整数规划典型问题实例

〈运筹学〉补充例题例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。

生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。

这两种产品在市场上是畅销产品。

该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。

产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100产品售价（元） 800 300MAX 800X1 +300X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。

产品A和B的价格调整为600元和400元。

假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。

X 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。

因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。

有关信息在下表中给出。

产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100原材料(公斤) 11 8 130产品售价（元） 600 400MAX 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 10011X1 +8X2 <= 130X1, X2 >=0例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。

工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。

有关信息在下表中给出。

产品A 产品B 资源总量资源价格（元／单位）机器（时） 6 8 120 ５人工（时） 10 5 100 20原材料(公斤) 11 8 130 1产品售价（元） 600 400设： J为所用机器资源数量（小时）；R为所用人力资源数量（小时）；L为所用原材料数量（公斤）MAX 600X1 +400X2 -CST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L = 0J <= 120R <= 100L <= 1305J +20R +1L - C = 0x1, x2, J,R,L>=0例题 1.5 学习了管理课程后，该企业的经理明白了产品的成本包括变动成本和固定成本。

练习 4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元, 拟在今后五年考虑用于下列项目的投资: 项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资, 并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4 万元, 第二. 三. 四年不限.项目B:第三年初需要投资, 到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为 5 万元.项目C:第二年初需要投资, 到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为 4 万元, 或为 6 万元, 或为8 万元.项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还, 并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额, 使到第五年末拥有最大的资金收益.(1)x 为项目各年月初投入向量。

(2)x ij 为i 种项目j 年的月初的投入(3)向量c中的元素cij为i 年末j种项目收回本例的百分比(4)矩阵A中元素aij为约束条件中每个变量xij的系数。

(5)Z为第5年末能拥有的资金本利最大总额。

因此目标函数为max Z 1.15 x4 A 1.28 x3B 1.40x2C 1.06 x5 D束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金第 1 年年初该投资者拥有10 万元资金, 故有x1A x1D 100000 .第 2 年年初该投资者手中拥有资金只有 1 6% x1D , 故有x2A x2C x2D 1.06 x1D .第3 年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 1.06x2D , 及从项目 A 中第1 年投资收回的本金: 1.15x1A , 故有max=1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d; x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0; -1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0; -1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0; x2c=40000 ; x2c=60000; x2c=80000; x2c=20000; x3b>=30000; x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0; x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0; x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0; x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;x 3A x 3B x 3D 1.15 x 1A 1.06 x 2 D同理第 4年、第 5 年有约束为 x 4A x 4D 1.15 x 2 A 1.06 x 3 D ,x5D1.15 x 3 A 1.06x 4DVariable Value Reduced Cost X4A 22900.00 0.000000X3B 50000.00 0.000000X2C 40000.00 0.000000X5D 0.000000 0.000000X1A 62264.15 0.000000X1D 37735.85 0.000000X2A 0.000000 0.000000X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000X3D 21603.77 0.000000X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000X1B 0.000000 0.000000X2B 0.000000 0.000000X4B 0.000000 0.000000X5B 0.000000 0.000000X1C 0.000000 0.000000X3C 0.000000 0.000000X4C 0.000000 0.000000X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10 某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11 给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4 ，表示消防站1，2，⋯11 表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间对所负责的区域的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习 4.10某城市的消防站总部将全市划分为11 个防火区，现有四的。

整数规划案例目录例1固定费用问题 (1)例2选择性约束条件 (1)例3可行域描述问题 (2)例4 最优分配问题 (2)例5 选址问题 (2)例6 排序问题 (3)例7利润分段线性问题 (5)例8可靠性问题 (5)例9装配线平衡问题 (6)例10货物列车编组计划问题 (7)例1固定费用问题工厂准备生产Al、A2、A3三种产品。

若Aj产品投产，无论产量大与小，都需要一笔固定费用dj（例如装夹具的设计制作费用）。

而每生产一件产品，其利润为cj,试问固定费用这个因素如何体现在模型中而使总利润最大?（其它约束条件暂不列入）解设产品Aj的产量为xj,又设0—1变量yi=l （当xj>0）, 0 （否则）于是，目标函数为max 仁clxl+c2x2+c3x3・dlyl-d2y2・d3y3例2选择性约束条件某工厂生产第j种产品的数量为Xj,j=l, 2, 3。

其使用的材料在材料甲及乙中选择一种。

材料消耗的约束条件分别为2x1+5x24-6x3 W180 及4x1+3x2+7x3^240（其它资源约束未列出），试问这类选择性约束条件如何体现在模型中？解引进0—1变量y： y=0 （选择材料甲），0 （否则）。

这样，“或此或彼”相互排斥的约束条件就可化成下列两个约束条件：2xl+5x2+6x3W180+My,4x1+3 x2+7x3 W240+M（ 1-y）,其中M是充分大的正数。

可以看出，当y=0时，第二个约束变成4xl+3x2+7x3W240+M,由于M是充分大的正数，所以这个约束条件自动满足而不起作用，而第一个约束为2xl+5x2+6x3 W180,这意味着选择材料甲；反之，当y=l时，第二个约束起作用，第一个约束变为2xl+5x2+6x3W180+M不起作用，这意味着选择材料乙。

因此，借助0—1变量，材料选择的两种可能性就同时包括在一个模型中了。

一般地，假定在某种情况下要在P个约束条件中至少要选择q个约束条件得到满足，那么，我们引进P个0-1变量yi,则选择性的约束条件问题就化为.……例3可行域描述问题如何把图中的阴影部分所表示的可行域用联立的线性约束条件来描述?例4最优分配问题现有四部车床Ai（I=l,…，4）和四个零件Bj（j=l,…，4）,车床Ai加工零件Bj 所需时间tij（小时）由下表给出。

第六章---运筹学-整数规划案例第六章整数规划用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。

1、 max z=3x1+2x2. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥0求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。

3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、 min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋ x6-10 x16≤0x7+ x8＋ x9-20 x17≤0x10+ x11＋ x12-30 x18≤0x13+ x14＋ x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。

例1 求解下列整数规划得最优解:()123123max 45634510..01,2,3,j j Z x x x x x x s t x j x =++++⎧⎪⎨=⎪⎩≤≥为整数.解 （1）建立动态规划模型:阶段变量: 将给每一个变量 赋值瞧成一个阶段, 划分为3个阶段, 且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量 表示从第 阶段到第3阶段约束右端最大值, 则 设决策变量k x 表示第k 阶段赋给变量k x 得值(1,2,3)k =、 状态转移方程: 阶段指标: 基本方程；()(){}()3113,2,1044()max ,()0.s k k k k k k k k k k x a f s u s x f s f s ++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎧=+⎪⎨⎪=⎩≤≤ 其中1233,4, 5.a a a === 用逆序法求解: 当3k =时，()(){}{}33333443330055max 6max 6,ssx x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=≤≤≤而 表示不超过 得最大整数。

因此, 当 时, ；当 时, 可取0或1；当 时, 可取0, 1, 2,由此确定 现将有关数据列入表4.1中当 时, 有()(){}(){}22222332322220044max 5max 54,ssx x f s xf s xf s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤而 。

所以当 时, ；当 时, ；当 时 。

由此确定 。

现将有关数据列入表4.2中、当时,有()(){}(){}11111221211110033max 4max 43,ssx x f s x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤例5 用动态规划方法解下列非线性规划问题⎩⎨⎧=≥≤++⋅⋅=3,2,1 0 max 3213221i x c x x x x x x z i 解: 解决这一类静态规划问题, 需要人为地赋予时间概念, 从而将该问题转化为多阶段决策过程。