高三数学高考热点专题数列全国通用

数列数列在中学数学中地位非常重要，它是衔接初等数学和高等数学的桥梁，是高考数学每年必考的重要内容。

内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法和数列极限等；它渗透了分类讨论和类比、归纳等重要的数学思想。

事实上，在数列的复习中，既要重视公式的应用，还要注意计算的合理性。

在处理某些数列问题时，要渗透函数观点，借助函数思想帮助解决；同时要注意新情景下的数列问题研究，有意识建立与等差数列、等比数列的联系，探讨通项和求和问题；数学思想如分类思想、特殊化思想等在数列中的考查，也是同学们在复习中必须重视的问题。

我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势：一．题型稳定：近几年来高考数列试题一直稳定在1-2个小题和1道大题上，分值约为20分左右，占总分值的12%左右，但是如果把数列与其他知识结合的综合题目，分值会更大。

二．在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用；4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；6．掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8．掌握一些数列求和的方法(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用． 三．方法总结1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。

2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。

3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。

四．2010年高考预测 1. 数列中n S 与n a 的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意n S 与n a 的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。

但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。

2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。

4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。

今后在这方面还会体现的更突出。

７、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。

在近年高考中，对平面向量内容的考查的主要知识点和题型有：等差数列的证明方法：1. 定义法：2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a 等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=------该公式整理后是关于n 的一次函数 等差数列的前n 项和1．2)(1n n a a n S +=2. d n n na S n 2)1(1-+= 3.Bn An S n+=2等差中项: 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：2ba A +=或b a A +=2等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=2． 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是：=+=+=+--23121n n n a a a a a a ，3．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++4．设数列{}n a 是等差数列，奇S ：奇数项和，偶S ：偶数项和，n S 是前n 项和，则有如下性质：1。

当n 为偶数时，d 2n S =-奇偶S ， 2。

当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，=偶奇S Sn n 1+， 等比数列的判定方法: ① 定义法：若)0(1≠=+q q a a nn ② 等比中项：若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。

等比数列的通项公式:如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。

等比数列的前n 项和：1。

)1(1)1(1≠--=q qq a S n n 2。

)1(11≠--=q q q a a S n n 3。

当1=q 时，1na S n =等比中项: 如果使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

那么ab G =2。

等比数列的性质:1．等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -= 2．对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是：=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 。

3．若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：4．kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++一、选择题（每小题 5 分）1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A.21 B. 22 C. 2 D.2 解析：设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q =故212a a q ===,选B 2.（2008全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．23解析：C. 由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=； 3.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n -解析：由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，0>n a ，则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.4.（2008北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-解析：由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,10a =8a +2a = -30 C5.（2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7解析：∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B 。

6.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 90解析：由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得 1278a d +=则12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,.故选C7.（2008四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞（Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞解析：D 311S x x=++(0)x ≠．由双勾函数1y x x=+的图象知，12x x+≥或12x x+≤-，故本题选D ．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．8.（2009湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于【 C 】A ．13B ．35C ．49D ． 63 解析：172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯=所以1777()7(113)49.22a a S ++===故选C. 9.（2009福建卷理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于A ．1B 53C.- 2 D 3 【答案】：C解析：∵31336()2S a a ==+且3112 =4 d=2a a d a =+∴.故选C 10.（2008江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = ( )A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 解析：A 211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11ln(1)1n n a a n -=++-1234ln()()()()2ln 1231n na a n n ⇒=+=+- 11.（2009辽宁卷文）已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）2 解析：a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1 ⇒ d ＝－12【答案】B12.（2009辽宁卷理）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69S S = （A ） 2 （B ）73 （C ） 83（D ）3 解析：设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 ⇒ q 3＝2 于是63693112471123S q q S q ++++===++ 【答案】B13.（2009宁夏海南卷理）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。