专题训练(二)确定二次函数的表达式常见的五种方法.docx

确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。

(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。

例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。

例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。

专题训练（二）确定二次函数的表达式五种方法►方法一利用一般式求二次函数表达式1．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的表达式为()A．y＝x2－x－2B．y＝－x2＋x＋2C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋22．若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－4，0)，(2，6)，则这个二次函数的表达式为______________．3．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个二次函数的表达式为____________．4．如图2－ZT－1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)若M是该抛物线的对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图2－ZT－1►方法二利用顶点式求二次函数表达式5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是()A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋66．已知y 是x 的二次函数，根据表中的自变量x 与函数y 的部分对应值，可判断此函数的表达式为( )x … －1 0 1 2 … y…－154254…A .y ＝x 2B ．y ＝－x 2C ．y ＝34(x －1)2＋2D ．y ＝－34(x －1)2＋27．[2018·巴中改编]一位篮球运动员在距离篮框中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮框中心距离地面高度为3.05m ．在如图2－ZT －2所示的平面直角坐标系中，此抛物线的表达式是________．图2－ZT －28．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1，4)，它与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2. (1)求抛物线的函数表达式；(2)在如图2－ZT －3所示的平面直角坐标系中画出抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 及直线y 2＝x ＋1，并根据图象，直接写出使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围．图2－ZT －3► 方法三 利用交点式求二次函数表达式9．若抛物线的最高点的纵坐标是254，且过点(－1，0)，(4，0)，则该抛物线的表达式为( )A ．y ＝－x 2＋3x ＋4B ．y ＝－x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x －4D ．y ＝x 2－3x ＋410．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6► 方法四 利用平移求二次函数表达式11．[2018·广西]将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为( )A ．y ＝12(x －8)2＋5B ．y ＝12(x －4)2＋5C ．y ＝12(x －8)2＋3D ．y ＝12(x －4)2＋312．如果将抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了抛物线y ＝2x 2－4x ＋3. (1)试确定b ，c 的值；(2)求出抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标和对称轴．►方法五利用对称轴求二次函数表达式13．如图2－ZT－4，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点坐标为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．图2－ZT－414．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2－ZT－5，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为____________；(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．图2－ZT－5教师详解详析1．[解析]C 由题意可知点C 的坐标是(0，2)或(0，－2)．设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，2)，得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，c ＝2，则抛物线的表达式是y ＝－x 2＋x ＋2.同理，由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，－2)求得该抛物线的表达式为y ＝x 2－x －2.故这条抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2或y ＝x 2－x －2.2．[答案]y ＝x 2＋3x －4[解析]将点(－4，0)，(2，6)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧16－4b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝6，解得⎩⎨⎧b ＝3，c ＝－4，∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2＋3x －4. 3．y ＝x 2－2x －14．解：(1)把A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝0，所以抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋x .(2)由y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM ＝BM ，∴AM ＋OM ＝AM ＋BM .连接AB 交直线x ＝1于点M ，则此时AM ＋OM 的值最小．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42，因此AM ＋OM 的最小值为4 2. 5．D6．[解析]D ∵函数图象过点(0，54)和(2，54)，∴函数图象的对称轴为直线x ＝1，故该函数图象的顶点坐标为(1，2)．设函数表达式为y ＝a (x －1)2＋2.把(－1，－1)代入，得4a ＋2＝－1，解得a ＝－34，∴此函数表达式为y ＝－34(x－1)2＋2.7．[答案]y ＝－15x 2＋3.5[解析]∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋3.5. ∵篮框中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入表达式，得3.05＝a ×1.52＋3.5， ∴a ＝－15，∴y ＝－15x 2＋3.5.8．解：(1)∵抛物线与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2， ∴交点的纵坐标为2＋1＝3， 即此交点的坐标为(2，3)．设抛物线的表达式为y 1＝a (x －1)2＋4.把(2，3)代入，得3＝a (2－1)2＋4，解得a ＝－1， ∴抛物线的表达式为y 1＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(2)令y 1＝0，即－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)．在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象可知，使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围为－1≤x ≤2.9．[解析]A 由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线x ＝12×(－1＋4)＝32，故该抛物线的顶点坐标为(32，254)．设该抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －4)．将(32，254)代入，得254＝a (32＋1)(32－4)，解得a ＝－1，故该抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)(x －4)＝－x 2＋3x ＋4.注意：本题也可运用顶点式求抛物线的表达式．10．[解析]D 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以y ＝a (x －3)(x ＋1)．又因为其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，所以y ＝－2(x －3)(x ＋1)，即y ＝－2x 2＋4x ＋6.11．[解析]D y ＝12x 2－6x ＋21＝12(x 2－12x )＋21 ＝12[(x －6)2－36]＋21＝12(x －6)2＋3， 故y ＝12(x －6)2＋3向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为y ＝12(x －4)2＋3.12．解：(1)∵y ＝2x 2－4x ＋3＝2(x 2－2x ＋1－1)＋3＝2(x －1)2＋1，∴将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y ＝2(x －4)2＋3， ∴y ＝2x 2－16x ＋35，∴b ＝－16，c ＝35. (2)由y ＝2(x －4)2＋3得顶点坐标为(4，3)， 对称轴为直线x ＝4. 13．[答案]y ＝－x 2＋2x ＋3[解析]∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴b2＝1，解得b ＝2，又∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3，0)， ∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3， 故函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.14．解：(1)(答案不唯一)顶点关于y 轴对称，对称轴关于y 轴对称． (2)y ＝2(x －2)2＋1 y ＝a (x ＋h )2＋k (3)若点A 在y 轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A ，B ，O ，C ，得到一个面积为24的菱形，由BC ＝6，得OA ＝8， 则点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－3，4)． 设一个抛物线的表达式为y ＝a (x ＋3)2＋4. 将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8，解得a ＝49.二次函数y ＝49(x ＋3)2＋4的“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝49(x －3)2＋4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于y 轴对称二次函数”的表达式还可以为y ＝－49(x ＋3)2－4，y ＝－49(x －3)2－4.综上所述，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝49(x ＋3)2＋4，y ＝49(x －3)2＋4或y ＝－49(x ＋3)2－4，y ＝－49(x －3)2－4.。

专题确定二次函数的表达式二次函数的解析式的三种表示方法：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用_______法；求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用_______；2. 已知抛物线_______或_______或_______，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用_______；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用_______．例1、已知二次函数的图象经过点A(0，－1)、B(1，0)、C(－1，2)，求二次函数的解析式．例2、二次函数的图象经过点(1，0)，(2，0)，(3，4)，求函数的解析式．例3、已知抛物线的顶点为(1，－3)，且与y轴交于点(0，1)，求二次函数的解析式．练习：1.二次函数图象的对称轴是x=-1，与y轴交点的纵坐标是－6，且经过点(2，10)，求此二次函数的关系式．2.已知二次函数的图象经过点(0，3)，对称轴方程是x－1=0，抛物线与x轴两交点的距离为4，求这个二次函数的解析式3.已知二次函数y=3x2－6x＋5，若它的顶点不动，把开口反向，再沿对称轴平移，得一条新抛物线，它恰好与直线y=－x－2交于点(a，－4)，求新抛物线的解析式4.画出y=-3x2-6x+2的图象(1)画出图像关于x轴对称后的图象，并写出表达式（2）画出图像关于y轴对称后的图象，并写出表达式（3）画出图像关于原点对称后的图象，并写出表达式5.把抛物线y=－3(x－1)2向上平移k个单位，所得的抛物线与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，若x 12+x22=269，请你求出k的值.。

专项22 二次函数解析式的方法归类（4种类型）类型一：待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。

（2）顶点式：y=a(xh)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。

顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h 时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

（3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²4ac≥0]。

已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设y=a（x x1)(x x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

类型二：运用几何图形性质求抛物线解析式【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A （1，0）、B（0，5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．【变式11】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，3)。

求该二次函数的解析式【变式12】一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（1，1），求这个二次函数的解析式．【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.【变式21】已知抛物线的顶点为(−2，−4)，且经过点(1，12)，求此抛物线的解析式．【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．【变式31】已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式【典例4】如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(4，3)，与y轴交于点B，对称轴是x=3，求抛物线的解析式。

【变式4】已知抛物线y=ax2+bx1的图象经过点（1，2），其对称轴为x=1．求抛物线的解析式．【典例5】（2020秋•郫都区期末）如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为．【变式5】（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（F AST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是．【典例6】（2021秋•海珠区校级期中）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？【变式6】（2021•安徽模拟）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．1．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,4)，且过点(1,2)，求抛物线的解析式. 2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，0)，(0，5)两点，求此二次函数的解析式．5.已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．3.已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．4.已知抛物线y=ax2+bx1的图象经过点（1，2），其对称轴为x=1．求抛物线的解析式．5．抛物线过点(9，0)、(5，16)、(1，0)，求二次函数解析式，并画出函数图象.6.（2021九上·百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？7.如图所示．三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N 距水面4m（即NC=4m），建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求出大孔抛物线的解析式；（2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．8.如图，用长为6 m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm，窗户的透光面积为ym2（铝合金条的宽度不计）．（Ⅰ）求出y与x的函数关系式；（Ⅰ）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．。

典中点二次函数专训2 求二次函数表达式的常见类型◐名师点金◑求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的表达式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的表达式，往往可以使解题过程简便．类型1： 由函数的基本形式求表达式 方法1： 利用一般式求二次函数表达式1．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点C(0，－6)，与x 轴的一个交点 是A(－2，0)．(1)求二次函数的表达式，并写出图象的顶点D 的坐标；(2)将二次函数的图象沿x 轴向左平移52个单位长度，当y<0时，求x 的取值范围．方法2： 利用顶点法求二次函数表达式2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线 y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的表达式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6 3．已知某个二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．方法3：利用交点式求二次函数表达式4．已知抛物线与x 轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y 轴交于点C ，且AB ＝BC ，求此抛物线对应的函数表达式．方法4：利用平移法求二次函数表达式5．把二次函数y ＝2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线对应的函数表达式是______________．6．已知y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝x 2－2x －3.(1)b ＝________，c ＝________； (2)求原函数图象的顶点坐标； (3)求两个图象顶点之间的距离．方法5：利用对称轴法求二次函数表达式7．如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的 一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是________________．8．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x ＝－12.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求点M 的坐标．方法6：灵活运用方法求二次函数的表达式9．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．类型2： 由函数图象中的信息求表达式10．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是( ) A ．y ＝x 2－x －2 B ．y ＝－12x 2－12x ＋2C ．y ＝－12x 2－12x ＋1 D ．y ＝－x 2＋x ＋211．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD ，线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)，销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？类型3：由表格信息求表达式12．若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中信息可知y 与 x 之间的函数关系式是( )A.y ＝x 2－4x ＋3 B ．y ＝x 2－3x ＋4 C ．y ＝x 2－3x ＋3 D ．y ＝x 2－4x ＋813．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：x －1 0 1 ax 21 ax 2＋bx ＋c83x …－32－1 －1212132…y …－54－2 －94－2 －5474…则该二次函数的表达式为______________．类型4：几何应用中求二次函数的表达式14．某校校园内有一个大正方形花坛，如图①所示，它由四个边长为3 m的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图②所示，DG＝1 m，AE＝AF＝x m，在五边形EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是( )类型5：实际问题中求二次函数表达式15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.(1)求S与x之间的函数表达式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．。

专题训练（二）确定二次函数的表达式常见的五种方法＞方法一利用一般式求二次函数表达式1•已知抛物线过点A（2，0），B（—l，0），与y轴交于点C，且OC=2.则这条抛物线的表达式为（）A• y = x2—x—2B• y = —X2+X+2C - y=x? —x—2 或y= —x?+x + 2D• y=—x'—x—2 或y=x? + x+22•若二次函数y = x?+bx+c的图象经过点（一4，0），（2，6），则这个二次函数的表达式为 _____________ •3•—个二次函数，当自变量x= —1时，函数值y = 2；当x=0时，y= —1；当x=l时，y=—2.那么这个二次函数的表达式为______________ .4• [2016-安庆外国语学校月考]如图2-ZT-1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax? + bx+c 经过A（-2，-4）＞ 0（0，0），B（2，0）三点.⑴求抛物线y=ax?+bx+c的表达式；（2）若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM + OM的最小值.o V/\图2-ZT-1＞方法二利用顶点式求二次函数表达式5•已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=l时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y=—2x?相同，则这个二次函数的表达式是（）A• y=—2x2—x+3 B. y=—2x2+4C・y= —2x?+4x + 8 D. y=-2x2+4x+66•已知y是x的二次函数，根据表中的自变量x与函数y的部分对应值，可判断此函数表达式为（）A.y = xB. y=—x237.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为㊁米的喷水管喷水的最大高度为4米，此时喷水的水平距离为+米，在如图2-ZT-2所示的坐标系屮，这支喷泉喷水轨迹的函数表达式是____________ .图2-ZT-28•已知抛物线y]=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+l的一个交点的横坐标为2.（1）求抛物线的函数表达式；（2）在如图2-ZT-3所示的平面直角坐标系中画出抛物线yj=ax2+bx+c及直线y2 = x + 1，并根据图象，直接写出使得yi^y2成立的x的取值范闱.图2-ZT-3＞方法三利用交点式求二次函数表达式259•若抛物线的最高点的纵坐标是手，且过点（一1，0），（4，0），则该抛物线的表达式为（）A• y=—X2+3X+4B. y=—X2—3X+4C • y = x‘一3x—4 D. y=x? —3x+410•抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为（一1，0），（3，0），其形状及开口方向与抛物线y=—2/相同，则抛物线的函数表达式为（）A• y=—2x‘一x + 3 B. y=—2x2+4x + 5C - y=—2X2+4X +8D. y = —2X2+4X+611・[2016揪阳实验中学期中]已知抛物线与x 轴交于A （1 ‘ 0），B （-4 ‘ 0）两点‘与y 轴交于点C ，且AB = BC ，求此抛物线对应的函数表达式.＞方法四利用平移式求二次函数表达式12 • [2017-绍兴]矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为（2，1）. 一张透明 纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达 式为y=x?，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A - y=x 2 + 8x+ 14 B. y=x 2 —8x+14C • y=x 2+4x + 3 D. y=x 2—4x+313. [2017-盐城]如图2-ZT-4，将函数y =鬆一2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一 条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点Z ，B'.若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图彖的函数表达式是（）A • y=*（x —2）2—2 B. y=|（x-2）2 + 7图 2-ZT-414 •如果将抛物线y = 2x 2+bx+c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了 抛物线 y=2x?—4x+3.⑴试确定b ，c 的值；⑵求出抛物线y=2x?+bx+c 的顶点坐标和对称轴.＞方法五 利用对称轴求二次函数表达式15 •如图2-ZT-5 »已知抛物线y = — x?+bx+c 的对称轴为直线x= 1，且与x 轴的一c . y=|(x —2)2—5个交点坐标为(3 ‘ 0)，那么它对应的函数表达式是__________y：X=1/f v/ 01图2-ZT-516.如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2-ZT-6，二次函数y, = x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”.(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点.(2)二次函数y=2(x+2)?+l的“关于y轴对称二次函数”表达式为________________ ；二次函数y = a(x—hF+k的“关于y轴对称二次函数”表达式为 _____________ ;(3)平面直角坐标系屮，记“关于y轴对称二次函数”的图彖与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形‘教师详解详析1 •［解析］C 由题意可知点C 的坐标是（0 ' 2）或（0 ‘ 一2）.设抛物线的表达式为r4a+2b+c=0 ‘r a= — \+bx+c.由抛物线经过点(2，0)，(—1，0)，(0，2)，得v a-b+c=0， 解得＜ b=l ， .c=2，lc=2，物线的表达式是j=-?+x+2.同理，由抛物线经过点（2，0），（—1，0），（0，— 2）求得该抛物线的表达式为y=x 2-x~2.故这条抛物线的表达式为），=—d+x+2或y=F —x —2.2 •［答案］y=?+3x-4(16一4Z?+c=0， (b=3，［解析］将点(—4、0)、(2 ‘ 6)代入y=,+bx+c 、得］ 解得］l4+2b+c=6， lc=—4，・・・这个二次函数的表达式为y=/ + 3兀一4.3 • y=x~2x — 14a —2b+c=—4，4a+2b+c=0， c=0，r 1a=~2 '解这个方程组，得＜b=},、c=0，所以抛物线的表达式为 尸~y+x.(2)由 y= —|x 2+x= —|(x —1)2+| »平分线段 OB 、：・OM=BM » :.AM+OM=AM+BM.连接4B 交直线x=\于点则此时AM+OM 的值最小.过点A 作AN 丄x 轴于点N ， 在RtAABTV 中，AB=y ］AN 2+BN 2=^/42+42=4 ^2，因此 AM+OM 的最小值为 4 迈.5 • D6 •［解析］D J 函数图象过点（0，为和（2，弓），・・・函数图象的对称轴为直线x=\，故该 函数图彖的顶点坐标为（1，2）.设函数表达式为.尸吩一1F+2.把（一1，— 1）代入，得4a+2 =—1，解得d=—扌，・•・此函数表达式为y=— |（x —1）2+2.7 •［答案］J =-10（X -|）2+4I 解析］设喷泉喷水轨迹的函数表达式为y=a （x —护+4.将点（0，为代入，得| +4，解得a=-l0，故喷泉喷水轨迹的函数表达式为y= —10（x —护+4.8・解：（I ）；•抛物线与直线y 2=x+\的一个交点的横坐标为2，・••交点的纵坐标为2+1{则抛可得抛物线的对称轴为直线x=\，并冃.对称轴垂直=3即此交点的坐标为(2，3). 设抛物线的表达式为yi=tz(x—1)2+4. 把(2 » 3)代入，得3=d(2—1)'+4，解得a= — 1，抛物线的表达式为yi = —(X— l)2+4=—x24-Zr+3.(2)令yi=0，即一d+2兀+3=0，解得%i=3 »x2= —1，二抛物线与兀轴的交点坐标为(3，0)和(一1，0).在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象、iij知使得yi$y2成立的x的取值氾圉为一1W X W2.1 39 •［解析］A由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线1 +4)=^，故该抛物线的顶点坐标为(号，乎).设该抛物线的表达式为尸心+l)(x—4).将(扌，手)代入，得晋=dg+l)(号一4)解得a= —1，故该抛物线的表达式为y=—(兀+1)(尢一4)=—,+3x+4.注意: 本题也可运用顶点式求抛物线的表达式.10•［解析］D设所求的函数表达式为X!)(x—%2)-因为抛物线y=ax2 + bx+c与兀轴的两个交点坐标为(一1，0)，(3,0)，所以y=a(x~3)(x+l).又因为其形状及开口方向与抛物线y=—2x1相同» 所以y= — 2(兀一3)(x+l)，即y=—2x2+4x+6.11•解：由4(1，0)，B(_4，0)可知AB=5，OB=4.又・：BC=AB，・・・BC=5.在RtABCO 中，寸52_42=3，・••点C的坐标为(0，3)或(0，-3).设抛物线对应的函数表达式为y=a(x— 1)(兀+4).将点(0 ' 3)代入‘得3=a(0-1)(0+4) >3将点(0，一3)代入，得一3=a(0-l)(0+4)，解得°=才3 3该抛物线对应的函数表达式为y=—^(x—l)(x+4)或)，=才(兀一l)(x+4)，即y= _討_条+3或『=条2+条_3.12 •［解析］A 根据题意可知点C的坐标为(一2，—1)，故一个点由点4平移至点C，向左平移了4个单位，向下平移了2个单位.又・・•该点在点A时，抛物线的函数表达式为丿= x2，・••该点在点C时，抛物线的函数表达式为y=（兀+4）2—2=/+8兀+14.O x13•［解析］D 如图，连接AB »B r，过点4作AC丄交BE的延长线于点C，则AC=3.由于平移前后的抛物线形状相同，根据割补的思想可知阴彫部分的面积等于平行四边形ABBA的面积，:・BB‘・AC=3BB,=9，:・BB‘ =AA f=3 ‘故平移后的抛物线的表达式14•解：（1）・・了=2?一4兀+3 = 2（”一2兀+1 — 1） + 3 = 2（.丫一1）2+1，・・・将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y=2（x-4）2+3，.•・），=2,—16兀+35，.*./?= —16，c=35.（2）由y=2（x~4）2+3得顶点坐标为（4，3），对称轴为直线兀=4.15・［答案］y=-?+2x+3c b［解析「・•抛物线y=—/+加+c的对称轴为直线x=l，•逬=1，解得b=2，又・・•与x轴的一个交点坐标为（3，0），・・・0=—9 + 6+c，解得c=3，故函数表达式为）=一"+2兀+3.16•解：（1）（答案不唯一）顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称.c °（2）y=2（x—2）~ + 1 y=a（x+/?）~+k（3）若点A在y轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A，B，O，C得到一个而积为24的菱形，由BC=6，得OA = S，则点4的坐标为（0，8），点B的坐标为（一3，4）.设一个抛物线的表达式为少=°（兀+3尸+4.4将点A的坐标代入，得9d+4=8，解得a=g.4 4二次函数少=刖兀+3F+4的“关于y轴对称二次函数”的表达式为〉=彳（兀一3）2+4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于），轴对称二次函数”的表达式还4 c 4 o可以为y= _§（兀+3）2_4，y=—^（x—3）^-4.综上所述，“关于y轴对称二次函数”的表达式为)=£(X+3)2+4，),=詁一3尸+4或y4 4 o=一姿+3) —4，＞=一尹一3)2—4.。

二次函数表达式确定策略确定二次函数表达式是本章的重点内容，学生由于初学二次函数，常常在确定表达式时出现这样那样的错误.下面举例简述几种常见的确定策略，供大家学习时参考.一、利用二次函数的定义来确定.此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足条件0≠a 且x 的最高次数为2次． 例1.若 1222)(--+=m m x m m y 是二次函数，则此二次函数的表达式是 . 分析：根据题意先求出m 的值，再将m 值代入,即可求出二次函数表达式.解：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠+=--021222m m m m ，解得.3=m 将3=m 代入1222)(--+=m m x m m y 得：212x y =.二、利用待定系数法来确定.利用待定系数法确定二次函数表达式，常用的有三种基本形式，如表所示： 形式表达式 适用范围 一般式 )0(2≠++=a c bx ax y 给出抛物线上任意三点坐标顶点式 k h x a y +-=2)()0(≠a 给出抛物线的顶点坐标),(k h 或对称轴或最值及给出抛物线上的另外一点坐标交点式 ))((21x x x x a y --=)0(≠a给出抛物线与x 轴的交点坐标及给出抛物线上的另外一点坐标 例2. 已知二次函数的图象的顶点为A(2，-2) ，并且经过B(1，0)、C(3，0)，求这条抛物线的表达式.分析：根据题意，本题可用一般式、顶点式或交点式来解决.解法1：设二次函数表达式为c bx ax y ++=2，将A(2，-2)、B(1，0)、C(3，0)代入，得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++0390224c b a c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==682c b a .所以.6822+-=x x y解法2：设二次函数表达式为2)2(2--=x a y ，将B(1，0)代入，得2)21(02--=a ，解得2=a .所以2)2(22--=x y ，即.6822+-=x x y 解法3：设二次函数表达式为)3)(1(--=x x a y ，将A(2，-2)代入，得：)32)(12(2--=-a ，解得2=a .所以)3)(1(2--=x x y ，即.6822+-=x x y三、利用平移变换来确定将一个二次函数的图像经过上下左右的平移可得到一个新的抛物线．由于经过平移的图象形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 值不变．例3.已知抛物线1l 的表达式为2212+-=x x y ，将抛物线1l 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线2l ，请求出抛物线2l 的表达式.分析：要解此类题目，应先将已知函数的表达式写成顶点式k h x a y +-=2)(，当图象向左（右）平移n 个单位时，就在h x -上加上（减去）n ；当图象向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．解：因为2212+-=x x y =23)1(212+-x ，由题意，得抛物线2l 的表达式为： 223)31(212-++-=x y ，即232212++=x x y .。

确定二次函数的表达式解题类型及方法二次函数常见表达式有一般式（也称三点式）、配方式（也称顶点式）和两根式（也称交点式）三种，各种表达式要注意根据不同的条件灵活选用，以简化解题过程，提高解题能力．下面针对各种条件通常采用的表达式作一简单的归纳．一、如果已知的条件是二次函数的三组对应值，或者其图象经过三个一般的点，那么一般采用一般式y ＝2ax bx c ++（a ≠0）．例1 已知二次函数的图象经过点（1，2），（－1，－2），（0，3），求这个二次函数的表达式．分析：因为已知的三点仅是一般的点，故设y ＝2ax bx c ++，则 223a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，解得323a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故所求的二次函数表达式为y ＝2323x x -++．二、如果已知条件是二次函数的最大（小）值，或者是图象的顶点坐标，那么一般采用配方式y ＝()2a x m n -+（a ≠0）．例2 已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，－3），且经过点（0，2），求这个函数的表达式．分析：因为图象的顶点为（2，－3），故可设其表达式为y ＝()223a x --，又经过点（0，3），故3＝()2033a --，解得a ＝23， 所以y ＝()22333x --． 三、如果已知条件是二次函数图象与x 轴交点坐标，那么可采用两根式y ＝a （x －）（x －）（a ≠0）．例3 已知二次函数的图象交x 轴于点（－2，0）和（6，0），且经过点（1，15），求它的表达式．分析：这里＝－2，＝6，故可设y ＝a （x ＋2）（x －6），把x ＝1，y ＝15代入，得15＝a ×3×（－5），a ＝－1，故y ＝－（x ＋2）（x －6）．四、综合运用各种表达式，再利用比较系数法 例4已知二次函数y ＝c bx ax ++2的图象的顶点为（2，－3），且在x 轴上截得的线段长为，求a ，b ，c 的值．解法一 由已知，二次函数的解析式可化为y ＝3)2(2--x a ， 即y ＝－4ax ＋4a －3，故a a a a 12)34(4162=--=∆， 由3221=-x x 及求根公式，得3212=aa ，解得a ＝1． 故y ＝3)2(2--x ，即y ＝－4x ＋1，所以a ＝1，b ＝－4，c ＝1．解法二 设抛物线交x 轴于A 1212(0)(0)()x B x x x ，，，≤，则由AB ＝得 3221-=-x x ， （1） 又对称轴为x ＝2，故2221=+x x ， （2） 由（1）、（2）解得321-=x ，322+=x ，故可设y ＝(22a x x --，又抛物线经过（2，－3），故－3＝a )3(3-，a ＝1，所以y ＝)32)(32(--+-x x ，即y ＝－4x ＋1，所以a ＝1，b ＝－4，c ＝1．。