材料力学扭矩习题

材料力学扭转练习题基本概念题一、选择题1. 图示传动轴，主动轮A的输入功率为PA =0 kW，从动轮B，C，D，E的输出功率分别为PB =0 kW，PC = kW，PD = 10 kW，PE = 1kW。

则轴上最大扭矩T。

A．BA段 B．AC段 C．CD段 D．DE段max出现在题1图2. 图示单元体的应力状态中属正确的纯剪切状态的是。

题2图3. 上题图示单元体的应力状态中属正确的是。

4. 下列关于剪应力互等定理的论述中正确的是。

A．剪应力互等定理是由平衡B．剪应力互等定理仅适用于纯剪切的情况C．剪应力互等定理适用于各种受力杆件D．剪应力互等定理仅适用于弹性范围E．剪应力互等定理与材料的性能无关5. 图示受扭圆轴，其横截面上的剪应力分布图正确的是。

-12-题5图6. 实心圆轴，两端受扭转外力偶作用。

直径为D时，设轴内的最大剪应力为?，若轴的直径改为D2，其它条件不变，则轴内的最大剪应力变为。

A．8? B．?C．16? D．?7. 受扭空心圆轴，在横截面积相等的条件下，下列承载能力最大的轴是。

A．??0 B．??0.5C．??0. D．??0.88. 扭转应力公式T?的适用范围是。

IpA．各种等截面直杆 B．实心或空心圆截面直杆C．矩形截面直杆 D．弹性变形 E．弹性非弹性范围 9. 直径为D的实心圆轴，最大的容许扭矩为T，若将轴的横截面积增加一倍，则其最大容许扭矩为。

A．2TB．2T C．22TD．4T10. 材料相同的两根圆轴，一根为实心，直径为D1；另一根为空心，内径为d2，外径为D2d2D??。

若两轴横截面上的扭矩T，和最大剪应力?max均相同，则两轴外径之比1 D2D2为。

A．1??B．1?? C．343D．411. 阶梯圆轴及其受力如图所示，其中AB段的最大剪应力?max1与BC段的最大剪应力?max2的关系是。

A．?max1??max2B．?max1?313?max2C．?max1??max2D．?ma x1??max248-13-题12图题13图12. 在图示的圆轴中，AB段的相对扭转角?1和BC段的相对扭转角?2的关系是。

扭转 第二次 作业1. 已知图示实心圆轴的直径d = 100mm 。

材料的剪切弹性模量G = 80GPa 。

（1）求1-1横截面上A 、B 、C 三点的切应力；（2）求1-1横截面上A 点的切应变；（3）整个圆轴上最大的切应力。

2kN·m6kN·m10kN·m2kN·m1-1截面2kN·m4kN·m10kN·m解：由圆轴的扭矩图可知，1-1截面的扭矩T 1 = 4kN·m ，最大扭矩T max = 10kN·m圆截面的极惯性矩 4464π 3.140.19.8110m 3232P d I -⨯===⨯扭矩截面系数 3343π 3.140.1 1.9610m 1616P d W -⨯===⨯（1） 3714410 2.0410Pa 20.4MPa 1.9610A B P T W ττ-⨯====⨯=⨯ 1110.2MPa 2C A P T I ρττ=== （2）由剪切胡克定律 Gτγ=得63920.4100.255108010AA G τγ-⨯===⨯⨯ （3）对于等截面圆轴，最大切应力出现在扭矩最大截面的最外缘37max max41010 5.1010Pa 51.0MPa 1.9610P T W τ-⨯===⨯=⨯ 2. 阶梯状圆轴如图所示，AE 段为空心，外直径D = 140mm ，内直径d = 100mm ；BC 段为实心，直径d = 100mm 。

外力偶矩M A = 18kN·m ，M B = 32kN·m ，M C = 14kN·m 。

已知许用切应力[τ ] = 80MPa 。

试校核该轴的强度。

18kN·m14kN·m解：由扭矩图可知T AB = 18kN·m ， |T BC | =14kN·mAE 段()4334431π 3.140.1410011 3.9810m 1616140P D W α-⎛⎫⨯⎛⎫=-=-=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]36max41181045.210Pa 45.2MPa<3.9810AB P T W ττ-⨯===⨯=⨯ BC 段33432π 3.140.1 1.9610m 1616P d W -⨯===⨯ []36max 42141071.410Pa 71.4MPa<1.9610BC P T W ττ-⨯===⨯=⨯ 故，该轴安全。

材料力学扭转练习题基本概念题一、选择题1. 图示传动轴，主动轮A的输入功率为PA =0 kW，从动轮B，C，D，E的输出功率分别为PB =0 kW，PC = kW，PD = 10 kW，PE = 1kW。

则轴上最大扭矩T。

A．BA段 B．AC段 C．CD段 D．DE段max出现在题1图2. 图示单元体的应力状态中属正确的纯剪切状态的是。

题2图3. 上题图示单元体的应力状态中属正确的是。

4. 下列关于剪应力互等定理的论述中正确的是。

A．剪应力互等定理是由平衡B．剪应力互等定理仅适用于纯剪切的情况C．剪应力互等定理适用于各种受力杆件D．剪应力互等定理仅适用于弹性范围E．剪应力互等定理与材料的性能无关5. 图示受扭圆轴，其横截面上的剪应力分布图正确的是。

-12-题5图6. 实心圆轴，两端受扭转外力偶作用。

直径为D时，设轴内的最大剪应力为?，若轴的直径改为D2，其它条件不变，则轴内的最大剪应力变为。

A．8? B．?C．16? D．?7. 受扭空心圆轴，在横截面积相等的条件下，下列承载能力最大的轴是。

A．??0 B．??0.5C．??0. D．??0.88. 扭转应力公式T?的适用范围是。

IpA．各种等截面直杆 B．实心或空心圆截面直杆C．矩形截面直杆 D．弹性变形 E．弹性非弹性范围 9. 直径为D的实心圆轴，最大的容许扭矩为T，若将轴的横截面积增加一倍，则其最大容许扭矩为。

A．2TB．2T C．22TD．4T10. 材料相同的两根圆轴，一根为实心，直径为D1；另一根为空心，内径为d2，外径为D2d2D??。

若两轴横截面上的扭矩T，和最大剪应力?max均相同，则两轴外径之比1 D2D2为。

A．1??B．1?? C．343D．411. 阶梯圆轴及其受力如图所示，其中AB段的最大剪应力?max1与BC段的最大剪应力?max2的关系是。

A．?max1??max2B．?max1?313?max2C．?max1??max2D．?ma x1??max248-13-题12图题13图12. 在图示的圆轴中，AB段的相对扭转角?1和BC段的相对扭转角?2的关系是。

第六章 圆轴的扭转习题解析6-1 试述绘制扭矩图的方法和步骤。

答：首先求任意截面的扭矩，一般步骤为： “假截留半，内力代换，内外平衡” 。

熟练后也可 用简捷方法计算而无须画出分离体受力图。

取平行于轴线的横坐标表示横截面的位置， 用纵坐标表示扭矩的代数值， 画出各截面扭 矩的变化图，即为扭矩图。

6-2 为什么空心轴比实心轴能充分发挥材料的作用？ 答：空心圆轴比实心轴能充分发挥材料的作用， 其原因在于圆轴扭转时， 横截面上应力呈线 性分布，越接近截面中心，应力越小，那里的材料就没有充分发挥作用。

做成空心轴，使得 截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到了充分利用。

而且也减轻了构件的自重。

图 6-2取 1-1 截面左侧外力偶矩计算，可得 T 1 1 3kN m 。

6-3 已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与 T 对应的切应力分布图。

解： 截面上与 T 对应的切应力分布图如下：6-4 题 6-4 图解： a ）采用截面法计算扭矩（见图 6-4）。

取 2-2 截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程1 2 6) kN m T 2 2 0 ，可得用截面法求图 6-3 所示各杆在 1-1、2-2、 图 6-33-3 截面上的扭矩。

T 2 2 3kN m 。

取 3-3 截面右侧外力偶矩计算，可得 T 3 3 1kN m 。

图 6-4b ） 采用截面法计算扭矩（见图 6-5）。

取 2-2 截 面左侧外力偶 矩计算，由 平衡方程（5 5）kN m T 2 2 0 ，可 得T 2 2 10kN m 。

取 3-3 截 面 右 侧 外 力 偶 矩 计 算 ， 由 平 衡 方 程（3 3） kN m T 3 3 0 ， 可 得T 3 3 6kN m 。

图 6-56-5 如图 6-6所示，作各杆的扭矩图。

取 1-1 截面左侧外力偶矩计算，可得 T 1 15kN m 。

c)图 6-7b ） 由力矩平衡方程可得 M A2M e （负号表示与图中假设方向相反） 。

扭 转1. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为d , 外径为D , 内外径之比为22d D α=的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比12/A A 有四种答案：(A) 21α-； (B)(C)； (D)。

2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立3. 一内外径之比为/d D α=的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力有四种答案：(A) τ ； (B) ατ； (C) 3(1)ατ-； (D) 4(1)ατ-。

4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。

扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭转角ϕ有四种答案：7. 图示圆轴料的切变模量(A) 43π128d G a ϕ(C) 43π32d G a ϕ8. 一直径为D重量比21W W 9. 想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。

10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。

1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. C 7. B 8. 0.479. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；4/3 10. 横截面翘曲11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。

证：截面切应力 4103s R R ρρττρ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭截面扭矩 04d 12πd 03Rs s A T A R ρρτρτρρ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰ 证毕。

12. 图示直径为d 的实心圆轴,两端受扭转力偶e M 用1/m C τγ=表示，式中C ，m 为由实验测定的已知常数，试证明该轴的扭转切应力计算公式为：1/e (31)/2π()23m 1mm mM m d ρρτ+=+s /3证：几何方面 d d xρϕγρ= 物理方面 1/1/d d mmC C x ρϕτγρ⎛⎫== ⎪⎝⎭静力方面 1//21/e 0d d 2πd d md mAM T A C x ρϕρτρρρρ⎛⎫==⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰1//221/0d 2πd d m d mC x ϕρρ+⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰(31)/1/()d 22π(31)d m mmd C m x mϕ+⎛⎫= ⎪+⎝⎭1/e (31)/(31)d d 2π()2mm m M m d x Cm ϕ++⋅⎛⎫=⎪⎝⎭⋅ 所以 1/e (31)/2π()23m 1mm mM m d ρρτ+=+ 证毕。

电气工程师-公共基础-材料力学-扭转[单选题]1.已知实心圆轴按强度条件可承担的最大扭矩为T，若改变该轴的直径，使其横截面积增加1倍。

则可承担的最大扭矩为()。

[2019年真（江南博哥）题]A.B.2TC.D.4T正确答案：C参考解析：扭转剪应力公式为：。

式中，Wp为抗扭截面系数，且。

当横截面面积增加一倍时，直径变为原来的倍。

根据扭转剪应力公式，当最大剪应力不变时，直径变为原来的倍时，可承受的最大扭矩为。

[单选题]2.圆轴直径为d，剪切弹性模量为G，在外力作用下发生扭转变形，现测得单位长度扭转角为θ，圆轴的最大切应力是()。

[2013、2010年真题]A.τ＝（16θG）/（πd3）B.τ＝（θGπd3）/16C.τ＝θGdD.τ＝θGd/2正确答案：D参考解析：由公式θ＝T/（GIp）得：T＝θGIp。

其中，Ip＝（d/2）·Wp。

则最大切应力τ＝T/Wp＝GθIp/Wp＝θGd/2。

[单选题]3.在一套传动系统中，有多根圆轴，假设所有圆轴传递的功率相同，转速不同。

该系统的圆轴转速与其扭矩的关系是()。

[2016、2014年真题]A.转速快的轴扭矩大B.转速慢的轴扭矩大C.全部轴的扭矩相同D.无法确定正确答案：B参考解析：根据公式T＝9550P/n可知，在功率相同的情况下转速慢的轴扭矩大。

式中，T为扭矩（N·m）；P为功率（kW）；n为转速（r/min）；9550为常系数。

[单选题]4.图5-3-1所示两根圆轴，横截面面积相同，但分别为实心圆和空心圆。

在相同的扭矩T作用下，两轴最大切应力的关系是()。

[2013年真题]图5-3-1A.τa＜τbB.τa＝τbC.τa＞τbD.不能确定正确答案：C参考解析：设d1为实心圆直径，D2为空心圆截面外径，d2为空心圆截面内径，α2＝d2/D2。

由最大切应力公式τmax＝T/WP，由两轴截面面积相等得：πd12/4＝πD22（1－α22）/4，即：实心圆截面的抗扭截面系数WPa＝πd13/16；空心圆截面的WPb＝πD23（1－α24）/16，因此两轴的抗扭截面系数之比为：故τa＞τb。

3-2. 作出图示各杆的扭矩图。

解: (a)（1）用截面法求内力截面1-1eeXMT T Mm-=∴=--=∑110截面2-2eeeXMT T MMm20022-=∴=---=∑（2）画扭矩图（b ）（1）用截面法求内力截面1-1eeXMT T Mm-=∴=+=∑110截面2-2(a)2xeeeXMT T MMm203 022=∴=+-=∑（2）画扭矩图（c ）（1）用截面法求内力截面1-1kNT T mX30030 011-=∴=--=∑截面2-2kNT T mX1003020 012-=∴=--=∑截面3-3kNT T mX50302015 033=∴=--+=∑截面4-4kNT T mX15030201510 044=∴=--++=∑（2）画扭矩图T 4 4T(kNm)x3-8. 阶梯形圆轴直径分别为d 1=40mm ，d 2=70mm ，轴上装有三个皮带轮。

已知由轮3输入的功率为N 3=30kW,轮1输出的功率为N 1=13kW ，轴作匀速转动，转速n=200 r/min ，材料的许用剪应力[τ]=60MPa ，G=80GPa ，许用扭转角[θ]=2o /m 。

试校核轴的强度和刚度。

解：（1）计算外力扭矩NmnN MNmn N M4.143220030954995497.62020013954995493311=⨯===⨯==（2）计算内力扭矩NmMT Nm M T 4.14327.620332121====--（3）计算抗扭截面模量36322363111031.67161056.1216md πWm d πW t t --⨯==⨯==（4）强度校核MPaWT τMPaWT τt t 28.2142.492322max 1211max ====--强度足够。

（5）刚度校核][/77.1180211max θm πGIT θoop=⨯=-刚度足够。

2163d πR Md oo==3-19. 钻头简化成直径为20mm 的圆截面杆，在头部受均布阻抗扭矩m 的作用，许用剪应力为[τ]=70MPa 。

材料力学第3章扭转习题及答案第三章扭转一、判断题1．杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。

（× ） 2．薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。

（× ）3．圆杆扭转变形实质上是剪切变形。

（√ ）4．非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。

（√ ）5．材料相同的圆杆，它们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。

（× ） 6．切应力互等定理，仅适用于纯剪切情况。

（× ) 7．受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。

( √ ) 8．受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。

（√ ) 9．受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。

（× ) 10．因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭矩达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。

（√ )二、填空题1．一级减速箱中的齿轮直径大小不等，在满足相同的强度条件下，高速齿轮轴的直径要比低速齿轮轴的直径（小）。

2．当实心圆轴的直径增加1培时，其抗扭强度增加到原来的（ 8 ）倍，抗扭刚度增加到原来的（ 16 ）倍。

3．直径D=50mm 的圆轴，受扭矩T=2.15kn.m ,该圆轴横截面上距离圆心10mm 处的剪应力τ=（35.0 MPa ），最大剪应力τmax=（87.6 MPa ）。

4．一根空心轴的内外径分别为d ，D ，当D=2d 时，其抗扭截面模量为（33256153215D d ππ或）。

5．直径和长度均相等的两根轴，在相同的扭矩作用下，而材料不同，它们的τmax 是（相）同的，扭转角φ是（不）同的。

6．等截面圆轴扭转时的单位长度相对扭转角为θ，若圆轴直径增大一倍，则单位长度扭转角将变为（16θ）。

三、选择题1．内、外径之比为α的空心圆轴，扭转时轴内的最大切应力为τ ，这时横截面上内边缘的切应力为（ B ）。

第三章 扭 转一、是非题3.1 在单元体两个相互垂直的截面上，剪应力的大小可以相等，也可以不等。

（ ）3.2 扭转剪应力公式pI T ρτρ=可以适用于任意截面形状的轴。

（ ） 3.3 受扭转的圆轴，最大剪应力只出现在横截面上。

（ ）3.4 圆轴扭转时，横截面上既有正应力，又有剪应力。

（ ）3.5 矩形截面杆扭转时，最大剪应力发生于矩形长边的中点。

（ ）二、选择题3.6 根据圆轴扭转的平面假设，可以认为圆轴扭转时横截面（ ）。

A. 形状尺寸不变，直线仍为直线B. 形状尺寸改变，直线仍为直线C. 形状尺寸不变，直线不保持直线D. 形状尺寸改变，直线不保持直线3.7 已知图（a ）、图（b ）所示两圆轴的材料和横截面面积均相等。

若图（a ）所示B 端面相对于固定端A 的扭转角是ϕ，则图（b ）所示B 端面相对于固定端A 的扭转角是（ ）。

A.ϕ B.2ϕ C.3ϕ D. 4ϕ题3.7图三、计算题3.8作图示各杆的扭转图（图c中各量单位kN •m）。

101530m m m 3m20(a) (b) (c)题3.8图3.9T为圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的剪应力分布图。

(a) (b)(c)题3.9图3.10 发电量为15000kW 的水轮机主轴如图所示。

D = 550 mm ，d = 300 mm ，正常转速n = 250 r/min 。

材料的许用剪应力 [τ] = 50MPa 。

试校核水轮机主轴的强度。

3.11 阶梯形圆轴直径分别为d 1=40 mm ，d 2=70 mm ，轴上装有三个皮带轮，如图所示。

已知由轮3输入的功率为N 3＝30 kW ，轮1输出的功率为N 1＝13kW ，轴作匀速转动，转速n ＝200r/min ，材料的剪切许用应力[]τ＝60 MPa ，G ＝80 GPa ，许用扭转角[]ϕ＝2°/m 。

试校核轴的强度和刚度。

题3.10图 题3.11图3.12 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。

材料力学扭矩图练习题一、基础概念题1. 扭矩图的定义是什么？2. 什么情况下需要绘制扭矩图？3. 扭矩图的单位是什么？4. 请列举三种常见的扭矩图类型。

5. 在扭矩图中，如何表示扭矩的正负方向？二、计算题1. 已知一根直径为50mm的轴，受到的扭矩为1000N·m，求该轴的剪切应力。

2. 一根长度为1m的轴，在两端受到的扭矩分别为500N·m和1000N·m，求该轴的扭矩图。

3. 已知一根轴的扭矩图为一条斜线，斜率为5N·m/m，求该轴在长度为2m处的扭矩。

4. 一根轴在长度为0.5m处受到一个集中扭矩1000N·m，求该轴在0.25m处的扭矩。

5. 一根直径为80mm的轴，受到的扭矩为1500N·m，求该轴的扭转角（取材料的剪切模量为80GPa）。

三、绘图题1. 绘制一根长度为1.5m的轴，在两端受到的扭矩分别为800N·m 和1200N·m的扭矩图。

2. 绘制一根直径为40mm的轴，在长度为0.8m处受到一个集中扭矩1000N·m的扭矩图。

3. 绘制一根轴的扭矩图，该轴在长度为0.5m处受到一个扭矩500N·m，在长度为1m处受到一个扭矩800N·m。

4. 绘制一根长度为2m的轴，在中间位置受到一个集中扭矩1500N·m的扭矩图。

5. 绘制一根直径为60mm的轴，在两端受到的扭矩分别为1000N·m和800N·m的扭矩图。

四、分析题1. 分析一根轴在受到不同扭矩作用时的扭矩图特点。

2. 当一根轴受到多个集中扭矩作用时，如何绘制扭矩图？3. 请说明扭矩图在工程实际中的应用。

4. 如何通过扭矩图判断轴的强度是否满足要求？5. 分析一根轴在受到不同扭矩作用时，剪切应力分布的规律。

五、应用题1. 一个齿轮轴在两端齿轮处分别受到500N·m和700N·m的扭矩，轴的直径为60mm，计算并绘制该轴的扭矩图。

扭 转1. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为d , 外径为D , 内外径之比为22d D α=的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比12/A A 有四种答案：(A) 21α-； (B)(C)(D)。

2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立3. 一内外径之比为/d D α=的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力有四种答案：(A) τ ； (B) ατ； (C) 3(1)ατ-； (D) 4(1)ατ-。

4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。

扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭转角ϕ有四种答案：7. 图示圆轴料的切变模量(A) 43π128d G a ϕ(C) 43π32d G a ϕ8. 一直径为D重量比21W W 9. 想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。

10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。

1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. C 7. B 8. 0.479. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；4/3 10. 横截面翘曲11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。

证：截面切应力 4103s R R ρρττρ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭ 截面扭矩 04d 12πd 03Rs s A T A R ρρτρτρρ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰ 证毕。

12. 图示直径为d 的实心圆轴,两端受扭转力偶e M 用1/m C τγ=表示，式中C ，m 为由实验测定的已知常数，试证明该轴的扭转切应力计算公式为：1/e (31)/2π()23m 1mm mM m d ρρτ+=+s /3证：几何方面 d d xρϕγρ= 物理方面 1/1/d d mmC C x ρϕτγρ⎛⎫== ⎪⎝⎭静力方面 1//21/e 0d d 2πd d md mAM T A C x ρϕρτρρρρ⎛⎫==⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰1//221/0d 2πd d m d mC x ϕρρ+⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰(31)/1/()d 22π(31)d m mmd C m x mϕ+⎛⎫= ⎪+⎝⎭1/e (31)/(31)d d 2π()2mm m M m d x Cm ϕ++⋅⎛⎫=⎪⎝⎭⋅ 所以 1/e (31)/2π()23m 1mm mM m d ρρτ+=+ 证毕。