[13]两种简化的仿射投影自适应滤波算法

自适应滤波第1章绪论 (1)1．1自适应滤波理论发展过程 (1)1．2自适应滤波发展前景 (2)1．2．1小波变换与自适应滤波 (2)1．2．2模糊神经网络与自适应滤波 (3)第2章线性自适应滤波理论 (4)2．1最小均方自适应滤波器 (4)2．1．1最速下降算法 (4)2．1．2最小均方算法 (6)2．2递归最小二乘自适应滤波器 (7)第3章仿真 (12)3.1基于LMS算法的MATLAB仿真 (12)3.2基于RLS算法的MATLAB仿真 (15)组别：第二小组组员：黄亚明李存龙杨振第1章绪论从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波。

相应的装置称为滤波器。

实际上，一个滤波器可以看成是一个系统，这个系统的目的是为了从含有噪声的数据中提取人们感兴趣的、或者希望得到的有用信号，即期望信号。

滤波器可分为线性滤波器和非线性滤波器两种。

当滤波器的输出为输入的线性函数时，该滤波器称为线性滤波器，当滤波器的输出为输入的非线性函数时，该滤波器就称为非线性滤波器。

自适应滤波器是在不知道输入过程的统计特性时，或是输入过程的统计特性发生变化时，能够自动调整自己的参数，以满足某种最佳准则要求的滤波器。

1．1自适应滤波理论发展过程自适应技术与最优化理论有着密切的系。

自适应算法中的最速下降算法以及最小二乘算法最初都是用来解决有／无约束条件的极值优化问题的。

1942年维纳(Wiener)研究了基于最小均方误差(MMSE)准则的在可加性噪声中信号的最佳滤波问题。

并利用Wiener．Hopf方程给出了对连续信号情况的最佳解。

基于这～准则的最佳滤波器称为维纳滤波器。

20世纪60年代初，卡尔曼(Kalman)突破和发展了经典滤波理论，在时间域上提出了状态空间方法，提出了一套便于在计算机上实现的递推滤波算法，并且适用于非平稳过程的滤波和多变量系统的滤波，克服了维纳(Wiener)滤波理论的局限性，并获得了广泛的应用。

前言自适应信号处理的理论和技术经过40 多年的发展和完善,已逐渐成为人们常用的语音去噪技术。

我们知道, 在目前的移动通信领域中, 克服多径干扰, 提高通信质量是一个非常重要的问题, 特别是当信道特性不固定时, 这个问题就尤为突出, 而自适应滤波器的出现, 则完美的解决了这个问题。

另外语音识别技术很难从实验室走向真正应用很大程度上受制于应用环境下的噪声。

自适应滤波的原理就是利用前一时刻己获得的滤波参数等结果, 自动地调节现时刻的滤波参数, 从而达到最优化滤波。

自适应滤波具有很强的自学习、自跟踪能力, 适用于平稳和非平稳随机信号的检测和估计。

自适应滤波一般包括3个模块：滤波结构、性能判据和自适应算法。

其中, 自适应滤波算法一直是人们的研究热点, 包括线性自适应算法和非线性自适应算法, 非线性自适应算法具有更强的信号处理能力, 但计算比较复杂, 实际应用最多的仍然是线性自适应滤波算法。

线性自适应滤波算法的种类很多, 有RLS自适应滤波算法、LMS自适应滤波算法、变换域自适应滤波算法、仿射投影算法、共扼梯度算法等[1]。

其中最小均方(Least Mean Square,LMS)算法和递归最小二乘(Recursive Least Square,RLS)算法就是两种典型的自适应滤波算法, 它们都具有很高的工程应有价值。

本文正是想通过这一与我们生活相关的问题, 对简单的噪声进行消除, 更加深刻地了解这两种算法。

我们主要分析了下LMS算法和RLS算法的基本原理, 以及用程序实现了用两种算法自适应消除信号中的噪声。

通过对这两种典型自适应滤波算法的性能特点进行分析及仿真实现, 给出了这两种算法性能的综合评价。

1 绪论自适应噪声抵消( Adaptive Noise Cancelling, ANC) 技术是自适应信号处理的一个应用分支, 年提出, 经过三十多年的丰富和扩充, 现在已经应用到了很多领域, 比如车载免提通话设备, 房间或无线通讯中的回声抵消( AdaptiveEcho Cancelling, AEC) , 在母体上检测胎儿心音, 机载电子干扰机收发隔离等, 都是用自适应干扰抵消的办法消除混入接收信号中的其他声音信号。

滤波反投影法是一种用于图像重建的算法，其迭代方程通常由以下步骤组成：
1. 对当前投影图像进行滤波操作，以去除噪声和伪影。

2. 将滤波后的投影图像进行反投影，得到重建图像的更新值。

3. 将更新值与前一次迭代的重建图像进行叠加，得到新的重建图像。

4. 重复步骤1-3，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。

具体来说，滤波反投影法的迭代方程可以表示为：
\(I^{k+1} = I^k + \lambda \left( \text{滤波后的投影图像} - \text{反投影图像} \right)\)
其中，\(I^{k+1}\)表示第\(k+1\)次迭代的重建图像，\(I^k\)表示第\(k\)次迭代的重建图像，\(\lambda\)是控制迭代的步长，\(\text{滤波后的投影图像}\)是滤波后的投影图像，\(\text{反投影图像}\)是反投影得到的图像。

需要注意的是，具体的迭代方程可能会因不同的滤波器和反投影方法而有所不同。

用于消除工频干扰自适应滤波器的设计与仿真一、背景及意义脑科学研究不仅是一项重要的前沿性基础研究，而且是一项对人类健康有重要实际意义的应用研究。

随着社会的发展、人类寿命的延长，因脑衰老、紊乱或损伤而引起的脑疾患，对社会财富消耗和家庭的负担日益增大。

许多国家纷纷将脑科学的研究列入国家规划，并且制订长远的研究计划。

人们把21 世纪看成是脑科学研究高潮的时代。

在脑电信号的实际检测过程中，往往含有心电、眼动伪迹、肌电信号、50Hz工频干扰以及其它干扰源所产生的干扰信号，这给脑电分析以及脑电图的临床应用带来了很大的困难。

因此如何从脑电中提取出有用的信息是非常具有挑战性，且又很有学术价值、实用价值的研究课题。

本论文从信号处理的角度出发，采集脑电波，使得在强干扰背景下的脑电信号得以提取，还原出干净的脑电波，用于临床医学、家庭保健等。

医生可以利用所采集到的脑电波来进行对病人神经松弛训练，通过脑电生物反馈技术实现自我调节和自我控制。

运用生物反馈疗法，就是把求治者体内生理机能用现代电子仪器予以描记，并转换为声、光等反馈信号，因而使其根据反馈信号，学习调节自己体内不遂意的内脏机能及其他躯体机能、达到防治身心疾病的目的。

这种反馈疗法是在一定程度上发掘人体潜能的一种人—机反馈方法。

有研究表明脑电生物反馈对多种神经功能失调疾病有明显疗效。

对于有脑障碍或脑疾病的人，也可以随时监测其脑电信号，及早地发现问题，避免不必要的损失。

二、脑电数字信号处理的研究现状脑电的监护设备在国内外品种繁多，高新技术含量高，技术附加值高，相比而言，我国的产品较国际高水平产品落后10-15 年。

但近年来，国内产品也逐步利用高新技术使产品向自动化、智能化、小型化、产品结构模块化方向发展。

国内产品在抗干扰、数字处理、实时传输数据等方面已有很大进展，使脑电检测不再是只能在屏蔽室进行。

目前，脑电信号的数字滤波从原理上来看，主要有FIR滤波器和IIR滤波器。

FIR滤波器可以提供线性滤波，但存在阶数较高，运算较为复杂的缺点[11]；而IIR滤波器是一种非线性滤波器，它可以用较少的阶数实现性能良好的滤波，是目前运用较广泛的一种滤波器[10]。

自适应滤波第1章绪论 (1)1．1自适应滤波理论发展过程 (1)1．2自适应滤波发展前景 (2)1．2．1小波变换与自适应滤波 (2)1．2．2模糊神经网络与自适应滤波 (3)第2章线性自适应滤波理论 (4)2．1最小均方自适应滤波器 (4)2．1．1最速下降算法 (4)2．1．2最小均方算法 (6)2．2递归最小二乘自适应滤波器 (7)第3章仿真 (12)3.1基于LMS算法的MATLAB仿真 (12)3.2基于RLS算法的MATLAB仿真 (15)组别：第二小组组员：黄亚明李存龙杨振I第1章绪论从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波。

相应的装置称为滤波器。

实际上，一个滤波器可以看成是一个系统，这个系统的目的是为了从含有噪声的数据中提取人们感兴趣的、或者希望得到的有用信号，即期望信号。

滤波器可分为线性滤波器和非线性滤波器两种。

当滤波器的输出为输入的线性函数时，该滤波器称为线性滤波器，当滤波器的输出为输入的非线性函数时，该滤波器就称为非线性滤波器。

自适应滤波器是在不知道输入过程的统计特性时，或是输入过程的统计特性发生变化时，能够自动调整自己的参数，以满足某种最佳准则要求的滤波器。

1．1自适应滤波理论发展过程自适应技术与最优化理论有着密切的系。

自适应算法中的最速下降算法以及最小二乘算法最初都是用来解决有／无约束条件的极值优化问题的。

1942年维纳(Wiener)研究了基于最小均方误差(MMSE)准则的在可加性噪声中信号的最佳滤波问题。

并利用Wiener．Hopf方程给出了对连续信号情况的最佳解。

基于这～准则的最佳滤波器称为维纳滤波器。

20世纪60年代初，卡尔曼(Kalman)突破和发展了经典滤波理论，在时间域上提出了状态空间方法，提出了一套便于在计算机上实现的递推滤波算法，并且适用于非平稳过程的滤波和多变量系统的滤波，克服了维纳(Wiener)滤波理论的局限性，并获得了广泛的应用。

LMS自适应滤波算法1960年Widrow和Hoff提出最小均方误差算法（LMS），LMS算法是随机梯度算法中的一员。

使用“随机梯度”一词是为了将LMS算法与最速下降法区别开来。

该算法在随机输入维纳滤波器递归计算中使用确定性梯度。

LMS算法的一个显著特点是它的简单性。

此外，它不需要计算有关的相关函数，也不需要矩阵求逆运算。

由于其具有的简单性、鲁棒性和易于实现的性能，在很多领域得到了广泛的应用。

1LMS算法简介LMS算法是线性自适应滤波算法，一般来说包含两个基本过程：（1）滤波过程：计算线性滤波器输出对输入信号的响应，通过比较输出与期望响应产生估计误差。

（2）自适应过程：根据估计误差自动调整滤波器参数。

如图1-1所示，用表示n时刻输入信号矢量，用表示n时刻N阶自适应滤波器的权重系数，表示期望信号，表示误差信号，是主端输入干扰信号，u是步长因子。

则基本的LMS算法可以表示为（1）（2）图1-1 自适应滤波原理框图由上式可以看出LMS算法实现起来确实很简单，一步估计误差（1），和一步跟新权向量（2）。

2迭代步长u的作用2.1 理论分析尽管LMS算法实现起来较为简单，但是精确分析LMS的收敛过程和性能却是非常困难的。

最早做LMS收敛性能分析的是Widrow等人，他们从精确的梯度下降法出发，研究权矢量误差的均值收敛特性。

最终得到代价函数的收敛公式：′（3）式（3）揭示出LMS算法代价函数的收敛过程表现为一簇指数衰减曲线之和的形式，每条指数曲线对应于旋转后的权误差矢量的每个分量，而他们的衰减速度，对应于输入自相关矩阵的每个特征值，第i条指数曲线的时间常数表示为τ小特征值对应大时间常数，即衰减速度慢的曲线。

而大特征值对应收敛速度快的曲线，但是如果特征值过大以至于则导致算法发散。

从上式可以明显看出迭代步长u在LMS算法中会影响算法收敛的速度，增大u可以加快算法的收敛速度，但是要保证算法收敛。

最大步长边界:稳态误差时衡量LMS算法的另一个重要指标，稳定的LMS算法在n时刻所产生的均方误差，其最终值∞是一个常数。

基于亮度不变特征的自适应双边滤波算法康长青;徐格静;项东升;赵永标【摘要】针对目前滤波算法存在的亮度敏感性不足,提出基于亮度不变特征的自适应双边滤波算法.算法首先利用局部相位的最大矩和最小矩来建立空间参数的角点和边缘信息表示,接着采用灰度均一性测度来建立亮度距离参数与图像内在噪声的关系,从而建立双边滤波的自适应参数调整策略.实验结果表明,提出算法的平均峰值信噪比值比已有算法高0.49～2.2 dB,具有更好的图像视觉质量和边缘保持能力.【期刊名称】《激光与红外》【年(卷),期】2013(043)005【总页数】4页(P550-553)【关键词】亮度不变特征;双边滤波;相位一致性测度;灰度均一性测度【作者】康长青;徐格静;项东升;赵永标【作者单位】湖北文理学院数学与计算机科学学院,湖北襄阳441053;湖北文理学院数学与计算机科学学院,湖北襄阳441053;湖北文理学院数学与计算机科学学院,湖北襄阳441053;湖北文理学院数学与计算机科学学院,湖北襄阳441053【正文语种】中文【中图分类】TP391.91 引言图像去噪是图像处理和计算机视觉中的重要的基础问题之一。

如何在噪声去除的同时最大程度保留边缘细节是图像去噪的一个难题。

目前常见的边缘保持滤波算法主要有各向异性扩散滤波［1－2］，非局部均值滤波［3－4］，过完备词典学习［5－6］和双边滤波［7－12］等。

各向异性扩散滤波［1］主要采用梯度模值函数的局部扩散系数，使得图像逐渐逼近，能在一定程度上保持图像的边缘，但是算法在理论上的不适定性，会造成处理过程的不稳定，使得算法处理的时间受噪声方差影响严重;非局部均值滤波［3］主要利用图像的自相似性冗余特征，通过对图像的逐块估计，相似度权重计算和加权平均来去噪，特别适用强纹理图像处理，但是由于逐像素计算块相似度，存在计算复杂度较高，不便于实时运用的缺点。

过完备词典学习算法［5］主要基于稀疏表示理论，通过设计适当的过完备字典，求解稀疏表示来进行滤波，但是该方法同样存在计算量大、复杂度高的不足;相比以上算法，双边滤波算法［7］采用空间距离和亮度距离加权平均，计算简单，实现容易，已经广泛应用于彩色图像处理领域和其他图像处理与分析领域，主要缺点是难以确定合适的参数。

前言自适应信号处理的理论和技术经过40 多年的发展和完善,已逐渐成为人们常用的语音去噪技术。

我们知道，在目前的移动通信领域中，克服多径干扰，提高通信质量是一个非常重要的问题，特别是当信道特性不固定时，这个问题就尤为突出，而自适应滤波器的出现，则完美的解决了这个问题。

另外语音识别技术很难从实验室走向真正应用很大程度上受制于应用环境下的噪声。

自适应滤波的原理就是利用前一时刻己获得的滤波参数等结果，自动地调节现时刻的滤波参数，从而达到最优化滤波。

自适应滤波具有很强的自学习、自跟踪能力，适用于平稳和非平稳随机信号的检测和估计。

自适应滤波一般包括3个模块：滤波结构、性能判据和自适应算法。

其中，自适应滤波算法一直是人们的研究热点，包括线性自适应算法和非线性自适应算法，非线性自适应算法具有更强的信号处理能力，但计算比较复杂，实际应用最多的仍然是线性自适应滤波算法。

线性自适应滤波算法的种类很多，有RLS自适应滤波算法、LMS自适应滤波算法、变换域自适应滤波算法、仿射投影算法、共扼梯度算法等[1]。

其中最小均方(Least Mean Square,LMS)算法和递归最小二乘(Recursive Least Square,RLS)算法就是两种典型的自适应滤波算法，它们都具有很高的工程应有价值。

本文正是想通过这一与我们生活相关的问题，对简单的噪声进行消除，更加深刻地了解这两种算法。

我们主要分析了下LMS算法和RLS算法的基本原理，以及用程序实现了用两种算法自适应消除信号中的噪声。

通过对这两种典型自适应滤波算法的性能特点进行分析及仿真实现，给出了这两种算法性能的综合评价。

LMS及RLS自适应干扰抵消算法的比较1 绪论1.1课题背景与意义自适应噪声抵消( Adaptive Noise Cancelling，ANC) 技术是自适应信号处理的一个应用分支，其主要理论和框架由B.Widrow等在1975 年提出，经过三十多年的丰富和扩充，现在已经应用到了很多领域，比如车载免提通话设备，房间或无线通讯中的回声抵消( AdaptiveEcho Cancelling，AEC) ，在母体上检测胎儿心音，机载电子干扰机收发隔离等，都是用自适应干扰抵消的办法消除混入接收信号中的其他声音信号。

LMS自适应滤波算法1960年Widrow和Hoff提出最小均方误差算法（LMS），LMS算法是随机梯度算法中的一员。

使用“随机梯度”一词是为了将LMS算法与最速下降法区别开来。

该算法在随机输入维纳滤波器递归计算中使用确定性梯度。

LMS算法的一个显著特点是它的简单性。

此外，它不需要计算有关的相关函数，也不需要矩阵求逆运算。

由于其具有的简单性、鲁棒性和易于实现的性能，在很多领域得到了广泛的应用。

1LMS算法简介LMS算法是线性自适应滤波算法，一般来说包含两个基本过程：（1）滤波过程：计算线性滤波器输出对输入信号的响应，通过比较输出与期望响应产生估计误差。

（2）自适应过程：根据估计误差自动调整滤波器参数。

如图1-1所示，用表示n时刻输入信号矢量，用表示n时刻N阶自适应滤波器的权重系数，表示期望信号，表示误差信号，是主端输入干扰信号，u是步长因子。

则基本的LMS算法可以表示为（1）（2）图1-1 自适应滤波原理框图由上式可以看出LMS算法实现起来确实很简单，一步估计误差（1），和一步跟新权向量（2）。

2迭代步长u的作用2.1 理论分析尽管LMS算法实现起来较为简单，但是精确分析LMS的收敛过程和性能却是非常困难的。

最早做LMS收敛性能分析的是Widrow等人，他们从精确的梯度下降法出发，研究权矢量误差的均值收敛特性。

最终得到代价函数的收敛公式：′（3）式（3）揭示出LMS算法代价函数的收敛过程表现为一簇指数衰减曲线之和的形式，每条指数曲线对应于旋转后的权误差矢量的每个分量，而他们的衰减速度，对应于输入自相关矩阵的每个特征值，第i条指数曲线的时间常数表示为τ小特征值对应大时间常数，即衰减速度慢的曲线。

而大特征值对应收敛速度快的曲线，但是如果特征值过大以至于则导致算法发散。

从上式可以明显看出迭代步长u在LMS算法中会影响算法收敛的速度，增大u可以加快算法的收敛速度，但是要保证算法收敛。

最大步长边界:稳态误差时衡量LMS算法的另一个重要指标，稳定的LMS算法在n时刻所产生的均方误差，其最终值∞是一个常数。

第1卷　第2期　2002年　3月广州大学学报(自然科学版)JOURNA L OF G UANG ZH OU UNI VERSITY (Natural Science Edition )V ol.1　N o 12 Mar.　2002 文章编号:1671-4229(2002)02-0044-07自适应滤波算法综述邹艳碧,高　鹰(广州大学信息与机电工程学院,广东广州　510405)摘　要:基于二阶统计量即相关函数的自适应滤波算法在自适应信号处理中有着广泛的应用,本文就国内外对这些算法的研究进行了综述.关键词:自适应滤波算法;LMS 算法;R LS 算法;变换域算法;仿射投影算法;子带分解算法;QR 分解算法中图分类号:T N 911.72 文献标识码:A1　自适应滤波算法基本原理自适应滤波器是近30年来发展起来的关于信号处理方法和技术的滤波器,其设计方法对滤波器的性能影响很大.维纳滤波器等滤波器设计方法都是建立在信号特征先验知识基础上的.遗憾的是,在实际应用中常常无法得到信号特征先验知识,在这种情况下,自适应滤波器能够得到比较好的滤波性能.当输入信号的统计特性未知,或者输入信号的统计特性变化时,自适应滤波器能够自动地迭代调节自身的滤波器参数,以满足某种准则的要求,从而实现最优滤波.因此,自适应滤波器具有“自我调节”和“跟踪”能力.自适应滤波器可以分为线性自适应滤波器和非线性自适应滤波器.非线性自适应滤波器包括Volterra 滤波器和基于神经网络的自适应滤波器.非线性自适应滤波器具有更强的信号处理能力.但是,由于非线性自适应滤波器的计算较复杂,实际用得最多的仍然是线性自适应滤波器.本文只讨论线性自适应滤波器及其算法.图1为自适应滤波器原理框图.图1　自适应滤波器原理图Fig.1　Adaptive filter scheme 自适应滤波算法广泛应用于系统辨识、回波消除、自适应谱线增强、自适应信道均衡、语音线性预测、自适应天线阵等诸多领域中.W (n )表示自适应滤波器在时刻n 的权矢量,x (n )=[x (n ),x (n -1),…,x (n -L +1)]T 为时刻n 的输入信号矢量,d (n )为期望输出值,v (n )为干扰信号,e (n )是误差信号,L 是自适应滤波器的长度.根据自适应滤波算法优化准则的不同,自适应滤波算法可以分为两类最基本的算法[1]:最小均方误差(LMS )算法和递推最小二乘(R LS )算法.基于最小均方误差准则,LMS 算法使滤波器的输出信号与期望输出信号之间的均方误差E[e 2(n )]最小.基于最小二乘准则,R LS 算法决定自适应滤波器的权系数向量W (n )使估计误差的加权平方和J (n )=∑ni =1λn -i ・|e (i )|2最小.其中λ为遗忘因子,且0<λ≤1.由此两准则衍生出许多不同的自适应滤波算法,本文就国内外对这些算法的研究作一综述.2　自适应滤波算法种类2.1　变步长自适应滤波算法由Widrow 和H off 提出的最小均方误差(LMS )算法,因其具有计算量小、易于实现等优点而在实践中被广泛采用.基于最速下降法的最小均方误差(LMS )算法的迭代公式如下:e (n )=d (n )-X T(n )W (n ),W (n +1)=W (n )+2μe (n )X (n ).收稿日期:2001-10-08;　修订日期:2001-12-07作者简介:邹艳碧(1957-),女,工程师;主要研究方向:电子与通信、自适应信号处理、多媒体技术.其中:W(n)为自适应滤波器在时刻n的权矢量, X(n)为时刻n的输入信号矢量,d(n)为期望输出值,v(n)为干扰信号,e(n)是误差信号,L是自适应滤波器的长度,μ是步长因子.LMS算法收敛的条件为:0<μ<1/λmax,λmax是输入信号自相关矩阵的最大特征值.初始收敛速度、时变系统跟踪能力及稳态失调是衡量自适应滤波算法优劣的三个最重要的技术指标.覃景繁等[1,2]分析了最小均方误差(LMS)算法的收敛性能.由于主输入端不可避免地存在干扰噪声,自适应滤波算法将产生参数失调噪声.干扰噪声v(n)越大,则引起的失调噪声就越大.减少步长因子μ可减少自适应滤波算法的稳态失调噪声,提高算法的收敛精度.然而步长因子μ的减少将降低算法的收敛速度和跟踪速度.因此,固定步长的自适应滤波算法在收敛速度、时变系统跟踪速度与收敛精度方面对算法调整步长因子μ的要求是相互矛盾的.为了克服这一矛盾,人们提出了许多变步长自适应滤波算法.R.D.G itlin[3]曾提出了一种变步长自适应滤波算法,其步长因子μ(n)随迭代次数n的增加而逐渐减小.Y asukawa等[4]提出了使步长因子μ正比于误差信号e(n)的大小.而G itlin等[5]提出了一种时间平均估值梯度的自适应滤波算法.叶华等[6]提出了另一种变步长自适应滤波算法,步长因子μ与e(n)和x(n)的互相关函数的估值成正比.吴光弼等[7]通过对误差信号的非线性处理,得到了L.E-LMS变步长自适应滤波算法,该算法较为复杂.在分析了上述变步长自适应滤波算法之后,文[7]提出了变步长自适应滤波算法的步长调整原则.即在初始收敛阶段或未知系统参数发生变化时,步长应比较大,以便有较快的收敛速度和对时变系统的跟踪速度;而在算法收敛后,不管主输入端干扰信号v(n)有多大,都应保持很小的调整步长以达到很小的稳态失调噪声.根据这一步长调整原则,该文给出了Sigm oid函数变步长LMS算法(S VS LMS),其变步长μ是e(n)的Sigm oid函数:μ(n)=β(1/(1+exp(-α|e(n)|))-0.5).该算法能同时获得较快的收敛速度、跟踪速度和较小的稳态误差.然而,该Sigm oid函数过于复杂,且在误差e(n)接近零处变化太大,不具有缓慢变化的特性,使得S VS LMS算法在自适应稳态阶段仍有较大的步长变化,这是该算法的不足.高鹰等[8]给出了另一满足步长调整原则的函数,即变步长μ是e(n)的如下函数:μ(n)=β(1-exp(-α|e(n)|2)), 其中,参数α>0控制函数的形状,参数β>0控制函数的取值范围.该函数比Sigm oid函数简单,且在误差e(n)接近零处具有缓慢变化的特性,克服了Sigm oid函数在自适应稳态阶段步长调整过程中的不足.该算法的收敛性能优于文[2,6,7]所提出的算法.2.2　R LS自适应滤波算法LMS算法的优点是结构简单,鲁棒性强,其缺点是收敛速度很慢.基于最小二乘准则,R LS算法决定自适应滤波器的权系数向量W(n)使估计误差的加权平方和J(n)=∑ni=1λn-i|e(i)|2最小.R LS 算法对输入信号的自相关矩阵R xx(n)的逆进行递推估计更新,收敛速度快,其收敛性能与输入信号的频谱特性无关.但是,R LS算法的计算复杂度很高,所需的存储量极大,不利于适时实现;倘若被估计的自相关矩阵R xx(n)的逆失去了正定特性,这还将引起算法发散[1].为了减小R LS算法的计算复杂度,并保留R LS算法收敛速度快的特点,许多文献提出了改进的R LS算法.如快速R LS(Fast R LS)算法[9,10],快速递推最小二乘格型(Fast Recur2 sive Least Squares Lattice)算法[11]等.这些算法的计算复杂度低于R LS算法,但它们都存在数值稳定性问题.改进的R LS算法着重于用格型滤波器的R LS算法,快速R LS算法就是在R LS格型算法基础上得到的.格型滤波器与直接形式的FIR滤波器可以通过滤波器系数转换相互实现.格型参数称为反射系数,直接形式的FIR滤波器长度是固定的,一旦长度改变则会导致一组新的滤波器系数,而新的滤波器系数与旧的滤波器系数是完全不同的.而格型滤波器是次序递推的,因此,它的级数的改变并不影响其它级的反射系数,这是格型滤波器的一大优点.R LS格型滤波器算法就是将最小二乘准则用于求解最佳前向预测器系数、最佳后向预测器系数,进行时间更新、阶次更新及联合过程估计.格型R LS算法的收敛速度基本上与常规R LS算法的收敛速度相同,因为二者都是在最小二乘的意义下求最佳.但格型R LS算法的计算复杂度高于常规R LS 算法.格型R LS算法的数字精度比常规R LS算法的精度高,对舍入误差的不敏感性甚至优于LMS 算法.高鹰[11]为避免R LS类算法递推估计更新自相关矩阵的逆的不足,基于最小二乘准则T(n),利用最陡下降法,得到一种新的梯度型自适应滤波算法,该算法计算复杂度较低,收敛性能良好.54　第2期 邹艳碧等:自适应滤波算法综述2.3　变换域自适应滤波算法对于强相关的信号,LMS算法的收敛性能降低,这是由于LMS算法的收敛性能依赖于输入信号自相关矩阵的特征值发散程度.输入信号自相关矩阵的特征值发散程度越小,LMS算法的收敛性能越好.经过研究发现,对输入信号作某些正交变换后,输入信号自相关矩阵的特征值发散程度会变小.于是,Dentino等1979年首先提出了变换域自适应滤波的概念[12],其基本思想是把时域信号转变为变换域信号,在变换域中采用自适应算法. Narayan等[13]对变换域自适应滤波算法作了全面的总结.变换域自适应滤波算法的一般步骤是:1)选择正交变换,把时域信号转变为变换域信号.2)变换后的信号用其能量的平方根归一化.3)采用某一自适应算法进行滤波.设输入信号为:x(n)=[x(n),x(n-1),…, x(n-N+1)]T,经过T变换后为:X(n)=T・x(n),T是N×N正交变换矩阵,常用的正交变换[14]有离散余弦变换、离散傅立叶变换、离散Hartly变换及Walsh-Hadamard变换等.自适应滤波器的权系数向量定义为:W(n)= T w(n);滤波器的输出信号为:y(n)=W T(n)・X(n);误差信号为:e(n)=d(n)-y(n);权系数向量的迭代方程为:W(n+1)=W(n)+2μe(n)p-1(n)X(n),P(n)=diag[P(n,0)P(n,1)…P(n,N-1)],P(n,l)=βP(n-1,l)+(1-β)X T(n,l)・X(n,l)　l=0,1,…,N-1.若令Λ2=P(n),则权系数向量的迭代方程为:W(n+1)=W(n)+2μe(n)Λ-2X(n).一些快速的变换域自适应算法[15]也已提出.最近,小波变换也被用于变换域自适应滤波,在小波变换自适应滤波[16～21]中,通常采用两种形式:一是小波子带自适应滤波[19,20],它相当于把输入信号和期望响应信号在多分辨率空间进行自适应滤波后,再变换为时域输出信号;另一种是小波变换域自适应滤波[16～18,21],它是把输入信号用小波的多分辨率空间的信号来表示,作为自适应滤波器的输入,而期望响应信号并不作小波变换.2.4　仿射投影算法仿射投影算法最早由K.Ozeki和T.Umeda[21]提出,它是能量归一化最小均方误差(N LMS)算法的推广.仿射投影算法的性能介于LMS算法和R LS 算法之间,其计算复杂度比R LS算法低.能量归一化最小均方误差(N LMS)算法是LMS算法的一种改进算法,N LMS算法可以看作是一种时变步长因子的LMS算法,其收敛性能对输入信号的能量变化不敏感.仿射投影算法是N LMS算法的多维推广,假定P为投影阶数,仿射投影算法中权系数向量的修正量由下述方程组的最小二范解决定:Y(k)=X T(k)[W(k-1)+ΔW(k-1)],其中:Y(k)=[y(k),y(k-1),…,y(k-P+1)];X(k)=[x(k),x(k-1),…,x(k-P+1)].利用矩阵的广义逆可求得ΔW(k-1),因此,仿射投影算法[22,23]可表示为:e(k)=Y(k)-X T(k)W(k-1);g(k)=[X T(k)X(k)+δI]-1e(k);W(k)=W(k-1)+μΔW(k-1)=W(k-1)+μX(k)g(k).仿射投影算法的计算复杂度为(P+1)N+ O(P3)量级,比R LS算法低一个数量级,但比N LMS 算法高很多.G ay等[24,25]提出的快速仿射投影算法大大降低了仿射投影算法的计算复杂度.在快速仿射投影算法中,采用滑动窗快速横向滤波器算法[26]计算预滤波向量,避免了矩阵求逆运算.快速仿射投影算法的计算复杂度虽然降低了,但其内嵌的滑动窗快速横向滤波器算法的实现相对复杂,并且存在数值稳定性问题.为解决快速仿射投影算法的数值稳定性问题,Douglas等[27]提出了正交变换的快速仿射投影算法的近似算法,避免了采用复杂的滑动窗快速横向滤波器算法,改善了快速仿射投影算法在有限精度运算时的数值稳定性.2.5　共轭梯度算法虽然R LS算法收敛速度快,但其计算复杂度很高,它需要估计逆矩阵.假如被估计的逆矩阵失去正定性,就会引起算法发散[2];而且,为实现算法所需的存储量极大,不利于适时实现.一些快速R LS算法虽降低了R LS算法的计算复杂度,但都存在数值稳定性问题.共轭梯度自适应滤波算法[28]不含有R LS算法中的矩阵运算,也没有某些快速R LS算法存在数值稳定性问题,它保留了R LS算法收敛速度快的特点.Alan等[29]提供和分析了共轭梯度法在自适应滤波中的两个实现方法,这两个方法对原始的共轭梯度法作了一些修改,并且对这两个算法的收敛率和失调作了比较,建立了算法的稳定范围.2.6　基于子带分解的自适应滤波算法子带分解技术用于自适应滤波算法主要是基64 广州大学学报(自然科学版) 第1卷　于以下考虑:对于强相关输入信号,自相关矩阵R (n )的特征值发散程度很大,使得所采用的自适应滤波算法的收敛速度和跟踪速度都很慢,且权值极多的自适应滤波器的计算量很高.基于子带分解的自适应滤波[30～33]在提高收敛性能的同时又节省了一定的计算量,因而近年来倍受关注,已得到一些有意义的结果[34,35].基于子带分解自适应滤波的基本原理是:首先将输入信号与参考信号经过分解滤波器组抽取进行子带分解,将信号按频带划分,然后在各个子带上分别进行自适应滤波,再将子带信号内插后通过合成滤波器组得到最后的合成信号.其中,由于对信号的抽取,使完成自适应滤波所需的计算量得以减小;而在子带上进行自适应滤波使收敛性能又有所提高.在信号的子带分解中,存在着由于分解滤波器组的非理想特性引起的子带信号混叠的问题.为了避免混叠对自适应滤波的影响,G illoire [30,31]采用加入子带间滤波的方法,而Peraglia 等[33]采取在抽取时过采样的方法.这两种方法都使计算量有所上升.后一种必须是在多带分解的情况下,如抽取比率较低,可以认为不存在混叠,但代价是计算量增加很多.一般来说,信号的子带分解处理有如下优点:采样间隔增大引起滤波器抽头数目减少,减小了计算复杂性;采样间隔扩大后,输入信号本身的自相关也减弱,可以提高算法的收敛性能.研究发现,信号的子带分解处理涉及多速率数字信号处理[36],子带小波变换域自适应滤波算法的收敛性能与子带分解的方式及子带低通滤波器的正则性相关.为了提高信号子带分解自适应滤波器的收敛速度,Deleon 等[36]认为,经子带分解后,抽取引起部分信号的浪费,采用Multirate Reoeating Method 可以利用那些被浪费的信号成分,通过增加单位时间内对权值的更新次数,获得更快的收敛速度.近年来又出现了小波子带分解自适应滤波[37].小波子带分解自适应滤波能加快自适应收敛速度,同时便于并行处理,带来一定的灵活性.2.7　基于QR 分解的自适应滤波算法[2]矩阵的QR 分解是信号处理中常用的一种矩阵分解.QR 分解中的Q 表示一个酉矩阵,R 表示一个上三角矩阵.基于QR 分解的递推最小二乘自适应滤波算法首先采用G ivens 旋转变换把加权输入信号矩阵变换为上三角矩阵,然后再利用回代求解三角矩阵方程,计算自适应滤波器权系数向量.QR 分解类自适应滤波算法有以下三种:1)QR-R LS 算法;2)Extended QR-R LS 算法;3)Inverse QR-R LS 算法.基于QR 分解的自适应滤波算法对输入信号矩阵直接进行更新,因此在有限精度运算条件下,具有良好的数值稳定性.各种QR 分解的快速自适应滤波算法直接计算估计误差,并不需要更新权系数向量.而基于逆QR 分解的递推最小二乘自适应滤波算法可以直接更新权系数向量,并且避免了复杂的回代运算.2.8　其它一些自适应滤波算法除了上面介绍的自适应滤波算法之外,还有一些其它的算法,如:系数部分更新自适应滤波算法[38～40]、LMF (R LF )算法[41,42]、Leaky -LMS 算法[43,44]等.在一些自适应滤波应用中,即使简单的LMS (N LMS )算法实现起来也显复杂,为此,系数部分更新自适应滤波算法[38～40]被提出,其主要思想是在自适应滤波算法的每次迭代中,仅仅自适应滤波器的部分系数被更新,这使得整个自适应滤波算法的计算量有所降低.这类算法主要有:Periodic LMS 算法[38],M -Max N LMS 算法[39]和Max N LMS 算法[40].它们的自适应滤波器的系数分别更新如下:Periodic LMS 算法:W i (n +1)=W i (n )+μe l x l -i +1　(n +i )m od =O and l =N[n |N ]W i (n ) otherwiseM -M ax N LMS 算法:W i (n +1)=W i (n )+μe (n )x (n -i +1)X T(n )X (n ) i 对应前M 个max|x (n -i +1)|,i =1,…,L W i (n ) otherwise　M ax N LMS 算法:W i (n +1)=W i (n )+μe (n )x (n -i +1) 如果|x (n -i +1)|=max|x (n -j +1)|,j =1,…,LW i (n ) otherwise 我们知道,LMS 算法最小化均方误差E [e 2(n )];R LS 算法使误差的加权平方和J (n )=74　第2期 邹艳碧等:自适应滤波算法综述∑ni =1λn -i |e (i )|2最小.而文献[41,42]给出了最小化E[e 4(n )]的LMF 算法和最小化∑ni =1λn -i|e (i )|4的R LF 算法;LMF 算法和R LF 算法在非高斯环境中的收敛性能比LMS 算法和R LS 算法好.Z erguine等[42]给出了混合LMS -LMF 算法,该算法对噪声的变化显示了好的稳定性.Leaky -LMS 算法[43]的权系数更新等式是:W (n +1)=(1-μγ)W (n )+μe (n )X (n ),e (n )=d (n )-W T(n )X (n ).其中μ为步长因子,γ是泄漏因子.Leaky -LMS 算法等效于在自适应滤波器的输入端叠加白噪声.Mayyas 等[44]的分析和比较结果显示,Leaky -LMS 算法的直接实现方式优于在自适应滤波器的输入端叠加白噪声的实现方式.3　结　论对自适应滤波算法的研究是当今自适应信号处理中最为活跃的研究课题之一.我们对各种类型的自适应滤波算法进行了简单的总结分析.变步长的自适应滤波算法虽然解决了收敛速度、时变系统跟踪速度与收敛精度方面对算法调整步长因子μ的矛盾,但变步长中的其它参数的选取还需实验来确定,应用起来不太方便.对R LS 算法的各种改进,其目的均是保留R LS 算法收敛速度快的特点而降低其计算复杂性.变换域类算法亦是想通过作某些正交变换使输入信号自相关矩阵的特征值发散程度变小,提高收敛速度.而仿射投影算法的性能介于LMS 算法和R LS 算法之间.共轭梯度自适应滤波算法的提出是为了降低R LS 类算法的复杂性和克服某些快速R LS 算法存在的数值稳定性问题.信号的子带分解能降低输入信号的自相关矩阵的特征值发散程度,从而加快自适应滤波算法的收敛速度,同时便于并行处理,带来了一定的灵活性.矩阵的QR 分解具有良好的数值稳定性.总之,寻求收敛速度快,计算复杂性低,数值稳定性好的自适应滤波算法是研究人员不断努力追求的目标.虽然线性自适应滤波器和相应的算法具有结构简单、计算复杂性低的优点而广泛应用于实际,但由于对信号的处理能力有限而在应用中受到限制.由于非线性自适应滤波器,如Volterra 滤波器和基于神经网络的自适应滤波器,具有更强的信号处理能力,已成为自适应信号处理中的一个研究热点[45,46].参考文献:[1]　覃景繁,欧阳景正.一种新的变步长自适应滤波算法[J ].数据采集与处理,1997,12(3):171-194.QI N Jing -fan ,OU ’Y ANGJing -zhen.A 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uangzhou510405,China)Abstract:In adaptive signal processing theory,adaptive filtering alg orithms based on correlation function have been widely used.In this paper,a sim ple summary of adaptive filtering alg orithms is presented.K ey w ords:adaptive filtering alg orithm;LMS alg orithm;R LS alg orithm;trans form domain alg orithm;affine projec2 tion alg orithm;subband filtering alg orithm;QR decom position alg orithm【责任编辑:周　全】。

仿射变换与投影变换介绍基本的图形变换，仿射变换和投影变换的内容和关系，最后再简单讲解下RANSAC算法。

这套内容常用于图片和图片的特征点匹配、图片融合等场景。

仿射变换和单应矩阵首先明确：二者的应用场景相同，都是针对二维图片的变换。

仿射变换affine是透视变换的子集，透视变换是通过homography单应矩阵实现的。

从数学的角度，homography即H阵，是一个秩为3的可逆矩阵：仿射矩阵是：由于第三行没有未知数，仿射矩阵最常用的是两行三列的形式。

计算H阵需要4对不共线点，计算仿射阵只需要3对不共线的点。

通常会才用RANSAC方法从多对匹配点中计算得到精确、鲁棒的结果。

affine一般比homography更稳定一些，所以可以先计算affine，然后再用affine作为homography的初始值，进行非线性优化。

仿射变换的实际意义仿射变换在图形中的变换包括：平移、缩放、旋转、斜切及它们的组合形式。

这些变换的特点是：平行关系和线段的长度比例保持不变。

平移变换数学形式：矩阵形式：尺度变换矩阵形式：旋转变换矩阵形式：刚体运动：旋转缩放平移矩阵形式：斜切变换矩阵表示：这个也是更为一般的仿射变换的形式，xy轴的旋转是两个自由度。

透视投影变换的实际意义首先，继续上面的示例，透视变换的矩阵形式：这个变换看似是很随意的，变化的可能性也是非常多。

但投影变化具有其明确的意义：共面点成像。

先回顾下摄像机模型：世界坐标系映射到摄像机坐标系：Pc即上图的Mext其中Maff表示像素坐标系和单位距离坐标系之间的转化，与硬件设备相关。

不考虑像素坐标系，在以米等单位距离为尺度的笛卡尔坐标系中，有：对于共面点，我们可以另其一个坐标为0（肯定存在一个适当的世界坐标系满足的），不妨设为第三维度，上述矩阵可以得到简化：最终得到的3*3的矩阵，称之为“Homography矩阵”，该矩阵是可逆的。

研究共面点成像有什么意义呢？两个不同位置的相机，共面点对应有两个单应矩阵H1和H2。