第5讲 《相交线与平行线》复习讲义

第五章 相交线与平行线复习 5.1.1相交线（详见课本第2页）1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个 点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点. 如图1所示，直线AB 与直线CD 相交于点O.2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延长线， 那么这两个角叫做对顶角. 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角. 3、对顶角的性质：对顶角 .4、邻补角的概念：如果把一个角的一边 延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角. 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°.5.1.2垂线（详见课本第3-5页）1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，就说这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 .2、垂线的性质 （1）（垂直公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有 条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有 条直线与已知直线 . （2）（垂直推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 即垂线段最 . 3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 线段的长度，叫做点到直线的 如图5所示，l 的垂线段PO 的长度叫做点P 到 直线l 的距离. 4、 垂线的画法（工具：三角板或量角器）画法指点：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， ⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第6-7页） 1、三线八角两条直线被第 条直线所截形成 个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图5，直线b a ,被直线l 所截①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方，叫做 角（位置相同）同位角是“F ”型 ②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内），叫做 角（位置在内且交错）内 错角是“Z ”型③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做 角. 同旁内角是“U ”型 2、如何判别三线八角图形补全. 如上图6 5.2.1平行线（详见课本第11-12页）1、 平行线的概念：在同一平面内，不 的两条直线叫做平行线2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴ ；⑵（通常把 的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：AB CD 14321A BC DO 图2 OD CB A 图1 图521OC B A图3图4 E3、平行线的表示方法平行用“ ”表示，如图7所示，直线AB 与直线CD 平行，记作AB ∥CD ，读作AB 平行于CD .4、平行线的画法：5、平行线的基本性质 （1）平行公理：经过直线 一点，有且只有 条直线与已知直线 .（2）平行推理：如果两条直线都和第 条直线平行，那么这两条直线也 .如上图8所示 5.2.2平行线的判定（详见课本第12-14页）1、平行线的判定方法：（1）判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角 ，两直线 .（2）判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：内错角 ，两直线 .（3）判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角 ，两直线 .（4）平行线的概念：同一平面内，如果两条直线没有交点（不 ），那么两直线平行.（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 .（平行于同一条直线的两条直线也 ） （6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线， 那么这两条直线 .（垂直于同一条直线的两条直线 ）5.3.1平行线的性质（详见课本第18-19页） 1、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简记：两直线 ，同位角 . （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简记：两直线 ，内错角 .（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简记：两直线 ，同旁内角 . 2、两条平行线的距离如图10，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ， 则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离. 3．平行线的性质与判定是互逆的关系: ○1两直线平行 同位角相等；○2两直线平行 内错角相等； ○3两直线平行 同旁内角互补.5.3.2命题、定理（详见课本第20页） 1、命题的概念： 一件事情的语句，叫做命题.2、命题的组成：每个命题都是 、 两部分组成. （1）题设是 事项； （2）结论是由已知事项 的事项.3、命题的表述句式：命题常写成“ ……， ……”的形式. 具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是 ，用“那么”开始的部分是 . 5.4平移（详见课本第28-29页）1、平移变换的概念：把一个图形 沿某一 方向移动，会得到一个新图形的平移变换.2、平移的特征：①大小： ； ②形状： ； ③位置： ； ④对应点的连线： 且 . （1的形状与大小都没有发生变化. （2）经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.图7 D C BA a b c 图8A EG B C F H D图10 性质判定性质性质判定判定图12A B C DEF1 2 34自我检测1.如果两个角是互为邻补角,那么一个角是锐角,另一个角是钝角.( )2.同一平面内,一条直线不可能与两条相交直线都平行.( )3.两条直线被第三条直线所截,内错角的对顶角一定相等.( )4.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.( )5.两条直线都与同一条直线相交,这两条直线必相交.( )6.如右下图，,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____，点B 到AC 的距离是_______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________． 7.设a 、b 、c 为同一平面上三条不同直线，a) 若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________； b) 若,ab bc ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________； c)若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．8.如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．9.如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．10.如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．解：∠B ＋∠E ＝∠BCE过点C 作CF ∥AB ，则B ∠=∠____（ ） 又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ，∴____________（ ） ∴∠E ＝∠____（ ） ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2 即∠B ＋∠E ＝∠BCE ．11.⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a ∥b ．⑵直线//a b ，求证：12∠=∠．12.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明EP ∥FQ ．证明：∵AB ∥CD ，∴∠MEB ＝∠MFD （ ） 又∵∠1＝∠2， （ ）∴∠MEB －∠1＝∠MFD －∠2， （ ） 即 ∠MEP ＝_______∴EP ∥_____．（ ）13.已知DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ，求：⑴∠BAC 的大小； ⑵∠P AG 的大小.14.如图，已知ABC ∆，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠.15.已知：如图∠1=∠2，∠C =∠D ，问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．。

第五章复习课【学习目标】【教材连线·开卷有益】本章知识归纳1.对顶角：有一个，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．【答案】公共顶点；反向延长线2.邻补角：只有一条，它们的另一边，具有这种关系的两个角，互为邻补角．【答案】公共边；互为反向延长线3.对顶角的性质：．【答案】对顶角相等4.在平面内，过一点一条直线与已知直线垂直．【答案】有且只有5.垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做．【答案】垂线段6.垂线段的性质：．【答案】垂线段最短7.（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的，并且在第三条直线（截线）的，则这样一对角叫做同位角．【答案】同侧；同旁（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在，并且在第三条直线（截线）的，则这样一对角叫做内错角．【答案】两直线之间；两旁（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在，并且在第三条直线（截线）的，则这样一对角叫做同旁内角．【答案】两直线之间；同旁8.（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：（重合除外）．（2）平行线的定义：在，的两条直线叫平行线．【答案】（1）平行和相交；（2）同一平面内、不相交9.平行线的判定定理（1）定理1：，两直线平行．（2）定理2：，两直线平行．（3）定理3：，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么．【答案】（1）同位角相等（2）内错角相等（3）同旁内角互补（4）这两条直线平行10.平行公理：经过直线外一点，与这条直线平行．【答案】有且只有一条直线11.平行线性质定理定理1：两直线平行，．定理2：两直线平行，．定理3：两直线平行，．【答案】同位角相等；同旁内角互补；内错角相等12.（1）判断一件事情的语句，叫做命题．命题分为由题设和结论两部分，一个命题可以写成“ ”形式．命题分为和.（2）定理是，但真命题不一定是定理．【答案】（1）如果…那么…；真命题；假命题（2）真命题13.（1）平移的条件是平移的.（2）平移的性质：平移前后的两个图形；连接平移前后图形的各组对应点的线段.（3）平移不改变图形的，只是变了.【答案】（1）方向和距离（2）全等；平行且相等（3）形状和大小；位置【预习小测·大有裨益】1.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若⊥CEF=59°，则⊥AED的度数为（）A．149° B．121° C．95° D．31°【答案】A【解析】⊥EF⊥AB于E，⊥CEF=59°，⊥⊥AEC=90°-59°=31°，又⊥⊥AEC与⊥AED互补，⊥⊥AED=180°-⊥AEC=180°-31°=149°. 故选A．2.如图所示，因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（）A．两点确定一条直线B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．过一点能作一条垂线D．垂线段最短【答案】B【解析】A.因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选B．3.如图所示，下面结论不正确的是（）A．⊥1和⊥3是同位角B．⊥2和⊥3是内错角C．⊥2和⊥4是同旁内角D．⊥1和⊥4是内错角【答案】B【解析】A.⊥1和⊥3是同位角是正确的，不符合题意；B.⊥2和与⊥3的邻补角是内错角，原来的说法不正确，符合题意；C.⊥2和⊥4是同旁内角是正确的，不符合题意；D.⊥1和⊥4是内错角是正确的，不符合题意．故选B．4.如图，下列条件不能判定AB⊥CD的是（）A．⊥1=⊥2 B．⊥2=⊥EC．⊥B+⊥E=180° D．⊥BAF=⊥C【答案】B【解析】A.⊥⊥1=⊥2，⊥AB⊥CD，正确；B.⊥⊥2=⊥E，⊥AD⊥BE，错误；C.⊥⊥B+⊥E=180°，⊥AB⊥CD，正确；D.⊥⊥BAF=⊥C，⊥AB⊥CD，正确；故选B．5.如图1，在△ABC和△DEF中，AB=AC=m，DE=DF=n，∠BAC=∠EDF，点D与点A 重合，点E，F分别在AB，AC边上，将图1中的△DEF沿射线AC的方向平移，使点D与点C 重合，得到图2，下列结论不正确的是（ ）A ．△DEF 平移的距离是mB ．图2中，CB 平分∠ACEC ．△DEF 平移的距离是nD ．图2中，EF ∥BC 【答案】C【解析】⊥AD=AC=m ，⊥⊥DEF 平移的距离是m ，故A 正确，C 错误， ⊥AB=AC ，⊥⊥ACB=⊥ABC ，⊥DE⊥AB ，⊥⊥EDB=⊥ABC ，⊥⊥ACB=⊥ECB ，⊥CB 平分⊥ACE ，故B 正确； 由平移的性质得到EF⊥BC ，故D 正确．故选C ． 【活动探究·同道相益】探究一：邻补角和对顶角的性质及应用活动：如图，直线AB 与CD 相交于点O ，⊥BOE=⊥DOF=90°． （1）写出图中与⊥COE 互补的所有的角（不用说明理由）． （2）问：⊥COE 与⊥AOF 相等吗？请说明理由；（3）如果⊥AOC=51⊥EOF ，求⊥AOC 的度数．【答案】（1）∵直线AB 与CD 相交于点O ，∴∠COE+∠DOE=180°， 又∵∠BOE=∠DOF=90°，∴∠DOE=∠BOF ，∴与∠COE 互补的所有的角为∠DOE ，∠BOF ；（2）∠COE 与∠AOF 相等，理由：∵∠BOE=∠DOF=90°，∴∠AOE=∠COF ， ∴∠AOE-∠AOC=∠COF-∠AOC ，∴∠COE=∠AOF ； （3）设∠AOC=x ，则∠EOF=5x ，∵∠AOE=90°，∴x+2x=90°，∴x=30°，∴∠AOC=30°． 〖当堂检测〗1.⊥1的对顶角是⊥2，⊥2的邻补角是⊥3，若⊥3=75°，则⊥1的度数是（ ） A ．75° B ．105° C ．90° D ．75°或105° 【答案】B【解析】⊥⊥1的对顶角是⊥2，⊥2的邻补角是⊥3，⊥3=75°，⊥⊥1=⊥2，⊥2+⊥3=180°，⊥⊥1+⊥3=180°，则⊥1的度数是180°-75°=105°．故选B ．2.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分⊥EOC ，⊥EOC ：⊥EOD=1：2，则⊥BOD 等于（ ）A ．30°B ．36°C ．45°D ．72° 【答案】A【解析】⊥⊥EOC ：⊥EOD=1：2，⊥⊥EOC=180°×31=60°，⊥OA 平分⊥EOC ，⊥⊥AOC=21⊥EOC=21×60°=30°，⊥⊥BOD=⊥AOC=30°． 故选A ．探究二：垂线的性质及应用活动：如图所示，某自来水厂计划把河流AB 中的水引到蓄水池C 中，问从河岸AB 的何处开渠，才能使所开的渠道最短？画图表示，并说明设计的理由．【答案】如图所示．从河岸AB 的D 点处开渠，可使所开的渠道最短．理由是垂线段最短．〖当堂检测〗1．如图，从位置P 到直线公路MN 共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN 的小道是（ ）A ．PAB ．PBC ．PCD ．PD 【答案】B【解析】根据垂线段最短得，能最快到达公路MN 的小道是PB ，故选B ．2.如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站．为了超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C【解析】建在C处，根据垂线段最短，故选C．探究三：平行线的判定活动：如图，在⊥ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗？为什么？（2）如果⊥1=⊥2，试判断DG与BC的位置关系，并说明理由．【答案】（1）CD∥EF；理由：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDF=∠EFB=90°，∴CD∥EF．（2）DG∥BC，理由：∵CD∥EF，∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC〖当堂检测〗1.如图，BD平分⊥ABC，若⊥1=⊥2，则（）A．AB⊥CD B．AD⊥BCC．AD=BC D．AB=CD【答案】B【解析】⊥BD平分⊥ABC，⊥⊥1=⊥3，又⊥⊥1=⊥2，⊥⊥2=⊥3，⊥AD⊥BC（内错角相等，两直线平行）．故选B．2.如图，已知⊥1=30°，下列结论正确的有（）⊥若⊥2=30°，则AB⊥CD；⊥若⊥5=30°，则AB⊥CD⊥若⊥3=150°，则AB⊥CD；⊥若⊥4=150°，则AB⊥CD．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】⊥⊥1=30°，⊥⊥2=150°，⊥⊥错误；⊥⊥4=150°，⊥⊥2=⊥4，⊥AB⊥CD（同位角相等，两直线平行），⊥⊥正确；⊥⊥1=30°，⊥⊥3=150°，⊥⊥5=30°，⊥⊥4=150°，⊥⊥3=⊥4，⊥AB⊥CD（内错角相等，两直线平行），⊥⊥正确；根据⊥1=30°，⊥3=150°不能推出AB⊥CD，⊥⊥错误；即正确的个数是2个，故选B．探究四：平行线的性质及应用活动：已知：如图，AD⊥BC，AE是⊥BAD的角平分线，AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且⊥E=⊥CFE，请说明⊥ABF=⊥BFC的理由．【答案】⊥AD⊥BC，⊥⊥E=⊥DAE，⊥AE是⊥BAD的角平分线，⊥⊥DAE=⊥BAE，⊥⊥E=⊥CFE，⊥⊥BAE=⊥CFE，⊥AB⊥DC，⊥⊥ABF=⊥BFC．〖当堂检测〗1.如图，直线a⊥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若⊥1=58°，则⊥2的度数为（）A．58° B．42° C．32° D．28°【答案】C【解析】⊥直线a⊥b，⊥⊥ACB=⊥2，⊥AC⊥BA，⊥⊥BAC=90°，⊥⊥2=⊥ACB=180°-⊥1-⊥BAC=180°-90°-58°=32°，故选C．2.将一副三角板按如图放置，则下列结论：⊥如果⊥2=30°，则有AC⊥DE；⊥⊥BAE+⊥CAD=180°；⊥如果BC⊥AD，则有⊥2=30°；⊥如果⊥CAD=150°，必有⊥4=⊥C；正确的有（）A．⊥⊥⊥ B．⊥⊥⊥ C．⊥⊥⊥ D．⊥⊥⊥⊥【答案】A【解析】∵∠2=30°，∴∠1=60°，又∵∠E=60°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故①正确；∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，即∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=90°+90°=180°，故②正确；∵BC∥AD，∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°，又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，∴∠3=45°，∴∠2=90°-45°=45°，故③错误；∵∠D=30°，∠CAD=150°，∴∠CAD+∠D=180°，∴AC∥DE，∴∠4=∠C，故④正确．故选A．探究五：平移的性质及应用活动：如图将⊥ABE向右平移3cm得到⊥DCF，已知⊥ABE的周长是16cm．（1）试判断AD与EF的关系，并证明．（2）求四边形ABFD的周长．【答案】（1）AD⊥EF 且AD=EF ；⊥⊥DCF 是由⊥ABE 平移得到，⊥⊥AEB=⊥DFC 且AE=DF ， 则AE⊥DF ，⊥四边形AEFD 是平行四边形，则AD⊥EF ，AD=EF ； （2）⊥⊥ABE 向右平移3cm 得到⊥DCF ，⊥EF=AD=3cm ，AE=DF ， ⊥⊥ABE 的周长为16cm ，⊥AB+BE+AE=16cm ， ⊥四边形ABFD 的周长=AB+BE+EF+DF+AD =AB+BE+AE+EF+AD =16cm+3cm+3cm =22cm ． 〖当堂检测〗1.如图，⊥DEF 是由⊥ABC 通过平移得到，且点B ，E ，C ，F 在同一条直线上．若BF=14，EC=6．则BE 的长度是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．3 【答案】B【解析】⊥⊥DEF 是由⊥ABC 通过平移得到， ⊥BE=CF ，⊥BE=21（BF -EC ）， ⊥BF=14，EC=6，⊥BE=21（14-6）=4．故选B ． 2.如图所示，由⊥ABC 平移得到的三角形的个数是（ ）A．5 个B．15 个C．8 个D．6 个【答案】A【解析】平移变换不改变图形的形状、大小和方向，因此由⊥ABC平移得到的三角形有5个．故选A．【课堂总结·集思广益】。

第五章相交线与平行线章节复习【要点集结】【精讲精练】☞考点说明：相交线所形成的角，主要有邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角，学会区分各种不同的角，并掌握角与角之间的关系.参考演练方阵套卷中的第1、4、6、7、9. 例1.如图，直线AB与直线CD相交于点O，其中∠AOC的对顶角是（）.A．∠A0D B．∠B0D C．∠B0C D．∠A0D和∠B0C【答案】B【解析】对顶角的两边互为反向延长线,结合图形，根据对顶角的定义选择即可．由图可知，∠AOC的对顶角是∠BOD．故选B．例2.下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（）.类型一：相交线所形成的角A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．符合条件的只有B，故选：B．例3.如图：A、O、B在同一直线上，AB⊥OE，OC⊥OD，则图中互余的角共有（）对．【答案】4【解析】解：由已知条件得，∠AOE=∠BOE=∠DOC=90°，∴∠BOD+∠DOE=90°，∠DOE+∠COE=90°，∠COE+∠AOC=90°，∴∠DOE=∠AOC，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴互余的角共有四对．例4.如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（）.A．50° B．60° C．140° D．160°【答案】C【解析】解：∵∠1+∠2=180°又∠1=40°∴∠2=140°．故选C．例5.如图，直线AB，CD相交于O点，若∠1=30°，则∠2，∠3的度数分别为（）. A．120°，60° B．130°，50° C．140°，40° D．150°，30°【答案】D【解析】解：∵∠1与∠3是对顶角，∴∠3=∠1=30°，∵∠1与∠2是邻补角，即∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-30°=150°．故选D．例6.如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）. A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【解析】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，∴∠1=∠AOF，∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．故选A．例7.两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）.A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角【答案】D【解析】解：因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误；综上所述，D正确．故选：D．例8.下列说法中，正确的是（）.A．有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角B．有公共点，且又相等的角是对顶角C．两条直线相交所成的角是对顶角D．角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角【答案】D【解析】解：A、对顶角应该是有公共顶点，且两边互为反向延长线，错误；B、对顶角是有公共顶点，且两边互为反向延长线，相等只是其性质，错误；C、两条直线相交所成的角有对顶角、邻补角，错误；D、角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合对顶角的定义，正确．故选D．例9.图中有（）对对顶角．【答案】12【解析】解：如图，单个角组成的对顶角有4对，两个角看做一个角组成的对顶角有4对，三个角看做一个角组成的对顶角有4对，所以对顶角共有4×3=12对．故应填12．例10.如图所示，直线AB，CD相交于O，所形成的∠1，∠2，∠3，∠4中，下列分类不同于其它三个的（）.A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠3和∠4 D．∠2和∠4【答案】D【解析】两直线相交时，会产生对顶角、邻补角，要根据定义来判断角与角之间的关系．解：A、B、C中，两个角都是邻补角关系；D中，两角是对顶角．故选D．例11.三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对；交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（）.A．m=n B．m＞n C．m＜n D．m+n=10【答案】A【解析】三条直线两两相交，每对相交的直线就会形成2对对顶角，这三条直线每两条都相交，相交直线的对数，与是否交于同一点无关，因而m=n．例12.如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】解：因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是2，1的点，即距离坐标是（2，1）的点，因而共有4个．故选D．☞考点说明：掌握平行线判定的常用方法，并能灵活运用.参考演练方阵套卷中的第2、3、5、10、11、16、18、19、20、21、24.例1.三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）.A．a⊥b B．a∥b C．a⊥b或a∥b D．无法确定【答案】B【解析】解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b．类型二：平行线及其判定故选B．例2.过一点画已知直线的平行线（）.A．有且只有一条 B．不存在C．有两条 D．不存在或有且只有一条【答案】D【解析】解：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行．故选D．例3.在四边形ABCD中，如果∠B+∠C=180°，那么（）.A．AB∥CD B．AD∥BC C．AB与CD相交 D．AB与DC垂直【答案】A【解析】解：∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．故选A．例4.如图，下列说法中，正确的是（）.A．因为∠2=∠4，所以AD∥BCB．因为∠BAD+∠D=180°，所以AD∥BCC．因为∠1=∠3，所以AB∥CDD．因为∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC【答案】D【解析】解：A、因为∠2=∠4，所以AB∥DC，故选项错误；B、因为∠BAD+∠D=180°，所以AB∥DC，故选项错误；C、因为∠1=∠3，所以AD∥BC，故选项错误；D、因为∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC，故选项正确．故选D．例5.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（）. A．∠1=∠2 B．∠2=∠4 C．∠3=∠4 D．∠1+∠4=180°【答案】D【解析】解：A、∠1=∠2，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；B、∠2=∠4，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；C、∠3=∠4，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；D、∠1+∠4=180°，∠1的对顶角与∠4是a、b被截得的同旁内角，符合题意．故选D．例6.如图，不能判断AD∥BC的条件是（）.A．∠1=∠2 B．∠ADC+∠C=180°C．∠EAD=∠ABC D．∠3=∠4【答案】A【解析】解：对于A：∵∠1=∠2，∴AB∥DC，但不能判定AD∥BC；对于B：∵∠ADC+∠C=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；对于C：∵∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；对于D：∵∠3=∠4，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；故选A．例7.图中有直线L截两直线L1，L2后所形成的八个角．由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2（）.A．∠2+∠4=180° B．∠3+∠8=180° C．∠5+∠6=180° D．∠7+∠8=180°【答案】B【解析】解：∵∠3+∠8=180°，而∠4+∠8=180°，∴∠3=∠4，∴L1∥L2．（内错角相等，两直线平行）．故选B．例8.如图，已知∠1=70°，要使AB∥CD，则须具备另一个条件（）.A．∠2=70° B．∠2=100° C．∠2=110° D．∠3=110°【答案】C【解析】解：∠1=70°，要使AB∥CD，则只要∠2=180°-70°=110°（同旁内角互补两直线平行）．故选：C．例9.如图，下列条件①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠3+∠4=180°；④∠1+∠2=180°；⑤∠1+∠2=90°；⑥∠3+∠4=90°；⑦∠1=∠4中，能判断直线l1∥l2的条件有（）. A．②④ B．①②⑦ C．③④ D．②③⑥【答案】C【解析】解：由图可以看出：∠1的补角（180°-∠1）和∠2且∠3的补角（180°-∠3）和∠4对于直线l1和l2来说是两对内错角．若使180°-∠1=∠2，即：∠1+∠2=180°；180°-∠3=∠4，即：∠3+∠4=180°；所以，l1∥l2（同位角相等，两直线平行）．故选：C．例10.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°（1）证明：EF∥AB（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数。