=22-26=23.注 以上两解法均通过给原多面体补上一些特殊的四棱锥,将不规则、不熟悉的几何体化归为规则的、熟悉的三棱柱来处理.图9 图10解法6 如图10,延长ED 、FC 交于Q 点、延长EA 、FB 交于P 点,再连结PQ ,则新多面体A B CD PQ 可看作由原多面体A B CD EF 倒立再旋转而得到,而它们恰组成了一个以2为棱长的正四面体.所以该多面体的体积为V =12V P-EFQ =12×13×12×22×sin60°×236=23.注 解法6将两个完全相同的多面体叠合成一个正四面体,使问题得到完美解决,数学之美在此表现得淋漓尽致.。
边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，应用中 容易忽视“夹角相等华罗庚说过:数缺形时少直观，形少数时难人微; 数形结合百般好，隔离分家万事休.数学发展的历程 中，很多问题的发现和解决都离不开几何直观，几何 直观也是分析和解决实际问题的重要手段，从几何直 观往往能够发现问题的本质，找到问题的突破口.几何直观还要借助逻辑推理对发现的结论进行论证.在 此过程中，学生不仅提高了学习兴趣，提升了思维水平，更增强了逻辑推理和数学运算能力.参考文献：[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版）[M].北京:北京师范大学出版社,2012.(收稿日期:2019-12-19)道本溯源採导本廣-一道中考压轴题解题方法探究路培红(张掖市第四中学甘肃张掖734000)摘要：中考是对学生初中所学知识的综合能力的检测，旨在考查学生的综合应用知识、分析问题、解决问题的能 力，兼有区分、选拔功能.数学考试中，与抛物线有关的最大面积问题一直是中考的热点之一，通过对比分析，可以看出 很多问题难度并不大，如果将条件、解题方法或结论进行变式后，难度会大大降低.本文试图以一个概念构建一个“问题 串”来解决其中的一部分问题.关键词：中考压轴题；面积问题；解题方法中考压轴题中，二次函数相关知识的考查和综合 应用能力的考查，一直是中考的热点和难点之一，与抛物线相关的面积问题是二次函数的一个考查点.为 了解决这一难题，教师和学生们想了许许多多的办 法,有的教师还让学生记住高中数学中两点间的距离 公式、点到直线的距离公式等来解决问题.有些方法 是有效的，但有可能与试题命制者的命题意图有所出 入，也超出了学生所学知识范围和能力范围，可能使 得一部分学生由于不能理解公式，只能囫囵吞枣地应 用这些公式，有拔苗助长之嫌.本文以2018年四川遂宁中考题第25题第二问 为例，就近几年来的中考压轴题中的三角形最大面积 问题，谈谈如何抓住数学问题本质，追本溯源,利用学 生现有的知识，重新构造图形，以期达到化难为易、化 繁为简的学习目标.1抓住关键问源头众所周知，三角形面积计算基本公式是f-底•高.与三角形面积相关的习题，其思想的出发点 都是通过应用或变式应用这一公式得到的.本文依据 三角形面积定义的不变性和可加性两条原则，以化“斜”为“直”为主要思想，通过改变图形的非本质特征,运用三角形面积的基本公式，尝试去解决中考压轴题中与二次函数有关的面积问题.2呈现例题解小题题目（2〇18年四川遂宁中考第25题）如图1，已知抛物线7 =以++C+4的对称轴是直线*=3,且与*轴相交于4，fi两点（点s在点4右侧），与y轴交于点C.(1) 求抛物线的解析式和4两点的坐标；(2) 若点P是抛物线上B,C两点之间的一个动 点（不与B，C重合），是否存在一点P,使A P S C的面积最大，若存在，请求出A P B C的最大面积；若不存作者简介:路培红（1976 -),男，甘肃张掖人，本科，中学一级教师，研究方向：中学数学教学.1-------水平宽 -------图2由图2可得，S AABC=^ AABD + ^ ABCD =—BD • AE + --BD • CF由于直线B C 过点B ，C ，所以y f l C =-+4.3抓住本质巧构思三角形面积计算公式中的变量有两个：底和高. 根据初中学生的知识水平和理解问题的能力，利用转 化思想将三角形做一些变动:将三角形的底或高变成 与坐标轴重合或者平行（垂直），这样可以让复杂的问 题简单化，并降低难度，帮助学生合理找准理解问题、 解决问题的视角.根据题目中所考查知识的特点，确 定总体思路:化“斜”为“直”，合理分割.下文分情况 具体说明：3. 1 面积计算新方法•水平宽•铅直高，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.如图2,过A /1B C 的三个顶点分别作与水平线垂 直的三条直线，外侧两条直线之间的距离C //叫A /IBC 的“水平宽”，从图2中可以看出，= +CF .过的中间顶点6的铅直线与的边的交点£»之间的线段B Z )的长度叫A/IBC 的 “铅垂高图3因为;K f l C = -+ 4 ,m i P D = {-^-x 2 +J X +4) -(-^-x +4)= _i -(x _4)2 +4.又因为 S 贏=士 x 8x [- +(x -4)2 +4] =-(x -4)2 +16,所以当* =4时，A P B C 的面积最大，最大面积 是16.因为0<x <8,所以存在点尸使A P B C 的面积最 大，最大面积是16.反思此题解法立足于基础知识，着眼于数形结 合的数学思想.应用分割法，根据各知识点之间的内 在联系，利用几何图形的重建面积公式，应用代数解 题方法构建简单模型解答问题，在一定程度上能化繁 为简，提高学生综合运用知识的能力.3.2构造重建割补法割补法通俗地讲，和“拆东墙补西墙”有异曲同工 之妙.通过对几何图形的重新构造，将学生不容易理 解的问题，变得直观，易于理解和解答.常用的方法有 分割法、补充法、割补法，割补法是以上三种方法的总 称.运用割补法，能使学生易于理解题意，解答题目. 3.2. 1重合数轴底高“直”第（2)问解法2 如图4,连接OP ,不难看出，1 2 3■^A P B C = ^A P O C + ^A P O B — ^A S O C =+ 4 (― —* + ~X +y f i Z ) • (AE + CF )BD • GH .4) -16 =-(x -4)2 +16.所以存在点/5使A P B C 的面积最大，最大面积 是16.在，试说明理由.第（1)问解析根据抛物线的对称轴x = 3,可得出a 的值,进而得出抛物线的解析式为y =-+2+4.由于抛物线与x 轴交于4 '两点，且点B 在点4右 便丨K 可设:K = 〇’得 〇 = -+*2 +1* + 4,解得 =-2,x 2 =8.所以点4，B 的坐标分别为4(-2,0)，B ( 8，0).点C 在y 轴上，可设* =0,得点C 的坐标为C (0,4).第(2)问解法1不妨假设存在点P ,设点P 的坐标为+|^+4)(0<*<8).如图3,连接PS , PC ,过点P 作/今轴交直线B C 于点Z ).3.2.2构造垂直底高“直”第(2)问解法3 如图5,过点P作*轴的垂线 付>,垂足为点由图5可得，S APSC =5梯形C00P+ ^APDB ~ ^ABOC = 1/12 3 .A\1^12 3 /!、/〇—x(-~rx+ —x+ 4+4) + -z~(- ~rx+—x+ 4) (8 -2 4 2 y 2 4 2 ’、x) -16=-(x-4)" +16.所以存在点Z5使A P B C的面积最大，最大面积 是16.3.2.3构造矩形底高“直”第(2)问解法4如图6,由题意可知，SAWiC =1123S梯形£08P一SA p e c 一= "^(文 + 8 ) (- + ~^x + 4) ——X(—+ ~^X—^) —16 —(x—4)' + 16.所以存在点P使A P S C的面积最大，最大面积 是16.反思图6中的矩形经常简化为梯形、直角三角 形等一些规则图形，视具体情况而定.函数是一种以 运动变化的观点分析问题中的数量关系的思维形式,在具体情境中，要分清整个变化过程中的“变”和“不变”，教师在数学教学中应培养学生数学抽象、建模、运算等方面的能力，抓住基础知识点，深挖问题本质，以“问题串”或“知识串”的方式做好初三的复习工 作，这样能达到事半功倍的效果.4就势下坡再探索如图7,由题意可知，中S C的长一定，若以为底，那么，决定A P B C的面积的变量只有BC边上的高，我们不妨在B C上方的抛物线上任取一点过点P作S C的平行线P M,那么/W与B C之间的距离等于A P B C的边S C上的高.当这个距离达到最大时，A P B C的面积最大（如图8)，此时，过点P的直线M V与抛物线7=-^^2 +■|"*+4 相切.此时，=-士 * + 6 与;K: - + ^+ 4 组成的方程组有唯一解，可以求出6的值，进一步求出点P 的坐标，进而完成此题.反思通过一题多解变式教学，可以帮助学生搞 清问题的内涵和外延，提高数学综合应用能力，通过 变式练习，可以使学生全面、深刻地理解转化思想，并 能利用转化思想解决实际问题.还可以在解题过程中 唤起学生的求知欲，激发学生探究问题的兴趣、提高 学生综合应用知识的能力.5 一波三折再回首除了解题方法的变式，我们还可以对结论进行变式.(1) 例题中的问题（2)改为：求作一点P ，使△ PSC 的面积为12;(2) 点P 是抛物线上两点之间的一个动点 (不与B ，C 重合），是否存在一点P ,使A P S C 的面积 为22,若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，试说明 理由■具体解题方法，这里就不论述了，可以参见前面 的实例，只做抛砖引玉之用.通过对与二次函数有关 的最大面积问题进行一题多解变式教学，可以使学生 的思维视野开阔，有利于培养学生的发散思维能力， 培养学生的创造性思维.然而，学无止境，除上述方法 以外，教师还可以引导学生集思广益，探索更多的新 方法,或者针对某个方法进行横向、纵向、立体式再探 索,达到举一反三、触类旁通的目的•今天的教育要回答“培养什么人”“怎样培养人”的问题.发展学生核心素养体系已明确：学生应具备 适应终生发展的必备品格和关键能力，学生在学习方 式方面更加注重体验、合作、探究，以及以信息技术为 手段的学习.这一切都要求教师的教学、教育要朝着 更加精细化、简约化的方向发展.构建高效课堂不会 只是一句口号，今天的教育更加注重学生在学习过程 中的自主发展、合作参与、创新实践.参考文献：[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011年版）[M ].北京:北京师范大学出版社,2012.[2] 聂必凯.数学变式教学的探索性研究[D ].上海：华 东师范大学，2004.[3]苏继昌.面积的概念及面积的割补法[J ].数学教学研究，1982(02) :11 -15.(收稿日期:2019-12-18)一题四鮮各显其美李玉荣(金陵中学河西分校浙江南京210019)摘要：本文对一道隐含等边三角形的网络研讨题从四个不同的角度探究解法，凸显了数学解题的自然美、运动美、和谐美、简洁美.关键词：等边三角形；一题多解;数学美1题目呈现题目如图1,四边形4B C D 中，乙B /1Z ) =60。
ʏ安徽省阜阳市第五中学 程其伟涉及三角函数与最值的交汇综合问题,其情境设置新颖,题目精干简捷,创新性强,能力性高,一直是高考㊁竞赛等数学试题中的一类常见题型㊂由于作为基本初等函数之一的三角函数,自身同时和代数㊁几何等数学基本内容有着非常密切的联系,这也为问题的巧妙设置及多维破解提供切入点与思维视角,是数学中充分展示知识交汇融合,体现方法多样性㊁思维拓展性的一大重要场所㊂一㊁试题呈现题目 (2023届湖北省黄冈市高三年级调研考试(9月)数学试卷㊃15)已知函数f (x )=1c o s x +162-c o s x 0<x <π2,则函数f (x )的最小值为㊂二㊁试题剖析此题以一次三角函数的分式为背景加以创设,合理交汇三角函数㊁函数或方程㊁不等式等相关知识,可以借助函数思维㊁不等式思维及方程思维等来切入与展开,通过换元法㊁函数求导法㊁基本不等式法㊁判别式法等来破解,实现 一题多解 的良好功能㊂三㊁试题破解思维视角一:函数思维㊂方法1:(换元+导数法)设c o s x =t ɪ(0,1),所以f (t )=1t +162-t,求导得f '(t )=-1t 2+16(2-t )2=(3t +2)(5t -2)t 2(2-t)2㊂令f '(t )=0,整理得(3t +2)(5t -2)=,解得t =-23(舍去)或t =25㊂当t ɪ0,25时,f'(t )<0,故函数f (t )单调递减;当t ɪ25,1 时,f '(t )>0,故函数f (t )单调递增㊂所以f (t )m i n =f 25=252,即当c o s x =25时,函数f (x )的最小值为252㊂点评:借助换元法处理,构建对应的函数关系式,通过函数求导,结合导函数为零来确定其零点,利用函数的单调区间来进一步确定函数的单调性,进而求解函数的最小值㊂函数思维切入,通过求导处理,结合导函数的正负取值情况来判定函数的单调性,为确定函数的最值提供条件,这也是破解函数最值问题中最常用的技巧方法之一㊂方法2:(换元+基本不等式法)由于f (x )=1c o s x +162-c o s x =15c o s x +22c o s x -c o s 2x,设15c o s x +2=t ɪ(2,17),则c o s x =t -215㊂根据基本不等式,可得f (t )=t2ˑt -215-t -2152=225t-t 2+34t -64=225-t -64t +34ȡ225-2t ˑ64t+34=252,当且仅当t =64t ,即t =8,亦即c o s x =25时,等号成立㊂所以函数f (x )的最小值为252㊂点评:借助函数关系式的恒等变形与转化,进而结合换元处理,通过分式型函数关系式的转化,利用基本不等式来确定函数的最小值㊂当然在得到对应的分式型函数关系式后,也可通过求导,利用导数法来确定相应的最值问题㊂基本不等式法或导数法都是确定分式型函数关系式最值问题中比较常用的技巧方法㊂41 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.思维视角二:不等式思维㊂方法3:(基本不等式法)由于0<x <π2,则知0<c o s x <1,1<2-c o s x <2㊂根据基本不等式,可得f (x )=1c o s x+162-c o s x =121c o s x +162-c o s x(c o s x +2-c o s x )=122-c o s x c o s x +16c o s x2-c o s x+17 ȡ1222-c o s x c o s x ˑ16c o s x 2-c o s x+17=252,当且仅当2-c o s x c o s x =16c o s x 2-c o s x ,即c o s x =25时,等号成立㊂所以函数f (x )的最小值为252㊂点评:借助函数解析式的特征,合理配凑对应的关系式,对原关系式进行巧妙变形与转化,使其满足两个含参关系式之积为常数,利用基本不等式加以应用,从而得以确定函数的最小值㊂借助 增添项 加以巧妙配凑,合理构建两个关系式之积为常数,为进一步利用基本不等式提供条件,这也是破解问题的关键点与难点所在㊂思维视角三:方程思维㊂方法4:(待定系数法)由于0<x <π2,则知0<c o s x <1,1<2-c o s x <2㊂由于f (x )=1c o s x +162-c o s x=15c o s x +22c o s x -c o s 2x ,令f (x )=15c o s x +22c o s x -c o s 2x=t ,整理得t c o s 2x +(15-2t )c o s x +2=0,则关于c o s x 的二次方程有正实数根,所以Δ=(15-2t )2-8t ȡ0,整理得4t 2-68t +225ȡ,解得t ɤ92或t ȡ252,由题意可知f (x )>8,所以t >8,所以t ȡ252,等号成立时有c o s x =25㊂所以函数f (x )的最小值为252㊂点评:借助函数关系式的恒等变形与转化,整体引入参数并转化为相应的方程,待定系数处理,结合关于c o s x 的二次方程有正实数根,借助判别式法构建相应的不等式,通过二次不等式的求解来确定函数的最小值㊂将函数问题方程化,实现函数与方程之间的巧妙转化,是破解函数最值问题中比较常用的思维策略㊂四、变式探究探究1:(初级升级变式)改变三角函数关系式的给出形式,借助三角恒等变换及三角函数关系式的应用来确定函数的最值问题,得到以下对应的变式问题㊂考查的知识点与试题难度有所拓展与提升㊂ʌ变式1ɔ已知函数f (x )=3c o s x +2c o s2π23c o s x㊃t a n x 2+1+s i n x +c o s x1+s i n x -c o s x0<x <π2,则f (x )的最小值为( )㊂A .33 B .233 C .533D .23解析:由于f (x )=3c o s x +2c o s2x23c o s x㊃t a n x 2+1+s i n x +c o s x 1+s i n x -c o s x =3c o s x +2c o s2x 23c o s x㊃s i n x 2c o s x 2+2c o s 2x 2+2s i n x 2c o s x 22s i n 2x 2+2s i n x 2c o s x 2=s i nx 2c o sx 2+s i n x 3c o s x +c o sx2s i nx 2=s i n x 3c o s x +2s i n x,求导得f '(x )=s i n x 3c o s x'+2s i n x'=13c o s 2x-2c o s x s i n 2x =-6c o s 3x -c o s 2x +13s i n 2x c o s 2x㊂令c o s x =t ɪ(0,1),则函数g (t )=-6t 3-t 2+1在区间(0,1)上单调递减,且g12=0㊂所以当t ɪ12,1,即x ɪ0,π3 时,g (t )<0,即f '(x )<0,故函数f (x )单调递减;当t ɪ0,12 ,即x ɪπ3,π2时,g (t )>0,即f '(x )>0,故函数f (x )单调递增㊂51解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.所以f (x )m i n =f π3=533,即函数f (x )的最小值为533㊂点评:该变式巧妙地将三角函数㊁函数与方程㊁导数及其应用等对应的知识点加以合理融合与交汇,实现问题的最优效益㊂探究2:(中级升级变式)进一步深入拓展与探究,增加变量的个数使得问题更加复杂,借助三角函数关系式的变化与创设,合理探究与应用,得到以下对应的变式问题㊂考查的知识点与试题难度有所提升与变化㊂ʌ变式2ɔ设x ,y ɪ0,π2,则1c o s 2x+1s i n 2x s i n 2y c o s 2y的最小值为( )㊂A.8 B .9C .10D .其他三个选项均不对解析:利用基本不等式,可得1c o s 2x+1s i n 2x s i n 2y c o s 2y =1c o s 2x +4s i n 2x s i n 22yȡ1c o s 2x+4s i n 2x=s i n 2x +c o s 2xc o s 2x+4s i n 2x +4c o s 2x s i n 2x =s i n 2x c o s 2x +4c o s 2xs i n 2x+5ȡ2s i n 2x c o s 2x ˑ4c o s 2x s i n 2x+5=9,当且仅当s i n 22y =1,且s i n 2x c o s 2x =4c o s 2x s i n 2x,即y =π4,t a n x =2时,等号成立㊂故1c o s 2x +1s i n 2x s i n 2y c o s 2y的最小值为9㊂点评:该变式以双变量所对应的三角函数关系式为背景,通过代数式最小值的确定来合理创设问题,以三角函数㊁函数㊁不等式等相关知识的交汇融合来确定最值问题,可以从不等式思维㊁函数与方程思维等视角切入,结合不同的数学思维与技巧策略加以分析与应用㊂探究3:(高级升级变式)合理创设问题情境,结合分式三角函数式的最值的求解来变式与拓展,得到以下对应的变式问题㊂考查的知识点与试题难度进一步加以综合,有较高的提升与变化㊂ʌ变式3ɔ已知α,β,γɪ0,π2,且c o s 2α+c o s 2β+c o s 2γ=2,则c o s α+c o s β+c o s γs i n α+s i n β+s i n γ的最小值为㊂解析:依题意c o s 2α+c o s 2β+co s 2γ=2,可得s i n 2α+s i n 2β+s i n 2γ=1㊂由于α,β,γɪ0,π2,根据基本不等式的变形公式,可得s i n α+s i n βɤ2(s i n 2α+s i n 2β)=2(1-s i n 2γ)=2c o s γ㊂同理得s i n β+s i n γɤ2c o s α,s i n γ+s i n αɤ2c o s β㊂以上三个不等式同向相加,可得2(s i n α+s i n β+s i n γ)ɤ2(c o s α+c o s β+c o s γ),整理得c o s α+c o s β+c o s γs i n α+s i n β+s i n γȡ2,当且仅当α=β=γ,即c o s α=c o s β=co s γ=63时,等号成立㊂故c o s α+c o s β+c o s γs i n α+s i n β+s i n γ的最小值为2㊂点评:该变式结合已知三角函数方程,求解对应的一次分式三角函数关系式的最值,巧妙地将三角函数㊁不等式等相关的知识加以合理融合,有效考查了数学抽象㊁逻辑推理及数学运算等相关的核心素养㊂五、解后反思借助三角函数与最值的交汇综合问题的实例剖析,多思维视角切入,多技巧方法破解,总结解题规律,拓展解题思维,形成解决此类问题的 通性通法 与基本解题经验,形成一个熟练的解题模式㊂而对问题进一步加以探究㊁变式㊁拓展与应用,充分挖掘这一类典型问题的解题技巧与方法,达到 一题多思 一题多解 的目的,并在此基础上,不断总结与提升,实现 一题多变 一题多拓 ,从而提升数学能力,养成良好的思维方法,为全面提升优良的数学品质与培养数学核心素养做了有益的尝试㊂(责任编辑 王福华)61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
追根溯源探究新知——以一道解三角形题为例2021年佛山一模第18题是一道传统的解三角形题，在梯形中求解面积和角度问题，既考查了梯形的有关性质，又考查解三角形的知识，全面考查了学生分析问题、知识迁移、运算求解、解决问题的能力，本文主要是对第（2）问的解法进行探究，引导学生横向探究，促进学生思维的发展，挖掘数学知识的本质、渗透数学思想、提升数学素养。
一、问题提出如图，在梯形中， , , ,.（1）若 ,求梯形的面积.（2）若，求 .通过评卷发现，对于第（1）问大多数学生能够解决，对于第（2）问，学生困难很大，能够解出来的很少，得分率偏低。
这引起了我的思考，我们的数学复习应该怎样更有效，学生的解题能力、解决问题能力的薄弱点在哪里。
很明显，大多数学生对解三角形的知识只是停留在记忆正弦定理、余弦定理的层次，直接套用公式的题能够解决，对于多边形问题、陌生的图形、不太常规的题型就显得束手无策。
让学生摆脱思维定势的束缚，善于独立思考，具有良好的知识迁移能力，探索解题新方法，积极主动解决问题是高考数学复习关键所在。
由于第（1）问难度较低，学生基本上能做对，方法也计较相似，所以本文就第二问的解法进行探究。
解法一设，则 , , ,；在中，由正弦定理得；在中，由余弦定理得；两式相除得，展开得所以，即解得或，因为，则，即 .评析这是参考答案上使用的方法，这种解法比较自然，设一个角作为变量，利用角度之间的关系进行转化、在三角形中运用正弦定理、最后求解一元二次方程即可得到答案。
此方法对学生的化简计算能力要求比较高，并且要对三角恒等变化比较熟练才能迅速解题。
解法二设，，因为交于点 ,则,因为，所以 ,则 , ,；在中，，所以；在中，由正弦定理得；展开得即化简得，整理得；解得或，因为，则，即 .评析此方法充分考虑了三角形的边与边的比例关系，利用相似比构造边与角的关系，再利用正弦定理解三角形，此方法与解法一比较类似，也是对解三角形一般方法的巩固，利用方程的思想解题，计算量还是比较大，但更具思维性。
2014-03教学理论多种教学手段以外，还要学会夸学生。
在拼音教学中，读准音是重点，也是难点，有的学生掌握起来比较慢，这就更需要得到老师的鼓励与肯定，用表扬激励学生的学习热情，使他们树立学好拼音的信心。
比如，“读得很好，继续加油。
”“你读得真准，要是大声一些就更好了。
”“你读得很到位，可当小老师了！”“你一听就会，真厉害！”好学生是夸出来的，适当的表扬会增强他们的自信心，让他们爱学、乐学。
把大拇指送给学生，摸摸他的头，握握他的手……，投去鼓励他的目光，蹲下来听一听，笑一笑，原谅他的小错误，这些细微的动作，学生看在眼里，感受在心里，一点一滴的进步在行动中。
“善教者，师逸而功倍，不善教者，师勤而功半。
”只有优化教学过程，充分挖掘教材的知识性、趣味性，才能使我们的拼音教学既生动活泼又扎实有效。
（作者单位福建省漳平市实验小学）•编辑张珍珍解决问题在新课程小学数学中占有重要地位，也是教学中的难点之一。
解决问题不但需要深刻理解题意，准确把握概念含义，而且要善于抓住解题技巧，进行多种解答方法，快速解题的训练,拓宽学生解题思路，培养和提高学生思维的灵活性以及综合运用数学知识的能力。
以下就“从问题入手，追根溯源”这一解决问题之策略的运用谈谈个人的见解。
一、什么是从问题入手，追根溯源所谓从问题入手分析，是指执问题这一“果”，去索取解决问题的“因”。
根据所求问题与已知条件的关系，从问题开始，追溯根源，一步步往回推导，从而找出已知条件与问题之间的逻辑联系，理清数量关系，找准解答步骤的一种解答方法。
二、如何从问题入手，追根溯源1.问题中已经有解答方法的题型。
例如，新镇小学三年级有4个班，每班40人；四年级有3个班，每班38人。
三年级和四年级一共有多少人？在这题的提问中就已经包含了问题的解答方法，三年级和四年级一共有多少人？这一问题让学生思考后不难理解出是把三年级的学生人数与四年级的学生人数合起来，应该用加法算，即应该“三年级人数+四年级人数”，这时就可以问学生：三年级有多少人？四年级有多少人？让学生在已知条件中找，自然是找不到的。
层层设问 追本溯源 自然生长———一节解题教学课的设计历程与思考陶家友 （江苏省南京市溧水区东屏中学 ２１１２１１） 作为南京市中数会年会（初中专场）的传统活动之一，新晋市学科带头人要开设展示课，笔者有幸执教了题为“线段和的最小值问题”的一节解题教学课．现将本节课的教学设计的历程与思考整理成文，与各位同仁交流．美国数学家哈尔莫斯称：“数学的真正组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏．”数学解题的重要性正如波利亚所言：“掌握数学就是意味着善于解题．”笔者一直对解题教学颇感兴趣，恰逢此次公开课不限主题，自然很想尝试一下．笔者选择“线段和的最小值问题”这个主题是源于一位学生课外问的一个问题．１ 初始设计 图１问题呈现 如图１，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆＝１３，犅犆＝１０，犃犇是犅犆边上的中线，犉是犃犇上的动点，犈是犃犆边上的动点，则犆犉＋犈犉的最小值为 ．提出问题 如图２，点犘 图２为马棚，犗犃为可供马食草的小路，犗犅为可供饮水的小河，假设马棚、路、河的周围都很空旷．你能提出一个与之相关的问题吗？你能解决它吗？设计意图 问题的设计首先从“将军饮马”问题说起，其方法是在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点，对其中一个点作轴对称变换，把同侧点转化为异侧点，利用“两点之间线段最短”求最值，这可归结为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题的数学模型．“将军饮马”问题在建构“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”数学模型过程中，按照“具体情境—抽象数学问题—分析数量关系或变化规律—建立模型”的历程，从现实情境中抽象出“已知直线同侧的两点，求已知直线上一点与这两点的距离和最短”这个数学问题，然后通过观察、逻辑思考等数学活动，结合轴对称有关知识，将“两条线段的和”转化为与之相等的“一条线段”，利用添加辅助线建立了“最短距离”这个数学模型．在这个过程中，学生要突破“怎样才算最短”“模型建构的依据”“为什么最短”等思维障碍，并在直观感知、分拆重组和操作的基础上通过观察、归纳、类比产生模型特征的猜想，然后对产生的模型进行合乎逻辑的理性思考与检验，对模型进行修改，最终建立模型．在上述问题中，与“将军饮马”模型有所区别的是，点犈不再是一个定点，而是变成了一个动点，那么要求犆犉＋犈犉的最小值可以先假设点犈是一个定点，这样问题就转化成“将军饮马”模型．我们可以作出点犆关于线段犃犇的对称点犅，再连结犅犈交犃犇于点犉，这样犆犉＋犈犉就等于犅犈的长度．然后再回到犈是犃犆上的一个动点，那么当点犈在犃犆上运动时，犆犉＋犈犉的长度始终等于犅犈的长度，而当犅犈⊥犃犆时，犅犈是最短的．本问题运用基本事实“两点之间线段最短”“连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”两个涉及“最短”的知识来解决问题．上述线段和最小值问题解决之后，笔者设想通过小马吃草喝水这样一个令学生比较感兴趣的生活情境，试图让学生独立思考和提出问题，以培养学生提出问题的能力，并且这个情境具有很大的开放性，能够让不同思维层次的学生提出不同的问题．２ 问题打磨，凸显本质随着备课的深入，笔者反复思考这道以等腰三角形为背景的题，发现其实不是很妥当．虽然可以考查学生通过等面积的方法来计算线段和最小值，但它降低了本道题的思维含量．因为等腰三角形本身就是轴对称图形，这相当于对学生将本道题转化成“将军饮马”模型进行了提示，不利于培养学生转化的数学思想，所以笔者对原问题进行了如下改进．·０５· 中学数学月刊 ２０１８年第６期 图３问题呈现 如图３，∠犕犗犖＝３０°，点犅在犗犖上，犗犅＝２，点犃是犗犖边上的动点，点犆是犗犕边上的动点，则犅犆＋犃犆的最小值为 ．问题解决后学生积累了一些解决问题的经验和方法，此时笔者还设计了马先去吃草再去喝水这样一个有趣的生活情境，让学生独立思考，然后自主提出问题这一环节，旨在不仅要培养学生解决问题的能力，更要培养学生提出问题的能力．后来经反复思考，马去一条路上吃草这一情境不太符合生活实际，就将提出问题的背景还原成纯数学模型，旨在去除对学生有干扰的不符合实际的情境，直接将上一个问题进行变式，通过教师的问题串引导（见后面的课堂实录），创设一个有利于激发学生思维的纯数学背景，让不同思维层次的学生提出不同思维价值的问题．３ 教学实录师：美国数学家哈尔莫斯认为“数学的真正组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏”．那么如何解决问题呢？解决问题有哪些方法和策略呢？今天我和同学们共同探究．问题来了，你能尝试解决吗？（呈现问题，学生思考）师：当我们拿到一个问题，你觉得首先应该干什么？生１：我觉得首先应该把题审清，弄清已知什么，要求什么．师：很好！第一步应该弄清问题，你觉得这道题最大的特点是什么？生２：我觉得最大的特点是问题里面有两个动点，而且还要求线段和的最小值．师：有谁有想法了？与其他同学交流分享一下．没有学生举手．由于此问题难度较大，在备课时笔者已经预设到此时学生可能面临较大的困难．教师正准备按照套路抛出下面这个问题：“看到最小，你联想到了什么？”没想到半路杀出一个程咬金，有一位学生站起来说自己有想法．生３：如图４，过犅点作犅犆垂直于犗犕，然后再过犆点作犆犃垂直于犗犖．这位学生的做法完全打乱了我精心设计的问题串．这是我备课时没有想到的，心情不由紧张起来，不过心里暗暗告诉自己一定要顺着这位学生 图４提的方法去讨论．于是我接着问他．师：你是怎么想的？为什么这么想？生３：要使犅犆＋犃犆的和最短，我想到了直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短，那我过点犅作犗犕的垂线于点犆，再过点犆作犗犃垂直犗犖于点犃，这样的话犅犆＋犃犆最小．师：过点犅作犅犆垂直于犗犕，能够保证犅犆最短，再过犆点作犆犃垂直于犗犕，能够保证犆犃最短，那么当点犆向上运动时，你观察一下犅犆和犆犃发生了怎样的变化？ 图５生３：如图５，当点犆向上运动时犅犆的长度再变大，但犆犃的长度变小了．师：那你还能说明刚才的犅犆＋犃犆是最短的吗？在教师的反复追问下，他恍然大悟．这位学生勇敢的发言虽然打乱了我精心预设的问题串，并且他的想法是错误的，但是他的思维是自然的，也是其他学生容易犯的错误，是非常有价值的．正是没有忽略这样有价值的错误，笔者才更自然地抛出下面的问题．师：这位同学的做法虽然是错误的，但是他的思考是比较自然的，看到了最小．他联想到直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短．看到最小这两个字，你还联想到什么？这个问题你暂时不能解决，那么与之相关的问题有熟悉的吗？你能解决吗？核心问题 （１）仔细对比问题与“将军饮马”模型之间的联系与区别，你能利用它吗？（２）这个问题显然比“将军饮马”模型要难，那么你能改变一下问题吗？（３）你能重新叙述一下问题吗？４ 启示按照笔者原来的教学预设，不需要学生有很好的思考立即就可以进入精心设计的问题串，但是一位执着的学生举手发问改变了我对整堂课的预设．笔者尊重学生的认知，没有简单地避开问题，而是及时抓住这个宝贵的机会，调整原来的预设，使课堂的探索有了深度．整堂课就着课始的问题情境不断深入，意外地促成学生不断迸发出精彩的思维火花，让整堂解题教学课层层推进，将课堂不断推向高潮．·１５·２０１８年第６期 中学数学月刊 一道数学题的引申韩庆东 （山东省济南第二中学 ２５０１００） 原题 已知一定圆及圆内一定点，求证：过此定点且与定圆内切的动圆的圆心轨迹是椭圆．图１证明 如图１，设定圆的圆心为犉１，半径为犚，圆内一定点为犉２，动圆的圆心为犆，半径为狉．由于动圆犆与定圆犉１相内切，所以它们的圆心距犆犉１＝犚－狉．又由于动圆过点犉２，所以犆犉２＝狉．因此犆犉１＋犆犉２＝（犚－狉）＋狉＝犚（定值）．所以动圆圆心的轨迹是以犉１，犉２为焦点、长轴长为犚的椭圆．引申１ 已知两个定圆，其中半径较小的圆内含于半径较大的圆内，则与小圆外切且与大圆内切的动圆的圆心轨迹是椭圆．图２证明 如图２，设两定圆的半径分别为犚和狉（犚＞狉），两圆的圆心分别是犉１，犉２，动圆的圆心是犆．如果再作一个以犉１为圆心、以犚＋狉为半径的圆，则以犆为圆心、过点犉２的圆必然与此圆内切，问题就转化成了原题．因此动圆的圆心轨迹还是椭圆．引申２ 已知两个定圆，其中半径较小的圆内含于半径较大的圆内，则与小圆和大圆都内切的动圆的圆心轨迹是椭圆．檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪４．１ 对话促进生成，重在倾听与追问如果说“教是为了不教”，那么在精心设计的基础上课堂教学走精教、简教、隐教是一种不错的选择，也是真正体现“让学”、“让学生学”．因此，对话教学是当下大力倡导的一种新型教学理念．但是，如何使“对话教学”从“问答教学”的形式走出来，真正实现师生对话？真正对话的前提在于倾听，但倾听并不等于听．听是听觉器官———耳朵对声波的单纯感受，是被动的无意识的行为．倾听则是主动地获取信息的一种积极的有意识的行为，主要取决于主观意识．可见，倾听是耳朵要听，眼睛要观察，心灵要感受，大脑要思考．面对学生表达、展示时，笔者以为不只是引导、关注学生是否倾听，重要的是教师本人亦需要认真倾听，因为这是教者有效追问与点评的前提．这种追问即是一种隐教，既暴露了学生的思维过程，又借学生的口教给了其他学生．特别地，教师作为平等中的首席，教师的作用没有被抛弃，而是得以重新构建，从外在于学生情境转化为与这一情境共存，权威也转入情境之中．４．２ 利用即时生成的资源，课堂会因真实而精彩叶澜教授说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程．”预设是相对静态的，而课堂教学是千变万化的，再好的预设也不可能预见课堂上可能出现的所有情况．因此，在新课标理论的指导下，我们的课堂教学要打破传统教师主宰一切的局面，去形成可变的师生多向互动关系，让学生的个性得到充分发展，让学生的认知、精神等得到有效的发挥．因此，在课堂上，我们教师要具有一双慧眼，及时捕捉有价值的即时生成，并加以充分利用，在生成的问题中让学生大胆地表达自己的感受、意见和结论，而不是去揣度教师期望的标准答案．笔者认为允许课堂上出现不同的声音，甚至发生争论，从而引发进一步的数学思考，这样动态生成的课堂才是真实的，这样课堂上才会出现一些意想不到的“高见”和“高潮”．相反，在课堂上面对即时生成的信息，如果教师只是简单地把它们纳入到预定的答案中，那么刚刚擦出的“火花”就会即刻消逝．因此，作为教师，我们应善于即时捕捉课堂教学中生成和变化的各种有价值的信息，将其作为活的教育资源，并努力创造条件扶植它和栽培它，及时调整自己的预设，跟着学生思路走，生成新的问题生长点．·２５· 中学数学月刊 ２０１８年第６期。
