两点间的距离及点到直线间的距离--教案

3.3.3点到直线的距离教学目标：(一)知识目标：点到直线的距离公式.(二)能力目标：理解点到直线距离公式的推导；点到直线距离公式的简单应用. (三)德育目标：认识事物之间在一定条件下的转化；用联系的观点看问题.教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：理解点到直线距离公式的推导.教学方法：探究讨论式在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生探究讨论点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，培养学生的发散性思维，进而逐一推导，培养学生研究问题、分析问题、解决问题的能力.教学过程：(课前教师板书标题“点到直线的距离”)课题导入：前面两节课，我们一起研究学习了两直线平行和垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数手段研究几何问题的思想方法.这一节课，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离问题.思考题：(引导学生探究、讨论；每一种方法都要总结方法)求点(2,1)P 到直线:210L x y +-=的距离().师：首先申明现成的公式暂时不能用，请大家想想看利用我们学过的知识可以怎样解决这个问题？ 做做看…(教师板书(2,1)P ，:210L x y +-=)…师：点到直线的距离是怎么定义的？做好的举手示意…(等到学生基本做好)师：答案是多少？…叫一个学生站起详细回答…师：还有没有其它方法？…好好想想，打开你的想象之门，看看还有没有其它的方法可以解决…同桌可以相互启发…师： 请大家总结一下⨯⨯⨯的解题方法，他是用什么方法解决这个问题的？是从哪个层面？师：好了！大家的方法层出不穷，这个题就先到这儿解法一：两点间距离法解：过点P 作直线:210L x y +-=的垂线1:20L x y -=，再求L 与1L 的交点21(,)55Q ，则点(2,1)P 到直线:210L x y +-=的距离即为：PQ =解法二：最小值法解：设(,)M x y 是直线:210L x y +-=上的任意一点，则12y x =-，得：PM===当25x =时，即21(,)55M 时，minPM=，这个值就是点P 到直线L 的距离. 解法三：三角形法 解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作PQ L ⊥于点Q ，过点P 作1//L y 轴交L 于点(2,3)A -，4AP =，在R t P Q A∆中，cos cos PQ AP APQ AP α=⋅∠=⋅=.解法四：三角形法 解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作PQ L ⊥于点Q ，过点P 作1//L x 轴交L 于点(0,1)B ，2BP =，在R t P Q B ∆中，cos sin PQ BP BPQ BP α=⋅∠=⋅==xx解法五：三角形法解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作直线1//L L ，有1:250L x y +-=，L 与1L 距离即为所求.设1L 、L 与y 轴分别交于点21,P Q ，则21(0,5),(0,1)P Q ，214P Q =，过点1Q 作11//PQ PQ交L 于1P ，则1121211cos PQ PQ P Q P Q P ==⋅∠21cos P Q α=⋅==解法六：面积法解：过点P 作1//L x 轴交L 于点(0,1)B ，2BP =，过点P 作2//Ly 轴交L 于点(2,3)A -，4AP =，在Rt ABP ∆中，AB =，由三角形面积公式可知d AB BP AP ⋅=⋅d ⇒=. 解法七：向量法 解：由方向向量的知识得与直线L 垂直的向量(2,1)n =.在直线L 上任取一点(1,1)Q -，向量QP 在向量n上的投影的绝对值就是点P 到直线L 的距离，有c o sd Q P θ=⋅，cos n QP n QP θ⋅=⋅⋅，n QP d n ⋅∴====. 进入主题：师：对照思考题，我们一起来看一个更具一般性的问题.在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ,直线l 的方程是++=0A x B y C ，求点P 到直线l 的距离.师：点和直线都以字母形式给出，象刚才一样，有这么多方法，我们是能够解决，如果每一次都这样求，会不会太麻烦？其中是否有一般性的结论？可以直接当公式来用.我们一起来推推看.师：首先大家说说解决这个问题有哪些思路？学生：刚才用到的两点间距离法、最小值法、三角形法、面积法、向量法应该都可以解决这个问题.师：很好！能够看清问题的本质，那我们就挑一种书本上没有详细解释的方法来试试……还有其它方法请同学们课后再思考一下.解决方案：方案一：根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长.解题思路：一求垂线PQ的方程，二求Q点坐标，三求PQ长度.详细过程：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q.先考虑0A≠由PQ l⊥00:()PQBl y y x xA⇒-=-即00Bx Ay Bx Ay-=-，解方程组00Ax By CBx Ay Bx Ay++=⎧⎨-=-⎩20022B x ABy ACxA B--⇒=+即点Q 的横坐标，2220000022B x ABy AC A x B xx xA B----∴-=+0022()A Ax By CA B++=-+000022()()B Ax By CBy y x xA A B++-=-=-+d∴==；0A=要验证过才行.方案二：直接用两点间距离公式推导.解题思路：设出Q坐标，列出满足条件，由距离公式求出距离.详细过程：设点11(,)Q x y，则111010(0)Ax By Cy y BAx x A++=⎧⎪-⎨=≠⎪-⎩1010001010()()()()()0A x xB y y Ax By CB x x A y y-+-=-++⎧⇒⎨---=⎩(1)(2)(1)(2)平方相加2222222101000()()()()()A B x x B A y y Ax By C⇒+-++-=++22200101022()()()Ax By Cx x y yA B++⇒-+-=+d⇒=0A=也满足.方案三：过点P分别作x、y轴的平行线，交已知直线于R，S两点，从而构成一个直角三角形，用勾股定理求出RS，再利用三角形等积求d.解题思路：一求R 、S 坐标，二求PR 、PS ，三求RS 长度，四求距离d .详细过程：设0,0A B ≠≠，这时l 与x 轴、y 轴都相交.过P 作x 轴的平行线，交l 于点10(,)R x y ；作y 轴的平行线，交l 于点02(,)S x y .由100200Ax By C Ax By C ++=++=得0012,By C Ax Cx y A B----==0001Ax By C PR x x A ++⇒=-=；0002Ax By CPS y y B++=-=00RS By C ++，由三角形面积公式d RS PR PS ⋅=⋅得=d ；0,0A B ≠≠也满足.方案四：利用向量的有关知识推导.解题思路：一找直线l 的垂直向量n ，二在直线l 上任取点Q ，三求向量QP 在向量n上的投影的绝对值即为所求.详细过程：设0,0A B ≠≠，由方向向量的知识得与直线l 垂直的向量(,)n A B =.在直线l 上任取一点(,)Q x y ，向量QP 在向量n上的投影的绝对值就是点P 到直线l 的距离，有cos d QP θ=⋅ ，cos n QP n QP θ⋅=⋅⋅，n QP d n ⋅∴===； (因为++=0Ax By C ，所以--=Ax By C )0,0A B ≠≠也满足. 方案五：三角函数法.解题思路：构造一个易求斜边的直角三角形，利用斜边与直角边的关系求出直角边即点到直线的距离作y 轴的平行线PM 交直线l 于点01(,)M x y ，满足010Ax By C ++=01Ax Cy B+⇒=-0001Ax By CPM y y B++∴=-=，记MPQ β∠=，则始终有cos cos βα=，而222222211cos 1tan 1B A A B B αα===+++，cos α∴=，cos PQ PM β∴=⋅=；0,0A B ≠≠也满足.方案六：最小值法.解题思路：在直线上任取一点(,)Q x y ，则min d PQ =. 详细过程：设0,0A B ≠≠，在直线l 上任取一点(,)Q x y ，满足++=0Ax By C +⇒=-Ax Cy B，则PQ =当""2bx a=-时，mind PQ ==⇒=d 0,0A B ≠≠也满足.结论：点P 00(,)x y 到直线l ：++=0Ax By C的距离公式为=d .注意细节：假如P 在直线上呢？0d =照样适用；当A=0或B=0时，该公式也适用，当然此时可以不用该公式而直接求出距离.若知点P 00(,)x y 和直线l ：=1x x ，则点P 到直线l的距离10d x x =-；若知点P 00(,)x y 和直线l ：=1y y ，则点P 到直线l 的距离10d y y =-.师：有了这个公式，求点到直线的距离就十分方便了. 下面我们通过例题来熟悉一下这个公式.例题讲解：例1.求点(1,2)P -到下列直线的距离：(1)2100x y +-=；(2)32x =.解：d =25(1)33d =--=. 例 2.已知点(,6)A a 到直线342x y -=的距离d 取下列各值，求a 的值：(1)4d =；(2)4d >解：(1)4d =2a ⇒=或463a =；(2) 4d =>2a ⇒<或463a >. 巩固练习：(其中3，4，5为备用题)1.求原点到下列直线的距离：(1)32260x y +-=；(2)x y =.答案：(1)(2)0.2.求点(1,1)B -到直线y =. 答案：12. 3.求点(,)P m n m --到直线1x ym n+=的距离.4.点P 为直线32260x y +-=上的任意一点，O 为坐标原点，求OP 的最小值.答案：5.点(,)P x y 到直线512130x y -+=和直线3450x y -+=的距离相等，则点P 的坐标应满足什么关系式？答案：3256650740x y x y -+=+=或. 师：好了，今天的课就到这儿，我们小结一下.课堂小结：通过本节课的学习，要求大家理解点到直线距离公式的推导过程，并能简单应用公式解决问题；使用点到直线的距离公式时，应该注意以下几点：①若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式再用公式；②若点在直线上，有0d=，公式仍然适用；③点P到平行于坐标轴的特殊直线的距离要能直接写出来.课后作业：名师1个课时；公式的推导(一题多解)(做书上)；书本54页13，15，16(做作业本上).板书设计：。

教案标题：三年级下册数学教案-7 两点之间的距离及点到直线的距离-青岛版（五四学制）一、教学目标1. 让学生理解并掌握两点之间的距离及点到直线的距离的计算方法。

2. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 两点之间的距离2. 点到直线的距离三、教学重点与难点1. 教学重点：两点之间的距离及点到直线的距离的计算方法。

2. 教学难点：如何引导学生理解并运用这些计算方法。

四、教学过程1. 导入在黑板上画出两个点A和B，让学生思考如何计算点A和点B之间的距离。

引导学生回顾已学的长度单位，如厘米、米等，并提示学生可以使用直尺来测量两点之间的距离。

2. 新课导入介绍两点之间的距离的概念，并给出计算公式：两点之间的距离等于两点间的直线距离。

用具体的例子进行演示，如点A(2,3)和点B(5,7)，计算它们之间的距离。

3. 活动一：计算两点之间的距离让学生分组，每组发一张坐标纸和几个点，让学生自己在坐标纸上画出几个点，并用直尺测量它们之间的距离。

然后，让学生计算这些距离，并核对自己的测量结果。

4. 活动二：点到直线的距离引导学生思考如何计算一个点到一条直线的距离。

首先，让学生画出一条直线和一点，然后用直尺测量这个点到直线的最短距离。

接着，给出点到直线的距离的计算公式：点到直线的距离等于点到直线的垂线的长度。

5. 活动三：应用出示一些实际问题，如计算点到直线的距离、计算两点之间的距离等，让学生运用所学的知识来解决这些问题。

6. 总结对本节课所学的内容进行总结，强调两点之间的距离和点到直线的距离的计算方法，并提醒学生在解决实际问题时要注意单位的转换。

五、作业布置1. 让学生完成课后练习题。

2. 让学生回家后，观察身边的物体，尝试计算两个物体之间的距离。

六、教学反思1. 在教学过程中，要注意引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的实际操作能力。

2. 在讲解点到直线的距离的计算方法时，可以结合具体的例子进行讲解，帮助学生理解。

信息窗三（两点之间的距离及点到直线的距离）-青岛版四年级数学上册教案一、教学目标1.能够理解“两点之间的距离”的含义，并且能够求解两个坐标点之间的距离。

2.能够理解“点到直线的距离”的含义，并且能够求解一个点到一条直线的距离。

二、教学重点与难点1.教学重点：让学生学会求两个坐标点之间的距离，以及点到直线的距离。

2.教学难点：让学生学会如何将概念应用到实际生活中，提高运用能力。

三、教学准备1.白板、笔和橡皮2.学生用纸和笔四、教学内容与步骤1. 引入新概念教师通过绘制坐标系的方式，让学生初步了解二维空间的概念。

然后，引导学生思考两点之间的距离是什么。

同学们可以依次提出自己的想法，然后老师进行分析和解释，最终让学生理解两点之间距离的概念。

2. 计算两点之间的距离教师通过数学式子的方式，讲解两点之间距离的计算方式。

给出实例，让学生进行计算并解释结果的含义。

让同学们自己设计不同的示例，比如求一个人所在房间到门的距离等等，来使他们更好地理解概念。

3. 点到直线的距离教师引导学生思考点到直线距离的概念，并进行相关计算。

同学们可以在课堂上以班级为单位进行小组讨论，检查彼此的答案。

之后，教师进行相关内容的分析和讲解，并查漏补缺。

最后让学生自己设计更多的实例来加深对概念的理解。

4. 总结复习最后，教师将本次课所讲解的知识点进行总结，并让学生自行编写相关数学练习。

鼓励学生积极思考，并在下次课前完成相关练习。

五、教学反思本次课通过使用生动具体的例子，帮助学生更好地理解了“两点之间距离”的概念，以及如何计算点到直线的距离。

通过教学反思，教师发现，学生们常常将两点之间距离的计算和点到直线距离的计算混淆，教师将在下一次课堂上着重强调这些知识点的差异，以加深学生的理解。

教学内容：两点间的距离及点到直线间的距离第三课时教学目标1.通过“猜一猜，画一画，量一量”活动，理解体会“两点之间线段最短”、“点到直线所画的垂线段最短”，知道两点间的距离和点到直线的距离的含义。

2.在探究知识的过程中经历“猜想—验证”的探究过程，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。

3.在解决实际问题的过程中，体验数学与日常生活的密切联系，提高学习兴趣，培养学生的应用意识。

教学重点结合具体情境理解体会“两点之间线段最短”、“点到直线的垂直线段最短”。

教学难点理解“点到直线的距离”及其画法。

教学准备：教师准备：多媒体课件、作业纸；学生准备：直尺、三角板、毛线教学过程一、创设情景，提出问题师：同学们，为了交通方便，在修路时遇到河要架桥，如果遇到了大山，应该怎么办呢？图1组织学生发表自己的意见。

预设1：绕过山。

预设2：火车爬山。

预设3：修建隧道。

引导学生讨论总结：绕路需要多费时间、费能源。

火车爬山也不太安全，直接通过隧道方法好像更好一些。

（课件出示，见图1）看图，教师向学生讲解什么是隧道：隧道是埋置于底层内的一种地下建筑物。

隧道可分为山岭隧道、水底隧道和地下隧道等。

师：为什么要修隧道呢？今天这节课就一起研究这其中的秘密。

二、合作探索，解决问题（一）认识两点间的距离1. 提出猜想。

师：刚才同学们都认为修隧道的路程最近，其他的方法路程会远一些，这是生活经验告诉我们的，其实在数学上它还只是一个猜想。

板书：猜想。

2.操作验证。

（1）讨论研究方案。

师：这种观点究竟对不对呢？在我们还需要验证一下。

给学生一个简易的大山图，在山的两侧分别标出两个点A和 B。

师：小组内讨论一下，我们应该怎样做才能证明我们的观点是否正确？小组内讨论制定研究计划。

全班交流研究计划。

课件出示探究方案：①从A 地到 B地，你能把修隧道的方法在图上表示出来吗？动手画一画。

你还能想到哪些不同的路线？试着画几条，看看能发现什么？②利用学具动手摆一摆、比一比、量一量，验证你的发现是否正确。

小学数学三年级下册《两点间的距离及点到直线间的距离》教学设计一、教学目标：1. 了解“两点之间距离”的概念。

2. 了解怎样求出两点之间的距离。

3. 能够应用所学知识，解决小学生活中的实际问题。

4. 了解“点到直线距离”的概念。

5. 能够运用所学知识，计算点到直线的距离。

二、教学内容：1. 两点之间的距离。

2. 点到直线的距离。

三、教学步骤：（一）复习1. 这节课我们要学什么内容？2. 回顾上节课所学内容：什么是平行线？什么是垂直线？3. 介绍今天所学的两个概念：点到直线距离，两点之间的距离。

（二）讲授新知1. 两点之间的距离。

（1）概念：两点之间的距离是指这两点之间的长度。

（2）运用勾股定理求解两点之间的距离。

2. 点到直线的距离。

（1）概念：点到直线的距离是指以该点为顶点，作垂直于直线的线段长度。

（2）运用勾股定理求解点到直线的距离。

（二）讲解技巧1. 讲解实例：在黑板上画出一个平面直角坐标系，选取几个点，并分别计算它们之间的距离。

2. 讲解技巧：勾股定理（三）示范演练1. 指导学生在小组内互相练习计算两点之间的距离和点到直线的距离。

2. 在黑板上示范计算两个点之间的距离和点到直线的距离。

（四）巩固练习1. 学生在练笔记本上完成练习册上的课堂练习。

2. 学生做出自己平时生活中遇到的类似求距离的问题，并计算出结果。

（五）拓展应用1. 引导学生思考，怎样使用勾股定理计算三角形的斜边。

2. 让学生用勾股定理和两点之间距离计算三角形的高，并用这种方法计算一些简单的几何问题。

四、教学反思这节课的教学目标明确，教学内容易于理解，教学步骤有序，讲解技巧得当，巩固练习充分，拓展应用多样化。

强调勾股定理也更好地帮助学生了解了这种方法方法的应用。

通过让学生计算生活中的类似问题，更加深刻地理解了理论知识的实际应用。

教学效果良好。

三年级下册数学教案7 两点之间的距离及点到直线的距离青岛版（五四学制）教案：三年级下册数学教案7 两点之间的距离及点到直线的距离青岛版（五四学制）一、教学内容今天我们要学习的是青岛版三年级下册的数学内容，第七章：两点之间的距离及点到直线的距离。

我们会通过例题和练习来理解并掌握两点之间的距离的计算方法，以及点到直线的距离的概念。

二、教学目标1. 学生能够理解两点之间的距离的概念，并掌握计算两点之间距离的方法。

2. 学生能够理解点到直线的距离的概念，并能够运用这个概念解决实际问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：如何帮助学生理解并计算两点之间的距离。

2. 教学重点：让学生掌握点到直线的距离的概念，并能够运用这个概念解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：直尺、三角板、白板。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入：我们可以通过一个实际问题来引入今天的课程。

比如，假设有一只小鸟从点A飞到点B，我们需要计算一下小鸟飞行的距离。

2. 例题讲解：我们可以通过一个具体的例题来讲解两点之间的距离的计算方法。

比如，给出两个点A(2,3)和B(5,7)，我们可以通过使用勾股定理或者直接用尺子测量来计算这两个点之间的距离。

3. 随堂练习：学生在纸上画出两个点，然后计算这两个点之间的距离。

4. 点到直线的距离的概念讲解：我们可以通过一个具体的例子来讲解点到直线的距离的概念。

比如，假设有一条直线y=2x+1，我们可以在直线上随便取一个点A(2,5)，然后计算点A到直线的距离。

5. 例题讲解：我们可以通过一个具体的例题来讲解点到直线的距离的计算方法。

比如，给出一个点A(2,5)和一条直线y=2x+1，我们可以通过计算点A到直线的距离来解决这个问题。

6. 随堂练习：学生在纸上画出一个点和一个直线，然后计算这个点到直线的距离。

六、板书设计1. 两点之间的距离的计算方法。

2. 点到直线的距离的计算方法。