3.4 函数的单调性凹凸性
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3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
10
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
高等数学方明亮34函数的单调性与曲线的凹凸性
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1 ） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
2019年9月14日星期六
9
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定义 设函数 f (x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意
两点 x1, x2 （不妨设 x1 x2 ）及任意正数 (0 1) ，恒
有
f [x1 (1 ))x2 ] f (x1) (1 ) f (x2 ),
解：已知 f (x0 ) 0 ，不妨设 f (x0 ) 0 ， 由于 f (x0 ) 在 x x0 的某邻域内连续，
因此必存在 0 ，当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) 0
又已知 f (x0 ) 0
从而当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) f (x0 ) 0 ，函数凸
则称曲线 y f (x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f (x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，
下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
2019年9月14日星期六
10
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3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
D f'(x0)=0或f'(x0)不存在
单选题 10分
判定函数f(x)=arctan x-x 单调 性
A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 无法判断
单选题 10分
判定函数 f(x)=x+cos x (0≤x≤2π) 的单调性
A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 无法判断
主观题 8分 确定下列函数的单调区间：
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Hale Waihona Puke 主观题 8分确定下列函数的单调区间：
y
4x3
10 9x2
6x
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主观题 8分 证明下列不等式：
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主观题 8分 证明下列不等式：
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单选题 10分
此处添加题目描述
A 沿x轴正向下降且为凸的 B 沿x轴正向上升且为凸的 C 沿x轴正向下降且为凹的 D 沿x轴正向上升且为凹的
单选题 10分 此处添加题目描述
A B C D
主观题 8分 判定下列曲线的凹凸性：
y ln(1 x2 )
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单选题 10分
此处添加题目描述
A a 1,b 3, c 24, d 16.
B a 1,b 3, c 24, d 16. C a 1,b 3, c 24, d 16. D a 1,b 3, c 24, d 16.
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸 性
总分: 100
*此封面页请勿删除，删除后将无法上传至试卷 库，添加菜单栏任意题型即可制作试卷。本提 示将在上传时自动隐藏。
单选题 10分 函数y=f(x)在x0处取得最大值, 则必有
单选题 10分
判定函数f(x)=arctan x-x 单调 性
A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 无法判断
单选题 10分
判定函数 f(x)=x+cos x (0≤x≤2π) 的单调性
A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 无法判断
主观题 8分 确定下列函数的单调区间：
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Hale Waihona Puke 主观题 8分确定下列函数的单调区间：
y
4x3
10 9x2
6x
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主观题 8分 证明下列不等式：
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单选题 10分
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A 沿x轴正向下降且为凸的 B 沿x轴正向上升且为凸的 C 沿x轴正向下降且为凹的 D 沿x轴正向上升且为凹的
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A B C D
主观题 8分 判定下列曲线的凹凸性：
y ln(1 x2 )
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单选题 10分
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A a 1,b 3, c 24, d 16.
B a 1,b 3, c 24, d 16. C a 1,b 3, c 24, d 16. D a 1,b 3, c 24, d 16.
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸 性
总分: 100
*此封面页请勿删除，删除后将无法上传至试卷 库，添加菜单栏任意题型即可制作试卷。本提 示将在上传时自动隐藏。
单选题 10分 函数y=f(x)在x0处取得最大值, 则必有
3-4函数单调性与凹凸性(09)
二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.
高等数学-3_4单调性
第四节
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、函数单调性的应用 三、曲线的凹凸与拐点
机动
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结束
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续， 在 ( a , b )内可导，
若对任意 x∈( a , b ) 都有
( f ( x ) 0),
不存在的点 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论 在各小区间内的正负符号.
4. 确定凹凸区间。
x ( ,0) y 凹 y
0
2 (0, ) 3
2 2 ( , ) 3 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3
凸
凹
2 2 x 区间]I 凹区间: ( ,0], [ , ); 凸区间: [0, 3 3 f ( x ) 2 11 拐点 ( 0 , 1 ) , ( , ). f ( x )
x f ( x ) f ( x)
(0,1)
1
(1, )
0
∴单减区间为(0,1]；单增区间为 [1, ).
例2 讨论 y (1 x ) 解 定义域为 ( 1, )
1 3
2 2 3
( x 1) 的单调性.
得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1.
x
y y
( 1, 0)
o
x
2
定理2. (凹凸判定法)
设函数
在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、函数单调性的应用 三、曲线的凹凸与拐点
机动
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一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续， 在 ( a , b )内可导，
若对任意 x∈( a , b ) 都有
( f ( x ) 0),
不存在的点 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论 在各小区间内的正负符号.
4. 确定凹凸区间。
x ( ,0) y 凹 y
0
2 (0, ) 3
2 2 ( , ) 3 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3
凸
凹
2 2 x 区间]I 凹区间: ( ,0], [ , ); 凸区间: [0, 3 3 f ( x ) 2 11 拐点 ( 0 , 1 ) , ( , ). f ( x )
x f ( x ) f ( x)
(0,1)
1
(1, )
0
∴单减区间为(0,1]；单增区间为 [1, ).
例2 讨论 y (1 x ) 解 定义域为 ( 1, )
1 3
2 2 3
( x 1) 的单调性.
得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1.
x
y y
( 1, 0)
o
x
2
定理2. (凹凸判定法)
设函数
在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .
函数的单调性与曲线的凹凸性
f [ x1 (1 )) x2 ] f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ),
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的， 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
x2
的凹凸性．
（详细解答过程可参见课本 P108）
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性． （详细解答过程可参见课本 P109）
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中，点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点， 称为曲线的拐点．
一般地，连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点．
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y
0
凸的
凹的
拐点
拐点
凹的
曲线 y e
x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时， f ( x) 0 ， (,0] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x) 0 ， [0, ] 上单调增加；
[0, ). 单调区间为( ,0]，
注意：学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . （1）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凹的； （2）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凸的．
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的， 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
x2
的凹凸性．
（详细解答过程可参见课本 P108）
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性． （详细解答过程可参见课本 P109）
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中，点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点， 称为曲线的拐点．
一般地，连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点．
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y
0
凸的
凹的
拐点
拐点
凹的
曲线 y e
x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时， f ( x) 0 ， (,0] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x) 0 ， [0, ] 上单调增加；
[0, ). 单调区间为( ,0]，
注意：学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . （1）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凹的； （2）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凸的．
3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性
cox s1x2x4o(x5) 2! 4!
e x 2 2 cx o 3 s (1 2 1 )x 4 o (x 4 ) 2 ! 4 !
原式 lx i0m 172x4x4o(x4)172 10
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
x x2 1x1 (x0).
3 !
5 !
1ab0 a4b0 a16b0 a 4 b 1
3
3
14
泰勒公式的应用
(1) 利用多项式逼近函数 ,
f(x ) f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
2 !
n !
(2) 近似计算
Rn(x)
M (n1)!
例 如 ， yx2在 x0处 f(0)0,它 在 ( ,0)上 单 调 减 少 ， (0, )上 单 调 增 加 ，
20
观察下面的图形, 你能得出什么结论？
y
y
O
x0
x
O
x0
x
结 论 使 得 函 数 的 导 数 f (x ) 不 存 在 的 点 也 可 作 为
函 数 单 调 性 的 分 界 点 .
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 增 加 的 ;
恒 有 (2 )f(x 1)f(x 2),
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 减 少 的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
x
I
f ( x1)
f (x2 )
两边同乘 n !
n!e = 整数 + e (01)
e x 2 2 cx o 3 s (1 2 1 )x 4 o (x 4 ) 2 ! 4 !
原式 lx i0m 172x4x4o(x4)172 10
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
x x2 1x1 (x0).
3 !
5 !
1ab0 a4b0 a16b0 a 4 b 1
3
3
14
泰勒公式的应用
(1) 利用多项式逼近函数 ,
f(x ) f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
2 !
n !
(2) 近似计算
Rn(x)
M (n1)!
例 如 ， yx2在 x0处 f(0)0,它 在 ( ,0)上 单 调 减 少 ， (0, )上 单 调 增 加 ，
20
观察下面的图形, 你能得出什么结论？
y
y
O
x0
x
O
x0
x
结 论 使 得 函 数 的 导 数 f (x ) 不 存 在 的 点 也 可 作 为
函 数 单 调 性 的 分 界 点 .
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 增 加 的 ;
恒 有 (2 )f(x 1)f(x 2),
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 减 少 的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
x
I
f ( x1)
f (x2 )
两边同乘 n !
n!e = 整数 + e (01)
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
3.4函数的单调性与凹凸性
3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
1. 单调性判别法
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念 4. 曲线凹凸性与拐点的判别法
一、单调性的判别法
f ( x ) 定理 设函数 y 在 [a, b]上连续, 在 (a,b)
内可导
' ( x ) 0 ,则函数 y (1) 若在 (a,b)内 f f ( x ) 在
5 1 ,0 ) 综上所述可知， 方程 x 在区间 ( x 1 0
内有且只有一个实根.
二、曲线凹凸的概念 问题 如何研究曲线的弯曲方向?
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凸的.
[a, b]上单调增加;
' ( x ) 0 , f ( x ) 在 则函数 y (2) 若在 (a,b) 内 f
[a, b] 上单调减少;
证 x , x ( a , b ), x ,应用拉氏定理得 且 x 1 2 1 2
( x x ), f ( x ) f ( x ) f ' ( )( x x ) 1 2 2 1 2 1
函数单调减少； 函数单调增加.
注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导
数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
完
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调
1. 单调性判别法
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念 4. 曲线凹凸性与拐点的判别法
一、单调性的判别法
f ( x ) 定理 设函数 y 在 [a, b]上连续, 在 (a,b)
内可导
' ( x ) 0 ,则函数 y (1) 若在 (a,b)内 f f ( x ) 在
5 1 ,0 ) 综上所述可知， 方程 x 在区间 ( x 1 0
内有且只有一个实根.
二、曲线凹凸的概念 问题 如何研究曲线的弯曲方向?
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凸的.
[a, b]上单调增加;
' ( x ) 0 , f ( x ) 在 则函数 y (2) 若在 (a,b) 内 f
[a, b] 上单调减少;
证 x , x ( a , b ), x ,应用拉氏定理得 且 x 1 2 1 2
( x x ), f ( x ) f ( x ) f ' ( )( x x ) 1 2 2 1 2 1
函数单调减少； 函数单调增加.
注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导
数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
完
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调
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[a, b]上单调增加；
(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0，那末函数y f ( x)在
[a, b]上单调减少.
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
解 f ( x) 1 cos x 0 （等号仅在某些点成立！）
所以f x x sin x在x ,上单调增加
例3 确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间. 解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12
6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
例 1 讨论函数 y e x x 1 的单调性.
x)
x
1 2
x2
,
因为 f ( x) 在[0,) 上连续，在 (0,) 内可导，
且
f
(
x)
1
1
x
1
x
x2 1 x
,
当 x 0 时， f ( x) 0, 又 f (0) 0.
故当 x 0 时， f ( x) f (0) 0,
所以
ln(1
x)
x
1 2
x2.
思路归纳：
欲证 f (x) g(x), x [a,b]
单调区间为 (,1]，[1,2]，[2,).
例4 求函数 y 3 (2x a)(a x)2 (a 0)的单调区
间.
解
y
2 3
3
2a 3x (2x a)2(a
, x)
令 y 0, 解得
x1
2 3
a,
在
x2
a 2
,
x3
a
处
y 不存在.
在
,
a 2
内，
y
0,
函数单调增加.
在
a 2
,
2 3
a
内，
f
(
x)
x2
(2
sin
1 x
)
x 0,易知 f (x)在x 0处取到极大值，
0
x0
f (0) 0，当x 0时, f (x) 4x 2x sin 1 cos 1 , xx
取x 1 则有 f ( 1 ) 4 (1)n ,
n
n n
因此在极值点x 0的任意邻近 f (x)都不保号,因此在x 0 的每个邻域内f 都不可能是单调的。
f
(
x)
x
2
x2
sin
1 x
x 0,易求得 f (0) 1
0
x0
当x 0时, f (x) 1 4x sin 1 2cos 1 ,
x
x
取x 1 则有 f ( 1 ) 1 2(1)n,
n
n
可见在x 0的任意邻近 f (x)都不保号,因此在x 0 的每个邻域内f 都不是单调的。
答：(2)不一定。举例如下：
,
2 3
a
内，
y
0,
函数单调增加.
在
2 3
a,
a
内， y 0,
函数单调减少.
在 a, 内， y 0, 函数单调增加.
问题:(1)由函数在一点上的导数符号大于(小于)0 能否推出函数在该点的一个充分小的邻域 内单调？
(2)函数在邻近其极值点的每一侧是否 一定具有单调性？
答：(1)推不出单调性。举例如下：
引进辅助函数 F(x) f (x) g(x)
若 F(x) 0，且F(a) 0
方法: 用方程 f '( x) 0 的根及 f '( x) 不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间, 然后判断区间内导
数的符号.
例2 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
y 3 x2
第四节 导数的应用
一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性与拐点
一、函数的单调性(monotonicity)
1．单调性的判别法
y
y f (x) B
yA y f (x)
A
B
oa
bx
oa
bx
f ( x) 0
f ( x) 0
定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导.
（1）如果在(a, b)内 f ( x) 0，那末函数y f ( x)在
y
0,
函数单调增加.
例4 求函数 y 3 (2x a)(a x)2 (a 0)的单调区
间. 解
在
,
a 2
内，y0, Nhomakorabea函数单调增加.
在
a 2
,
2 3
a
内，
y
0,
函数单调增加.
例4 求函数 y 3 (2x a)(a x)2 (a 0)的单调区
间.
解
在
,
a 2
内，
y
0,
函数单调增加.
在
a 2
函数的单调性是一个区间上的性质，要用导 数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点 处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
同时也不能想当然地认为：可导函数在其极值 点的左邻域内或是右邻域内一定具有单调性。
利用单调性证明不等式
例5
试证明：当
x
0
时，ln(1
x)
x
1 2
x2.
证 作辅助函数
f
(
x)
ln(1
解 y e x 1. 又 D : (,). 在 (,0)内， y 0, 函数单调减少； 在 (0,) 内， y 0, 函数单调增加.
注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导 数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调 区间的分界点.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]，[0,).
注意:区间内个某些点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
再如 f x x sin x, x ,