2020_2021学年高二数学上册运用立体几何中的向量方法解决平行问题同步练习pdf含解析

2.4《立体几何中的向量方法》同步练习一、选择题1在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ．43 B ．23 C ．433 D ．32．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A.60ºB. 90ºC.105ºD. 75º3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是（ ）A ．15 B 。

13C 。

12D4．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．65、如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值是（ ）（A ）23 （B ）1010 （C ）52（D ）53 二、填空题6 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为 。

7.如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 。

8．正四棱锥P -ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 中点，则直线AC 与截面BDE 所成ABMDC的角为 。

9.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 。

三、解答题10.已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==。

班级______________姓名________________座号____________1、设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k ),若α∥β,则k 等于( ) A.2B.-4C.4D.-22、若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内3、若两个不同的平面α与β的法向量分别是a =(1,0,-2),b =(-1,0,2),则平面α与平面β的关系是 ( ) A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断4、若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为u ,则能使l ∥α的是( )A.a =(1,0,0),u =(-2,0,0)B.a =(1,3,5),u =(1,0,1)C.a =(0,2,1),u =(-1,0,1)D.a =(1,-1,3),u =(0,3,1)5、已知直线l 的方向向量a =(2,3,13),平面α的法向量为n =(6,λ,-12),若l ∥α,则λ的值是( ) A.4B.−7118C.253D.−2366、给出下列命题:①若n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则n 1∥n 2⇔α∥β; ②若n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n 1·n 2=0; ③若n 是平面α的法向量,且向量a 与平面α共面,则a ·n =0.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.07、在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()) B.(1,√2,1) C.(1,1,1) D.(2,-2,1)A.(1,1,128、已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=(k,k+3,3),若a2∥b,则k=.9、已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且a·n=12,n·b=14,则n=.10、已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则αβ.(填“⊥”或“∥”)11、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=π,PP⊥底面ABCD,PA=2,点M为PA的中点,点N为BC的中点.AF 4⊥CD于点F,如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD.12、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:平面AMN∥平面EFBD.13、如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF ⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,求证:FH∥平面EDB.1、解析:∵α∥β,∴1-2=2-4=-2k,∴k =4.答案:C2、解析:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内.答案:D3、解析:∵a=-b ,∴a ∥b ,∴α∥β.答案:A4、解析:∵l ∥α,∴a ⊥u ,即a ·u =0.故选D .答案:D5、解析:∵l ∥α,∴a ⊥n ,即a ·n =0,∴2×6+3λ−16=0,解得λ=−7118.答案:B6、解析:①中,α与β可能重合;②中,α∥β可得到n 1∥n 2.答案:A7、解析:PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0).设平面PAB 的一个法向量为n =(x ,y ,1),则{x -2=0,-x +y =0,解得{x =2,y =2,∴n =(2,2,1).又(1,1,12)=12n ,∴A 正确.答案:A8、解析:①当k=0时,a 与b 不平行.②当k ≠0时,由4k =k k+3=k -132,解得k=-2.答案:-29、解析:设n =(0,y ,z ),由题意得{3y +5z =12,4y +6z =14,解得{y =-1,z =3.故n =(0,-1,3).答案:(0,-1,3)10、解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),则n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1×0+(−1)×1+(−1)×(−1)=0,n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1×1+(−1)×0+(−1)×(−1)=0.又α与β不重合,故α∥β.答案:∥11、解:由题设知,在Rt △AFD 中,AF=FD =√22,A (0,0,0),B (1,0,0),F (0,√22,0),D (-√22,√22,0),P(0,0,2),M(0,0,1),N (1-√24,√24,0). MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-√24,√24,-1),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,-2),PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,√22,-2).设平面PCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·PF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PD⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{√22y -2z =0,-√22x +√22y -2z =0,令z =√2,得n =(0,4,√2).因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =(1-√24,√24,-1)·(0,4,√2)=0,且MN ⊄平面PCD ,所以MN ∥平面PCD.12、证法一:建立如图所示的空间直角坐标系,取MN ,DB 及EF 的中点R ,T ,S ,连接RA ,ST ,则A (2,0,0),M (1,0,4),N (2,32,4),D (0,0,0),B (2,3,0),E (0,32,4),F(1,3,4),R (32,34,4),S (12,94,4),T (1,32,0),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,32,0),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,32,0),AR⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,34,4),TS ⃗⃗⃗⃗ =(-12,34,4).∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AR⃗⃗⃗⃗⃗ =TS ⃗⃗⃗⃗ , ∴MN ∥EF ,AR ∥TS ,∴MN ∥平面EFBD ,AR ∥平面EFBD.又MN ∩AR=R ,∴平面AMN ∥平面EFBD. 证法二:由证法一可知,A (2,0,0),M (1,0,4),N (2,32,4),D(0,0,0),E (0,32,4),F(1,3,4),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,4),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,4),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,4),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,4).设平面AMN ,平面EFBD 的法向量分别为n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 1·AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x 1+4z 1=0,32y 1+4z 1=0,令x 1=1,得z 1=14,y1=−23.又{n 2·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{32y 2+4z 2=0,x 2+3y 2+4z 2=0,令y 2=-1,得z 2=38,x 2=32.∴n 1=(1,-23,14),n 2=(32,-1,38).∴n 2=32n1,得n 1∥n 2.∴平面AMN ∥平面EFBD.13、证明:∵四边形ABCD 为正方形,∴AB ⊥BC.又EF ∥AB ,∴EF ⊥BC.又EF ⊥FB ,FB ∩BC=B ,∴EF ⊥平面BFC ,∴EF ⊥FH.∴AB ⊥FH.又BF=FC ,H 为BC 的中点,∴FH ⊥BC.又AB ∩BC=B ,∴FH ⊥平面ABC.以H 为坐标原点,HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴正方向,HF ⃗⃗⃗⃗⃗ 为z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设BH=1,则F (0,0,1),HF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设AC 与BD 的交点为G ,连接GE ,GH ,则E (0,-1,1),G (0,-1,0),∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).∴HF ⃗⃗⃗⃗⃗ =GE⃗⃗⃗⃗⃗ ,即HF ∥GE. ∵GE ⊂平面EDB ,FH ⊄平面EDB ,∴FH ∥平面EDB.。

课时分层作业(六）（建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A．a＝(1，0,0)，n＝（－2,0,0)B．a＝（1,3,5)，n＝（1，0，1）C．a＝（0,2,1),n＝(－1,0，－1）D．a＝（1,－1,3），n＝（0，3，1）D［若l∥α,则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D。

]2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5），n ＝(－6，－2,10),则（)A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对B[因为m＝(3,1，－5)，n＝（－6，－2，10),所以有n＝－2m，即m与n共线（平行），可知平面α和平面β相互平行．答案选B。

]3．平面α的法向量u＝（x，1，－2）,平面β的法向量v＝错误!，已知α∥β,则x＋y＝(）A．错误!B．错误!C．3 D．错误!A[由题意知,∵α∥β，∴u＝λv,即错误!解得λ＝－4，y＝－错误!，x＝4，∴x＋y＝4－错误!＝错误!.]4．已知平面α内有一个点A(2，－1，2）,α的一个法向量为n＝(3，1,2）,则下列点P中，在平面α内的是（）A．(1，－1，1）B．错误!C．错误!D．错误!B［对于B，错误!＝错误!，则n·错误!＝(3,1，2）·错误!＝0，∴n⊥AP→，则点P错误!在平面α内．]5.如图,在正方体ABCD.A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点,则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(）A．(1，－2,4）B．（－4，1,－2）C．（2，－2，1）D．(1,2，－2)B［设正方体棱长为2，则A(2，0，0）,E(2,2,1），F(1,0,2），∴错误!＝（0，2,1），错误!＝（－1，0,2)设向量n＝（x，y，z)是平面AEF的一个法向量则错误!，取y＝1，得x＝－4，z＝－2∴n＝(－4，1,－2）是平面AEF的一个法向量因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.］二、填空题6．若直线l的方向向量为a＝（1，－2，3）,平面α的法向量为n＝(2，x，0)，若l∥α，则x的值等于________．1［由l∥α可知a·n＝0,即2－2x＝0，所以x＝1。

2021年高中数学 3.2立体几何中的向量方法（一）空间向量与平行关系课时作业新人教A版选修2-1课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系．1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量，一条直线的方向向量有________个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的____________a，则向量a叫做平面α的__________．3．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m⇔______________⇔__________⇔________________________.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________⇔________________________.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔__________⇔__________⇔________________________.一、选择题1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是( )A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( ) A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( )A ．(－9，－7,7)B ．(18,17，－17)C ．(9,7，－7)D ．(－14，－19,31) 5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定6．已知线段AB 的两端点的坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则与线段AB 平行的坐标平面是( )A ．xOyB ．xOzC ．yOzD ．xOy 或yOz二、填空题7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________________________．8．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________. 9.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥面DCC 1D 1； ④A 1M ∥面D 1PQB 1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题10．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．11.如图所示，在空间图形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD.【能力提升】12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.13.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．平行关系的常用证法（1）证明线线平行只需要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB ∥CD只需证AB →＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．(2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转化为线线平行问题，再利用向量进行证明．§3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系知识梳理1．平行 重合 无数 2．方向向量 法向量3．(1)a∥b a ＝λba 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0) (2)a⊥u a·u ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0(3)u∥v u ＝k v a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)作业设计1．D [只要是与向量n 共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.]2．A [∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A.]3．C [显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0，b·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1，∴n ＝(－2,1,1)．]4．B [设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ，又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]5．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →的关系判断．]6．C [AB →＝(0,5，－3)，AB 与平面yOz 平行．]7.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－338．－8解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 9．①③④解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝D P →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1. 又D 1P ⊂面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1. ∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行．10．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2yz ＝0.令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 方法一 ∵∠PBC ＝30°，PC ＝2， ∴BC ＝23，PB ＝4.于是D (1,0,0)，C (0,0,0)，A (4,23，0)，P (0,0,2)． ∵PB ＝4PM ，∴PM ＝1，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，32.∴CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3，23，0)．设CM →＝xDP →＋yDA →，其中x ，y∈R .则⎝⎛⎭⎪⎫0，32，32＝x (－1,0,2)＋y (3,23，0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝023y ＝322x ＝32，解得x ＝34，y ＝14.∴CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .方法二 由方法一可得CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3,23，0)．设平面PAD的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有，即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝03x ＋23y ＝0.令x ＝1，解得z ＝12，y ＝－32.故n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，12. 又∵CM →·n ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，32·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，12＝0.∴CM →⊥n ，又CM ⊄平面PAD . ∴CM ∥平面PAD .12．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1∉A 1D ， ∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)， O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，－1， OC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0.设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0， ①－12x 0＋12y 0＝0， ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴B 1C →⊥n ，且B 1C ⊄平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.13．解 方法一 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →. ∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ， ∴BF ∥平面AEC . 方法二如图，以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系．由题意，知相关各点的坐标分别为A (0,0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，D (0，a,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，13a . 所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，13a ，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，AP →＝(0,0，a )，PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，－a ，BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－32a ，12a ，a . 设点F 是棱PC 上的点，PF →＝λPC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32aλ，12aλ，－aλ，其中0<λ<1，则BF →＝BP →＋PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a λ－1，12a 1＋λ，a 1－λ，令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2.解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即λ＝12时，BF →＝－12AC →＋32AE →，即F 是PC 的中点时，BF →、AC →、AE →共面．又BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时， BF ∥平面AEC .20443 4FDB 俛[33307 821B 舛26332 66DC 曜h31521 7B21 笡#N 29735 7427 琧; D27949 6D2D 洭。

课时同步练1.4.3运用立体几何中的向量方法解决距离与角度问题一、单选题1．已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若1cos ,2m n =-，则l 与α所成的角为（ ）A ．030B ．060C ．0120D ．0150【答案】A【解析】设线面角为θ，则1sin cos ,,302m n θθ=〈〉==. 故选A2．三棱锥A BCD -中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为1n ，2n ，若12,3n n π<=>，则二面角A BD C --的大小为（ ）A ．3π B ．23π C ．3π或23π D ．6π或3π【答案】C【解析】因为法向量和平面垂直，所以法向量所成角与二面角相等或者互补， 由于从图形中无法判定二面角A BD C --是锐角还是钝角， 所以二面角A BD C --的大小为3π或23π. 故选C.3．平面α的一个法向量为1n ＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为2n ＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为（ ）A ．925-B ．925C ．725D ．以上都不对【答案】B【解析】∵()14,3,0n =，()203,4n =，－，∴|1n ，|2n1n •2n =4×0+3×()3-+0×（﹣1）=-9因此，向量1n 与2n 的夹角θ满足cosθ=1212n n n n ⋅⋅=955-⨯=925- 又∵向量1n 、2n 分别为平面α和平面β的法向量∴平面α与β夹角等于向量1n 、2n 的夹角，故平面α与β夹角的余弦值等于925故选B ．4．在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C【解析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴、y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，如图设1AD =，则()1,0,1E ，()0,1,2F ，()0,0,1G ，()1,2,0B ， 所以()1,1,1EF =-，()1,2,1BG =--，0EF BG ⋅=， 所以EF BG ⊥，所以异面直线EF 与BG 所成角的大小为90︒， 故选C.5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，2CA CB =，13CC CB =，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）ABCD ．235【答案】A 【解析】2CA CB =，13CC CB =，∴设1CB =，根据题意得，()0,0,1B ,()10,3,0C ,()2,0,0A ,()10,3,1B .()10,3,1BC =-,()12,3,1AB =-,∴111111cos ,3510BC AB BC AB BC AB ⋅===⋅.故选A.6．如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，2AB =，E 为PB 的中点，cos DP 〈，3AE =〉DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为（ ）A ．()1,1,1B ．11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2【答案】A【解析】设||(0)PD a a =>，则(2,A 0,0)，(2,2,0)B ，(0,0,)P a，(1,E 1,)2a ，(0,DP ∴=0,)a ，(1,1,)2aAE =-，3cos ,DP AE >=<223a ∴=， 2,a E ∴=∴的坐标为(1,1,1)，故选A ．7．若平面α的一个法向量为n =（1，2，1），A （1，0，﹣1），B （0，﹣1，1），A ∉α，B ∈α，则点A 到平面α的距离为（ ）A ．1B ．6C ．3D ．13【答案】B【解析】(1,1,2)AB =--，根据点到平面的距离公式可得点A 到平面α的距离为1AB n n⋅-⨯==故选B8．直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，11AB BC CC ===，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．12C D ．34【答案】D【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒， 取AC 中点O ，11AB BC CC ===，则OB A C ⊥， 所以2sin 60AC BC =︒=，以AC 的中点O 坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，以过点O 垂直平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，11,0,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，1C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以11,22AB ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，11,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则111113134cos 42AB BC AB BC θ-++⋅===⋅. 故选D9．四棱锥S -ABCD 中(4,2,3)AB =-，(4,1,0)AD =-，(3,1,4)AP =--，则这个四棱锥的高h 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】在四棱锥P ABCD -中，(4AB =，2-，3)，(4AD =-，1，0)，(3AP =-，1，4)-， 设平面ABCD 的法向量为：(n x =，y ，)z ．则00AB n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得：423040x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3x =，则12y =，4z =，可得(3n =，12，4)．(3AP =-，1，4)-在平面ABCD 上的射影就是这个四棱锥的高h ，|||cos h AP AP =<，|91216||||1||13AP n n n ⋅-+->===． 故选A ．10．在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，4AB BC BD ===，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点，则直线EF 与平面ACD 所成角的余弦值（ ）A ．13B ．3C ．3D ．3【答案】C【解析】因为在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直， 以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系，又因为4AB BC BD ===；()4,0,0,(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4)A B D C ，又因为E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点所以(0,0,2),(2,2,0)E F故()2,2,2EF =- ，(4,4,0)AD =- ，(4,0,4)AC =-.设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n AD n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩令1,x = 则1y z ==； 所以(1,1,1)n =1cos ,3||||3EF n EF n EF n ⋅〈〉===设直线EF 与平面ACD 所成角为θ ，则sin θ= cos ,EF n 〈〉所以cos 3θ== 故选C11．已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD两两垂直，BC BD ==AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（ ） ABCD【答案】D【解析】以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt ，0t >，()0,0,0B，)C，()D ，0,0,A t .0,0,AB t ，2,0,CAt ，2,2,0CD.设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则2020n CA tz n CD ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得1y =，z t =故21,1,n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为12， 所以直线AB 与平面ACD. 即AB nAB nt ⋅==⋅⋅，解得2t =.所以平面ACD 的法向量21,1,2n ⎛= ⎝⎭，故B 到平面ACD的距离为51AB n d n⋅===+.故选D12．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ）A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥， 所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CB x x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值22311cos α11113CD AB CD ABx x， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ， 所以二面角C AB D --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22， 所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110cos β11CD CB CD CB ，因为311211112， 所以2γβα≤≤，故选A.二、填空题13．已知,m n 是直线l 的方向向量和平面α的法向量，若1,2cos m n <>=-，则l 与α所成的角为________.【答案】30°【解析】设l 与α所成的角为θ，则1sin =cos ,2m n θ=， 所以=30θ︒. 故填30︒.14．在空间直角坐标系O xyz -中，(1,2,1)A -，(1,1,1)B ，(0,1,2)C ，则异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为______.【解析】由(1,2,1)A -，(1,1,1)B ，(0,1,2)C ， 则(1,2,1)OA =-,(1,0,1)BC=-,则向量OA 与BC 所成角的余弦值为36OA BC OA BC⋅==-,则异面直线OA 与BC15．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，12AF AD a ==，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为___________.【解析】由于平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，故,,AF AB AD 两两垂直，以点A 为原点建立空间直角坐标系如图所示，由12AF AD a ==，则()()(),,0,0,2,0,0,2,2G a a B a C a a ，所以(),,0GB a a =-.设平面AGC 的法向量为(),,n x y z =，则2200n AC ay az n AG ax ay ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =可得平面AGC 的法向量坐标为(1,1,1)n =-，于是所求线面角的正弦值为33n GB n GB⋅==⋅.16．在三棱柱111ABC A B C -中，()16,2,8AA =--，()4,2,3BC =-，()114,1,0A B =-，则该三棱柱的高为______．【答案】2【解析】由题意知：()114,1,0A B AB ==- 该三棱柱的高即点1A 到平面ABC 的距离d设(),,n x y z =是平面ABC 的一个法向量则423040n AB x y z n BC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1x =，解得：4y =，43z =41,4,3n ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭1326832133n AA d n-+-⋅∴===故填217．在正四棱锥S ABCD -中，O 为顶点S 在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO OD =，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．【答案】30°【解析】如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a (a ＞0)， 则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，(0,,)22a aP -. 则(2,0,0)CA a =，(,,)22a aa AP =--，(,,0)CB a a =． 设平面P AC 的法向量为n ，则,,n AP n CA ⊥⊥即2002ax a aax y z x =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，得0x =，令1y =，则1z = (0,1,1)n ∴=,则1cos ,2||||2CB n CB n CB n ⋅<>===.∴,60CB n <>=︒.∴直线BC 与平面P AC 所成的角为90°－60°＝30°. 故填30.18．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1,点,E F 分别在直线1,AA BC 上, 若直线EF 与棱11C D 相交, 则1A E CF +的最小值是．【答案】2【解析】建立如图所示坐标系，则.设是C 1D 1上任意一点，则，故，即，也即.，所以，将代入可得，因，故，当且仅当时取等号.故填2三、解答题19．如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ∆为正三角形，ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为AC 、BP 中点.（1）证明：//EF 平面PCD ；（2）求直线BP 与平面PAC 所成角的正弦值. 【解析】（1）连接BD ，∵ABCD 是正方形，E 是AC 的中点，∴E 是BD 的中点， ∵F 是BP 的中点，∴//EF PD ，∵EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PBD ，∴//EF 平面PCD . （2）建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则()0,1,0B ，)P，()0,1,0A -，()0,1,2C ，()3,1,0BP =-，()3,1,0AP =，()0,2,2AC =，设平面PAC 的法向量(),,n x y z =，则0220y y z +=+=⎪⎩，取y =(1,3,n =-， 设BP 与平面PAC 所成角为θ，则23sin cos ,727BP n θ===⨯.20．如图所示，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且2DB DC DA ===，E 为BC 的中点．（1）证明：AE BC ⊥；（2）求直线AE 与DC 的夹角的余弦值．【解析】如图，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，由题意可得()0,0,0D ，()0,0,2A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()1,1,0E ． （1）因为()1,1,2AE =-，()2,2,0BC =-，所以()()1212200AE BC ⋅=⨯-+⨯+-⨯=， 所以AE BC ⊥，即AE BC ⊥．（2）因为()1,1,2AE =-，()0,2,0DC =，所以cos ,6AE DC AE DC AEDC⋅===， 所以直线AE 与DC 21．如图，长方体1111ABCD A B C D -被经过1BD 的动平面α所截，α分别与棱1CC ，1AA 交于点M ，N ，得到截面1BMD N ，已知1AB BC ==，1DD =（1）求证：MN BD ⊥；（2）若直线AB 与截面1BMD N 所成角的正弦值为4，求AN 的长. 【解析】（1）以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，(1D .依题意易得1AN CM DD +==()()1,0,Nt t ⎡∈⎣，则()M t ，所以(1,1,2MN t =-，而()1,1,0DB =，所以0MN DB ⋅=，所以MN BD ⊥.（2）因为()0,1,0AB =，()0,1,BN t =-，(11,BD =--，设平面1BMD N 的法向量为(),,n x y z =，则10BN n y zt BD n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，则()3,,1n t t =-，设直线AB 与截面1BMD N 所成角为θ，所以sin cos ,AB n θ===解得t =，所以AN =. 22．如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥ 且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥ 因为CDPD D =所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ， 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-， 设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y mx z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，则cos ,3n PB n PB n PB⋅<>==根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>=3=3333=≤=，当且仅当1m =时取等号，所以直线PB 与平面QCD .。

1.4.1 运用立体几何中的向量方法解决平行问题重点练一、单选题1．已知a 为平面α的法向量， A ，B 是直线b 上的两点，则a ·AB =0是直线b ∥α的（ ）条件 A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分又不必要2．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l α⊄，则使//l α成立的是（ ） A ．()1,1,2a =-，()1,1,2n =--B ．()2,1,3a =-，()1,1,1n =-C ．()1,1,0a =，()2,1,0n =-D ．()1,2,1a =-，()1,1,2n = 3．下列四个说法：①若向量{},,a b c 是空间的一个基底，则{},,a b a b c +-也是空间的一个基底．②空间的任意两个向量都是共面向量．③若两条不同直线,l m 的方向向量分别是,a b ，则l ∥m a ⇔∥b ．④若两个不同平面,αβ的法向量分别是,u v 且(1,2,2),(2,4,4)μν=-=--，则α∥β． 其中正确的说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知平面α的法向量为(1,1,1)n =-，直线AB 与平面α相交但不垂直，则向量AB 的坐标可以是（ ） A ．(2-，2，2)-B ．(1，3，2)C ．(2，1，1)-D ．(1，2，3)二、填空题5．平面α的一个法向量为(),2,100m k k =，直线l 的一个方向向量为(),1,0n k =-，若//l α，则k =______.6．已知平面α内的三点A (0，0，1)，B (0，1，0)，C (1，0，0)，平面β的一个法向量()111n ＝－，－，－，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．三、解答题7．如图，已知四边形ABCD为菱形，且60∠=，取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至AEF平面AGH时，求λ的值.EBHG，使得90AEG∠=.若点F满足AF ABλ=，当//参考答案1．【答案】A【解析】因为向量a 是平面α的法向量，则a α⊥，若0a AB =，则//AB α，则向量AB 所在直线b 平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立， 若向量AB 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//AB α， 向量a 是平面α的法向量，∴a α⊥，则a AB ⊥，即0a AB =，即必要性成立，则0a AB =是向量AB 所在直线b 平行于平面α的必要条件，故选A ．2．【答案】B【解析】由题意，只有B 中(2,1,3)(1,1,1)2130a n ⋅=-⋅-=--+=，所以a n ⊥，故l a // 故选B3．【答案】D【解析】①若向量{},,a b c 是空间的一个基底，则{},,a b a b c +-也是空间的一个基底，正确． ②空间的任意两个向量都是共面向量，正确．③若两条不同直线l ，m 的方向向量分别是,a b ，则l ∥m a ⇔∥b ，正确．④若两个不同平面α，β的法向量分别是,u v ，且(1,2,2),(2,4,4)μν=-=--，∵2v u =， 则α∥β．其中正确的说法的个数是4故选D4．【答案】D【解析】选项A 的向量与n 平行，从而线面垂直，选项B 、C 的向量与n 垂直，从而线面平行或线在面内，而选项D 的向量与n 不平行，也不垂直；∴AB 的坐标可以是（1，2，3）．故选D ．5．【答案】0或2【解析】由题,因为//l α,则m n ⊥,即220m n k k ⋅=-=,解得2k =或0k =,故填0或26．【答案】//αβ【解析】设平面α的法向量为(,,)m x y z =，由m ·AB ＝0，得00x y z y z ⋅+-=⇒=，由m ·AC ＝0，得0x z x z -=⇒=，取1x =，∴m ＝(1，1，1)，m n =-，∴//m n ，∴//αβ.故填//αβ7．【答案】12λ=. 【解析】设菱形ABCD 的边长为2，由（Ⅰ）可知AE GE ⊥，AE BE ⊥，GE BE ⊥. 所以以E 为原点，EA 、EB 、EG 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图空间坐标系.可得()1,0,0A ，()B ，()0,0,0E ，() 1,0,0AB =-，()AB =-.由(),0AF AB λλ==-，()()(),01,0,01,0EF AF AE λλ=-=---=-， 因为//EF 平面AGH ，则0n EF ⋅=，即120λ-=，所以12λ=.。

2021年高中数学 2.4用向量讨论垂直与平行练习 北师大版选修2-1一、选择题1．若平面α，β的一个法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．12B ．－12C ．10D ．－10[答案] D[解析] ∵α⊥β，∴它们的法向量也互相垂直， ∴(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10， 故选D ．2．(xx·四川省成都七中期末)已知直线l 过点P (1,0，－1)且平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，则平面α的法向量不可能．．．是( ) A ．(1，－4,2) B ．(14，－1，12)C ．(－14，1，－12)D ．(0，－1,1)[答案] D[解析] 因为PM →＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的法向量，则必须满足⎩⎨⎧n ·a ＝0n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D ．3．在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)． ②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)． ③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)． ④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)． 其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] DD 1∥AA 1，AA 1→＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→与平面B 1CD 不垂直，∴④错．4．已知平面α内有一点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1,3，－32)[答案] B[解析] 要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA →与平面的法向量n 是否垂直，即判断PA →·n 是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，PA →＝(1，－4，12)，则PA →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故选B ．5．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,4)，且l 1⊥l 2，则x ＋y ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法确定[答案] A[解析] ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，a·b ＝0，∴4＋4y ＋4x ＝0，即x ＋y ＝－1.6．若直线l 的方向向量为a ＝(1,1,1)，向量b ＝(1，－1,0)和向量c ＝(0,1，－1)所在的直线都与平面α平行，则( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．lαD ．以上都不对[答案] A[解析] ∵(1,1,1)·(1，－1,0)＝0，(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，∴a ⊥b ，a ⊥c ，又b 与c 不平行且b 、c 所在的直线都与平面α平行，∴l ⊥α.二、填空题7．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则实数x ＝________________，y ＝________________，z ＝________________.[答案] －64 －26 －17[解析] 因为a ，b ，c 两两垂直，所以a ·b ＝b·c ＝c·a ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ，2，－4·－1，y ，3＝0－1，y ，3·－1，－2，z ＝0，1，－2，z ·x ，2，－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－64y ＝－26z ＝－17.8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________________．[答案] (－12，12，1)[解析] 设M (x ，y ，z )，又AB →＝(－1,1,0)，AM →＝(x ，y ，z －1)，CM →＝(x －1，y －2，z ＋3)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＋y －2＝0，x ＝－y ，z －1＝0.∴x ＝－12，y ＝12，z ＝1，∴点M 的坐标为(－12，12，1)．三、解答题9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明PA ∥平面EDB ； (2)证明PB ⊥平面EFD ．[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝A ． (1)连接AC 、AC 交BD 于G ，ABCD 为正方形，∴G 为AC 中点，连接EG . 简解：又E 为PC 中点∴PA ∥GE 又GE平面BDE ，P A ⃘平面BDE ∴PA ∥平面BDE(2)依题意，得B (a ，a,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a 2)．∴PB →＝(a ，a ，－a )．又DE →＝(0，a 2，a 2)，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE .又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E . ∴PB ⊥平面EFD ．10．如图， 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD ＝G .求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.[证明] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由题意知：D (0,0,0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，B 1E →＝(0，－2，－4)，EF →＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则n ·B 1E →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0. 解得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－24)， 又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0)， 而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0，即n ⊥AC →.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.一、选择题1．如图，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°，E 为AC 的中点，那么以下向量为平面ACD 的法向量的是( )A ．BA →B ．BD →C ．BC →D ．BE →[答案] B[解析] 方法一：判断平面ACD 的法向量，可以从平面ACD 中找出AC →，AD →，CD →中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得．方法二：直接利用已知边角关系判断线面垂直．设AD ＝1，则BD ＝CD ＝1.因为△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，所以AB ＝AC ＝ 2.又因为∠BAC ＝60°，所以BC ＝ 2.所以△BCD 也是直角三角形，且BD ⊥CD ，从而可得BD ⊥平面ACD ．2．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1[答案] B[解析] a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )， 2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)， ∵(a ＋2b )∥(2a －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ2－x 4＝3λ4－y ＝－2y －2λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－43．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，3,2)，则( ) A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1，l 2相交但不垂直D ．l 1，l 2的关系不能确定[答案] B[解析] a ·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0， ∴a ⊥B ．∴l 1⊥l 2.4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) [答案] D[解析] AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，BC →＝(0，－1,1)．设平面ABC 的一个单位法向量为u ＝(x ，y ，z )，则u ·AB →＝0，u ·AC →＝0，得x ，y ，z 之间的关系，且x 2＋y 2＋z 2＝1，求值即可．二、填空题5．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________________．[答案] ①②③[解析] AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →. AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →， ∵AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，AB →∩AD →＝A ，∴AP →⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．6．如图，已知矩形ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________________．[答案] 2[解析] 先建立如图所示的空间直角坐标系，设|BQ →|＝b ，则A (0,0,0)，Q (1，b,0)，P (0,0,1)，B (1,0,0)，D (0，a,0)，所以PQ →＝(1，b ，－1)，QD →＝(－1，a －b,0)．∵PQ →⊥QD →，∴b 2－ab ＋1＝0. ∵b 只有一解，∴Δ＝0，可得a ＝2. 三、解答题7．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．[证明] (1)以A 为原点，AB →、AD →、AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E (a 2，1,0)，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝(－a 2，1，－1)，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝(a 2，1,0)．∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥ AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE .此时DP →＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥ AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，－a2，－a )．要使DP ∥平面B 1AE ，只要n⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.8．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱DD 1上是否存在点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．[解析] 假设点P 存在，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为a ，DP ＝m (0≤m ≤a )，则由正方体的性质知，CC 1⊥BD ，AC ⊥BD ，CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1，因此，DB →＝(a ，a,0)是平面ACC 1的一个法向量． ∵平面APC 1⊥平面ACC 1，∴DB →在平面APC 1内或与平面APC 1平行， ∴存在实数x 与y ，使得DB →＝xAC 1→＋yAP →. ∵AC 1→＝(－a ，a ，a )，AP →＝(－a,0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－ax －aya ＝ax ＋00＝ax ＋my，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2m ＝12a.∴点P 存在，且当点P 为DD 1的中点时，平面APC 1⊥平面ACC 1.33760 83E0 菠38140 94FC 铼40011 9C4B 鱋t 220665632 嘲m 30188 75EC 痬<36439 8E57 蹗&28402 6EF2 滲U26978 6962 楢。

1.4.2 运用立体几何中的向量方法解决垂直问题基础练一、单选题1．平面α的法向量(2,2,2)u =-，平面β的法向量(1,2,1)v =，则下列命题正确的是（ ）A ．α、β平行B ．α、β垂直C ．α、β重合D ．α、β不垂直2．若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =，平面α的法向量为(2,0,4)n =--，则（ ）A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．l 与α斜交3．已知平面α的法向量为()4,3,7-，若直线l ⊥平面α，则直线l 的方向向量可以为（ ）A ．()8,6,14B ．()8,6,14--C ．254,3,7⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．253,4,7⎛⎫ ⎪⎝⎭4．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，()2,1,4AB =--，()4,2,0AD =，()1,2,1AP =--，则直线PA 与底面ABCD 的关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．在平面内D ．成60°角5．已知点()2,1,2A -在平面α内，()3,1,2n =是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（ ）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,2P ⎛⎫--⎪⎝⎭6．已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱CD 的中点，给出以下结论：①11A P C D ⊥；②1A P BD ⊥； ③11A P BC ⊥；④1A P⊥平面1BC D其中正确命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题7．若平面α、β的法向量分别为()2,3,5u =-，()3,1,4v =--，则α与β的位置关系是________． 8．设(2,2,),(6,4,5)u t v =-=-分别是平面,αβ的法向量，若αβ⊥，则实数t 的值是________． 9．已知直线l 的一个方向向量()2,3,5d =，平面α的一个法向量()4,,u m n =-，若l α⊥，则m n +=______．三、解答题10．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：//NM 平面11A ADD ； （2）求证：NM ⊥平面11A B M ．参考答案1．【答案】B【解析】平面α的法向量(2,2,2)u =-，平面β的法向量(1,2,1)v =， 因为2420u v =-+=， 所以两个平面垂直． 故选B ． 2．【答案】B【解析】∵(1,0,2)a =，(2,0,4)n =--， ∴2n a =-，即//a n . ∴l α⊥. 故选B 3．【答案】B【解析】因为直线l ⊥平面α，故直线l 的方向向量与平面α的法向量平行， 因为()8,6,142--=-()4,3,7-, 故选B. 4．【答案】B【解析】依题意()1,2,1PA AP =-=-，而2240,4400PA AB PA AD ⋅=+-=⋅=-+=，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，而AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD .故选B 5．【答案】B【解析】对于选项A ，()1,0,1PA =，则50PA n ⋅=≠，故排除A ； 对于选项B ，11,4,2PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则PA n ⋅ 0=，故B 正确；同理可排除C 、D ． 故选B ． 6．【答案】C【解析】设正方体边长为2，建立如图空间直角坐标系.则()12,1,2A P =--. 对①, ()10,2,2C D =--,因为110242A P C D ⋅=-+=,故①错误. 对②, ()2,2,0BD =--,因为1422A P BD ⋅=-=,故②错误. 对③, ()12,0,2BC =-,因为1440A P BD ⋅=-=,故③正确. 对④,由②有1A P BD ⊥不成立,故1A P ⊥平面1BC D 不成立.故④错误.故选C 7．【答案】斜交【解析】()2,3,5u =-，()3,1,4v =--，则235314-≠≠--，且63200u v ⋅=---≠， u ∴与v 既不平行也不垂直，因此，平面α与β斜交．故填斜交. 8．【答案】4【解析】因为(2,2,),(6,4,5)u t v =-=-分别是平面,αβ的法向量，且αβ⊥ 所以u v ⊥所以()262450t -⨯+⨯-+⨯= 解得4t = 故填4 9．【答案】16-【解析】l α⊥，//d u ∴，且()2,3,5d =，()4,,u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-. 因此，16m n +=-.故填16-.10．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点， (0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1MN =，0，1)-，平面11A ADD 的法向量(0n =，1，0)，∴0MN n =，MN ⊂/平面11A ADD ，//MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-， ∴11·0MN AB =，1·0MN AM =， 11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．。

高二数学同步测试—空间向量与立体几何（附答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ） A ．++-2121 B ．++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM --=2 B ．213151++=C ．=++D ．=+++OM3．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85BC．D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN = （ ）A ．213221+- B ．212132++-C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+ 7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙，，，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则= （ ）A ．21B ．22 C ．-21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为 （ ）A ．3B ．32C ．6D ．2610． 已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为（ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量，有=x z y ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．13．已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是 ． 14．已知向量)0,3,2(-=，)3,0,(k =，若,成1200的角，则k= ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．220），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量和的夹角为θ，求cos θ的值 17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}.（1）求证：P A ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；（3）对于向量={x 1，y 1，z 1}，={x 2，y 2，z 2}，={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算： （×）·=x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×AD ）·AP 的绝对值的几何意义.．19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值； （3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+==c +21（－b a +）=－21+21+．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A C A '++='，运用向量的内即运算即可，||C A ='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即λ=⇔≠//,．5．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量,,，再来处理⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<，可得结果．12．OC OB OA 313161++； 解析：OA OC OB OA 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅>=<k k b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）． 由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）． 根据空间两点距离公式，可得||MN ==．16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ，所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=. 17． 证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得：223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0，∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18． （1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABV =31||·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB 30101||||1111=⋅CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =，CD =，1CC =，则| |=||，∵CB CD BD-==－，∴BD ·1CC =（－）·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD.（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角.∵21)(21=+=CD BC CO （+），2111=-=CC CO O C （+）－∴CO ·211=OC （a +b ）·［21（a +b ）－c ］ =41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC 3311=（3）解：设1CC CD=x ，CD =2， 则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=，AD =，DC =， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6， 令6－242x x -=0，得x =1或x =－32（舍去）. 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。

课时同步练1.4.1运用立体几何中的向量方法解决平行问题一、单选题1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB =,则点C 的坐标为（ ） A ．715(,,)222- B ．3(,3,2)8- C ．7(,1,1)3-- D ．573(,,)222- 2．在正方体1111ABCD A B C D -中,平面1ACB 的一个法向量为（ ）A ． 1BDB ． DBC ． 1BAD ． 1BA3．已知空间四边形ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是（ ）A ．长方形B ．正方形C ．梯形D ．菱形4．如图，在平行六面体ABCD -1111A B C D 中，点,,M P Q 分别为棱AB ，,CD BC 中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：①1A M ∥1D P ；②1A M ∥1B Q ；③1A M ∥ 平面11DCC D ；④1A M ∥ 平面11D PQB ，则以上正确说法的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．若AB =λCD +μCE ,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内.6．若点A (a ,0,0),B (0,b ,0),C (0,0,c )，则平面ABC 的一个法向量为（ ）A ．(bc ,ac ,ab )B ．(ac ,ab ,bc )C ．(bc ,ab ,ac )D ．(ab ,ac ,bc7．在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3) 在平面ABC 内，则x 的值（ ）A ．-4B ．1C ．10D ．119．若平面α，β的法向量分别为1,1,32a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，()1,2,6b =-，则（ ） A ．//αβB ．α与β相交但不垂直C ．αβ⊥D ．//αβ或α与β重合 10．若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ）A ．()11,2,3n =，()23,2,1n =-B ．()11,2,2n =，()22,2,1n =-C ．()11,1,1n =，()22,2,1n =-D ．()11,1,1n =，()22,2,2n =---11．已知平面α内的三点()0,0,1A ，()0,1,0B ，()1,0,0C ，平面β的一个法向量为()1,1,1n =---，且β与α不重合，则（ ）A ．//αβB ．αβ⊥C ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对 12．直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA 、OB ，下列关系中能表示//l α的是（ ）A ．a OA =B ．a kOB =C ．a pOA OB λ=+D ．以上均不能二、填空题13．已知直线l 的方向向量v =(2, 1,3)，且过A (0,y,3)和B (-1,-2,z)两点，则y =________，z =_________. 14．已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______. 15．平面α的法向量u =(x ，1，-2)，平面β的法向量v =11,,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，已知α∥β，则x +y =______. 16．已知平面α内有一个点()2,1,2A -，α的一个法向量为()3,1,2n =，则下列各点中，在平面α内的是________．（把正确的序号都填上）①()1,1,1-；②31,3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；③31,3,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；④31,3,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 17．已知a =(2，-1，3)，b =(-1，4，-2)， c =(7，7，λ)，若a ，b ，c 共面，则实数λ=_________. 18．如图，四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系是________.三、解答题19．已知三棱锥O -ABC 中，OA =OB =1，OC =2，OA ，OB ，OC 两两垂直，试找出一点D ，使BD ∥AC ，DC∥AB．20．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0，2)，B(4，2，0)，C(2，4，0)，求平面ABC的单位法向量. 21．如图，已知三棱锥P－ABC，D，E，F分别是棱P A，PB，PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC．22．如图所示，ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，P A=AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点.求证:（1）MN∥平面P AD；（2）平面QMN∥平面P AD.。

高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行同步精练 北师大版选修2-11．已知a ，b ，c 分别为直线a ，b ，c 的方向向量，且a ＝λb (λ≠0)，b·c ＝0，则a 与c 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．相交D ．异面2．已知A (1,0, 0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33B.⎝⎛⎭⎪⎫33，－33，33C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 3．若平面α的法向量为u ＝(1，－3，－1)，平面β的法向量为v ＝(8,2,2)，则( ) A ．α∥βB ．α与β相交C ．α⊥βD ．不确定4．若平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均错5．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．lα D ．l 与α相交但不垂直6．如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上结论中正确的是________．(填序号)7．已知AB u u u r ＝(1,5，－2)，BC uuu r ＝(3,1，z )，BP u u u r ＝(x －1，y ，－3)．若AB u u u r ⊥BC uuur ，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 的值分别为________．8．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为________．9．如图所示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：平面EGF ∥平面ABD .10．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为2的菱形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，若点E ，F 分别是BC ，PC 上的动点，记BE EC＝λ1，PFFC＝λ2，当平面DEF ⊥平面ABCD 时，试确定λ1与λ2的关系．11．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.求证：(1)AF∥平面BDE；(2)CF⊥平面BDE.参考答案1. 解析：由a ＝λb (λ≠0)，知a ∥b . 由b·c ＝0，知b ⊥c ，所以a ⊥c .故选A. 答案：A2. 解析：AB u u u r＝(－1,1,0)，AC u u u r ＝(－1,0,1)，BC uuu r ＝(0，－1，1)．设平面ABC 的一个单位法向量为u ＝(x ，y ，z )，则u ·AB u u u r ＝0，u ·AC u u u r ＝0，可得x ，y ，z 间的关系，且x 2＋y 2＋z 2＝1，再求出x ，y ，z 的值．答案：D3. 解析：∵平面α的法向量为u ＝(1，－3，－1)，平面β的法向量为v ＝(8,2,2)， ∴u·v ＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0. ∴u ⊥v ，∴α⊥β. 答案：C4. 解析：∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)， ∴v ＝－3u ，∴u ∥v ，∴α∥β. 答案：A5. 解析：∵直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)， ∴a ＝－12u ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.答案：B6. 解析：∵1A M u u u u r ＝AM u u u u r －1AA u u u r ＝DP u u u r －1DD u u u ur ＝1D P u u u u r ，∴A 1M ∥D 1P . 又∵D 1P 平面D 1PQB 1，∴A 1M ∥平面D 1PQB 1. 又D 1P平面DCC 1D 1，∴A 1M ∥平面DCC 1D 1.∵D 1B 1与PQ 平行不相等， ∴B 1Q 与D 1P 不平行． ∴A 1M 与B 1Q 不平行． 答案：①③④7. 解析：∵AB u u u r ＝(1,5，－2)，BC uuu r ＝(3,1，z )，AB u u u r ⊥BC uuu r ，∴(1,5，－2)·(3,1，z )＝0，即3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.①又∵BP u u u r ＝(x －1，y ，－3)，BP u u u r⊥平面ABC ， ∴BP u u u r ·AB u u u r＝0，即(x －1，y ，－3)·(1,5，－2)＝0，x －1＋5y ＋6＝0.②BP u u u r ·BC uuur ＝0，即(x －1，y ，－3)·(3,1,4)＝0，3x －3＋y －12＝0.③由①②③得x ＝407，y ＝－157，z ＝4.答案：407，－157，4 8. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF u u u r ＝(－1，y,0)，PE u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF u u u r ·PE u u u r ＝0，解得y ＝12，则点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 的中点，∴AF ∶FD ＝1. 答案：19. 证明：如图所示，由条件知BA ，BC ，BB 1两两互相垂直，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由条件知B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0，0,4)，E (0,0,3)，F (0,1,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4. 所以BA u u u r ＝(a,0,0)，BD u u u r ＝(0,2,2)，1B D u u u u r ＝(0,2，－2)，EG u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，1，EF u u u r ＝(0,1,1)．(方法一)因为1B D u u u u r ·BA u u u r ＝0，1B D u u u u r ·BD u u u r＝0＋4－4＝0，所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .因为BA ∩BD ＝B ，所以B 1D ⊥平面ABD .又1B D u u u u r ·EG u u u r ＝0＋2－2＝0，1B D u u u u r ·EF u u u r＝0＋2－2＝0.所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EFG ，可知平面EGF ∥平面ABD .(方法二)设平面EGF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EF ＝0，n 1·EG ＝0，111110,0,2y z ax y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－z 1，令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)．设平面ABD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BA ＝0，n 2·BD ＝0，2220220,ax y z ⎧⎨⎩＝，＋＝即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝－z 2，令y 2＝1，则n 2＝(0,1，－1)．所以n 1＝n 2，所以平面EGF ∥平面ABD .10. 解：过点P 作PG ⊥AD 于点G ，连接BG ，则PG ⊥平面ABCD ，PG ⊥BG ，BG ⊥AD ，以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝2，∴AG ＝1，PG ＝BG ＝3，∴B (3，0,0)，P (0,0，3)，C (3，2,0)，D (0,1,0)，A (0，－1,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫3，2λ11＋λ1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3λ21＋λ2，2λ21＋λ2，31＋λ2，则DE u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，λ1－11＋λ1，0，DF u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3λ21＋λ2，λ2－11＋λ2，31＋λ2.设平面DEF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则112222210,110,11n DE y n DF x z λλλλλ-⎧⋅=+=⎪+⎪⎨-⎪⋅=++=⎪++⎩u u ur u u u r∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，3(1＋λ1)1－λ1x ，－2λ2－λ1－11－λ1x (λ1≠1)，当x ＝1时，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3(1＋λ1)1－λ1，－2λ2－λ1－11－λ1，平面ABCD 的一个法向量为PG u u u r ＝(0,0，－3)．当平面DEF ⊥平面ABCD 时，PG u u u r ·n ＝0，∴－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2λ2－λ1－11－λ1＝0(λ1≠1)，∴当λ1≠1时，λ1＝2λ2－1；当λ1＝1时，有λ2＝1，也满足λ1＝2λ2－1，综上可得λ1与λ2的关系为λ1＝2λ2－1.11. 证明：(1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF ∥EG . 因为EG平面BDE ，AF平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ， 所以CE ⊥平面ABCD .如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C ­xyz ，则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1.所以CF uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，BE u u ur ＝(0，－2，1)，DE u u u r ＝(－2，0,1)．所以CF uuu r ·BE u u u r ＝0－1＋1＝0，CF uuu r ·DE u u u r＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE .又BE∩DE＝E，所以CF⊥平面BDE.。