直线回归方程的求解方法

回归直线方程
若：在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，通过散点图我们可观察出所有数据点都分布在一条直线附近，这样的直线可以画出许多条，而我们希望其中的一条最好地反映x与Y 之间的关系，即我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点，记此直线方程为（如右所示，记为①式）
这里在y的上方加记号“^”，是为了区分Y的实际值y，表示当x取值xi=1，2， (6)
时，Y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是
①式叫做Y对x的
回归直线方程，相应的直线叫做回归直线，b叫做回归系数。

要确定回归直线方程①，只要确定a与回归系数b。

回归直线的求法
最小二乘法：
总离差不能用n个离差之和
来表示，通常是用离差的平方和，即
作为总离差，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中Q去最小值的那一条，这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法
用最小二乘法求回归直线方程中的a,b有下面的公式：
回归直线方程求a b公式
BB。

请同学们回忆一下,我们以前是否学过 变量间的关系呢?
两个变量间的函数关系.
相关关系与函数关系的异同点:
相同点:两者均是指两 个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系; 相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非 随机变量的关系,而相关关系是随机变量 与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系 不一定是因果关 系,也可能是伴随关系.
20
30
40
^ （4）当x=2时，y=143.063, 因此，这天大 约可以卖出143杯热饮。
小结：
（1）判断变量之间有无相关关系，简便方 法就是画散点图。 （2）当数字少时，可用人工或计算器，求 回归方程；当数字多时，用Excel求回归方 程。 （3）利用回归方程，可以进行预测。
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一
般规律； (3)求回归方程； (4)如果某天的气温是 2 C,预测这天卖出的热饮杯数。
0
解: (1)散点图
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0
10x y
2
x
i 1

2 i
10 x
110 10 0 1 110 10 0
a y bx 0 b 0 0
∴所求回归直线方程为 ^ y=x
小结：求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表 x , y , x y ；
i i i i
第二步：计算
x, y, xi , xi y
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

经验回归直线方程1.含义经验回归直线是指以经验数据为基础，建立的一条线性回归直线。

经验回归直线方程的形式为：y = a * x + b其中，y是解释变量，x是自变量，a是斜率，b是截距。

经验回归直线的目的是通过对自变量的变化，来预测解释变量的值。

经验回归直线的优点在于简单易懂，缺点在于对离群值敏感，而且对于非线性关系的数据不能很好地拟合。

经验回归直线的方程可以通过最小二乘法来求解。

首先，需要收集足够多的经验数据，然后利用最小二乘法的公式计算出斜率a和截距b的值。

最后，就可以得到经验回归直线的方程了。

经验回归直线通常用于研究两个变量之间的线性关系，例如销售额与营销费用之间的关系、学习时间与考试成绩之间的关系等。

它可以帮助我们更好地理解数据的规律，并且为进一步的决策提供依据2.实际应用在实际应用中，经验回归直线主要用于研究两个变量之间的线性关系，并通过对自变量的变化来预测解释变量的值。

使用经验回归直线时，需要注意以下几点：1.确定自变量和解释变量：首先要确定经验回归直线要研究的自变量和解释变量，并确定它们之间的关系。

2.收集足够多的经验数据：经验回归直线的拟合精度取决于经验数据的数量和质量，因此要收集尽可能多的经验数据。

3.使用最小二乘法计算斜率和截距：最小二乘法是一种常用的拟合方法，可以用来计算经验回归直线的斜率和截距。

4.画出经验回归直线图：通过将经验数据和经验回归直线画在同一个图上，可以直观地看出两者之间的关系。

5.评估经验回归直线的拟合精度：通过计算经验回归直线的拟合优度或决定系数，可以评估经验回归直线的拟合精度。

回归直线方程公式详解及例题回归直线方程，听起来是不是有点严肃？这玩意儿就像是数学里的“小白兔”，看起来很复杂，但其实乍一看也不过是个简单的小家伙。

让咱们聊聊这个直线方程的由来，还有怎么用它解决问题。

说白了，就是用一条直线把一堆数据给“牵”起来，让我们看清楚它们之间的关系。

就像在赶集一样，把各种水果摆成一排，想要了解哪个最受欢迎。

这里，最常见的回归直线方程是y = mx + b。

听起来不算复杂吧？不过咱们慢慢来，不急。

y代表咱们要预测的东西，比如说，你想知道你的成绩和学习时间的关系，那y就可以是你的成绩；x就是你花在学习上的时间。

m，这个家伙叫做斜率，表示的是y和x之间的关系，简单来说就是学习时间每增加一个小时，成绩大概能提高多少分。

b则是当你啥都不做时，你的成绩是多少，这个也很重要，没错，人生不就是这么回事吗？想象一下，拿出一根铅笔和一张纸，把这些点点画出来。

每个点就代表了一次测量，比如说你在不同时间学习的成绩。

画得可真像一幅抽象画，虽然一开始没法看出什么，但如果仔细一看，就能发现某种趋势。

这就是回归分析的魔力，它能帮你找到这些点之间的规律。

慢慢地，这些点就会聚成一条线，给你展示出学习时间和成绩之间的关系。

再来聊聊如何计算这些参数。

有很多软件和工具可以帮你做这些。

但如果你想亲自尝试，手动计算也是个不错的选择。

先得算出这些数据的平均值，接着用这些平均值来计算m和b。

想象一下，m的计算就像是在算你朋友圈里哪个小伙伴总是抢着买单。

搞定这些，y = mx + b就能顺利出炉了。

说到这里，有些小伙伴可能会想，回归直线到底有什么用呢？这玩意儿其实是个超有用的工具。

比如说，商家可以用它预测销量，学校可以分析成绩趋势，甚至天气预报也会用到。

想想看，如果你知道晴天和下雨天的概率，你是不是就能提前决定穿哪双鞋？这不就是让生活更简单吗？回归直线也有它的局限性。

毕竟，生活可不是总那么简单。

数据点就像是小孩子一样顽皮，根本不愿意听话，完全不按常理出牌。

线性回归方程lnx公式b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。

线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。

线性回归方程公式求法第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术）平均值：x_=(x1+x2+x3+...+xn)/ny_=(y1+y2+y3+...+yn)/n第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子=(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)-nx_Y_分母=(x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)-n*x_^2第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解为其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线.顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。

先求x，y的平均值X，Y再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)线性回归线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，应用十分广泛。

变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点，将散布在某一直线周围。

因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数。

分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。

如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

( X X )(Y Y ) 41.20 b 0.061 677 . 42 ( X X )
2
6
Y X
Y
n X n

99.2 31 534 31
3.2 17.23

a Y b X 3.2 0.06117.23 2.15
Y a bX 2.15 0.061 X
5
编号 （1）
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
尿雌三醇 mg/24h （2） 17 25 27 15 15 15 16 19 18 17 18 20 22 25 24
产儿体重 kg （3） 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4.0 3.9 4.3

17
18
19
R相关系数
20
b ANOVA
Model 1
Reg ression Residual Total
Sum of Squares 2.506 4.234 6.740
df 1 29 30
Mean Square 2.506 .146
F 17.162
Sig . .000a
a. Predic to rs: (Cons tant), 尿 雌三 醇 （ mg/24h ） b. Dep endent Variable: 产 儿体 重 (kg)
22
3.利用回归方程进行统计控制 利用回归方程进行逆估计，即要求因变 量y的容 许取值范围，逆向估计X的取值范围。
4.利用多重回归描述多因素的影响 在实际应用中，我们会发现，通常一个结果 的产生是由多种原因造成的。为了综合考虑这些 因素，可以用多重回归的方法来解决。

例1 据调查，某产品的宣传费用支出X在一定范围内与销售额Y 之间有表10-20所示对应关系（单位：万元）；
X Y
2 25
4 40
5 48
6 50
7 60
8 75
试写出y对x的回归直线方程。
解 经计算可知：
n 16 149 2384 n x ,y , xy , xi yi 1770 , xi2 194, n 6. 3 3 9 i 1 i 1
问题解决 表10-21是随机抽取的8名学生的身高x(cm)与体重 y(kg)的数据。 x 17 15 17 16 18 17 15 16 2 0 0 5 0 6 5 0 60 47 85 70 75 80 50 65
Y
试求出身高与体重之间的关系的回归直线方程。 （回归系数取整数）
求回归直线方程的步骤： ⑴计算平均数； ⑵计算的积，求； ⑶计算； ⑷将结果代入公式求b； ⑸用 求a； ⑹写出回归方程．
1
了解相关关系、回归分析、散点图、回归直线 方程的概念．
2
掌握散点图的画法，掌握回归直线方程的求 解方法，会求回归直线方程．
3
让学生参与回归直线的探求，结合身边的实 例，发现散点图的线性特征，主动构建线性回归 直线方程的模型．
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
回归直线方程的求解方法．
这节课主要采取启发引导和讲练结 合的教学方法．通过创设情境、设置问 题等手段对学生进行了启发、诱导，结 合讨论法、讲授法组织学生自主探 究．然后结合例题及课后练习巩固求回 归直线方程的步骤．
若已知变量x与y之间存在着某种相关关系，为了研 究它们之间关系，一个最简单的方法是作图。若以X作 为自变量，y作为因变量，每对数据（x，y)在坐标系中 用相应的点表示，这种图称为散点图，从散点图可以看 出两个变量之间的大致关系。 对于相关关系，虽不能求出变量之间精确的函数关 系式，但通过观测大量的数据，可以发现它们之间的关 系存在着一定的统计规律性，应用统计方法寻求一个数 学公式描述变量间的相关关系所进行的统计分析称为回 归分析，其中最简单、最常用的就是只含有两个变量的 一元线性回归。

公式
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因 子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的 权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相 同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量， 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量 矩阵，(lambda)是正则化参数

一元直线回归法公式
一元直线回归法是一种用于建立两个变量ห้องสมุดไป่ตู้间线性关系的统计方法。其公式可以表示为：
y = a + bx
其中，y是因变量（被预测的变量），x是自变量（用来预测y的变量），a是截距（直线与 y轴的交点），b是斜率（直线的倾斜程度）。
这个公式表示了一个直线方程，通过给定的x值，我们可以使用该公式计算出对应的y值。 通过拟合数据点，找到最佳的截距和斜率，我们可以建立一个最佳拟合的直线来描述x和y之 间的关系。
一元直线回归法公式
在实际应用中，我们可以使用最小二乘法来估计截距和斜率的值，使得拟合直线与实际数 据点的误差最小化。这样，我们就可以使用一元直线回归公式来预测和分析因变量y与自变量 x之间的关系。

小二乘法回归直线方程好嘞，咱们今天就聊聊小二乘法回归直线方程。

听起来是不是有点高深莫测？别担心，我会用简单的语言给你捋清楚。

小二乘法，顾名思义，就是为了找出一个最合适的直线，让我们把一堆数据点连起来，简简单单，毫无压力。

想象一下，假如你在草地上扔了一堆小石子，这些石子乱七八糟地分布着。

你想要用一根绳子把它们围起来，找到一个最理想的线条。

这个时候，小二乘法就像是一位老练的设计师，帮你把那根绳子拉得恰到好处。

咱们来看看什么是“最小二乘法”。

它其实是个很有趣的概念。

你知道的，我们总是想让事情尽量完美，对吧？但是在数据的世界里，完美是奢侈品。

小二乘法的主角就是这个“最小”，它想要的是最小化所有数据点到那条直线的距离。

这就像你努力减肥，却总是被一块巧克力吸引，努力再努力，最后只希望体重不增加。

小二乘法也是一样，它的目标就是让直线和那些数据点之间的距离尽可能小，简直就像是在追求一个最美的距离感。

然后，咱们说说怎么得到这个直线方程。

简单得很，直线方程通常写成 (y = mx + b)，听起来是不是很数学？别害怕，(m) 就是斜率，表示直线的倾斜程度；而 (b) 是截距，告诉你这条线和 (y) 轴的交点在哪里。

直观一点说，斜率决定了这条线是上升还是下降，就像你在山坡上骑车，坡度大了，骑起来就更费劲；而截距就像是你出发时的起点，决定了你起步时的高度。

我们要计算出 (m) 和 (b)，其实也没那么复杂。

先找到每一个数据点的坐标，把它们一一代入公式。

算来算去，咱们就能得到一条最优的直线。

这个过程就像是在做一道美味的菜，一开始材料看起来都是乱七八糟的，但经过你的巧手烹饪，最后端出来的却是一道色香味俱全的佳肴。

做回归分析可不止这么简单。

你得小心，不能让“离群点”搞得你手忙脚乱。

这些数据点就像是派对上的“老鼠屎”，一旦出现，就可能让整个“米饭”都不好吃。

所以，干脆就把那些奇怪的数据点剔除，保留那些有规律、可信的数据。

这样一来，你的直线就能更稳妥地代表整体趋势。

线性回归方程的知识要点1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。

2．回归直线方程ˆˆˆybx a =+ 对于一组具有线性相关关系的数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为： 121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 其中表示数据x i （i=1，2，…，n ）的均值，表示数据y i （i=1，2，…，n ）的均值，表示数据x i y i （i=1，2，…，n ）的均值．、的意义是：以为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化个单位． 要点诠释：①回归系数121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，也可以表示为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，这样更便于实际计算。

②12111()n i n i x x x x x n n===+++∑；12111()n i n i y y y y y n n===+++∑。

③(,)x y 称为样本中心点，回归直线ˆˆˆya bx =+必经过样本中心点(,)x y 。

④回归直线方程ˆˆˆya bx =+中的表示x 增加1个单位时的变化量，而表示不随x 的变化而变化的量。

3．求回归直线方程的一般步骤： ①作出散点图由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系，若存在线性相关关系，进行第二步。

②求回归系数、 计算121()n x x x x n=+++，121()n y y y y n=+++，11221ni in n i x yx y x y x y ==++∑，2222121ni n i x x x x ==+++∑，利用公式1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑求出，再由ˆˆay bx =-求出的值； ③写出回归直线方程；④利用回归直线方程ˆˆˆya bx =+预报在x 取某一个值时y 的估计值。

回归直线方程的三种推导方法下面将介绍回归直线方程的三种推导方法。

方法一：最小二乘法最小二乘法是最常用的回归直线方程推导方法。

它的基本思想是寻找一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。

具体推导过程如下：1. 假设有 n 个数据点，表示为 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。

2. 代入直线方程 y = ax + b，得到每个数据点的预测值 y_hat =ax + b。

3. 定义误差函数E = Σ(yi - y_hat)²，即每个数据点的实际值与预测值之差的平方之和。

4.求E的最小值，即求使误差函数最小化的a和b的值。

5.对E分别对a和b偏导，并令偏导数为零，得到两个方程：∂E/∂b = -2Σ(yi - axi - b) = 0∂E/∂a = -2Σ(xi(yi - axi - b)) = 06.解这两个方程，即可得到回归直线方程的斜率a和截距b。

方法二：几何推导法几何推导法是利用几何方法推导回归直线方程的方法。

具体推导过程如下：1. 假设有 n 个数据点，表示为 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。

2.在坐标系中绘制这n个数据点。

3.寻找一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。

4.使用垂直距离作为距离的度量，即对于每个数据点，找到它到直线的垂直距离d。

这可以通过计算直线的斜率a和截距b，然后使用点到直线的距离公式来求解。

5.定义误差函数E=Σd²，即每个数据点到直线的垂直距离之和。

6.求E的最小值，即求使误差函数最小化的a和b的值。

7.求解斜率a和截距b。

方法三：代数推导法代数推导法是另一种推导回归直线方程的方法。

具体推导过程如下：1. 假设有 n 个数据点，表示为 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。

2. 定义误差函数E = Σ(yi - axi - b)²，即每个数据点的实际值与预测值之差的平方之和。

第22讲 回归直线方程一、必备秘籍 1．两个变量线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(,)i i x y (i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程：①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据11(,)x y ,22(,)x y ,33(,)x y (,)n n x y ．②设所求回归方程为y bx a =+，其中,a b 是待定参数． ③由最小二乘法得1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb a y bx xx xnx ====---===---∑∑∑∑其中，b 是回归方程的斜率，a 是截距． 二、例题讲解1．（2021·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三模拟预测（文））十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》这部法律自2021年1月1日起施行，某市相关部门进行法律宣传，某宣传小分队记录了前5周每周普及宣传的人数与时间的数据，得到下表：（2）利用（1）的回归方程，预测该宣传小分队第7周普及宣传（民法典）的人数．参考公式及数据：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-，()()51430i ii x x y y =--=∑.【答案】（1）4341y x =+；（2）预测该宣传小分队第7周普及宣传《民法典》的人数为342． 【分析】（1）求出x 、y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出b 、a 的值，可得出y 关于x 的线性回归方程；（2）将7x =代入回归直线方程，可得出结果. 【详解】（1）由题意得()11234535x =++++=，()1901201702102601705y =++++=， ()()()()()()52222221132333435310ii x x =-=-+-+-+-+-=∑，所以()()()51521430ˆ4310iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，所以ˆ17043341a y bx=-=-⨯=， 所以线性回归方程为4341y x =+；（2）由（1）知4341y x =+，令7x =，解得43741342y =⨯+=， 故预测该宣传小分队第7周普及宣传《民法典》的人数为342．2．（2021·合肥市第六中学高三模拟预测（文））树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了A 树木，某农科所为了研究A 树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A 树木，调查得到A 树木根部半径x (单位：米)与A 树木高度y (单位：米)的相关数据如表所示：（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某A 树木的残差为零则认为该树木“长势标准”，在此片树木中随机抽取1棵A 树木，估计这棵树木“长势标准”的概率.参考公式：回归直线方程为y bx a =+，其中()()()1122211n ni iiii i b nnixii i x y nxy x x y y xnx x ==-==---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）ˆ 20.9y x =+；（2）12【分析】（1）由最小二乘法先求样本点中心(),x y ，再代入公式求ˆ2b=，即可得到答案；（2）先计算6棵A 树木中残差为零的有3棵，占比为3162=，即可得到答案； 【详解】（1）由1(0.10.20.30.40.50.6)0.356x =⨯+++++=，1(1.1 1.3 1.6 1.5 2.0 2.1) 1.66y =⨯+++++=，610.1 1.10.2 1.30.3 1.60.4 1.50.5 2.00.6 2.1 3.71i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，6222222210.10.20.30.40.50.60.91ii x==+++++=∑，有62261216 3.7160.35 1.6ˆ20.9160.356i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ 1.6020.350.9ay bx =-=-⨯=， 故y 关于x 的回归方程为：ˆ 20.9yx =+. （2）当0.1x =时，ˆ20.10.9 1.1y=⨯+=，残差为1.1 1.10-=， 当0.2x =时，ˆ20.20.9 1.3y=⨯+=，残差为1.3 1.30-=， 当0.3x =时，ˆ20.30.9 1.5y=⨯+=，残差为1.6 1.50.1-=， 当0.4x =时，ˆ20.40.9 1.7y=⨯+=，残差为1.5 1.70.2-=-， 当0.5x =时，ˆ20.50.9 1.9y=⨯+=，残差为2.0 1.90.1-=， 当0.6x =时，ˆ20.60.9 2.1y=⨯+=，残差为2.1 2.10-=， 由这6棵A 树木中残差为零的有3棵，占比为3162=，∴这棵树木“长势标准”的概率为12.1．（2021·湖南师大附中高三月考）今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，从在本院体检的人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：(10,20],(20,30],(30,40],(40,50],(50,60]，其频率分布直方图如图1所示．今年六月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y 与疫苗注射量x 个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．（1）健管中心从自身免疫力指标在(40,60]内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯，记X 表示这3人中免疫力指标在(40,50]内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以健管中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位．附：对于一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线ˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为()()()1122211,nniii ii i nniii i x x yy x ynxyb a y bx x xxnx ====---===---∑∑∑∑． 【答案】（1）分布列见解析，125；（2）疫苗注射量不应超过80个单位． 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出自身免疫力指标在(40,50]内和在(50,60]内的人数，写出X 的可能取值，求出对应概率，即可写出分布列，再根据期望公式即可求得数学期望；（2）根据最小二乘法求得回归方程，然后求出免疫力指标的平均值，根据题意列出不等式，从而可得答案. 【详解】解：（1）由直方图知，自身免疫力指标在(40,50]内的人数为0.008101008⨯⨯=，在(50,60]内的人数为0.002101002⨯⨯=，则X 的可能取值为1，2，3．其中122130828282233101010177(1),(2),(3)151515C C C C C C P X P X P X C C C =========．所以X 的分布列为()7121231515155E X =⨯+⨯+⨯=． （2）由散点图知，5组样本数据(,)x y 分别为(10,30),(30,50),(50,60),(70,70),(90,90)，且x 与y 具有线性相关关系． 因为50,60x y ==，则22222210303050506070709090550607103050709055010b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯，760502510a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.725yx =+． 由直方图知，免疫力指标的平均值为26402482152535455527100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 由27381ˆy≤⨯=，得0.72581x +≤，解得80x ≤． 据此估计，疫苗注射量不应超过80个单位．2．（2021·安徽师范大学附属中学（理））根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆi ii nii x ynxybxnx π==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1）222955y x =+；（2）7． 【分析】（1）根据公式求线性回归方程即可； （2）根据线性回归方程可设222955n a n ，求出67,S S ，与200080%1600⨯=比较即可求解. 【详解】 （1）1234535x ++++==，1015192328195y ++++==，则51522222222110305792140531922ˆ12345535i ii ii x y nxybxnx ==-++++-⨯⨯===++++-⨯-∑∑，222919355ˆa =-⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程222955y x =+． （2）设222955na n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，易知数列{}n a 是等差数列， 则()12222922291155558225n n n a a S n n n n⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=⋅=⋅=+， 因为6127.2S ，7163.8S ， 所以6101272S =，7101638S =200080%1600⨯=（人），所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．3．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：其中，时间变量i 对应的机动车纯增数据为i ，且通过数据分析得到时间变量与对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系.（1）求机动车纯增数量y （单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑；a y bx =-.（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的22⨯列联表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1） 5.7 5.1y x =-，2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆；（2）没有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”. 【分析】（1）根据最小二乘法求得线性回归方程，再求估计值即可； （2）根据列联表求得卡方观测值，再对照表即可得解. 【详解】 （1）由 51132639415527237i ii x y=⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯=∑.()12222222212375312575.755451234553ni ii ni i x y nx yb x nx==-⋅-⨯⨯====-++++-⨯-∑∑. 因为y bx a =+过点(),x y ，所以 5.7y x a =+，5.1a =-，所以 5.7 5.1y x =-.2025~2030年时，7x =，所以 5.77 5.134.8y =⨯-=， 所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.（2）根据列联表，由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++得观测值为()2220025 3.12510085251575100160084K ⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯==，3.125 3.841<，所以没有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.4．（2021·贵州贵阳·高三月考（理））据贵州省气候中心报，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm 之间，毕节市局地、遵义市北部、铜仁市局地和黔东南州东南部不足50mm ，其余均在50mmm 以上，局地超过100mm.若我省某地区2021年端午节前后3天，每一天下雨的概率均为50%.通过模拟实验的方法来估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数x （x ∈N ，且09x ≤≤）表示是否下雨：当[]()0,x k k Z ∈∈时表示该地区下雨，当[]1,9x k ∈+时，表示该地区不下雨.因为是3天，所以每三个随机数作为一组，从随机数表中随机取得20组数如下: 332 714 740 945 593 468 491 272 073 445 992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出k 的值，使得该地区每一天下雨的概率均为50%；并根据上述20组随机数估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率；（2）2016年到2020年该地区端午节当天降雨量（单位:mm ）如表：回归直线方程y bt a =+.并预测该地区2022年端午节有降雨的话，降雨量约为多少？参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i tty y t y nt yb tttnt====---==--∑∑∑∑，a y bt =-.【答案】（1）4， 25；（2）814955y t =-+，935mm ．【分析】（1）由于该地区每一天下雨的概率均为50%，所以150%10k +=，从而可求出k 的值，在所给的20组数据中找出有两天小于等于k 的数，从而利用古典概型的概率公式可求出概率，（2）直接利用所给的数据和公式求出回归直线方程。

回归直线方程的三种推导方法 巴州二中母润萍回归直线方程是新课改新增内容之一，在必修数学3中对两个具有线性相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，书中直接给出了回归直线方程系数的公式，在选修2-3中给出了回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式的另一种形式的推导方法，根据所学知识，我总结了3种推导回归直线方程的方法：设x 与y 是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的n 个点的坐标分别是：112233()()()()n n x y x y x y x y ，，，，，，，，，设所求的回归方程为i i y bx a =+，(123)i n =，，，，．显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表n 个点与回归直线的整体上的接近程度，因而采用n 个偏差的平方和Q 来表示n 个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度，即Q =∑(y i −y i ̂)2ni=1=∑(y i −bx i −a )2ni=1求出当Q 取最小值时的a b ，的值，就求出了回归方程． 下面给出回归方程的推导方法一：一、先证明两个在变形中用到的公式公式（一）22211()nni ii i x x x nx ==-=-∑∑，其中12nx x x x n +++=证明：2222121()()()()ni n i x x x x x x x x =-=-+-++-∑∵22221212()2n n x x x x x x nxnxn+++=+++-+222222222212121()2()nnni i x x x nx nx x x x x nx==+++-+=+++=-∑22211()nni i i i x x x nx==-=-∑∑∴．公式（二）11()()nnii i i i i xx y y x y nx y==--=-∑∑证明：11221()()()()()()()()ni i n n i x x y y x x y y x x y y x x y y =--=--+--++--∑∵11221122()()n n n n x y x y x y x y y x x y y x x y y x nx y=+++-+++++++12121[()()]ni i n n i x y x x x y y y y x nx y==-++++++++∑12121()()n n n i i i x x x y y y x y n y x nx y n n=++++++⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦∑112nni i i i i i x y nxy nxy x y nxy===-+=-∑∑，11()()nni i i i i i x x y y x y nx y==--=-∑∑∴．二、推导：将Q 的表达式的各项先展开，再合并、变形 2222112233()()()()n n Q y bx a y bx a y bx a y bx a =--+--+--++--2222121122()[2()2()]n y y y y bx a y bx a =+++-+++展开222211111222n n nnni i i i ii i i i i i y b x y a y bxab x na ======--+++∑∑∑∑∑合并同类项22221111122nnii n n ni i i i i i i i i y x na na b b x b x y y nn =====⎛⎫ ⎪ ⎪=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑以a b ，的次数为标准整理22221112()2nn nii i i i i i na na y bx bxb x y y ====--+-+∑∑∑转化为平均数x y，22222111[()]()2nnnii i i i i i n a y bx n y bx bxb x y y ====----+-+∑∑∑配方法2222222111[()]22nnnii i i i i i n a y bx ny nbxy nb x bxb x y y ====---+-+-+∑∑∑展开222222111[()]()2()()nnni i i i i i i n a y bx b x nx b x y nxy y ny ====--+---++∑∑∑整理2222111[()]()2()()()nnnii i i i i i n a y bx bxx b x x y y y y ====--+----+-∑∑∑用公式（一）、（二）变形22212111()()[()]()()()ni i n ni i i nii i i x x y y n a y bx x x b y y x x ====⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=--+--+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑配方22212212211111()()()()()()()()()nni i i i n n i i i i n ni i i i i x x y y x x y y n a y bx x x b y y x x x x ======⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=--+---+-⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑配方法在上式中，共有四项，后两项与a b ，无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得Q 取得最小值，当且仅当前两项的值都为0．所以b =∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i−x̅)2n i=1 a ＝y ̅−bx̅ 或1221ni ii n i i x ynxyb x nx==-=-∑∑用公式（一）、（二）变形得上述推导过程是围绕着待定参数a b ，进行的，只含有i i x y ，的部分是常数或系数，用到的方法有： ① 配方法，有两次配方，分别是a 的二次三项式和b 的二次三项式； ② 形时，用到公式（一）、（二）和整体思想； ③ 用平方的非负性求最小值．④ 实际计算时，通常是分步计算：先求出x y，，再分别计算1()()nii i xx y y =--∑，21()nii xx =-∑或1ni ii x ynx y=-∑，221nii xnx=-∑的值，最后就可以计算出a b ，的值．推导方法二：Q =∑(y i −y i ̂)2ni=1=∑(y i −bx i −a )2ni=1=∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)+(y ̅−bx̅)−a ]2ni=1=∑{[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]2+2[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]∗[(y ̅−bx̅)−a ]+[(y ̅−bx̅)−a ]2}ni=1=∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]2+2∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]∗[(y ̅−bx̅)−a ]ni=1+n (y ̅−bx̅−a )2ni=1注意到∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]∗[(y ̅−bx̅)−a ]=(y ̅−bx̅−a )∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]ni=1ni=1=(y ̅−bx̅−a )[∑y i −b ∑x i −n (y ̅−bx̅)ni=1n i=1]=(y ̅−bx̅−a )[ny ̅−nbx̅−n (y ̅−bx̅)]=0因此，Q =∑[y i −bx i −(y̅−bx̅)]2+n (y ̅−bx̅−a )2n i=1 =b 2∑(x i −x̅)2ni=1−2b ∑(x i −x̅)(y i −y ̅)+∑(y i −y ̅)2ni=1ni=1+n (y ̅−bx̅−a )2=n (y ̅−bx̅−a )2+∑(x i −x̅)2[b −∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1]2ni=1−[∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1]2∑(x i −x̅)2n i=1+∑(y i −y ̅)2ni=1在上式中，后面两项和a,b 无关，前两项为非负数，因此，要使Q 达到最小值，当且仅当前两项均为0，即有b =∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1a ＝y ̅−bx̅ 总结：这种方法难想到为什么要这样处理，并且计算量很大。

直线回归方程公式直线回归方程是统计学中最基本的一种模型，在各个领域都有广泛的应用。

本文将详细介绍直线回归方程的定义、求解方法以及应用场景。

一、定义直线回归方程是一种用来描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为Y=a+bX。

其中，a是截距，b是斜率，X和Y代表两个变量。

在实际应用中，我们通常会收集到一组数据，这些数据是由两个变量组成的二元组。

要根据这些数据求出直线回归方程，就需要用到回归分析的方法。

二、求解方法1. 一元线性回归一元线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况。

在求解一元线性回归方程时，我们需要先对数据进行线性拟合，即找到尽可能接近所有数据的一条直线。

通常使用最小二乘法来拟合这条直线。

最小二乘法是一种常见的数学优化方法，它的目标是让直线到所有数据点的距离平方和最小。

具体的计算公式如下：其中，y表示实际值，y'表示预测值，n表示样本数量。

常数a和斜率b的计算公式如下：2. 多元线性回归多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。

在求解多元线性回归方程时，我们需要先对所有自变量进行标准化处理，然后使用最小二乘法求出回归系数。

多元线性回归的计算公式为：其中，y表示因变量，x1、x2、...、xn表示自变量，β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。

三、应用场景直线回归方程在各个领域都有广泛的应用，下面介绍几个常见的例子。

1. 金融领域直线回归方程可以用来建立股票价格和市场指数之间的关系模型。

通过回归分析，我们可以发现两者之间的关系并根据这个模型来预测股票价格的变化趋势。

2. 医疗领域直线回归方程可以用来建立身高和体重之间的关系模型。

通过回归分析，我们可以发现身高和体重之间的相关性，这可以帮助我们更好地了解人体的生理特征。

3. 生产和制造领域直线回归方程可以用来建立生产数量和销售额之间的关系模型。

通过回归分析，我们可以发现生产数量和销售额之间的关系，这可以帮助企业更好地规划生产计划和销售策略。

线性回归方程公式线性回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。

线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。

第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术）平均值：x_=(x1+x2+x3+...+xn)/ny_=(y1+y2+y3+...+yn)/n第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子=(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)-nx_Y_分母=(x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)-n*x_^2第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解为其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线.顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。

先求x，y的平均值X，Y再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)应用线性回归有很多实际用途。

分为以下两大类：如果目标是预测或者映射，线性回归可以用来对观测数据集的和X的值拟合出一个预测模型。

当完成这样一个模型以后，对于一个新增的X值，在没有给定与它相配对的y的情况下，可以用这个拟合过的模型预测出一个y值。

给定一个变量y和一些变量X1,...,Xp，这些变量有可能与y相关，线性回归分析可以用来量化y与Xj之间相关性的强度，评估出与y不相关的Xj，并识别出哪些Xj的子集包含了关于y的冗余信息。

线形回归方程公式
线性回归方程是指对于一系列自变量与因变量之间存在线性关系
的数据，通过求解最小二乘法得到的一条直线方程，用于描述自变量
与因变量之间的关系。

其具体的数学公式为：
y = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bnxn
其中，y表示因变量，x1 ~ xn表示n个自变量，b0 ~ bn表示
n+1个回归系数，表示自变量对因变量的影响程度。

线性回归方程就是找到一组最佳的回归系数，使得该方程最小化各数据点与该直线之间
的距离和。

线性回归方程在数据分析、金融预测、医学研究等诸多领域中都
有广泛应用。

在金融研究中，线性回归方程可用于分析股票市场中股
票价格与各种因素之间的关系，帮助投资者更准确地预测市场发展趋势。

在医学领域，线性回归方程可以用于分析药品的剂量与患者的病
情之间的关系，为医生提供更科学的治疗方案。

但是，在使用线性回归方程时，我们也需要注意到它的局限性。

例如，线性回归方程假定自变量与因变量之间存在线性关系，但在实
际应用中，许多自变量与因变量之间的关系并不满足这个条件。

此外，也需要考虑到可能存在的多重共线性问题，避免因为自变量之间存在
相关性而对回归系数的估计产生误差。

因此，在使用线性回归方程时，需要结合实际情况做出合理的分析和判断。

总之，线性回归方程是数据分析中的重要工具，能够帮助我们发
现数据中存在的关系，并为我们提供预测和决策的参考。

但在使用时，我们也需要注意它的限制和适用条件，以免误导我们的决策。