求函数的单调区间

单调区间的求法步骤
《单调区间的求法步骤单调区间的求法步骤》
嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊单调区间的求法步骤。

这可是数学里挺重要的一块儿知识哦，别怕别怕，咱们一起轻松拿下它！
咱们先来说说第一步哈，那就是求函数的定义域。

这就好比你要去一个好玩的地方，得先知道能去的范围嘛。

比如说一个分式函数，分母不能等于零，不然就没意义啦。

这定义域就是咱们玩耍的场地，可不能搞错喽！
然后呀，咱们令导数等于零，求出导函数的零点。

这零点可重要啦，就像是路上的转折点。

找到它们，咱们就能更好地搞清楚函数的走势。

再然后呢，咱们以这些零点为分界点，把定义域分成几个小段。

这就像是把咱们的大场地分成了几个小区域。

接着，在每个小段里，咱们选一个数，代入导函数，看看是正还是负。

如果是正的，那这一段函数就是单调递增的；要是负的呢，这一段就是单调递减的。

这就好像是在每个小区域里探探路，看看是上坡还是下坡。

比如说，选个 1 代进去，发现导函数是正的，那这一段就是递增的，是不是挺有趣？
还有哦，咱们把单调递增和单调递减的区间都写出来，这可就算大功告成啦！
怎么样，小伙伴们，单调区间的求法步骤是不是也没有那么可怕呀？多练练，多琢磨琢磨，咱们就能轻松掌握，数学的世界也能变得好玩起来哟！加油加油，相信你们都能行！。

函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。

求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。

一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D Í，若对于1212,,x x I x x "Î<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。

若对于1212,,x x I x x "Î<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。

2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x Þ"γ， 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。

等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+¥，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。

（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x Þ"Σ，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()',()x a b f x "Î，的符号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。

求单调区间的方法在数学中，单调区间是指函数在某个区间上是单调递增或者单调递减的区间。

在实际问题中，我们经常需要求解函数的单调区间，以便更好地理解函数的性质和行为。

本文将介绍几种常用的方法来求解单调区间。

一、导数法。

导数法是求解单调区间的常用方法之一。

对于给定函数$f(x)$，我们可以通过求解其导数$f'(x)$的符号来确定函数的单调性。

具体步骤如下：1. 求解函数的导数$f'(x)$；2. 找出导数$f'(x)$的零点，即解方程$f'(x)=0$；3. 将零点所在的区间进行划分，并在每个区间内取一个测试点$x_0$；4. 计算测试点$x_0$对应的导数值$f'(x_0)$，根据导数值的正负确定函数在该区间上的单调性。

二、二阶导数法。

在某些情况下，我们可以通过求解函数的二阶导数$f''(x)$来确定函数的单调区间。

具体步骤如下：1. 求解函数的二阶导数$f''(x)$；2. 找出二阶导数$f''(x)$的零点，即解方程$f''(x)=0$；3. 将零点所在的区间进行划分，并在每个区间内取一个测试点$x_0$；4. 计算测试点$x_0$对应的二阶导数值$f''(x_0)$，根据二阶导数值的正负确定函数在该区间上的凹凸性；5. 根据函数的凹凸性和一阶导数的符号确定函数的单调区间。

三、图像法。

图像法是一种直观的方法，通过观察函数的图像来确定其单调区间。

具体步骤如下：1. 绘制函数$f(x)$的图像；2. 通过观察函数图像，找出函数的上升区间和下降区间；3. 根据图像上升和下降的趋势确定函数的单调区间。

四、综合运用。

在实际问题中，我们通常需要综合运用以上方法来确定函数的单调区间。

例如，对于一个复杂的函数，我们可以先通过导数法找出函数的增减点，然后通过二阶导数法确定函数的凹凸性，最后通过图像法直观地确认函数的单调区间。

求函数单调区间的方法及几个常用结论要确定一个函数的单调区间，可以通过以下几种方法：1.分析函数的导数：如果一个函数在一些区间上的导数恒为正（负），则这个函数在该区间上是严格递增（递减）的。

通过求解函数的导数，可以确定函数的单调性。

对于可导函数，我们可以通过求导数的零点来确定函数的单调区间。

导数为正的区间是函数递增的区间，导数为负的区间是函数递减的区间。

2.分析函数的二阶导数：二阶导数表示函数的导数的导数。

如果一个函数在一些区间上的二阶导数恒为正（负），则该函数在这个区间上是凹的（凸的）。

通过求解函数的二阶导数，可以确定函数的拐点。

拐点可以将函数的区间分为凹和凸的两个部分，函数在凹部分是严格递增的，在凸部分是严格递减的。

3.利用函数的性质或图像：对于一些特定形式的函数，可以直接利用函数的性质或图像来判断函数的单调区间。

例如，对于多项式函数而言，函数的次数决定了函数的单调性。

如果一个多项式函数的次数为奇数，则函数是整个实数轴上的单调函数；如果一个多项式函数的次数为偶数，则函数是在一些区间上单调递增或单调递减。

4. 利用数学不等式：当函数定义域为实数时，我们可以通过利用一些数学不等式来判断函数的单调性。

例如，对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果$a > 0$，则函数是开口向上的，函数的单调区间为$(-\infty,+\infty)$；如果$a < 0$，则函数是开口向下的，函数的单调区间为$(+\infty,-\infty)$。

在实际应用中，经常会用到以下几个常用结论：1.定义：如果函数$f$在开区间$(a,b)$上单调递增，且在$x=a$和$x=b$处的极限分别存在，则$f$在闭区间$[a,b]$上连续。

2.定理1：如果函数$f$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且在开区间$(a,b)$上导数恒为零，则$f$在闭区间$[a,b]$上的函数值都相等。

函数的单调区间怎么求
一：函数单调区间的求法：
（1）图像法
对于能作出图像的函数，我们可以通过观察图像确定函数的单调区间，即第一步作出函数图像，二是由单调性的几何意义划分增减区间，最后一步写出单调区间。

注意：当函数递增或递减区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，而应该用“和”、“或”连接。

（2）定义法
有些函数如果不能作出函数图像来观察出单调区间，可以用定义法来求其单调区间，即首先可以设X1、X2为该区间内任意的两个值，且X1小于X2，其次作差，令F（X1）-F（X2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。

（3）直接法
对于我们所熟知的一次函数、二次函数、反比例函数等，可以根据它们的特征，直接求出单调区间
（4）复合函数单调性的确定
二：求函数最值的方法
（1）函数的最值
（2）利用函数图像求最值
利用函数图像是函数求最值的常用方法，其步骤如下：
（3）利用函数单调性求最值
函数的最值与单调性的关系：
若函数在区间[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b)；若函数在区间[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).。

正弦函数的单调区间公式首先要记住f(x)=sinx的单调增区间是x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],单调减区间是x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Zf(x)=cosx的单调增区间是x∈[2kπ-π,2kπ],单调减区间是x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z遇到复合函数时,把ωx+φ看作一个整体,以余弦函数为例,函数简化为f(x)=Asin α由于单调区间和A没有关系,所以单调增区间为α∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z这时把α=ωx+φ带回,有ωx+φ∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z解得单调增区间为x∈[(2kπ-π-φ)/ω,(2kπ-φ)/ω],k∈Z举个例子：求f(x)=5sin(2x+π/4)的单调增区间f(x)的单调增区间为2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z则2x∈[2kπ-3π/4,2kπ+π/4],k∈Z即x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8],k∈Z扩展资料:单调区间是指函数在某一区间内的函数值y，随自变量x的值增大而增大（或减小）恒成立。

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

注：在单调性中有如下性质。

图例：↑（增函数）↓（减函数）↑+↑=↑两个增函数之和仍为增函数↑-↓=↑增函数减去减函数为增函数↓+↓=↓两个减函数之和仍为减函数↓-↑=↓减函数减去增函数为减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)。

那么就说f(x)在这个区间上是增函数。

相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。

函数的单调性及单调区间1．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．若函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么①f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．。

专题10 求函数的单调区间【热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)证明不等式、研究函数的零点等.（5）考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.高考对单调性的考查有小题，但多出现在大题中，涉及单调性应用的题目较多.1、函数的单调性：在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数． 在上为减函数．2、导数与单调区间的联系（1）函数在可导，那么在上单调递增.此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零.等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内.（2）函数在可导，则在上单调递减（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性.（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域（2）求出的导函数（3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间(,)a b ()f x '()f x (,)a b '()0()f x f x ≥⇔(,)a b '()0()f x f x ≤⇔(,)a b ()f x (),a b ()f x (),a b ()',()0x a b f x ⇒∀∈≥，()2f x x =[)0+∞，()'00f =()3f x x =0x =()0,0()f x (),a b ()f x (),a b ()',()0x a b f x ⇒∀∈≤，()',()x a b f x ∀∈，()f x (),a b ()f x ()f x '()f x '()0f x >0<x ()f x（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减等.如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定. 5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内.例如函数的单调减区间为，若写成就出错了（0不在定义域内）. （2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号.有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的.并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题.依然以为例，如果写成，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件.由性质可知，如果在两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的.【经典例题】例1. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数9】设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x（ ）A ．是偶函数，且在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增 B ．是奇函数，且在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减 C ．是偶函数，且在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递增 D ．是奇函数，且在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递减 x '()0f x >()f x '()0f x >()f x '()0f x >∅()f x ()1-⨯1y x=()()0,,,0+∞-∞[)0,+∞1y x=()()0,,0+∞-∞1y x=()()0,,,0+∞-∞【答案】D【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果． 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确．故选D ． 【专家解读】本题的特点是注重函数性质的综合应用，本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解函数奇偶性、单调性的含义． 例2.【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；【答案】（1）减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞．【思路导引】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2xea x =+有两个解，令()(2)2xe h x x x =≠-+，求导研究函数图像的走向，从而求得结果．【解析】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1xf x e =-， 令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >， ∴()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞．【专家解读】本题的特点是灵活运用导数研究函数的性质，本题考查了导数与函数的单调性，考查导数与函数的零点，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是结合函数的图像研究问题．例3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增; 【思路导引】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可； (2)首先讨论0x =的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20x f x e =+>，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增．【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性、极值（最值），考查数形结合、分类讨论思想，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数．【考向总结】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)考查数形结合思想的应用．例4.【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+．（1）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．【答案】（1）对函数()g x 求导，把导函数()g x '的分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x '，根据()m x '的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x '的正负性，最后求出函数()g x 的单调性． 【解析】（1）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠，因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，∴()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，∴()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减，∴函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间．【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数单调性，考查不等式恒成立的参数取值范围问题，考查转化与化归思想，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用参数分离法解决不等式恒成立的参数取值范围问题．例5.【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数()2sin sin 2f x x x =．（1）讨论()f x 在区间()0,π的单调性；【答案】（1）当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2,3x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增． 【思路导引】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；【解析】(1)由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()224'23sin cos sin f x x x x =-()2222sin 3cos sin x x x =- ()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()'0f x =在()0,x π∈上的根为：122,33x x ππ==， 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增； 当2,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减； 当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增． 【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性，考查应用导数证明不等式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用三角函数的有界性进行合理放缩证明不等式．例6.【2020年高考全国Ⅲ卷文数20】已知函数()32f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性： 【答案】（1）详见解析；【思路导引】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可； 【解析】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x <<令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增．【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性，考查导数与函数的零点，考查数形结合及分类讨论思想，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养． 例7. （2019·天津高三期中（理））已知函数，. （Ⅰ）若 ，求的值；（Ⅰ）讨论函数的单调性. 【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅰ)答案见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意可得：，故，Ⅰ. (Ⅰ)Ⅰ函数，其中a >1， Ⅰf (x )的定义域为(0,+∞)，， 令f ′(x )=0,得x 1=1,x 2=a −1. Ⅰ若a −1=1,即a =2时,，故f (x )在(0,+∞)单调递增.Ⅰ若0<a −1<1，即1<a <2时， 由f ′(x )<0得，a −1<x <1； 由f ′(x )>0得，0<x <a −1，或x >1.故f (x )在(a −1,1)单调递减,在(0,a −1),(1,+∞)单调递增. Ⅰ若a −1>1，即a >2时，由f ′(x )<0得,1<x <a −1;由f ′(x )>0得，0<x <1，或x >a −1. 故f (x )在(1,a −1)单调递减,在(0,1),(a −1,+∞)单调递增. 综上可得,当a =2时,f (x )在(0,+∞)单调递增；当1<a <2时,f (x )在(a −1,1)单调递减,在(0,a −1),(1,+∞)单调递增； 当a >2时,f (x )在(1,a −1)单调递减,在(0,1),(a −1,+∞)单调递增.()()211ln 2f x x ax a x =-+-1a >'(2)0f =a ()f x ()1a f x x a x '-=-+()122=02a f a -=-+'3a =()()211ln 2f x x ax a x =-+-()()()()()11111'x x a x x a a f x x a x x x⎡⎤----+--⎣⎦=-+==()()21'0x f x x-=≥例8.（2019·北京高考模拟（理））已知函数 ．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅰ）当时，（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅰ）若在区间内单调递减，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅰ）（Ⅰ）递增区间为，单调递减区间为和，（Ⅰ）【解析】（Ⅰ）当时，， 所以所以曲线在点 处的切线方程为 即； （Ⅰ）时，（Ⅰ）函数，定义域为 ，所以，令 ，得 Ⅰ时，在 和， ；在， ．Ⅰ所以的单调递增区间为 和，单调递减区间为；Ⅰ当 时，在， ；在和 ， ．()2kxe f x x=()k R ∈0k =()y f x =()()1,1f --0k ≠()f x ()f x ()0,1k 230x y -+=2,0k ⎛⎫⎪⎝⎭2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+()(],00,2-∞0k ≠()221f x x x -==()3322f x x x -'=-=-()12f '-=()11f -=()y f x =()()1,1f --()()()111y f f x --=---⎡⎤⎣⎦230x y -+=0k ≠()2kxe f x x={}0x x ≠()()224422kxkx kx e kxx ke x e x f x xx -⋅-⋅'==()0f x '=2x k=0k >(),0-∞2,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭()0f x '>20,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x (),0-∞2,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭20,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭k 0<2,0k ⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '>2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+()0f x '<所以 的单调递增区间为，单调递减区间为和；（Ⅰ）由 在区间 内单调递减，Ⅰ时，，有，所以 ； Ⅰ当时，在 递减，符合题意 综上的取值范围是【精选精练】1．（2020·安徽肥东·高三三模）已知a 为实数，3()32=++f x ax x ，若'(1)3-=-f ，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A．( B．22⎛- ⎝⎭C．(D．2⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】()332f x ax x =++，则()2'33,f x ax =+又()'13f -=-，则()1333f a '-=+=-，解得a=-2,()263,f x x '=-+解()0,f x '>得x <<则函数()f x的单调递增区间为,⎛ ⎝⎭故选B. 2．（2020·浙江柯桥·高三三模）已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）()f x 2,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+()f x ()0,10k >()20,10,k ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭21k≥02k <≤k 0<()f x ()0,∞+k ()(],00,2-∞A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()()0,1,4,+∞C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,4)【答案】B【解析】结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′， 而()()()0xf x f xg x e -=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，故选B ．3．（2020·四川宜宾·高三三模）定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()x f x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()1,2【答案】B【解析】若虚线部分为函数()y f x =的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x 轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数()y f x =的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x 轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数()xf x y e=求导得()()xf x f x y e'='-，由0y '<得()()f x f x '<，由图象可知，满足不等式()()f x f x '<的x 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭， 因此，函数()xf x y e =的单调递减区间为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭.故选：B. 4．（2020·湖南高三三模）若函数()()122f x x x =≠- ，则f (x ) A ．在(-2Ⅰ+∞ ),内单调递增 B ．在(-2Ⅰ+∞)内单调递减C ．在(2Ⅰ+∞)内单调递增D ．在(2Ⅰ+∞)内单调递减【答案】D【解析】由()12f x x =-可得()()21'2f x x =-- 因为2x <或2x >时Ⅰ()()21'02f x x =-<-Ⅰ()()122f x x x ∴=≠-在(),2-∞和()2,+∞内是减函数，故选D. 5．（2020·江苏崇川·南通一中高三三模）如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0C ．[0，1]D ．[1]【答案】D【解析】因为函数213()22f x x x =-+的对称轴为x ＝1， 所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 又当x≥1时，()13122f x x x x=-+，令13()122g x x x =-+(x ≥1)，则222133'()222x g x x x-=-=， 由g′(x)≤0得1x ≤≤即函数()13122f x x x x=-+在区间上单调递减， 故“缓增区间”I为，故选D.6．（2020·聊城一中高三三模）若直线y ex b =+是曲线ln y x =的一条切线，则函数()3ln f x b x x x=---的单调递增区间是（ ） A ．()0,3 B ．()1,3-C ．()3,+∞D ．(),1-∞-和()3,+∞【答案】A【解析】设切点为()00,ln x x ，则可得过该点的切线方程为：001ln 1y x x x =+-，又知切线为：y ex b =+， 故得：01x e =，1ln 12b e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则： ()33ln 2ln f x b x x x x x x=---=--， ()2231f x x x=-+'，令0f x ，解得：2230x x --<，即()1,3x ∈- 又该函数定义域为：0,，故单调增区间为()0,3.故选：A.7．（2020·全国高三三模）函数()1xx f x xe e +=-的单调递增区间是____________.【答案】()1,e -+∞【解析】因为函数()1xx f x xe e+=-，则()()11xxx x f x e e ee x x e ++'=--+=，令()0f x '>，可得1x e >-，所以单调递增区间是()1,e -+∞. 故答案为：()1,e -+∞8．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三三模）函数3()ln 4f x x =-的单调递减区间是_________【答案】90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦或90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】33'()44f x x x -=-=，由3'()04f x x =<，又0x >得904x <<． Ⅰ减区间为9(0,)4，答9(0,]4也对． 故答案为9(0,)4或9(0,]4．9．（2020·贵州毕节·高三三模）已知函数()()()()21ln 10xf x x f x f e '=-+-，则()f x 的单调递减区间为______. 【答案】(]1,0-【解析】由题意，1x >-，()()()()()00021ln 0100f f f e f '=-+-=-，所以(0)0f =，故()()()21ln 1f x x f x '=-+，()()2111f f x x ''=-+， 所以()()211111f f ''=-+，解得()112f '=，故()1111xf x x x '=-=++， 0f x，即01xx +≤，解得，10x -<≤，故()f x 的单调递减区间为1,0.故答案为：1,010．（2020·五华·云南师大附中高三三模）函数()2sin cos 2[,0]f x x x x π=-∈-，的单调增区间为_____________. 【答案】5,62ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,06π⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】因为()2sin cos 2f x x x =-，所以()2cos 2sin 22cos (12sin )f x x x x x '=+=+.令()0f x '>，则cos 012sin 00x x x π>⎧⎪+>⎨⎪-⎩，或cos 012sin 00x x x π<⎧⎪+<⎨⎪-⎩，所以06x π-<或562x ππ-<<-，所以函数()2sin cos 2,[,0]f x x x x π=-∈-的单调增区间为5,62ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,06π⎛⎤- ⎥⎝⎦故答案为5,62ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,06π⎛⎤- ⎥⎝⎦． 11．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）已知函数()()2102xf x axe ax ax a =--≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，函数()f x 在(),0-∞上的最小值为()g a ，若不等式()()ln g a ta a ≥--有解，求实数t 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）12,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由()212xf x axe ax ax =--， 得()()()()()'1111xxf x a x e x a x e ⎡⎤=+-+=+-⎣⎦，Ⅰ当0a >时，令()0f x '>，得()()110xx e +->，所以1010xx e +>⎧⎨->⎩，或1010x x e +<⎧⎨-<⎩，即11x x e >-⎧⎨>⎩或11x x e <-⎧⎨<⎩， 解得0x >或1x <-．令()0f x '<，得()()110xx e +-<，所以1010xx e +>⎧⎨-<⎩或1010x x e +<⎧⎨->⎩，即11x x e >-⎧⎨<⎩或11x x e <-⎧⎨>⎩， 解得10x -<<或x ∈∅．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，()0,+∞；单调递减区间为()1,0-．Ⅰ当0a <时，令()0f x '>，得()()110xx e +-<，由Ⅰ可知10x -<<；令()0f x '<，得()()110xx e +->，由Ⅰ可知1x <-或0x >．所以函数()f x 的单调递增区间为()1,0-；单调递减区间为(),1-∞-，()0,+∞． 综上可得，当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，()0,+∞；单调递减区间为()1,0-． 当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1,0-；单调递减区间为(),1-∞-，()0,+∞．（2）由（1）可知若0a <，则当(),0x ∈-∞时，函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，所以()()1111122g a f ae a a a e -⎛⎫=-=--+=- ⎪⎝⎭， 所以不等式()()ln g a ta a ≥--有解等价于()11ln 2a ta a e ⎛⎫-≥--⎪⎝⎭有解， 即()ln 112a t e a-≥-+有解(0)a <， 设()()ln (0)x x x xϕ-=<，则()()21ln 'x x xϕ--=，所以当(),x e ∈-∞-时，()'0x ϕ<，()x ϕ单调递减， 当(),0x e ∈-时，()'0x ϕ>，()x ϕ单调递增， 所以()x ϕ的极小值也是最小值，且最小值为()()ln 1e e e eϕ-==--， 从而1111222t e e e≥--=-， 所以实数t 的取值范围为12,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 12．（2020·湖南高三三模）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) ()0,1 【解析】（1）()()()()()1211'220ax x f x ax a x x x-+=+--=>若0a ≤，()'0f x <，()f x 在()0,+∞上单调递减； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，即()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0f x >，即()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）若0a ≤，()f x 在()0,+∞上单调递减，()f x 至多一个零点，不符合题意. 若0a >，由（1）可知，()f x 的最小值为11ln 1f a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()1ln 1h a a a =-+，()211'0h a a a=+>，所以()h a 在()0,+∞上单调递增， 又()10h =，当()0h a ≥时，[)1,a ∈+∞，()f x 至多一个零点，不符合题意， 当()0h a <时，()0,1a ∈ 又因为21210a a f e e e e ⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合单调性可知()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点 令()ln g x x x =-，()11'1x g x x x-=-=，当()0,1x ∈时，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()g x 单调递增，()g x 的最小值为()110g =>，所以ln x x > 当3ax a->时， ()()()222ln 2f x ax a x x ax a x x =+-->+-- ()()2330ax a x x ax a =+-=+->结合单调性可知()f x 在3,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭有一个零点 综上所述，若()f x 有两个零点，a 的范围是()0,1。

类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1，∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.。