线性代数—4.4 正定性

第二章解线性代数方程组的迭代法2. 1 引言在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性代数方程组，它的系数矩阵数很高，但非零元素很少，人们称其为大型稀疏线性代数方程组，对于这类方程组，如果它乂不具有带状性，那么，再用直接法求解就不太有效，因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状，导致了计算量的增加和存储单元的浪费，于是，人们常用迭代法求解大型稀疏线性代数方程组。

迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素，这样，占用内存在单元较少，能解高阶线性代数方程组。

山于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，因此，收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。

那么，是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法呢？回答是否定的，这是因为不同的系数矩阵具有不同的性态，一般地，每一种迭代法都具有一定的适用范围，在本章的学习中将会看到，有时，某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。

因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组，构造合适的迭代方法。

本章主要介绍一些基本的迭代法，并在一定的范围内讨论其中儿种方法的收敛法。

2. 2 基本迭代法考虑线性方程组如坷+如勺+…+气兀”二勺a2t x i+a22x2 + - + a2…x n =b2■•••••••••••(2. 1)采用矩阵和向量记号，我们可以把(2.1)式写成Ax = h(2.2)其中，为非奇异矩阵，设下面我们介绍雅可比(Jacobi)迭代，高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代与S0R迭代以及SS0R迭代的基本思想和算法。

为了方便地给出矩阵表示式，我们引进下列矩阵分裂：4SD-U,(2.3)其中-a2\-a n\(1)雅可比迭代的基本思想从式(2.1)的第i个方程中解出X t=(/ = 1,2,•••,«)我们把迭代前面的值代入上式右边，山计算得到等式左边的值作为一次迭代的新值，然后再把这个新值代入右边，再从左边得到一个新值，如此反复，就得到了雅可比迭代公式。

线性代数练习册附答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（线性代数练习册附答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为线性代数练习册附答案的全部内容。

第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ， y 到变量x 1， y 1的线性变换的系数矩阵： （1）⎩⎨⎧==011y x x ； (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2。

（通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2，b 3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3。

设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ,求3AB —2A 和A TB .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换 32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换。

6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ,A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f （x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3312A 时，求f (A )。

线性代数公式 1-------4 宋利常概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间.()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量√ 行列式的计算：⑤范德蒙德行列式：()1222212111112ni j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m nA a ⨯=或m n A ⨯()1121112222*12n Tn ij nn nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A中各个元素的代数余子式.√ 逆矩阵的求法:①1A A A *-=○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号②1()()A E E A -−−−−→ 初等行变换1231111213a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→ 初等行变换(I)的解法：构造()() T T T T A X B X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得1零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）⑧ 设√ ④,m n n A B ⨯⨯若 ⑤(r AB ⑥A B 若若⑦若()m n r A ⨯若()n s r B n ⨯=⑨()r A B ±⑩A O r OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭√ 12,,βαα可由12,βαα不可由Ax Ax ββ==()r A *⎧⎪=⎨⎪⎩√ 设A √ 判断1η√ √ 若η*√ 12nA λλλ=1niAλ=∑tr ，A tr 称为矩阵A√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.()1r A =⇔A一定可分解为A=()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A=+++ ,从而A的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++ tr , 23nλλλ==== 0 ○注()12,,,Tn a a a 为A 各行的公比，()12,,,n b b b 为A 各列的公比.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O=⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ ；12()()()()n f A f f f λλλ= .√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，对n阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++ 为A 的一个多项式.√1231122,T A mm k kA a b aA bEA A A AA Aλλλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎨= 是的特征值则:分别有特征值 .⎪⎪⎪⎪⎪⎩1231122,A mm k kAa b aA bEAx A x A A Aλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎩ 是关于的特征向量则也是关于的特征向量.2,m A A 的特征向量不一定是A 的特征向量.√ A 与T有相同的特征值，但特征向量不一定相同.1P AP B -=（P 为可逆矩阵） 记为：A B 1P AP B -= （P 为正交矩阵）A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ （称Λ是A√A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数⇔A 恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1PAP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n PPA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎛⎫⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化.√ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算）()r A =. 相似矩阵的性质：①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同. ②A B =tr tr,A B 同时可逆或不可逆,特征向量是实向量；.,该特征值i λ的重数=()in r E A λ--；⇔有相同的特征值.E = ⇔A 的n 个行（列）向量构成n的一组标准正交基.1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1； ④A 是正交阵,则T A ，1A-也是正交阵；⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑥A 的行（列）向量都是单位正交向量组.211,,)nnT n ij i j i j x x x Ax a x x ====∑∑ ij ji a a =，即A 为对称矩,)T nxTCAC B =记作：A B （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）pr p -r 为二次型的秩)⇔它们有相同的正负惯性指数⇔他们的秩与正惯性指数A B ()()r A r B = ,)Tn x xAx =经过正交变换合同变换可逆线性变换x Cy =化为21ni i f d y =∑,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由唯一确定的.i d 为-1或0或1时,. A 与唯一对角阵111100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭合同.:A 的特征值、特征向量；n 个特征向量正交规范化；③ 构造C（正交矩阵）,作变换x Cy =,则1112221()()TT T T Tn n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭新的二次型为21ni i f d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ=333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源和发展介绍线性代数的起源和发展历程，理解线性代数在数学和其他领域的重要性。

1.2 向量空间和线性映射定义向量空间和线性映射，理解它们的基本性质和概念。

1.3 矩阵和行列式介绍矩阵和行列式的概念，理解它们在线性代数中的重要性。

1.4 线性方程组理解线性方程组的定义和性质，学习解线性方程组的方法。

第二章矩阵和行列式2.1 矩阵的概念和运算介绍矩阵的概念和基本运算，如加法、减法、乘法和转置。

2.2 行列式的定义和性质定义行列式并学习其基本性质，如行列式的值与矩阵的行（列）向量之间的关系。

2.3 行列式的计算学习计算行列式的不同方法，如按行（列）展开、代数余子式和行列式的逆。

2.4 矩阵的逆定义矩阵的逆并学习其性质，如矩阵的逆与矩阵的行列式之间的关系。

第三章线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法解线性方程组的步骤和应用。

3.2 克莱姆法则理解克莱姆法则的原理，学习如何使用克莱姆法则解线性方程组。

3.3 线性方程组的解的性质学习线性方程组的解的性质，如唯一解、无解和有无限多解。

3.4 线性方程组的应用了解线性方程组在实际问题中的应用，如线性规划、电路分析和物理学中的问题。

第四章向量空间和线性映射4.1 向量空间的概念和性质定义向量空间并学习其基本性质，如向量加法和标量乘法的封闭性。

4.2 子空间和线性相关性理解子空间的概念并学习如何判断向量组线性相关性。

4.3 线性映射的概念和性质定义线性映射并学习其基本性质，如线性映射的矩阵表示和图像。

4.4 特征值和特征向量定义特征值和特征向量，学习如何求解线性映射的特征值和特征向量。

第五章特征值和特征向量5.1 特征值和特征向量的概念定义特征值和特征向量，理解它们在线性代数中的重要性。

5.2 特征值和特征向量的计算学习如何计算线性映射的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式。

5.3 特征空间和不变子空间理解特征空间和不变子空间的概念，学习它们的性质和应用。

线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏（列）展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算：①(定义法)②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵（不必同阶）,则⑤关于副对⾓线：⑥范德蒙德⾏列式：证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。

⑦型公式：⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；3. 证明的⽅法：①、；②、反证法；③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；④、利⽤秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满⾜：交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘：,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量；c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。

2023大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。

§4.4 线性方程组解的结构第四章n元向量空间111122121122221122000.+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ，，，AX ⇔=（矩阵形式）0记齐次线性方程组111212122211n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的系数矩阵为 12X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n x x x 未知数向量为{}A X AX A X ∈==0的解集是的子空间nnN 0 ，()=注2注1 齐次线性方程组解的线性组合还是解.性质11212AX AX =+=0 0 若是 的解则也是的解，.η,ηηη性质2()AX AX =∀∈=0 0 若是 的解则 也是的解k k ，.ηη齐次线性方程组的基础解系定义1当 有非零解时， AX =0如果解向量满足： 12,,,t ηηη(1)线性无关； 12,,,t ηηη(2)的任一解可由 线性表示， 12,,,t ηηηAX =0则称为方程组 的一个基础解系. 12,,,t ηηηAX =01122X =+++t t k k k ，ηηη12,,,其中是任意常数t k k k .()12(),,,A =t N L ηηη{}11221,2,,=+++∈=t t i k k k k i t ，ηηη如果为齐次线性方程组 的一个基础解系，则 12,,,t ηηηAX =0的通解可表示为 AX =0◆向量组的极大无关组不唯一，但不同极大无关组中所含向量个数相同.向量组的秩◆方程组的基础解系不唯一，但所含解向量的个数是唯AX 0解空间的维数一确定的.dim N(A)=如何求基础解系()A AX ⨯=<=0m n r r n 当时，方程组有非零解，1212,,,,,,++r r r n x x x x x x 不失一般性，不妨设为主变量，为自由变量111,1,10010000A --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n r r r n r b b b b 初等行变换A 则系数阵化为行简化阶梯形矩阵齐次线性方程组的基础解系11111,11,+-+-⎧=---⎪⎨⎪=---⎩r n r n rr r r n r nx b x b x x b x b x ⇔AX =011111,11,11+-+-++---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r n r n r r r r n r n r r n n x b x b x x b x b x x x x x 通解为11121212212100010001++---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r r r r r n b b b b b b x x x11121,12,12,,,.100010001n r r r r n r n rb b b b b b ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηη记112212,.X ---=+++其中 为任意常数n r n r n r k k k k k k ，，，ηηη112212,,,,,++--===令其中为任意常数r r n n r n r x k x k x k k k k ，，，AX =0 则 的通解为为齐次线性方程组 的一个基础解系，且 12,,,t ηηηAX =0dim ().A =-N n r()AX A A ⨯=<0m n r n 若齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则必有定理1基础解系，()A -n r 且任一基础解系所含解向量的个数为.123412341234123450,230,380,3970.x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩例1 求齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解.解 对方程组的系数矩阵初等行变换，得11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦310127012200000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()24A =<r ，1342343,272,2x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩该方程组有非零解，且基础解系中含2个解向量， 同解方程组为 34,x x 其中为自由变量. 31272212123412,,.0110--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∀∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x k k k k x x 327212120110--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ηη通解为 为该方程组的一个基础解系. 1231722001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，ηη由于11112211211222221122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩11121121222212[]A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n m m mn m a a a b a a a b a a a b β增广矩阵为已知 非齐次线性方程组 m n ⨯AX ⇔=（矩阵形式）β AX AX ==0.β称齐次线性方程组为的导出组()()A A AX =<=r r n 当时，有无穷多解，这些解具有怎样的形式？β性质3性质41212.X X AX X X AX =-= 设是的任意两个解,则是其导出组 的解，β0 0,X AX =设是 的一个特解β.AX =方程组的解β0X η+则是,AX =0是导出组 的解η()()AX A A ⨯===<如果非齐次线性方程组满足m n r r r n β，它的一个解（称它为特解），定理212AX -=0是它的导出组的一个基础n r ，，，ηηη0X 是解系，AX =则方程组的通解为β12.-其中为任意常数n r k k k ，，，01122X X ηηη--=++++n r n r k k k ，例2 12312312331,334,598.+-=-⎧⎪--=⎨⎪+-=-⎩x x x x x x x x x 113131341598A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3302437024001100⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求非齐次线性方程组 解 313233427342⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x x x x ，，的全部解.()()23A A ==<r r ，由于 该方程组有无穷多解，其同解方程组为 其中 为自由变量. 3x方法1 (1) 令 ， 30=x 求出非齐次线性方程组的一个特解 T 037[,,0].44X =-(2) 导出组的同解方程组为31323232⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x x x x ，， 令 ， 31=x 得导出组的一个基础解系 T 33[,,1].22=η(3) 所求非齐次线性方程组的全部解为 T T 3733[,,0][,,1],.4422X =-+∀∈k k方法2 由同解方程组 直接写出通解 或其向量形式的通解为T T T 1233733[,,][,,0][,,1],.4422=-+∀∈x x x k k 313233427342⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x x x x ，，13233333427342.⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩x x x x x x ，，zxyOXX+ηηLW例2的几何意义=在例2中若，，在三维几何空间取定直角坐标系后，++=ax by cz d平面++=ax by cz过原点的平面L可由W 沿作平移得到.X非齐次线性方程组解的判定11112212112222,.a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩11111221:L a x a x b +=，已知平面直线 22112222:.L a x a x b +=则两条平面直线的交点坐标满足重合 相交 平行解的几何意义§4.5 欧氏空间n 第四章n元向量空间{}1212T [,,,],,,=∈元实向量空间n n n n a a a a a a ||||cos ,a b a b θ=||,a a a =cos .||||a b a b θ=112233,a b a b a b a b =++数量积的直角坐标计算公式： 解析几何中向量的数量积：T T 1212[,,,],[,,,],==设是元向量空间中两个向量n n n a a a b b b n αβ1122(,)αβ=+++n n a b a b a b ，令定义了内积的n 元实向量空间 , 称为欧几里得空间，简称欧氏空间.n T ,,(,).=当为列向量时有αβαβαβ※ 定义1称 为向量 与 的内积（inner product ）. (,)αβαβ(1)(,)(,);=αββα(2)(,)(,);=k k αβαβ(3)(,)(,)(,);+=+αβγαγβγ（对称性） 内积具有以下性质（其中为n 元向量，k 为实数）： ,,αβγ（线性性） (4)(,)0,(,)0.≥=⇔=0且ααααα（正定性）⎫⎪⎬⎪⎭利用这些性质可以证明施瓦茨(Schwarz )不等式成立:2(,)(,)(,).≤⋅αβααββ定义2 对欧氏空间 中的任一向量 ， αn (,).=ααα称非负实数 为向量的长度 (,)ααα(length ),记为 注 (,).=ααα向量的长度也称为范数(norm)，记为 α(i)0;0≠>==00;当时当时,αααα，2(ii)(,)(,)||||.=== 对任意向量及任意实数有k k k k k k ααααααα， （非负性）（齐次性）向量的长度具有下述性质：定义3 在欧氏空间 中， n 若(,)0,=αβ称向量 与 正交(orthogonal )， βα.⊥αβ记为01,≠=0若则为单位向量αααα，1=α当时，称 为单位向量. α由向量 得到 的过程称为把向量 α0α 单位化.α 欧氏空间 中，两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组. n每一个向量都是单位向量的正交向量组称为标准正交组.正交向量组一定线性无关.命题1 1,,(,),1,2,,.0,.=⎧⇔==⎨≠⎩i j i j i j s i j αα12s ,,,∈是一个标准正交组n ααα由n 个向量组成的正交向量组称为 的一个正交基(orthogonal basis ). n 每一个向量都是单位向量的正交基称为 的标准正交基(orthonormal basis ). n 例如， 12,,,.基本向量组 是 的一个标准正交基n n εεε121122,,,,(,)(,)(,).∀∈=+++R 设是的一个标准正交基.证明：对有n n n n n αααααααααααααα 例112(),,,(),ns s n ααα≤设Ⅰ是欧氏空间中的一个线性无关向量组令定理1施密特正交化方法12(),,,,ns βββ则Ⅱ是的正交向量组且11;βα=11(,),2,3,,,(,)k k i k k i i i i k s αββαβββ-==-=∑1212(,,,)(,,,),1,2,,.i i L L i s αααβββ==2122111(,),(,)αββαβββ=-12,1,2,,,():,,,.ii ins i s βηβηηη==令则Ⅲ是的标准正交组T T T 31233[1,1,0],[1,0,1],[0,1,1],.ααα===设是的一个基用施密特正交化方法求的一个标准正交基T 11[1,1,0],βα==令 2122111(,)(,)αββαβββ=-解T T 1[1,0,1][1,1,0]2=-T1[1,1,2],2=-313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--TT T 11[0,1,1][1,1,0][1,1,2]26=---T2[1,1,1].3=-例1123βββ将，，单位化得3123,,.ηηη则是的一个标准正交基T 111T 222T 3331[1,1,0],21[1,1,2],61[1,1,1],3βηββηββηβ====-==-11αβ=2α2β221k βαβ=-3β2β11αβ=2α3α1k β3312k l βαββ=--§4.6 正交矩阵第四章n元向量空间正交矩阵T ,n n A A A E =若阶实方阵满足则称 A 为正交矩阵，简称正交阵.(orthogonal matrix )定义1TAA E ⇔=nT A A E =n 1TAA -⇔=注 1T(i),,11A A ,A A A -*=-若是正交阵则也是正交阵，且或；(ii),若和是同阶正交阵则也是正交阵.A B AB 正交阵具有下述性质：T(i),.n =由于是正交矩阵所以A AA E 从而,两边取行列式可得1 1.=-从而或A 2T T 1,n ====A A A AA E T T T 1,,,,.n *-==显然为实矩阵.由于是正交矩阵所以且A A A A A E A A 11T T T T T ()()()(),n --===A A A A A A E 2T 11T11T()()()()()(),n **----===A A A A A A A A A E 1T,,-*因此均是正交矩阵.A A A 证(ii),,,显然为实矩阵. 由于是正交矩阵所以AB A B T T,,n n ==AA E BB E 因此T T T T()()(),n ===AB AB A BB A AA E 故是正交矩阵.AB,()n 设是阶实矩阵则是正交矩阵当且仅当的行列向量组A A A 命题1n是的一个标准正交基.12,,,,n ααα设的行向量组为则A 证12T T TT 12,,,n n αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦AA T TT 11121T TT 21222T T T 12n n n n n n αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,).(,)(,)(,)n n n n n n αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是正交矩阵A 12,,,nn ααα⇔的行向量组是的一个标准正交基.A Tn⇔=AA E (,)1,1,2,,,(,)0,,,1,2,,.i i i j i n i j i j n αααα==⎧⇔⎨=≠=⎩TTn n ==因为与等价，所以上述结论对的列向量亦成立.A A E AA E A若矩阵S 为正交阵，则线性变换 X=SY 称为正交变换.11111221221122221122.n n n n n n n nn n x s y s y s y x s y s y s y x s y s y s y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩则，，，1122n n x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设，X , Y 为由向量X 到Y 的一个线性变换.T T T T T (,)()().======X X X X X SY SY Y S SY Y Y Y 这说明经正交变换线段长度保持不变.cos sin ,sin cos -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦例如，矩阵是正交矩阵旋转是一个正交变换；ϕϕϕϕA Y AX。

线性代数知识点总结线性代数知识点总结1线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的20__年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。

下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对20__考研的同学们学习有帮助。

行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20__年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。

矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。

考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。

第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。

重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。

（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。

第四章 线性空间线性空间是二维、三维几何空间及n 维向量空间的推广。

线性空间中的元素统称为向量，但此时的向量除了可以是n 维向量以外，还可以是矩阵、多项式、函数、数等，这体现了这个概念的一般性。

另一方面，线性空间要规定两种运算：加法与数乘，但这一概念是抽象的。

4．1 线性空间线性空间是线性代数的基本概念，它是通过对不同的数学对象的共同本质（线性的）进行的抽象。

所谓线性空间，就是定义了两种运算（加法与数乘）的非空集合，该集合在这两种运算下保持封闭性。

1． 定义：设V 是一个非空集合，P 为一个数域。

在集合V 的元素之间定义了一种代数运算叫做加法，即任取γβαγβα=+∈∈使有唯一,,,V V ，在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即任取αV ∈，有唯一的.,ηαη=∈k V 使得如果加法与数乘满足下面的规则：（1）αββα+=+；（2）)()(γβαγβα++=++；（3）在V 中有一个元素0，对V 中任意元素α，有α+0=α；（4）对V 中任意元素α，都有V 中元素β，使得=+βα0；（5）1α=α；（6）αα)()(kl l k =；（7）αααl k l k +=+)(；（8）αββαk k k +=+)(；则称V 为数域P 上线性空间。

在线性空间里，V 中的元素称为向量，0元素称为零向量，当 =+βα0时，β为α的负向量。

2．线性空间的性质；（1） 零元素是唯一的；（2） 任意向量α的负向量是唯一的，记为-α；（3） 0α=0，（-1）α=-α，k0=0;（4） 若k α=0，则k=0或α=0。

3． 线性子空间如果线性空间V 的非空子集W ，关于V 所定义的两种运算也构成一个线性空间，则称W 维V 的一个线性子空间。

若W 是V 的非空子集，W 中的元素关于V 的两种运算自然满足八条运算规则，于是判断W 是是否构成V 的线性子空间，只要验证W 关于V 的两种运算是否封闭，即“任取→∈∈+P k W ,βαW k W ∈∈+αβα,” 是否成立。

《线性代数》课程教学大纲课程名称：线性代数课程代码：课程性质: 必修总学分：2 总学时： 32* 其中理论教学学时：32*适用专业和对象：理（非数学类专业）、工、经、管各专业**使用教材：注：（1）大部分高校开设本课程的教学学时数约为32—48学时，为兼顾少学时高校开展教学工作，本大纲以最低学时数32学时（约2学分）进行教学安排，有多余学时的学校或专业可对需要加强的内容适当拓展教学学时。

（2）对线性代数课程而言，理工类与经管类专业的教学基本要求几乎一致，所以这里所列教学内容及要求对这两类专业均适合。

一、课程简介《线性代数》是高等学校理（非数学类专业）、工、经、管各专业的一门公共基础课，其研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

该课程具有理论上的抽象性、逻辑推理的严密性和工程应用的广泛性。

主要内容是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法，使学生具有熟练的矩阵运算能力并能用矩阵方法解决一些实际问题。

通过本课程的学习，使学生理解和掌握行列式、矩阵的基本概念、主要性质和基本运算，理解向量空间的概念、向量的线性关系、线性变换、了解欧氏空间的线性结构，掌握线性方程组的求解方法和理论，掌握二次型的标准化和正定性判定。

线性代数的数学思想和数学方法深刻地体现辩证唯物主义的世界观和方法论，线性代数的发展历史也充分展示数学家们开拓创新、追求真理的科学精神，展现古今中外数学家们忠诚爱国、献身事业的高尚情怀。

思想政治教育元素融入线性代数的教学实践之中，可以培养学生用哲学思辨立场、观点和方法分析解决问题，能够提高学生的创新能力和应用意识，培养学生的爱国主义情怀、爱岗敬业精神和开拓创新精神，帮助学生在人生道路上形成良好的人格，树立正确的世界观、人生观、价值观。

线性代数理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且在物理、化学、生物、航天、经济、工程等领域中都有着广泛的应用。

同时，线性代数课程注重培养学生逻辑思维和抽象思维能力、空间直观和想象能力，提高学生分析问题解决问题的能力。