《求相似三角形的边长(比)》专题练习

数学相似练习题题目一：已知△ABC与△DEF相似，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm。

若EF=12cm，求△DEF的其他边长。

解答：根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形的对应边长成比例。

设对应边长的比为k，则有：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k已知AB=6cm，EF=12cm，代入上述比例中可得：6/DE = 8/12 = 2/3解方程可以得到DE = 9cm。

同理，利用比例关系可得到DF = 15cm。

因此，△DEF的边长为DE = 9cm，EF = 12cm，DF = 15cm。

题目二：已知两个三角形相似，高分别为4cm和6cm，底边比为2:3，求这两个三角形的面积比。

解答：相似三角形的面积比等于边长比的平方。

设两个三角形的面积比为k，则有：(k*4)/6 = (2/3)^2解方程可得k = 16/9。

因此，这两个三角形的面积比为16:9。

题目三：已知△ABC与△DEF相似，且∠A = 60°，∠DEF = 45°，BC = 8cm，EF = 6cm，求△ABC的周长。

解答：相似三角形的对应角相等。

已知∠A = 60°，∠DEF = 45°，根据相似三角形的性质，可得∠B = 45°。

由三角形的内角和为180°可知，∠C = 180° - 60° - 45° = 75°。

因此，△ABC的三个内角分别为60°，45°，75°。

利用三角形的内角和为180°和周长的概念，我们有：周长AB+BC+AC = 8cm + 6cm + AC由三角形内角和计算可得：AC = (180° - 60° - 45°) * π/180 * 8cm/(π/180) = 11.24cm因此，△ABC的周长为8cm + 6cm + 11.24cm ≈ 25.24cm。

相似三角形性质专项练习30题（有答案）1．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．2．如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC（1）求AB的长；（2）求CD的长；（3）求∠BAD的大小．3．如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证：=．4．如图所示，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，BD=k，若△ACB∽△CBD，写出a、b、k之间满足的关系式．5．如图，AD、BE是△ABC的两条高，A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高，△ABD∽△A′B′D′，∠C=∠C′，求证：=．6．已知，如图，△AOB∽△DOC，BD⊥AC，∠AOB是直角．求证：AD2+BC2=AB2+CD2．7．已知如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°，△ABD∽△DCE．当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．8．如图，△ABC与△ADB相似，AD=4，CD=6，求这两个三角形的相似比．9．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．10．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q 从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？11．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE△∽△DEF，AB=6，AE=8，DE=2，求EF的长．14．如图，△ABC∽△DAB，AB=8，BC=12，求AD的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？16．如图，△ABC∽△FED，若∠A=50°，∠C=30°，求∠E的度数．17．如图，已知△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，点D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD=3，AE=6，CE=3．根据以上条件你能求出边AB的长吗？请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC相似？试说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．20．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm（1）已知他们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长．（2）已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．21．如图，已知△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，（1）求∠B和∠D的度数；（2）求AE和DE的长．22．一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．23．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为多少？24．如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD=3，E为AC中点，当△BPD与△PCE相似时，求BP的值．25．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，求证：．26．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm，DF=4cm，求EF 和AC的长．27．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts．（1）用t的代数式分别表示AQ和AP的长；（2）设△APQ的面积为S，①求△APQ的面积S与t的关系式；②当t=2s时，△APQ的面积S是多少？（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？29．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？30．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．相似三角形专项练习30题参考答案:1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=9，∴BE===，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．2．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：AB=3；（2）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：CD=；（3）∵△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=107°，∠CAD=∠B=36°，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°3．证明：∵△ABC与∽A′B′C′，∴∠ABD=∠A′B′D′，∵AD和A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′，∴△ABD∽△A′B′D，∴=，同理可得=，∴=．4．解：∵△ACB∽△CBD，∴=，∵AC=b，CB=a，BD=k，∴=，即a2=bk．5．证明：∵△ABD∽△A′B′D′，∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∵AD是△ABC的高，A′D′是△A′B′C′的，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴=，同理可求△ABE∽△A′B′E′，∴=，∴=．6．解：∵BD⊥AC，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°，∴在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2=CE2+DE2，∴AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．7．解：分三种情况：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意；②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=1，BC=，AE=AC﹣EC=1﹣BD=1﹣（﹣1）=2﹣；③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如图所示，易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=．综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．8．解：∵△ABC与△ADB相似，∴△ABC∽△ADB，∴=，∴AB2=AC•AD=10×4=40，∴△ABC与△ADB的相似比为==．9．解：设BF=x，则CF=4﹣x，由翻折的性质得B′F=BF=x，当△B′FC∽△ABC，∴=，即=，解得x=， 即BF=．当△FB ′C ∽△ABC ， ∴AB FB /'=ACFC 即，解得：x=2．∴BF 的长度为：2或．10．解：设运动了ts ，根据题意得：AP=2tcm ，CQ=3tcm ，则AQ=AC ﹣CQ=16﹣3t （cm ），当△APQ ∽△ABC 时，， 即， 解得：t=；当△APQ ∽△ACB 时，， 即，解得：t=4； 故当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是：s 或4s11．解：∵△AOB ∽△EOD ， ∴DE ：AB=OA ：OE ，∵DE=AB ，AB=9，AO=6，∴DE=×9=6，OE=OA=4，∴AE=OA+OE=6+4=10．12．解：（1）∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP ∽△PDB ，∴∠APC=∠B ，∵∠A=∠A ，∴∠ACP ∽∠APB ，∴∠APB=∠ACP=120°；（2）∵△ACP ∽△PDB ，∴AC ：PD=PC ：BD ，∴PD•PC=AC•BD，∵△PCD是等边三角形，∴PC=PD=CD，∴CD2=AC•BD．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=8，∴BE===10，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．14．解：∵△ABC∽△DAB，∴，∵AB=8，BC=12，∴，∴AD=．15．解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．16．解：∵△ABC中，∠A=50°，∠C=30°，∴∠B=180°﹣50°﹣30°=100°，∵△ABC∽△FED，∴∠E=∠B=100°．17．解：∵△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，∴．又AD=3，AE=6，CE=3，∴AB==18．18．解：设经过t秒两三角形相似，则AP=AB﹣BP=8﹣2t，AQ=4t，①AP与AB是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=2，②AP与AC是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=，综上所述，经过或2秒钟，△APQ与△ABC相似19．解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°∴（1分）（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，∴（1分）如果△ABP和△BCE相似，∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）∴∠ABP=∠ECB∴即解得（不合题意，舍去）∴x=8（1分）（3）①当AE=AB=4时∵AP∥BC，∴即，解得，②当BE=AB=4时∵AP∥BC，∴，即，解得（不合题意，舍去）③在Rt△AFC中，∠AFC=90°∵，在线段FC上截取FH=AF，∴∠FAE＞∠FAH=45°∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE∴AE≠BE．综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或20．解：（1）∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm∴这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的周长比为：5：2∵他们的周长相差60cm∴设较大的三角形的周长为5xcm，较小的三角形的周长为2xcm∴3x=60∴x=20cm∴5x=5×20=100cm，2x=2×20=40cm∴较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm（2）∵这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的面积比为：25：4∵他们的面积相差588cm2∴设较大的三角形的面积为25xcm2，较小的三角形的面积为4xcm2∴（25﹣4）x=588，∴x=28cm2∴25x=25×28=700cm2，4x=4×28=112cm2∴较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm221．解：（1）∵△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，∴∠B=∠A=117°，∠C=∠D=37°；（2）∵△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，∴设AE=x，DE=y，则BE=12﹣x，CE=18﹣y，∴==，即==，解得x=8，y=6，∴AE=8，DE=622．解：①当把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有；②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有．③当30cm作为最短边：则另两边都会超过50cm，此时不合题意，∴一共有两种截法．23．解：题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：（1）若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边为和3；（2）若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边为和；（3）若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边为和．故三角形框架的两边长可以是：和3或和或和．24．解：设BP=x，∵等边△ABC的边长为8，∴CP=8﹣x，∵E为AC中点，∴CE=AC=×8=4，①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，∴=，即=，整理得，x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，即BP的长为2或6，②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，∴=，即=，解得x=，即BP=，综上所述，BP的值是2或6或．25．证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴===K．又∵AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，∴==．∴，∵∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′．∴．26．解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴，∴，同理，∴．答：EF的长是cm，AC的长是cm．27．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）28．解：（1）用t的代数式分别表示AQ=2t，AP=6﹣t；（2分）（2）设△APQ的面积为S，①△APQ的面积S与t的关系式为：S=AQ•AP=×2t×（6﹣t）=6t﹣t2，即S=6t﹣t2，②当t=2s时，△APQ的面积S=×AQ•AP=×[2×2×（6﹣2）]=8（cm2）；（6分）（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当=时=，∴t=2.4（s）；②当=时=，∴t=（s）；综上所述，当t为2.4秒或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．29．解：∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，∴设AC=3xcm，AB=5xcm，则BC==4x（cm），即4x=8，解得：x=2，∴AC=6cm，AB=10cm，∴BC=8cm，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则BP=2tcm，CP=BC﹣BP=8﹣2t（cm），CQ=tcm，∵∠C是公共角，∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，解得：t=2.4，②当，即时，△CPQ∽△CAB，解得：t=，∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．30．（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴=k，a=ka1；又∵c=a1，∴a=kc；（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；此时=2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1；（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c；∴b=2c；∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．。

初中数学图形的相似练习题及参考答案相似是初中数学中的一个重要概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。

相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。

在这篇文章中，我们将介绍几道关于相似图形的练习题，并提供参考答案供大家参考。

题目一：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且比例系数为3：4。

若AB=6cm，BC=8cm，DE=12cm，求EF的长度。

解答一：根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边长之比相等。

即AB/DE=BC/EF。

代入已知条件，得到以下等式：6/12=8/EF通过交叉乘法可以求解EF的长度：6*EF=12*8EF=16cm所以，EF的长度为16cm。

题目二：如果一个正方形的边长为6cm，那么和它相似的另一个正方形的边长是多少？解答二：由于两个正方形相似，所以它们的对应边长之比相等。

设另一个正方形的边长为x，则根据相似三角形的性质得到以下等式：x/6=6/6通过交叉乘法可以求解x的长度：x=6cm所以，和给定正方形相似的另一个正方形的边长也是6cm。

题目三：已知一个矩形的长为10cm，宽为5cm。

如果和它相似的另一个矩形的长为15cm，求这个矩形的宽。

解答三：根据相似矩形的性质，两个矩形的边长比相等。

设相似矩形的宽为x，则根据已知条件可以得到以下等式：10/x=15/5通过交叉乘法可以求解x的长度：10*5=15*x50=15*xx=50/15x=10/3 cm所以，这个矩形的宽为10/3 cm。

题目四：如果一个三角形的三边分别为3cm，4cm和5cm，那么和它相似的另一个三角形的三边分别是多少？解答四：根据相似三角形的性质，两个三角形的边长比相等。

设相似三角形的三边分别为x、y、z，则根据已知条件可以得到以下等式：x/3=y/4=z/5通过交叉乘法可以求解x、y、z的长度：x=3*(4/5)=12/5 cmy=4*(4/5)=16/5 cmz=5*(4/5)=20/5 cm所以，和给定三角形相似的另一个三角形的三边分别是：12/5 cm、16/5 cm和20/5 cm。

第 1 页《相似三角形的判定》练习题相似三角形的判定1、定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似2、引理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：两对应边成比例且夹角相等，则两三角形相似5、判定定理3：三边对应成比例，则两三角形相似6、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似一、选择题１、下列各组图形必相似的是（）A 、任意两个等腰三角形B 、两条边之比为2：3的两个直角三角形C 、两条边成比例的两个直角三角形D 、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形２、如图，CD BC OB OA AOD ,900，那么下列结论成立的是（）A 、OAB ∽OCA B 、OAB ∽ODA C 、BAC ∽BDA D 、以上结论都不对３、点P 是ABC 中AB 边上一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截ABC ，使得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A 、2条B 、3条C 、4条D 、5条４、在直角三角形中，两直角边分别为3、4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是（）A 、1225B 、125C 、45D 、35５、ABC 中，D 是AB 上的一点，在AC 上取一点E ，使得以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC 相似，则这样的点的个数最多是（）A 、0 B 、1 C 、2D 、无数６、如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，FC=BC 41，下面得出的六个结论：（1）ABF ∽AEF ；（2）ABF ∽ECF ；（3）ABF ∽ADE ；（4）AEF ∽ECF ；（5）AEF ∽ADE ；（6）ECF ∽ADE ，其中正确的个数是（）A 、1个B 、3个C 、4个D 、5个。

实用标准文案相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB 上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．又∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．（3）证明：在图②中正确画出线段PD，由（1）同理可证△ABM≌△ACN，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= 135°°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA 方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明：（2）选择①、③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：（1）AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ 是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t ，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC 相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC 中，AB=10cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似． 解答： 设经过秒后t 秒后，△PBQ 与△ABC 相似，则有AP=2t ，BQ=4t ，BP=10﹣2t ， 当△PBQ ∽△ABC 时，有BP ：AB=BQ ：BC ， 即（10﹣2t ）：10=4t ：20，解得t=2.5（s ）（6分）当△QBP ∽△ABC 时，有BQ ：AB=BP ：BC ， 即4t ：10=（10﹣2t ）：20，解得t=1．所以，经过2.5s 或1s 时，△PBQ 与△ABC 相似（10分）．解法二：设ts 后，△PBQ 与△ABC 相似，则有，AP=2t ，BQ=4t ，BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP 与AB 对应时，有=，即=，解得t=2.5s （2）当BP 与BC 对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s 或2.5s 时，以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似． 解答： 解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1） 当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时， 2） 有=，∴AB==3；3） 当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时， 4） 有=，∴AB==3．故当AB 的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，能否在边AB 上找一点N （不含A 、B ），使得△CDM 与△MAN 相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．解答： 证明：分两种情况讨论：①若△CDM ∽△MAN ，则=．∵边长为a ，M 是AD 的中点， ∴AN=a ．②若△CDM ∽△NAM ，则．∵边长为a，M 是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似．当AN=a时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）点评：本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ 时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．解答：解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．（7分）24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC ∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，学校旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合题意，舍去），∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题基本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC ∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；（2）在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm。

相似三角形经典练习题一．选择题（共9小题）1．在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（ ）A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB：AC等于（ ）A．1：3B．1：4C．1：D．1：23．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1，S2，那么的值为（ ）A．B．C．D．4．如图，▱ABCD中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P，交BC的延长线于点R，若DQ：CQ=4：3，则AP：PR=（ ）A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：75．如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED=∠B，那么能成立的比例式是（ ）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）A．B．C．D．7．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（ ）A．B．10C．或10D．以上答案都不对8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（ ）A．B．C．D．二．填空题（共11小题）10．a=4，b=9，则a、b的比例中项是 ．11．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法正确的有 （填序号）．①AC•BC=AB•CD；②AC2=AD•DB；③BC2=BD•BA；④CD2=AD•DB．12．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD= ．13．如图，DE∥AC，BE：EC=2：1，AC=12，则DE= ．14．如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F，与CD交于G，若AE=4，EG=3，则EF= ．15．如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= ．16．如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽ ，对应边的比例式是 ．17．如图，将①∠BAD=∠C；②∠ADB=∠CAB；③AB2=BD•BC；④；⑤；⑥中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是 ，结论是 ．（注：填序号）18．已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC= ．19．如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE，则：∠ABE+∠ACE+∠ADE等于 度．20．一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 张．三．解答题（共10小题）21．如图，D，E分别是AC，AB上的点，．已知△ABC的面积为60cm2，求四边形BCDE的面积．22．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．23．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．24．平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．求AM、CN的长．25．如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO．（1）求证：；（2）计算CD•CB的值，并指出CB的取值范围．26．已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC 于点E．（1）求的值；（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．27．如图△ABC中，边BC=60，高AD=40，EFGH是内接矩形，HG交AD于P，设HE=x，（1）求矩形EFGH的周长y与x的函数关系式；（2）求矩形EFGH的面积S与x的函数关系式．28．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O 开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．29．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC 方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？30．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A 开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x 轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=15时，△PEF的面积；（2）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．相似三角形经典练习题20161115参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（ ）A．B．C．D．【考点】勾股定理．【分析】本题主要利用勾股定理和面积法求高即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边分别为3和4，∴斜边为5，∴斜边上的高为=．（由直角三角形的面积可求得）∴这个三角形的斜边与斜边上的高的比为5：=．故选A．【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度．2．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB：AC等于（ ）A．1：3B．1：4C．1：D．1：2【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据已知及相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵∠ADC=∠ADB=90°，∠C=∠BAD∴△ACD∽△BAD∵S △CAD =3S △ABD ，且这两三角形高相等∴AB ：AC=1：故选C ．【点评】本题考查了三角形的面积公式，及相似三角形的判定及性质．　3．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，△ADE 和四边形BCED 的面积分别记为S 1，S 2，那么的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】根据已知可得到△ADE ∽△ABC ，从而可求得其面积比，则不难求得的值．【解答】解：根据三角形的中位线定理，△ADE ∽△ABC ，DE ：BC=1：2，所以它们的面积比是1：4，所以=，故选C ．【点评】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．　4．（2012秋•桐城市校级月考）如图，▱ABCD 中，Q 是CD 上的点，AQ 交BD 于点P ，交BC 的延长线于点R ，若DQ ：CQ=4：3，则AP ：PR=（ ）A ．4：3B ．4：7C ．3：4D ．3：7【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】利用“平行线法”证得△ADQ∽△RCD，则对应边成比例：=；同理，证得△ADP∽△RBP，则=，即=．【解答】解：如图，∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，∴△ADQ∽△RCD，∴=，即=，∴RC=AD．同理，△ADP∽△RBP，则=，即=，∴==，即AP：PR=4：7．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．5．如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED=∠B，那么能成立的比例式是（ ）A．B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【分析】本题可根据相似三角形的性质求解，已知了∠AED和∠B对应相等，因此AD、AC是对应边，AE、AB是对应边，DE、BC是对应边，根据相似三角形的对应边的比例相等，即可判断哪个选项正确．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且∠AED=∠B∴AD、AE、DE的对应边分别是AC、AB、BC因而有故本题选A．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，找准相似三角形的对应边是解题的关键．6．（2008•安徽）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）A．B．C．D．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．【解答】解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，又S△AMC=MN•AC=AM•MC，∴MN==．故选：C．【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．7．（2012秋•杞县校级期末）如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC 相似，则AE等于（ ）A．B．10C．或10D．以上答案都不对【考点】相似三角形的性质．【分析】△ADE与△ABC相似，则存在两种情况，即△AED∽△ACB，也可能是△AED∽△ABC，应分类讨论，求解．【解答】解：如图（1）当∠AED=∠C时，即DE∥BC则AE=AC=10（2）当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC∴，即AE=综合（1），（2），故选C．【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题．8．（2009•新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．9．（2006•大兴安岭）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（ ）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先判定四边形C′DCE是菱形，再根据菱形的性质计算．【解答】解：设CD=x，根据C′D∥BC，且有C′D=EC，可得四边形C′DCE是菱形；即Rt△ABC中，AC==10，，EB=x；故可得BC=x+x=8；解得x=．故选A．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．二．填空题（共11小题）10．a=4，b=9，则a、b的比例中项是　±6　．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的概念，设a、b的比例中项是c，则c2=ab，再利用比例的基本性质计算得到c的值．【解答】解；设a、b的比例中项是c，则c2=ab∵a=4，b=9，∴c2=ab=36，解得：c=±6；故填： 6或6．【点评】此题考查了比例中项，关键是理解比例中项的概念，当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．11．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法正确的有　①③④　（填序号）．①AC•BC=AB•CD；②AC2=AD•DB；③BC2=BD•BA；④CD2=AD•DB．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，易证得∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，又由∠A=∠A，∠B=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，则可得△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC•BC=AB•CD，即∴AC•BC=AB•CD，故①正确；∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴BC2=BD•BA，故③正确；∴△ACD∽△CBD，∴，∴AC2=AD•AB，CD2=AD•DB，故②错误，④正确．故答案为：①③④．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意对应线段的对应关系与比例变形．12．（2011春•武侯区校级期末）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=　6.4　．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】由于AC⊥BC，CD⊥AB，可得一组对应角相等，再加上一对公共角，可证△ACD∽△ABC，利用比例线段可求AD．（可先利用勾股定理求出AB）【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=90°，∠ADC=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴=，又∵在Rt△ABC中，AB===10，∴=，AD=6.4．【点评】解答此题不仅用到相似三角形的性质，还要结合勾股定理求出相应的边长，方可进行计算．13．如图，DE∥AC，BE：EC=2：1，AC=12，则DE=　8　．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】根据DE∥AC，证得△BED∽△BCA，再由相似三角形对应线段成比例可得出答案．【解答】解：由DE∥AC可得△BED∽△BCA，∴==，又AC=12，可得DE=8．故填8．【点评】本题考查平行线的知识，注意相似三角形对应线段成比例的性质．14．如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F，与CD交于G，若AE=4，EG=3，则EF= ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由平行四边形的定义得出AB∥CD，再根据平行线的性质得到∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，然后根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△ABE∽△FDE；根据相似三角形对应边成比例得出①，再证明△BEG ∽△DEA，得出②，等量代换得到，于是得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，∴△ABE∽△FDE，∴①，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠GBE=∠ADE，∠G=∠DEA，∴△BEG∽△DEA，∴②，由①②可得，，∵AE=4，EG=3，∴EF=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．15．（2012•通州区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=　5：3：12　．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意，可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，可分别得到AP、PQ、QC的关系式，进而求出AP、PQ、QC的比值．【解答】解：由已知得：△AMP∽△CDP，∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC）=，即：3AP=PQ+QC，①△ANQ∽△CDQ，∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC=，即2QC=3（AP+PQ），②解①、②得：AQ=AC，PQ=AQ AP=AC，QC=AC AQ=AC，∴AP：PQ：QC=5：3：12．【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要熟练掌握灵活运用．16．（2014秋•肥西县期末）如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽　△DAC　，对应边的比例式是　==　．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似可解，再根据相似三角形的性质写出对应边的比例式．【解答】解：在△ABC和△DAC中，∵∠C=∠C，∠B=∠DAC；∴△ABC∽△DAC；∴==【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．17．（2012•牡丹江模拟）如图，将①∠BAD=∠C；②∠ADB=∠CAB；③AB2=BD•BC；④；⑤；⑥中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是　①　，结论是　③或④　．（注：填序号）【考点】命题与定理．【分析】根据相似三角形的判定和性质进行分析．【解答】解：因为若∠BAD=∠C，则△ABC∽△DBA，故=，=，条件是①，结论是③或④．【点评】解答此题的关键是要熟知真命题与假命题的概念．真命题：判断正确的命题叫真命题；假命题：判断错误的命题叫假命题．18．（2014春•江都市期末）已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC=　8：5　．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过点D作DF∥BE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论．【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于F，∵DF∥BE，∴△AME∽△ADF，∴AM：MD=AE：EF=4：1=8：2∵DF∥BE，∴△CDF∽△CBE，∴BD：DC=EF：FC=2：3∴AE：EC=AE：（EF+FC）=8：（2+3）∴AE：EC=8：5．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量EF即可得出结论．19．（2012秋•桐城市校级月考）如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE，则：∠ABE+∠ACE+∠ADE等于　90　度．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】设正方形的边长为1，根据正方形的性质得到∠ABE=45°，BE=，再利用勾股定理计算出CE=，则BE：BD=BC：BE=：2，加上公共角，于是可判断△CBE∽△EBD，则∠BDE=∠BEC，再利用三角形外角性质得∠ABE=∠BEC+∠BCE=45°，然后计算∠ABE+∠ACE+∠ADE．【解答】解：设正方形的边长为1，∵四边形AEFB为正方形，∴∠ABE=45°，BE=，在Rt△AEC中，AC=2∴CE==，∴BE：BD=：2，BC：BE=1：=：2，∴BE：BD=BC：BE，而∠CBE=∠EBD，∴△CBE∽△EBD，∴∠BDE=∠BEC，∵∠ABE=∠BEC+∠BCE=45°，∴∠ABE+∠ACE+∠ADE=45°+45°=90°．故答案为90．【点评】本题考查了相似三角形得判定与性质：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理以及正方形的性质．20．（2011•连云港一模）一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第　6　张．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质．【分析】设第x张为正方形，如图，△ADE∽△ABC，则=，从而计算出x的值即可．【解答】解：如图，设第x张为正方形，则DE=3，AM=22.5 3x，∵△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得x=6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．三．解答题（共10小题）21．如图，D，E分别是AC，AB上的点，．已知△ABC的面积为60cm2，求四边形BCDE的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ADE的面积，相减即可求出答案．【解答】解：∵，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵△ABC的面积为60cm2，∴△ADE的面积是×60cm2=cm2，∴四边形BCDE的面积是60cm2 cm2=cm2，答：四边形BCDE的面积是cm2．【点评】本题主要考查对相似三角形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．22．（2015春•苏州校级期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．【考点】相似三角形的应用．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC 即可得解．【解答】解：在△DEF 和△DBC 中，，∴△DEF ∽△DBC ，∴=，即=，解得BC=4，∵AC=1.5m ，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m ，即树高5.5m ．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键．23．（2015秋•北京校级期中）已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：CF 2=GF•EF ．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线分线段成比例定理得=，=，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴=，=，∴=，即CF 2=GF•EF ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．24．平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．求AM、CN的长．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据已知条件，先证明△AEM∽△CED，然后利用相似三角形的对应边成比例这一性质求得AM=AB；再来证明△AFM∽△CFN，依据相似三角形的性质求的CN的长度．【解答】解：在△AEM和△CED中，∠CAB=∠DCA（内错角相等），∠AEM=∠CED，∴△AEM∽△CED，∴，∵AE=EF=FC，∴=，∴AM=CD；∵AB=CD，∴AM=AB=14，①；在△AFM和△CFN中，∠FAM=∠FCN（内错角相等），∠AFM=∠CFN（对顶角相等），∴△AFM∽△CFN，∴=2，∴CN=AM②；∵AB=28 ③由①②③解得，CN=7．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理：两个三角形中，两个对应角相等，则这两个三角形相似，以及相似三角形的性质：对应边成比例．25．（2006•长沙）如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO．（1）求证：；（2）计算CD•CB的值，并指出CB的取值范围．【考点】切割线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证△CDE∽△CAB，再根据相似三角形的性质得到所求的比例式；（2）根据割线定理即可求得CD•CB的值．根据三角形的三边关系求得BC的取值范围．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠EDC=∠BAO，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴；（2）解：∵直径AE=8，OC=12，∴AC=12+4=16，CE=12 4=8．又∵=，∴CD•CB=AC•CE=16×8=128．连接OB，在△OBC中，OB=AE=4，OC=12，∴故BC的范围是：8≤BC＜16．【点评】本题主要考查圆、相似三角形等初中几何的重点知识，考查学生的几何论证能力，属于中等难度题．26．（2009•潍坊）已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．（1）求的值；（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．【考点】三角形中位线定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M．根据平行线分线段成比例定理分别找到AE，CE与FM之间的关系，得到它们的比值；（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解．【解答】解：（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M，∵F为AB的中点，∴M为BC的中点，FM=AC．∵FM∥AC，∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．∴△FMD∽△ECD．∴．∴EC=FM=×AC=AC．∴．（2）∵AB=a，∴FB=AB=a．∵FB=EC，∴EC=a．∵EC=AC，∴AC=3EC=a．【点评】此类题要注意作平行线，能够根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边成比例即可求得线段的比．27．如图△ABC中，边BC=60，高AD=40，EFGH是内接矩形，HG交AD于P，设HE=x，（1）求矩形EFGH的周长y与x的函数关系式；（2）求矩形EFGH的面积S与x的函数关系式．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的性质得到HG∥BC，PD=x，AP=AD x=40 x，再三角形三角形相似的判定得到△AHG∽△ABC，利用相似比可表示出HG=（40 x），然后根据矩形的周长确定y与x的关系；（2）根据矩形的面积公式求解．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC，PD=x，AP=AD x=40 x，∴△AHG∽△ABC，∴=，即=∴HG=（40 x），∴y=2HE+2HG=2x+2×（40 x）=2x+120 3x=120 x（0＜x＜40）；（2）S=HE•HG=x•（40 x）= x2+60x（0＜x＜40）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形得性质．28．（2004•丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；（2）先根据（1）的函数式求出y最大时，x的值，即可得出OQ和OP的长，然后求出C点的坐标和直线AB的解析式，将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上；（3）本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值．【解答】解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．∴OQ=6 t．∴y=×OP×OQ=×t（6 t）= t2+3t（0≤t≤6）；（2）∵y= t2+3t，∴当y有最大值时，t=3∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．把△POQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形．∴点C的坐标为（3，3）．∵A（12，0），B（0，6），∴直线AB的解析式为y= x+6当x=3时，y=≠3，∴点C不落在直线AB上；（3）①若△POQ∽△AOB时，，即，12 2t=t，∴t=4．②若△POQ∽△BOA时，，即，6 t=2t，∴t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均符合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质等知识点．要注意（3）题要根据不同的相似三角形分类进行讨论．　29．（2007秋•安岳县期末）如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？【考点】相似三角形的判定．【分析】此题要根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出分式方程求解．【解答】解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8 2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）【点评】本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．30．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A 开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x 轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y 轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=15时，△PEF的面积；（2）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先根据A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30）得出OA及OB的长，再由EF∥x轴得出EF是△BOA的中位线，再根据三角形的面积公式即可得出结论；（2）用t表示出OE及OP的长，再分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况进行讨论．【解答】解：（1）∵A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），∴OA=40，OB=30．∵动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x 轴），∴t=15时，BE=30 15=15，∵EF∥x轴，∴EF是△BOA的中位线，∴EF=OA=20，∴S△PEF=EF•OE=×20×15=150；（2）∵动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），∴OE=t，OP=40 2t，∴当△EOP∽△BOA时，=，即=，解得t=12（秒）；当△EOP∽△AOB时，=，即=．解得t=（秒）．综上所述，当t=12秒或t=秒时，△EOP与△BOA相似．【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到三角形中位线定理、三角形的面积公式及相似三角形的判定与性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．。

相似三角形性质专项练习30题（有答案）1．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．2．如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC（1）求AB的长；（2）求CD的长；（3）求∠BAD的大小．3．如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证：=．4．如图所示，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，BD=k，若△ACB∽△CBD，写出a、b、k之间满足的关系式．5．如图，AD、BE是△ABC的两条高，A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高，△ABD∽△A′B′D′，∠C=∠C′，求证：=．6．已知，如图，△AOB∽△DOC，BD⊥AC，∠AOB是直角．求证：AD2+BC2=AB2+CD2．7．已知如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°，△ABD∽△DCE．当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．8．如图，△ABC与△ADB相似，AD=4，CD=6，求这两个三角形的相似比．9．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．10．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？11．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE△∽△DEF，AB=6，AE=8，DE=2，求EF的长．14．如图，△ABC∽△DAB，AB=8，BC=12，求AD的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？16．如图，△ABC∽△FED，若∠A=50°，∠C=30°，求∠E的度数．17．如图，已知△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，点D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD=3，AE=6，CE=3．根据以上条件你能求出边AB的长吗？请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC 相似？试说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．20．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm（1）已知他们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长．（2）已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．21．如图，已知△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，（1）求∠B和∠D的度数；（2）求AE和DE的长．22．一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．23．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为多少？24．如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD=3，E为AC中点，当△BPD 与△PCE相似时，求BP的值．25．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，求证：．26．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm，DF=4cm，求EF和AC的长．27．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C 出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts．（1）用t的代数式分别表示AQ和AP的长；（2）设△APQ的面积为S，①求△APQ的面积S与t的关系式；②当t=2s时，△APQ的面积S是多少？（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？29．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q 从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？30．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．相似三角形专项练习30题参考答案: 1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=9，∴BE===，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．2．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：AB=3；（2）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：CD=；（3）∵△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=107°，∠CAD=∠B=36°，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°3．证明：∵△ABC与∽A′B′C′，∴∠ABD=∠A′B′D′，∵AD和A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′，∴△ABD∽△A′B′D，∴=，同理可得=，∴=．4．解：∵△ACB∽△CBD，∴=，∵AC=b，CB=a，BD=k，∴=，即a2=bk．5．证明：∵△ABD∽△A′B′D′，∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∵AD是△ABC的高，A′D′是△A′B′C′的，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴=，同理可求△ABE∽△A′B′E′，∴=，∴=．6．解：∵BD⊥AC，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°，∴在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2=CE2+DE2，∴AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．7．解：分三种情况：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意；②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=1，BC=，AE=AC﹣EC=1﹣BD=1﹣（﹣1）=2﹣；③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如图所示，易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=．综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．8．解：∵△ABC与△ADB相似，∴△ABC∽△ADB，∴=，∴AB2=AC•AD=10×4=40，∴△ABC与△ADB的相似比为==．9．解：设BF=x，则CF=4﹣x，由翻折的性质得B′F=BF=x，当△B′FC∽△ABC，∴=， 即=，解得x=，即BF=．当△FB ′C ∽△ABC ， ∴AB FB /'=AC FC即，解得：x=2．∴BF 的长度为：2或．10．解：设运动了ts ，根据题意得：AP=2tcm ，CQ=3tcm ，则AQ=AC ﹣CQ=16﹣3t （cm ），当△APQ ∽△ABC 时，，即，解得：t=；当△APQ ∽△ACB 时，，即，解得：t=4； 故当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是：s 或4s11．解：∵△AOB ∽△EOD ， ∴DE ：AB=OA ：OE ，∵DE=AB ，AB=9，AO=6，∴DE=×9=6，OE=OA=4，∴AE=OA+OE=6+4=10．12．解：（1）∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP ∽△PDB ，∴∠APC=∠B ，∵∠A=∠A ，∴∠ACP∽∠APB，∴∠APB=∠ACP=120°；（2）∵△ACP∽△PDB，∴AC：PD=PC：BD，∴PD•PC=AC•BD，∵△PCD是等边三角形，∴PC=PD=CD，∴CD2=AC•BD．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=8，∴BE===10，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．14．解：∵△ABC∽△DAB，∴，∵AB=8，BC=12，∴，∴AD=．15．解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．16．解：∵△ABC中，∠A=50°，∠C=30°，∴∠B=180°﹣50°﹣30°=100°，∵△ABC∽△FED，∴∠E=∠B=100°．17．解：∵△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，∴．又AD=3，AE=6，CE=3，∴AB==18．18．解：设经过t秒两三角形相似，则AP=AB﹣BP=8﹣2t，AQ=4t，①AP与AB是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=2，②AP与AC是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=，综上所述，经过或2秒钟，△APQ与△ABC相似19．解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°∴（1分）（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，∴（1分）如果△ABP和△BCE相似，∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）∴∠ABP=∠ECB∴即解得（不合题意，舍去）∴x=8（1分）（3）①当AE=AB=4时∵AP∥BC，∴即，解得，②当BE=AB=4时∵AP∥BC，∴，即，解得（不合题意，舍去）③在Rt△AFC中，∠AFC=90°∵，在线段FC上截取FH=AF，∴∠FAE＞∠FAH=45°∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE∴AE≠BE．综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或20．解：（1）∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm∴这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的周长比为：5：2∵他们的周长相差60cm∴设较大的三角形的周长为5xcm，较小的三角形的周长为2xcm ∴3x=60∴x=20cm∴5x=5×20=100cm，2x=2×20=40cm∴较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm（2）∵这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的面积比为：25：4∵他们的面积相差588cm2∴设较大的三角形的面积为25xcm2，较小的三角形的面积为4xcm2∴（25﹣4）x=588，∴x=28cm2∴25x=25×28=700cm2，4x=4×28=112cm2∴较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm2 21．解：（1）∵△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，∴∠B=∠A=117°，∠C=∠D=37°；（2）∵△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，∴设AE=x，DE=y，则BE=12﹣x，CE=18﹣y，∴==，即==，解得x=8，y=6，∴AE=8，DE=622．解：①当把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有；②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有．③当30cm作为最短边：则另两边都会超过50cm，此时不合题意，∴一共有两种截法．23．解：题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：（1）若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边为和3；（2）若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边为和；（3）若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边为和．故三角形框架的两边长可以是：和3或和或和．24．解：设BP=x，∵等边△ABC的边长为8，∴CP=8﹣x，∵E为AC中点，∴CE=AC=×8=4，①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，∴=，即=，整理得，x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，即BP的长为2或6，②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，∴=，即=，解得x=，即BP=，综上所述，BP的值是2或6或．25．证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴===K．又∵AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，∴==．∴，∵∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′．∴．26．解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴，∴，同理，∴．答：EF的长是cm，AC的长是cm．27．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）28．解：（1）用t的代数式分别表示AQ=2t，AP=6﹣t；（2分）（2）设△APQ的面积为S，①△APQ的面积S与t的关系式为：S=AQ•AP=×2t×（6﹣t）=6t﹣t2，即S=6t﹣t2，②当t=2s时，△APQ的面积S=×AQ•AP=×[2×2×（6﹣2）]=8（cm2）；（6分）（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当=时=，∴t=2.4（s）；②当=时=，∴t=（s）；综上所述，当t为2.4秒或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．29．解：∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，∴设AC=3xcm，AB=5xcm，则BC==4x（cm），即4x=8，解得：x=2，∴AC=6cm，AB=10cm，∴BC=8cm，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则BP=2tcm，CP=BC﹣BP=8﹣2t（cm），CQ=tcm，∵∠C是公共角，∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，解得：t=2.4，②当，即时，△CPQ∽△CAB，解得：t=，∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．30．（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴=k，a=ka1；又∵c=a1，∴a=kc；（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；此时=2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1；（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c；∴b=2c；∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．。

专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。

相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

经典练习题一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．BC==22、，可得BC=∵BC=EC=；∴，∴8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．面积的面积的则有：（×3×6，即面积的因此有①，或t=（t=t=都符合题意，同时出发后，经过秒或9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．P=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．CE=．AE=∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=∴．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．∴QM=PM=AB=12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．∴CM=MD=∴PC=BC=AD=∴．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．（AB=∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=∴t=t=时，△PAD∴PD=∵CE=t QE=t∴QH=BE=8﹣t t∴PH=t﹣t=t∴PQ=，，，＞∴t=t=14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？时，有：；时，有：∴经过15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．=，即=，解得对应时，有=，即=，解得16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解：∵AC=∴CD==时，有=，∴AB=时，有=，∴AB==3317．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．a①若△CDM∽△MAN，则=．∴AN=②若△CDM∽△NAM，则AN=18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？或时，两三角形相似．）当时，，∴x=；）当时，，∴x=．所以，经过秒或秒后，两三角形相似．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．∴=，∴=，∴=，∴=，∴=，∴AP=．AP=时，由BP=，∴=，、20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．∴．∴，中有21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．，所以，所以；=，即，；=，即，t=时，以点22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？∴，，23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．∴，∴，∴．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）∴，即，与①类似得：，即∴（∴，与①类似得：，∴，，∴MN=r（25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有∴．∴，26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．∵，∴，∴解得：∴，，即．∴．同理可得：，∴=是定值．）可知，即，∴同理可得：∴，由等比性质得：∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）。

《求相似三角形的边长（比）》专题练习1．111C B A ABC ∆∆∽，相似比为2︰3，222111C B A C B A ∆∆∽，相似比为5︰4，则222C B A ABC ∆∆∽的相似 比为（ ） A ．56 B ．65 C ．65或56 D ．158 2．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP ＝1，点D 为AC 边上一点，若∠APD ＝60°，则 CD 的长为（ ）A ．21 B ．32 C ．43D ．1 3．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE ＝60°，BD ＝3，CE ＝2，则△ABC 的边长 为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18 4．如图，△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为BC 、EF 的中点，则AD ∶BE 的值为（ ）A ．3∶1B ．2∶1C ．5∶3D ．不确定(第2题图) (第3题图) (第4题图)5．我们通常用到的一种复印纸，整张称为A 1纸，对折一分为二裁开成为A 2纸，再一分为二成为A 3纸，…，它们都 是相似的矩形。

求这种纸的长与宽的比值(精确到千分位)。

6．OA OB OC OD =，DC ＝12，OD ＝9，AB ＝6。

求OB 的长。

7．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm， BC＝3cm，M是边BC的中点，DE⊥AM，垂足为E。

求：线段DE的长。

8. 如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm，若图中的两个直角三角形相似，求AD的长。

9．如图，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折，使点A与C重合。

若已知AB＝6cm，BC＝8cm，求EF的长。

10．在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上。

若BC＝8cm，AD＝6cm，且PN＝2PQ，求矩形PQMN的周长。

相似三角形一。

选择题（1）△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是（ ） A.DB AD =EC BF B.AC AB =FCEF C 。

DB AD =FC BF D 。

EC AE =BF AD (2)在△ABC 中，BC=5，CA=45,AB=46，另一个与它相似的三角形的最短边是15,则最长边是（ ） A 。

138 B 。

346 C 。

135 D.不确定(3）在△ABC 中,AB=AC ，∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中，相似的是( ） A 。

△ABD ∽△BCD B.△ABC ∽△BDC C.△ABC ∽△ABD D 。

不存在（4）将三角形高分为四等分,过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ）A.1∶3∶5∶7 B 。

1∶2∶3∶4 C 。

1∶2∶4∶5 D 。

1∶2∶3∶5（5）下列命题中,真命题是( ）A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似 B 。

邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似 D 。

有一个角为120°的两个等腰三角形相似（6）直角梯形ABCD 中，AD 为上底,∠D=Rt ∠，AC ⊥AB ，AD=4,BC=9,则AC 等于（ ）A.5 B 。

6 C 。

7 D 。

8(7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线,E 、F 分别是AC 、BC 中点,则CD 与EF 关系是( ）A.EF ＞CD B 。

EF=CD C 。

EF ＜CD D 。

不能确定（8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC.其中正确的个数是（ ）A 。

相似三角形练习题题目一已知三角形ABC中，∠A = 60°，AC = 6 cm，BC = 8 cm。

将三角形ABC沿着边BC剪开，使得三角形ABD与三角形ACD相似，连接BD。

求BD的长度。

解答一由已知条件可知∠A = ∠ADC = 60°，而∠ABD与∠ACD互为对应角，故∠ABD = ∠ACD = 60°，说明三角形ABD与三角形ACD相似。

根据相似三角形的性质，相似三角形中对应边的比例相等，即有：BD/AD = AC/CD将已知数值代入，得到：BD/AD = 6/8进一步化简，可得：BD/AD = 3/4将上式两侧同乘以AD，可得：BD = (3/4) * AD由直角三角形ADC中，利用三角函数可得AD的值：AD = AC * sin(60°) = 6 * √3 / 2 = 3√3 cm代入上式，可得：BD = (3/4) * 3√3 = 9√3 / 4 cm所以，BD的长度为9√3 / 4 cm。

题目二已知∆ABC与∆DEF相似，∠B = 40°，∠E = 20°，AB = 5 cm，FE = 3 cm。

求BC、DE的长度。

解答二由已知条件可知∠B = ∠F，即∠B = 40°。

而∆ABC与∆DEF相似，根据相似三角形的性质，相似三角形中对应边的比例相等，即有：AB/FE = BC/DE将已知数值代入，得到：5/3 = BC/DE进一步化简，可得：5DE = 3BC根据已知条件，我们还可以得到∠E = ∠C。

联立上述两个条件，可以列出方程组：{5DE = 3BC∠E = ∠C}要求BC和DE的长度，需要求解以上方程组。

我们可以通过求解方程组来得到BC和DE的长度。

题目三AG和EK是∆ABC和∆EFD的高，点G和点K分别位于边BC和边DE上，且∆AGK和∆EKG相似。

已知∠B = 45°，AB = 12 cm，BC = 10 cm，ED = 8 cm。

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//，∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ． 由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

几何图形—专题08《相似三角形（份数、比例）、燕尾模型、差不变原理》一．选择题1．如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，如果MC比NC长2cm．AC比BC长()A．2cm B．4cm C．1cm D．6cm2．（2018•株洲）如图，将ABC∆∆的各边长都延长一倍至A B C'''，若ABC'''这些点，得到一个新的△A B C 的面积为2，则△A B C'''的面积为()A．14 B．12 C．11 D．不确定二．填空题3．如图，甲、乙两个三角形的面积相差12平方厘米，则图中最大的直角三角形BCE的一条直角边CE长厘米．4．王朋家里买了150斤大米和100斤面粉，吃了一个月后，发现吃的米和面一样多，而且剩的米刚好是面的6倍，则米剩斤．5．两捆铁丝的长度相等，在第一捆用去30米后，第二捆用去64米后，第一捆余下的正好是第二捆余下的5倍多2米．这两捆铁丝每捆原来长米．6．（2019•泉州模拟）如图，涂色部分的面积是23cm，BD DC=，则三角形ABC的面积为=，AE ED2cm．7．如图，在ABC ∆中，:1:3AE EB =，13CD BC =，AD 与CE 交于F ，若AFC ∆面积为24平方厘米，则DEF ∆的面积是 平方厘米．8．如图，在ABC ∆中，BD AD =，3EF =，2FC =，ADH ∆与AGC ∆的面积和等于四边形EFGH 的面积，那么BE 的长是 ．9．（2019•益阳模拟）如图是一个平行四边形，:1:2BE EC =，F 是DC 的中点，三角形ABE 的面积是6平方厘米，则三角形AFD 的面积是 平方厘米．10．（2018•厦门模拟）图中AOB ∆的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，则梯形ABCD 的面积为 ．11．（2017•沈阳）把三角形的三条边都扩大3倍，它的高也扩大3倍． ．12．（2014•靖江市模拟）在三角形ABC 中，E 点、D 点分别是AB 和AC 的中点，甲、乙两个图形面积的比是 ．13．（2013•成都模拟）如图，在三角形ABC中，AB、AC两边分别被分成五等份．阴影部分的面积与空白部分的面积比是．三．计算题14．如图，直角三角形两条直角边长度分别是14cm和56cm，求图中正方形（阴影部分面积）是多少？15．（2019•海淀区模拟）如图所示，平行四边形ABDC的面积为112平方厘米，又知4，求三角形AB CFAOF的面积．四．应用题16．（2016•徐州）有一个直角三角形和长方形摆成如图，长方形的长为6cm，宽为2cm，若甲区域（上方）比乙区域（下方）的面积大26cm，求三角形ABC的高AB的长度？17．（2019春•沈阳月考）如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积．问：三角形ABC的面积是多少？18．（2019•长沙）如图，三角形ABC中，:::4:3===，且三角形ABC的面积是74，AF FB BD DC CE AE求三角形GHI的面积．19．（2018•西安模拟）如图在三角形ABC中，2CE AE=，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？五．操作题20．（2018秋•廉江市月考）如图中，阴影①的面积比阴影②多48平方厘米，40AB 厘米，求BC的长度．六．解答题21．（2018•广州模拟）如图，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，三角形EFD的面积比三角形ABF 多9平方厘米，求ED长多少厘米？22．（2014春•杭州校级期中）两根一样长的绳子，第一根剪去40厘米，第二根剪去12厘米，第二根剩下部分的长度是第一根剩下部分的3倍．两根绳子原来长多少厘米？23．如图，甲的面积比乙的面积多多少平方厘米？24．图中正方形的边长是10厘米，三角形甲的面积比三角形乙的面积少20平方厘米，求线段AB的长．25．有两根绳子，第一根长120米，第二根长40米，都用去相等的一段后剩下的绳子第一根是第二根的5倍．两根绳各剩下多少米？26．（2012•湖北）对角线把梯形ABCD 分-成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形ABCD 的面积是多少．27．如图，23BDF S cm ∆=，25CDF S cm ∆=，24CEF S cm ∆=，求ABC ∆的面积．28．如图，D 为BC 中点．3AD AF =，ABC ∆面积为48，求AEF ∆面积．29．如图，在三角形ABC中，AE ED=，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？30．如图，三角形ABC的面积是30平方厘米，AE ED=，23BD BC=，求阴影部分的面积之和．31．（2019春•海淀区月考）如图，ABC∆中，:2:1AD DB=，:3:1BE EC=，:4:1CF FA=，那么DEF∆是ABC∆的面积的几分之几？32．（2018•杭州模拟）以下两题任选做一题．如图，梯形ABCD中，对角线把梯形分成四个小三角形．（1）比较三角形①和②的面积．请你有根有据地说明理由．（2）知道任意两个三角形的面积，就可以求出梯形的面积．如果三角形①和③的面积分别是6平方厘米和4平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米？33．（2014•石家庄）如图，长方形ABCD的面积是24，三角形ABE和三角形ADF的面积都是4，求阴影三角形AEF的面积．34．（2014•海安县模拟）如图，长方形ABCD 是由上、中、下三个长方形拼成的，已知中间长方形的宽正好是上下两个长方形宽的和．那么1S 、3S 的面积和与4S 的面积比是 ．35．（2012•仙游县校级模拟）如图，两个正方形的边长分别是8厘米和10厘米，求图中阴影部分的面积．36．（2011•亭湖区校级自主招生）如图所示，将直角三角形中的短直角边，通过折叠重合到长直角边上，则图中阴影部分的面积（未重叠部分）是多少平方厘米？第11 页/ 共11 页。

初中数学相似三角形的判定与性质专题练习1．定义各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．当相似比为1时，两个三角形就称为全等．2．判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；3．性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．4.相似三角形中常见的基本图形：条件：DE∥BC，∠1=∠B，∠1=∠B条件：AB∥DE ∠A=∠D CD是斜边AB上的高如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）【答案】∠ADE=∠ACB,答案不唯一【名师指南】此类问题是开放型问题，考查了相似三角形的判定，答案不唯一，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.【例1】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）①② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④【答案】C【解析】试题分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，有两个对应角相等的三角形相似，即可完成题目．：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；210由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，25∴，，22222=225210=即，22222=5210=∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C ．考点: 相似三角形的判定．【例2】在直角坐标系中，已知点A （－2，0）、B （0，4）、C （0，3），过点C 作直线交x 轴于点D ，使得以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线最多可以作（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条【答案】C ．考点：1．坐标与图形性质；2．相似三角形的判定．【名师指南】此类问题实际上考查了相似三角形的判定，学生容易错误选2条或3条，一般三角形满足条件的直线最多可以作4条，直角三角形满足条件的直线最多可以作3条.【例3】如图，下列条件中不能判定的是（）A ．B．C ．D．【答案】A考点：三角形相似的判定．【例4】如图，在四边形ABCD中，AD、BD相交于点F，点E在BD上，且,（1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．【答案】（1）∠1=∠2；（2）△ABE∽△ACD．【解析】试题分析：（1）由，得到△ABC∽△AED，推出∠BAC=∠EAD，即可得到∠1=∠2；（2）由，得，根据两边对应成比例且夹角相等得到△ABE∽△ACD．试题解析：（1）∠1与∠2相等．在△ABC和△AED中，∵，∴△ABC∽△AED，∴∠BAC=∠EAD，∴∠1=∠2．（2）△ABE与△ACD相似．由，得，在△ABE和△ACD中，∵，∠1=∠2，∴△ABE∽△ACD．考点：相似三角形的判定与性质．【例5】如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________.【答案】8.5【解析】试题分析：因为△ADE∽△ABC，所以, 又因为AD=3，DC=4，AE=2，所以,解得BE=8.5.考点：相似三角形的性质.【例6】如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）9．考点：1．等边三角形的性质；2．相似三角形的判定与性质．【名师指南】备考兵法：1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定， 要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题， 关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．3．用直角坐标系中的点描述物体的位置， 用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．注意问题：1.在探索三角形是否相似时，我可以参照学习全等的方法（全等是相似的一种特殊情况）：（1）寻找：缺什么找什么，例如已经知道有两边对应成比例，证明其夹角相等，则必定是证第三边也成比例；已知一组角相等，要证明夹这个角的两边成比例，则必定是再找一组角相等；等等．（2）构造：对于在题目中不能直截找到相似三角形的问题，我们还可以通过作辅助线的方法构造相似三角形，实现线段或角的转化将问题解决．当然这种情况要有一定的想象力与比较扎实的基础．（3）学会灵活转化：角的替换、比例式的替换、相等线段的替换，可以让我们更快捷地寻找证明相似的条件．2.在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：（1）比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．（2）利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解．（3）应当根据求解的问题的形式，灵活把所得到比例式进行加减乘除运算，实现问题的转化．（4）在图形中注意添加辅助线的方法构造相似三角形或相似三角形的对应量．相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法： (1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” (2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)一、题目描述在初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。

本文为您提供一些经典的相似三角形练习题，通过解答这些练习题可以提高学生的解题能力和对相似三角形的理解。

本文附有详细的参考答案，供学生进行自我检测和复习。

二、练习题1. 已知△ABC和△DEF相似，AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，DE = 9cm，计算EF的长度。

2. △ABC与△DEF相似，AB = 2cm，BC =3.5cm，AC = 4cm，EF= 7cm，求DE的长度。

3. 在△ABC中，角A的度数为50°，角B的度数为70°，BC = 8cm。

若与△ABC相似的三角形的边长分别为10cm和12cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。

4. 在△ABC中，∠B = 90°，AC = 10cm，BC = 12cm。

若与△ABC相似的三角形的第二边为16cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。

5. 已知△ABC与△DEF相似，AB = 6cm，AC = 8cm，DE = 12cm，若EF = 18cm，求BC的长度。

6. 高度为5cm的小树和高度为12cm的大树的影子长度之比为2:3。

如果小树的影子长度为10cm，求大树的影子长度。

7. 一个航拍无人机垂直飞行，发现自己离地面的垂直距离与航拍无人机的长度（包括机身和旋翼）的比例为3:2。

如果航拍无人机的长度为120cm，求离地面的垂直距离。

8. 在一个旅游小组中，由5名成年人和7名儿童组成，其平均年龄为30岁。

如果另一个旅游小组由2名成年人和3名儿童组成，其平均年龄为24岁。

求这两个旅游小组的总年龄之比。

三、参考答案1. 根据相似三角形的性质可知，EF与AC的比例应与DE与BC的比例相等。

即 EF/AC = DE/BC。

代入已知值，得 EF/10 = 9/8。

初二数学上册综合算式专项练习解相似三角形的边长比面积比问题在数学学科中，相似三角形是一个重要的概念。

相似三角形指的是各对应角相等的两个或多个三角形。

当我们遇到相似三角形时，解决的一个常见问题是求解相似三角形的边长比和面积比。

在初二数学上册的综合算式专项练习中，我们来具体探讨解决这一问题的方法和技巧。

一、相似三角形的特点相似三角形的边长比和面积比是我们研究相似三角形时的主要问题。

这可以帮助我们理解相似三角形之间的关系，并在解题过程中提供有用的信息。

在两个相似三角形中，对应边的比值是相等的。

例如，如果两个相似三角形的边长比为2:1，那么这两个三角形的底边的长度比值也是2:1。

根据这个特点，我们可以利用已知的边长比来推导出其他未知的边长。

此外，相似三角形的面积比是对应边长比平方的结果。

如果两个相似三角形的边长比为2:1，那么这两个三角形的面积比就是4:1。

通过这个特点，我们可以计算出两个相似三角形之间的面积比。

二、解相似三角形的边长比问题解决相似三角形的边长比问题需要根据已知条件进行推理和计算。

以下是一些常用的方法：1. 利用边长比的比例关系如果我们已知两个相似三角形的边长比为a:b，而且其中一个三角形的边长已知，那么我们可以通过比例关系计算出另一个三角形的边长。

例如，如果我们已知一个三角形的底边长是5，且两个三角形的边长比为2:1，那么我们可以通过比例关系计算出另一个三角形的底边长是2.5。

2. 利用面积比计算边长比如果我们已知两个相似三角形的面积比为A:B，而且其中一个三角形的边长已知，那么我们可以通过面积公式（面积=底边×高/2）计算出另一个三角形的边长。

例如，如果我们已知一个三角形的底边长为6，面积比为4:1，那么我们可以通过面积公式计算出另一个三角形的底边长为3。

3. 利用相似三角形的比例性质相似三角形具有比例性质，即各对应线段的比值相等。

利用这一性质，我们可以设立方程来求解未知边长。