苏教版等比数列复习课件

探要点·究所然 情境导学
在等差数列{an}中，我们学习了通项公式，并且通项公式 可推广为am＝an＋(m－n)d.，并且若m＋n＝p＋q，则an＋am ＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋ am＝2ap.那么，在等比数列中又如何呢？这就是本节研究的 主要内容.
探究点一 等比数列的通项公式
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an. a1q2＝20，
解 设等比数列的公比为 q，那么 a1q5＝160，
q＝2， 解得
a1＝5.
所以 an＝a1qn－1＝5×2n－1.
反思与感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列 的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以 得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项 或通项.
思考 4 在等比数列{an}中，若 m＋n＝2k，如何证明 am·an ＝a2k(m，n，k∈N*)? 答 ∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1， ∴am·an＝a21qm＋n－2， ∵ak＝a1qk－1，∴a2k＝a21·q2k－2. ∵m＋n＝2k，∴am·an＝a2k.
思考5 公比q>0且q≠1时，等比数列呈现怎样的特点？ 答 当a1>0，q>1时，等比数列是递增数列； 当a1>0,0<q<1时，等比数列是递减数列； 当a1<0，q>1时，等比数列是递减数列； 当a1<0,0<q<1时，等比数列是递增数列.
跟踪训练2 若数列{an}为等比数列，公比为q，且an>0，bn ＝lg an，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论.
解 数列{bn}是等差数列.证明如下： ∵bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lg aan＋n 1＝lg q(常数). ∴{bn}是公差为lg q的等差数列.

4．若{an}是等比数列且an>0，n∈N* ，又a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5
＝________.
解析：∵ {an}是等比数列，∴ a2a4＝ a2 3， a4a6＝a2 5
2 故由已知得 a2 ＋ a 3 5 ＋ 2a3a5＝ 25，即 (a3
＋ a5) ＝ 25， 又 a3＋a5>0，∴ a3＋a5＝5.
n－ 1
32 ＝ ＝ 16， n＝ 5. 2
a1＝32， 1 若 同理可得 q＝ ，n＝ 5. 2 an＝2，
S2n＝ 2na1＝ 6560，显然不可能， 所以 q≠1. a1 1－q Sn＝ ＝ 80， 1 －q a1 1－q2n S2n＝ ＝ 6560， 1－q
n
∴ 1＋ q ＝82， q ＝81， a1 ∴ ＝－1，q＝a1＋ 1.① 1 －q 又 a1>0，∴q>1， ∴数列 {an}是递增数列． ∴前 n 项中数值最大的项为 an，
am· an＝ap· aq 特别地m ＋n＝p＋q则_____________.
2 a an p＝am· ＋n＝2p则______________.
(2)有穷等比数列中， 与首末两项距离相 等的两项积相等，都等于首末两项的 积，特别地，若项数为奇数，还等于中 间项的平方，即 a1· an＝a2· an－ 1＝ a3· an－ 2 ＝…＝a2 中.
n－ 1 a q 1 an＝_________ ＝am· qn－m
公式
前n
na1 S n＝
项和
公式
相关
名词
等比 中项
等比数列{an}的相关概念及公式 设a、b为任意两个同号的实数，
则a、b的等比中项G＝ ± ab ___________

a
11
探究
已奇知数等 项比 ，数 构列 成新{an的}首数项列a，1, 公是比否q还，是取等出比数数列列中？的所有 取出a1 , a4 , a7 , a11 …… 呢？
你能得到一般性结论吗？
性质3：在等比数列中，把序号成等差数列的项按 原序列出，构成新的数列，仍是等比数列
a
12
在等比数列中 a5 ，4
a aq 通项
公式
ana1n1d
a
n
n1
1
1
Байду номын сангаас
a
2
例1：在等比数列{an}中，a3=20 ,q=2 ,求a6 ,an
解：
a3=a1q2=4a1=20
a3=a1q2 , a6=a1q5
所以 a1=5 a6=a1q5=5×32=160
a 6 q3 8
a 3
所 以 ana 1qn 152n 1 .
还有其他方法吗
a7 6,则a9 ？
解a5，：因a7，为a等9 比成数等列比数{a列n}中，
aa9 27aa257 a534a699
a
13
形成性训练
1、在q的等值比为数_列__{_a_n}_中__，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比
2那、么在a3等+a比5=数__列__{_a_n}_中__，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 3、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
且 m , n , s ,t∈ N+ ,若m+n=s+t
证明a则 m,aann,asa,a1qt有n1,什am么关a1系qm1,aman=asat
从而 aa a q 2 mn2

1 2
3.如果 an bn 是项数相同的等比数列,那
么 an bn 也是等比数列．
结论：如果 a
n
b n 是项数相同的等
比数列，那么an bn也ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等比数列．
证明：设数列an的公比为p，bn 的公比为
q，那么数列an bn 的第n项与第n+1项分
别与为a1ba11(ppnq1)n．b1qn1 与 a1pn b1qn ，即 a b1 1(pq)n1
A. 48 B. 72 C. 144
D. 192
3.在等比数列 an 中, 2a4 a6 a5 则公比q等于: C
A. 1或2 B. -1或-2 C. 1或-2 D. -1或2
4.已知等比数列an,若a1 a2 a3 7,
a1 a2 a3 8,求an.
a1
1, q
2或a1
4, q
因为
a b n1 n1 a b1 1(pq)n pq,
an bn
a b1 1 (pq)n1
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq
为公比的等比数列．
特别地，如果是a n 等比数列，c是不等 于０的常数，那么数列 c a n 也是等比数列．
探究
对于例４中的等比数列 a n 与bn ，数
是 列
an bn
也一定是等比数列吗？
1.定义
2.公比(差)
等比数列
an1 q an
q不可以是0,
等差数列
an1 an d
d可以是0
3.等比(差) 中项
等比中项
G ab
等差中项
2A a b
4.通项公式 an a1qn1 an a1 (n 1)d
an amqnm an am (n m)d

解：设这四个数分别为 a，aq，aq2，aq3.
4 6 a q ＝1 则 3 aq ＋q＝－2，
① ② ③
由①得 a2q3＝± 1，
2 2 2
9 由②得 a q (1＋q) ＝4，④
1 1 2 把 a q ＝q代入④得 q －4q＋1＝0， 此方程无解．
2 2
1 17 把 a2q2＝－q代入④得 q2＋ 4 q＋1＝0， 1 解得 q＝－4 或 q＝－4. 1 当 q＝－4时，a＝8； 1 当 q＝－4 时，a＝－8. 所以，这四个数分别是： 1 1 1 1 8，－2，2，－8或－8，2，－2,8.
法三：设这四个数依次为 x，y,12－y,16－x，
2y＝x＋12－y， 由已知得 2 16－x. 12－y ＝y· x＝0， 解得 y＝4 x＝15， 或 y＝9.
故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
[一点通]
当遇到三个数或四个数成等差数列或
10 ＝a1q4· a1q6＝a2 1q
1 10 ＝96 ×(2) ＝9.
2
所以 a5，a7 的等比中项是± 3.
[一点通]
G b 由等比中项的定义可知：a ＝G⇒G2＝ab⇒G
＝± ab.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两 项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等 G b 比中项. 反之，若 G ＝ab，则 a ＝G，即 a，G，b 成等比数
解得a＝2，或a＝11，
故a＝2，b＝5，c＝8或a＝11，b＝5，c＝－1,
经验证，上述两组数都符合题意.
[例2] 在等比数列{an}中， (1)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值； (2)若a2＝2，a6＝16，求a10； (3)若a3＝－2，a7＝－16，求a5.

|q|
等比数列 ②{an}是等比数列，则{λan}，{|an|}也是等比数列，公比分别
，
；
等比
qm
按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列也是 Sm＋qmSn ．

为
③{an}成等比数列，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成
.
数列，公比

1． (2010·江苏通州市高三素质检测)若实数列1，a，b，c,4是等比 数列，
(n≥2)为常数；(2)利用等比中项，
即证明a＝an－1·an＋1(n≥2)．
5．等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活
运用．
6．解决等比数列有关问题的常见思想方法： (1)方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三 求二”； 列； (2)分类讨论的思想：当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时为递增数列； 当a1＜0，q＞1或a1＞0，0＜q＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数
【规律方法总结】
1．深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常 数”这

两点．
2．运用等比数列求和公式时，须对q＝1或q≠1进行讨论．
3．已知三个数成等比数列，可设这三个数为
，a，aq(q≠0)．
4．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法是：


(1)利用定义，证明


a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24.(*)
a3·a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入(*)式，

±2.
得q2＝－2(舍去)，将a1q3＝8代入(*)式，得q2＝4.∴q＝
当q＝2时，得a1＝1，∴S8＝ 当q＝－2时，得a1＝－1，∴S8＝

探究点二 等比中项
思考1 请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念. 答 若a、G、b成等比数列，则称G为a和b的等比中项.
思考2 下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.
对比项
等差中项
等比中项
若a，A，b成等差数列， 若a，G，b成等比 数列， 定义
则A叫做a与b的等差中项 则G叫做a与b的等比中项
思考3 我们在使用等比数列定义时，往往需要符号化、等 式化.如何用符号语言简捷地表示它？ 答 aan－n1＝q(n>1，q≠0).
例1 判断下列数列是否为等比数列： (1)1,1,1,1,1； 解 所给数列是首项为1，公比为1的等比数列.
(2)0,1,2,4,8； 解 因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列.
(2)3，( ± 15 )，5；
解析 设所填的数为 b，由等比数列的定义，得b3＝5b，所 以 b＝± 15.
(3)1，( 3 3 2
)，(
27 4
)，881.
解析 设所填的数为 x，y，由等比数列的定义，得
1x＝yx，
81 8 yFra bibliotek＝xy，
解得yx＝＝23472.3，
定义式
A－a＝b－A
__Ga_＝__Gb___
公式
A＝a＋2 b
G＝± ab
个数
a与b的等比中项有 两 个， a与b的等差中项唯一
且互为_相__反__数__
任意两个数a与b都有等 只有当 ab＞0 时，a与b
备注
差中项
才有等比中项
例 3 (1)在等比数列{an}中，是否有 a2n＝an－1an＋1(n≥2)?
解 根据题意，得1 2c＝bc，
b＝2， 解得

2．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，Sn＋1＝4an ＋2(n∈N*)． (1)设 bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列； (2)设 cn＝a2nn，求证：{cn}是等差数列．
证明：(1)an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an－4an－1， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)， ∴bn＝2bn－1(n≥2)． 又b1＝a2－2a1＝S2－3a1＝a1＋2＝3， ∴{bn}是以首项为3，公比为2的等比数列．
＝q(q 为常数)也可以用aan＋ n 1＝aan－n 1(n≥2)进行判断．
例3 在等比数列{an}中，对 n∈N*，a1＋a2＋…＋an ＝2n－1，求证：数列{a2n}是等比数列．
【分析】 可先求出an，再利用等比数列的定义证明
【证明】 ∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，
①
∴a1＝1且a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1.
(2)求数列{an}的通项公式． 【分析】 由递推公式变形出 an－23、an－1－23，通过待 定系数法寻找关系．
【解】 (1)证明：由 an＋1＝12an＋13，得 an＋1－23＝12(an－23)． 又 an－23≠0，
∴an＋1－32＝ an－32
12，即数列an－23是
首项为254，公比为12的等
(2)∵bn＝3·2n－1，∴an＋1－2an＝3·2n－1， 又 cn＝a2nn， ∴cn＋1－cn＝2n1＋1(an＋1－2an)＝2n1＋1·3·2n－1＝34， 且 c1＝a21＝12， ∴{cn}是以12为首项，34为公差的等差数列．
题型二 等比数列的判定
判断一个数列是等比数列的基本方法是紧扣定义： an an－1
比数列．
(2)由(1)知 an－23＝(a1－23)(12)n－1，且 a1＝78， 即 an＝(a1－23)(12)n－1＋23

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
栏 目 链 接
1为首项，－2为公比的等比数列，其通项公式为an＝(－2)n－1.
题型2
栏 目 链 接
知识点2
等比数列的判定方法
(1)an＝an－1·q(n≥2，q是不为零的常数，an－1≠0)⇔{an}是等 比数列． 2 (2)an ＝an－1·an＋1(n≥2；an－1，an，an＋1≠0)⇔{an}是等比数列． (3)an＝c·qn(c、q均是不为零的常数)⇔{an}是等比数列． 知识点3 主要性质(设an＝a1qn－1，a1、q≠0) (1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q ＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an} 是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列． (2)an＝am·qn－m(m、n∈N*)． (3)当m＋n＝p＋q(m、n、q、p∈N*)时，有am·an＝ap·aq. (4)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数 列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}
栏 目 链 接
1 1 是公比为qq′的等比数列；数列 是公比为 的等比数列； a q n
{|an|}是公比为|q|的等比数列． (5)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg an}是公 差为lg q的等差数列． (6){an}中，公比q≠1，则连续取相邻两项的和(或差)构成公比 为q的等比数列． (7)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时，am、an、ap成等比数 列．
p－1≠0， ⇔ p－ p p－ p
p≠0，
n －1 n －2
而 ＝ ＝p.
a2 a1
p－ p
p

第三节
等比数列及其前 n 项和
1．等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于
_同__一__常__数__(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做 等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 aan＋n1＝q .
(2)等比中项： 如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等
从而
q＝2，故aa22
013＋a2 011＋a2
014＝q2＝4.
012
答案：4
3．设等比数列{an}的公比 q<1，前 n 项和为 Sn，已知 a3＝2，S4
＝5S2，求{an}的通项公式． 解：由题设知 a1≠0，Sn＝a111－－qqn，
a1q2＝2，
①
所以a111－－qq4＝5×a111－－qq2.
令cn＝aan＋n 1，则c1＝a，cn＋1＝pcn.
∵a≠0，∴c1≠0，ccn＋n 1＝p(非零常数)，∴数列aan＋n1是等比数列． (2)∵数列{cn}是首项为 a，公比为 p 的等比数列，
∴cn＝c1·pn－1＝a·pn－1，即aan＋n 1＝apn－1.
当 n≥2 时，an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝(apn－2)×(apn－3)×
(2)分类讨论思想：在应用等比数列前 n 项和公式时，必 须分类求和，当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn； 在判断等比数列单调性时，也必须对 a1 与 q 分类讨论．
[练一练] 1．(2010·江苏高考)函数 y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a2k)处的切线
3．已知等比数列{an}的各项均为正数，且 a1＋2a2＝3，a24＝4a3a7，