山东省济南市章丘四中2020届高三数学上学期10月阶段检测试题

2020届高三数学10月阶段性测试试题文（含解析）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求解出的解集作为集合，求解出的解集作为集合，然后再求解的结果.【详解】因为，所以，所以；因为，所以，所以；所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.注意解对数不等式时，对数的真数要大于零.2.=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：利用诱导公式化简求值得解.详解：=故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“--”，就加在前面）。

用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算。

3.函数f(x)=－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A. a>1，b <0B. a>1，b>0C. 0 <a <1，b>0D. 0 <a <1，b<0【答案】C【解析】【分析】由函数图像可得，此函数为减函数，结合指数函数的单调性可得0<a<1,又f(0)=1－b，所以b>0，则可得解.【详解】解：从曲线走向结合指数函数的单调性可知0<a<1, 又f(0)=1－b，所以b>0，故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的单调性及指数函数图像的平移，属基础题.4.已知函数，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别考虑是否是的充分条件或者必要条件，然后结合前面得到的结论确定是的何种条件.【详解】当时，，所以是成立的充分条件；当时，或，所以是成立的不必要条件，所以是成立的充分不必要条件，故选：A.【点睛】充分、必要条件对应的推出情况（常见两种）：（1）若是的充分不必要条件：；（2）若是的必要不充分条件：.5.命题“若关于x的方程x2 -mx +2=0的两根都大于0，则x>”的逆否命题是（）A. “若x>，则关于x的方程 x2 -mx +2=0的两根都大于0”B. “若方程x2 -mx +2=0的两根都不大于 0，则x ≤”C. “若x ≤，则关于 x 的方程x2 -mx +2=0的两根不都大于0”D. “若x ≤，则方程x2 -mx +2=0 的两根都不大于0”【答案】C【解析】【分析】由命题逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，注意判断选项即可得解.【详解】解：命题的逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“”的否定是“”，“均大于”的否定是“不全大于0”，再调换顺序即可，C选项正确，故选：C.【点睛】本题考查了命题及其逆否命题，主要考查了逆否命题的形式，重点考查了简易逻辑，属基础题.6.我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为组，然后将有问题的一组再分为组，再将其中有问题的一组分为，此时每组仅为枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.故选：B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.7.已知中，满足，则这样的三角形有A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形的个数，得到答案.【详解】由题意，在中，满足，..所以这样的三角形有2个，故选C.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理判定三角形的个数问题，其中解答中合理利用正弦定理和三角形的边角关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.将函数f(x)= sinx的图象向左平移个单位长度，再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到g(x)的图象，当x∈［0，］时，方程g(x)=m有三个实数根x1，x2，x3，且x1 <x2<x3，则x1 +2x2 +x3=（）A. B. C. 3π D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数图像的平移变换、伸缩变换可得，令解得，即函数图像关于直线、对称，再画图即可得解.【详解】解：由已知得，，函数与的交点分别为，令得,即由图可知关于直线对称，关于直线对称，所以，，所以，故选：D.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换、伸缩变换及三角函数图像的对称性，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.9.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】D【解析】【详解】选D10.在中，，则该三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】解法一：利用余弦定理完成角化边，然后再进行边的化简即可判断结果；解法二：利用正弦定理完成边化角，进行利用两角和的正弦展开式进行化简即可判断结果.【详解】解法一：由余弦定理得，所以，所以为直角三角形.解法二：由正弦定理得，所以，所以.故选：B.【点睛】利用正弦定理进行边角互化时，要注意到“齐次”的问题，也就是每一项对应的边或者角的正弦的次数要相同，如：、.11.已知函数f(x)=x2 -2x +3在区间［m，m +2］上的最大值为6，则m的取值集合为（）A. ｛-1，3｝B. ｛-1，1｝C. ｛-3，1｝D. ｛-3，3｝【答案】B【解析】【分析】由f(x)=x2 -2x +3=，再讨论对称轴与区间的两端点值的大小关系讨论即可得解.【详解】解：因为f(x)=x2 -2x +3=，①当即时，，又，即，解得，②当即时，，又，即，解得，综上可得或，故选：B.【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.12.关于函数有下述四个结论：①是奇函数；②在区间单调递减；③在有3个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（）A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④【答案】B【解析】【分析】将写成分段函数形式，并作出在的图象，即可判断出①②③的正误，根据周期性并利用图象即可判断出④的正误.【详解】当时，，当时，，所以，画出函数的在区间上的图象如下图所示，显然不是奇函数，所以①错误；在上单调递减，所以②正确；图象在上与轴有个交点，所以有个零点，所以③错误；时，，又因为，所以，所以，所以④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质综合，难度一般.处理这类问题关键是使用数形结合的思想，通过图象去分析函数性质.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线在点（1，0）处的切线方程为 _______．【答案】【解析】分析】先求解时的导数值即为切线斜率，根据切点和斜率即可得到直线方程.【详解】因为，所以，所以切线方程为，故答案为：.【点睛】本题考查函数上某一点的切线方程的求解，难度较易.求解函数上某点处的切线方程步骤：（1）对函数进行求导；（2）求出导函数在该点处的导数值作为直线的斜率；（3）根据直线的点斜式方程求解出切线方程.14.设函数f(x)=ln，则函数g(x)= f()+ f()的定义域_____________.【答案】【解析】【分析】由对数函数的定义域，需真数大于0，结合分式不等式的解法及复合函数定义域的求法列不等式组运算即可得解.【详解】解：要使函数有意义，则需，则所求定义域为：，故答案为：.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，主要考查了分式不等式的解法，重点考查了运算能力，属基础题.15.已知函数y＝tanωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．【答案】[－1,0)【解析】∵函数在内是单调减函数，∴，解得，∴ω的取值范围是．答案：点睛：求解的范围时，可从函数的单调性和周期性两个方面考虑，由复合函数的单调性可得为负值．又函数在内是单调减函数，故为一个周期的子集，由此可得关于的不等式组，解不等式组即可．16.定义在上的奇函数在区间上单调递增，且.若，则在区间内的解集为 ________．【答案】【解析】【分析】先根据对称性和奇偶性得到周期，然后分析在上的单调性，考虑且时的取值，再根据单调性即可求解出在内的解集.【详解】因为为奇函数，所以，，即的周期为8，又因为在区间上单调递增，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.又，，所以在区间内的解集为，故答案：.【点睛】函数对称性和周期性的认识：（1）若或，则一条对称轴为；（2）若或或（），则的周期.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设a∈R，函数f(x)=x3-x2-x+a.（1）求f(x)的极值；（2）若x∈［-1，2］，求函数f(x)的值域.【答案】（1）极大值是，极小值是（2）【解析】【分析】（1）利用导数的应用，先求导数得，再求函数的单调区间即可求函数f(x)的值域；（2）函数在闭区间上的最值，只需比较端点值及极值即可，结合（1）运算端点值及极值，再比较大小即可得解.【详解】解:（1），若，则当变化时，，变化情况如下表：1+所以的极大值是，极小值是（2）因为，由（1）知，函数在，为增函数，在为减函数，又，，，，易得，，则的值域为：.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性及最值，主要考查了运算能力，属中档题.18.的内角的对边分别为，的面积.（1）求 C；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用面积公式和余弦定理对等式化简，得到的值，计算出；（2）解法一：利用正弦定理以及的结果得到的等式，根据同角的正弦与余弦的平方和为，计算出的值.解法二：利用余弦定理，通过化简得到之间的关系，再根据正弦定理即可得到之间的关系，从而计算出.【详解】（1）由余弦定理以及三角形面积公式得,所以，又，所以.（2）由（1）得，,因为，由正弦定理得,所以,所以,，所以（负根舍去）.解二：由余弦定理得，，又两式消去得，，即,，由正弦定理得.【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般.（1）利用面积公式化简时，注意根据等式选择合适的面积公式去化简；（2）考虑用正弦定理完成边角互化时，一定要注意等式的两边是否都是“齐次”的情况.19.已知函数.（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（2）若对任意的，总存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对称轴分析零点存在时对应的的范围；（2）根据条件分析可得：的值域应为的值域的子集，此时注意对与的关系进行分类讨论，由此得到满足条件的的取值范围.【详解】（1）因函数的对称轴是，所以在区间上是减函数，因函数在区间上存在零点，则必有，即解得.故所求实数的取值范围.（2）若对任意的，总存在使得成立，只需函数的值域为函数的值域的子集.在区间的值域为,①当时，为常数，不符合题意舍去；②当时，在区间的值域为，所以，解得.③当时，在区间的值域为，所以，无解.综上所述实数的取值范围.【点睛】任意、存在问题对应的函数相等和不等关系的处理方法：（1），使得，则有：在上的值域为在上的值域的子集；（2），使得，则有：；，使得，则有：；，使得，则有：.20.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据计算出的值，然后再带回检验是否为奇函数，由此确定出的值；（2）将不等式变形，根据奇偶性将不等式变形为函数值之间的大小关系，再根据单调性将不等会变形为自变量之间的关系，问题转化为：给定区间上的恒成立问题求解参数范围.【详解】（1）因为是奇函数，所以 ,所以,此时，，所以是奇函数，所以满足条件.（2）因函数为奇函数，所以，又因函数为增函数，所以,即对任意的有，所以对任意的，所以，解之得.【点睛】（1）定义域满足的情况下，通过求解奇函数中的参数值，一定要将结果带回原函数中检验；（2）若在区间上恒有，只需要，若在区间上恒有，只需要.21.如图有一景区的平面图是一半圆形，其中直径长为两点在半圆弧上满足，设，现要在景区内铺设一条观光通道，由和组成.（1）用表示观光通道的长，并求观光通道的最大值；（2）现要在景区内绿化，其中在中种植鲜花，在中种植果树，在扇形内种植草坪，已知单位面积内种植鲜花和种植果树的利润均是种植草坪利润的倍，则当为何值时总利润最大？【答案】（1），；（2）当时，总利润取最大值.【解析】【分析】（1）根据直径的长度和角度计算出的长度，写出的函数解析式，注意定义域，判断取何值的时候有最大值并计算出最大值；（2）设出单位面积的利润，将三个三角形的面积计算出来并求利润和的表示，利用导数去计算函数的最值，确定取等号时的取值.【详解】（1）作，垂足为，在直角三角形中，，所以，同理作，垂足为，，所以，如图：所以,当时，取最大值.（2）设种植草坪单位面积的利润为，,则总利润,,因为，所以当时，，所以在递增，递减，所以当时总利润取最大值，最大值为.【点睛】本题考查三角函数在实际问题中的应用，难度一般.（1）求解实际问题中的函数解析式时，要注意不要漏写定义域；（2）求解三角函数的有关最值，要注意也可通过导数的方法来先确定单调性然后再确定最值.22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再按导函数零点讨论：若，无零点，单调；若，一个零点，先减后增；若，一个零点，先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若，满足；若，最小值为，即；若，最小值为，即，综合可得的取值范围为.试题解析：（1）函数的定义域为，，①若，则，在单调递增.②若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.③若，则由得.当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增.（2）①若，则，所以②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.综上，的取值范围为.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.2020届高三数学10月阶段性测试试题文（含解析）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （ ）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<， 所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增， 结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=， 代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=， 即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（ ）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3， 长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=， 所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×， 所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根， 所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠， 所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===， 若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−， 若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意， 若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知， 要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点， 需22a−<，解得1a <−， 所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ， 【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（ ） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−， 将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−， 则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（ ）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（ ）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =， 当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =； 当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解， 若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】 【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+， 设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−， 由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈， 又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+， 所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，令()0f x ′=，得x m =， 当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减， 当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增， 综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+， 令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′， 令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>， 所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<． （2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ； （4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解； （2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−， 因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=， 即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−， 则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =， 所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数， 由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−， 所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值； （2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形； （3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）1− （2）证明见解析 （3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′， 令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号， 则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′， 则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++， 所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′， 当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增； 当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减； 此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意； 当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ． （2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <． 【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个， 两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4， 则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意； 当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3， 则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意； 综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项， 由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项， 于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意； 当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意； 当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。

2020届山东省济南市章丘区高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}()()|{2,|}520A x x B x x x =>-=+-≤,则A B =（ ）A ．()2,-+∞B ．[]22-,C ．(2,2]-D ．[5,)-+∞【答案】C【解析】先由二次不等式的解法求B 52,|} {x x =-≤≤再利用集合交集的运算可得{ 2 }2|A B x x =-<≤I ，得解.【详解】解:因为{}2,|A x x =>-()()52{|}0B x x x =+-≤()()520{|}x x x -≤=+52,|} {x x =-≤≤所以{ 2 }2|A B x x =-<≤I , 故选:C. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题. 2．设z ii z+=,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先由已知条件求得11122i z i i -==--，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】解：由题意知()1,z i i -=-, 即11122i z i i -==--， 故z 在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题. 3．命题“2000,201920200x R x x ∃∈<++”的否定为（ ）A ．2,201920200x R x x ∀∈++<B ．2,201920200x R x x ∀∈++≤C ．2,201920200x R x x ∀∈++≥D ．2,201920200x R x x ∃∈++≥【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解. 【详解】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，即命题“2000,201920200x R x x ∃∈<++”的否定为“2,201920200x R x x ∀∈++≥”，故选：C. 【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的否定,属基础题. 4．设a 为非零实数,复数121,2z a i z i a=+=-,则12z z ⋅的最小值为（ ）A B ．3C ．D ．9【答案】B【解析】由复数的乘法运算得1213 2z z a i a ⋅=+-⎛⎫⎪⎝⎭，再结合复数模的运算得12||z z =⋅.【详解】解：因为1211)(2)3 2z z a i i a i a a ⋅⎛⎫⎪⎝=+-=+⎭-（,所以12||3z z ⋅=≥，当且仅当12a a =，即a =, 故12z z ⋅的最小值为3. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算及复数模的运算，属基础题. 5．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x=f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选：B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6．若)(3tan πα=+则（ ）A ．tan 13α=B ．tan 7α=C ．tan 27α=D ．tan 223α= 【答案】D【解析】先由()33ππαα=+-，再由两角差的正切公式求出tan α，再利用正切的二倍角公式求出2tan α即可得解.【详解】解： )33(tan tan ππαα=+-Q 7==，7tan 2323149α∴==-， 即选项ABC 错误，选项D 正确， 故选：D. 【点睛】本题考查了两角差的正切公式，重点考查了正切的二倍角公式，属基础题.7．在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点(), 1, O BO DC DB BD ⋅-==uuu u r uuu r uu u r uu u r则DA 在DB 方向上的投影为（ ）A ．2 BC ．2-D．【答案】B【解析】由平面向量的线性运算得2BD BC cos DBC ⋅∠=uu u r uu u r，又,BC DA ADB DBC =∠=∠uu u r uu u r，BD =uu u rDA 在DB方向上的投影为BC cos DBC ⋅∠=uu u r.【详解】解：因为()1BO DC DB BO B BO BC c C os DBC ⋅-=⋅=⋅∠=uu u uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r r,所以2BD BC cos DBC ⋅∠=uu u r uu u r .又 ,BC DA ADB DBC =∠=∠uu u r uu u r，BD =uu u r所以DA cos ADB BC cos DBC ⋅∠=⋅∠==uu u r uu u r 故DA 在DB. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题.8．已知函数()322f x x ax x =--+,则“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立， 再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“114a ≤”的充分必要性即可. 【详解】解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()23210f x x ax '=--≥,即23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以114a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.9．()2221,,0,,42x y z x y z z m xy∀∈+∞++≥-++,则m 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,3]-∞C ．(,2]-∞D ．(,1]-∞【答案】B【解析】先由重要不等式求得2214x y xy++的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得22z z m -++的最大值为1m +，再求解即可. 【详解】因为,(0,)x y ∈+∞,所以22111444x y xy xy xy xy ++≥=+≥==，当且仅当22414x y xy xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩即121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时等号成立. 又222(1)11z z m z m m -++=--++≤+，则()2221,,0,,42x y z x y z z m xy∀∈+∞++≥-++等价于14m +≤,解得：3m ≤， 则m 的取值范围为(,3]-∞， 故选为：B. 【点睛】本题考查了重要不等式及不等式恒成立问题，重点考查了恒成立问题最值法，属中档题. 10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ） A ．()()()0.31.130. 20.54f f log f <<B ．()()()0.31.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log <<D ．()()()0.31.130.50.24f log f f <<【答案】A【解析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.二、多选题11．将曲线()23 2()y sin x x sin x ππ=--+上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到()g x 的图象,则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于直线32x π=对称 B ．()g x 在[0,]π上的值域为30, 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称D ．()g x 的图象可由1 2y cos x =+的图象向右平移23π个单位长度得到【答案】BD【解析】由三角恒等变换可得()1(2)6x g x sin π+=-，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解. 【详解】 解：因为()23sin sin 2x x x ππ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭1cos 212sin 2262x x x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以()1(2)6x g x sin π+=-, 对于选项A ，令62x k πππ-=+，解得23x k ππ=+（k Z ∈），即函数的对称轴方程为23x k ππ=+（k Z ∈），即选项A 错误； 对于选项B ，因为[0,]x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即1(),16 2sin x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即()g x 在[0,]π上的值域为30, 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即选项B 正确；对于选项C ，令6x k ππ-=，解得6x k ππ=+，即()g x 的图象关于点1,,62k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，则()g x 的图象关于点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故选项C 错误.对于D,由11 222y cos x sin x π⎛⎫ ⎝=+⎪⎭=++的图象向右平移23π个单位长度,得到211= +=sin 232(62y sin x x πππ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭）的图象,故选项D 正确. 则说法正确的是BD ， 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.12．已知函数()222,0,0x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩,若1234x x x x <<<,且()()()()1234f x f x f x f x ===,则下列结论正确的是（ ）A ．121x x +=-B ．341x x =C ．412x <<D ．12340 1x x x x <<【答案】BCD【解析】先作出()222,0,0x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩的图像，再观察图像可得1223242, x x log x log x +=--=，再结合1234x x x x <<<，求解即可.【详解】画出函数()f x 的大致图象如下图， 得出1223242, x x log x log x +=--=,则341x x =,故A 错误,B 正确;由图可知412x <<,故C 正确;因为()112112 1,2x x x x x -<<-=--=()()221112110,1x x x --=-++∈,所以()1234120,1x x x x x x =∈,故D 正确.则结论正确的是BCD ， 故选：BCD.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.13．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x ',且()()()212x f x f x x x '+-<+对(0,)x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（ ）A ．()()22315f f ->B ．若()12,1f x =>,则()21122f x x x >++ C ．()()3217f f -< D ．若()12,01f x =<<,则()21122f x x x >++ 【答案】CD【解析】先构造函数()()21f x xg x x -=+，再利用导数可得()g x 在(0, )+∞上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解. 【详解】解：设函数()()21f x xg x x -=+，则()g x '=()()()()()22211f x x x f x x x '-+--⎡⎤⎣⎦+()()()()()22121x f x f x x x x '+--+=+ 因为()()()21 2x f x f x x x '+-<+,所以()'0g x <,故()g x 在(0, )+∞上单调递减,从而()()()123g g g >>,整理得()()22 315f f -<，()()3 217f f -<,故A 错误,C 正确.当01x <<时,若()12f =,因为()g x 在(0, )+∞上单调递减,所以()()112g x g >=即()21+12f x x x ->,即()21122f x x x >++.故D 正确,从而B 不正确.即结论正确的是CD ， 故选：CD. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的单调性，属中档题.三、填空题14．若向量a 与b 互相垂直,且1,2a b ==r r,则2a b +=__________．【解析】由向量模的运算2a b +=r r.【详解】解：因为向量a 与b 互相垂直,可得0a b ⋅=，又1,2a b ==r r，则2a b +===r r【点睛】本题考查了向量模的运算，属基础题. 15．若函数()21kf x x x=+-的图象在点()()1,1f 处的切线与直线510x y +-=垂直，则k =__________． 【答案】3【解析】先求原函数的导函数()22,kf x x x'=+再利用导数的几何意义可得()125,f k '=+=得解.【详解】解：因为()21k f x x x=+-， 所以()22,k f x x x'=+由已知有()125,f k '=+= 即3k =，故答案为：3. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及两直线垂直的斜率运算，属基础题.16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时, () 21f x x =+,则()f x 的解析式为__________．不等式()112x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭<的解集为__________．【答案】()21,00,021,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩∞(-,1)【解析】先由函数为奇函数，结合0x <时, () 21f x x =+,求函数解析式即可；再分0x ≤时，0x >时求解不等式即可得解.【详解】解：设0x >，则0x -<，由函数为奇函数，可得()()f x f x =--， 则()[2()1]21f x x x =--+=-， 又(0)0f =，则()21,00,021,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩，当0x ≤时，()111,22x f x -⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭,所以()112x f x -⎛⎫⎪⎝⎭<;当0x >时,设()11()2x h x f x -⎛⎫- ⎪⎝⎭=11212x x -⎛⎫⎪⎝⎭=--，则函数()h x 为增函数，又111(1)211()02h -=⨯--=，即()0h x <的解集为()0,1，即()112x f x -⎛⎫⎪⎝⎭<的解集为()0,1.综上()112x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭<的解集为∞(-,1).故答案为：∞(-,1). 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，重点考查了解分段函数对应的不等式，属中档题.17．,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.已知()222abcos A B a b c -=+-(1) tan Atan B =__________．(2)若45 ,2A a ==o ,则c =__________．【答案】3【解析】(1)由余弦定理可得()2222 2 2a b c cos A B cos C ab+--=⨯=，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得 3tan B =，再由正弦定理可得sin sin 5a C c A ==，得解. 【详解】解：(1)由()222abcos A B a b c -=+-,得()2222 2 2a b c cos A B cos C ab+--=⨯=,而() cos C cos A B =-+,所以() 2cosAcosB sinAsin B cosAcosB sinAsinB +=--， 即3 0cos Acos B sin Asin B -=,故 3 sin Asin Btan Atan B cos Acos B==.(2)因为45A =o ,所以1tanA =,则 3tan B =,所以 sin B B ==，从而() sin C sin A B =+==⎝⎭由正弦定理得sin sin a c A C =,则sin sin a C c A ==，故答案为：(1). 3 (2). 5. 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题.四、解答题18．,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.已知, 6A sin CB π==.(1)若ABC ∆的面积为求b ;(2)若2247c b -=,求ABC ∆的周长. 【答案】(1) 2b =.(2) 1+【解析】(1)由已知 sin C B =，结合正弦定理可得c =，再结合三角形的面积公式12S bcsinA =，将已知条件代入运算即可； (2)由2247c b -=，结合余弦定理得2222 1482372a b c bccos A =+-=+-⨯=,得解. 【详解】解:(1)由 sinC B =,得c = . 因为ABC △的面积为21124S bcsinA bc ====所以2b =.(2)因为2247,c b c -==,可得1,b c ==由余弦定理得2222 1482372a b c bccos A =+-=+-⨯=,所以a =故ABC △的周长为1+【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属基础题. 19．已知()()()()4,2, ,1,2,3,1,6A B m C D .(1)若//AB CD ,求,cos BD AC uu u r uuu r;(2)若向量,,AB BC CD 中存在互相垂直的两个向量,求m 的值. 【答案】(1)(2) 1m =或4m =-.【解析】(1)由//AB CD ，利用平面向量的坐标运算可得133m =，再由向量的夹角公式可得,BD AC cos BD AC BD AC⋅==uu u r uuu ruu u r uuu r uu u r uuu r ，得解；(2)分别讨论若AB BC ⊥,AB CD ⊥uu u r uu u r ，BC ED ⊥uu u r uu u r，再求解即可.【详解】解:(1)()()4,1, 1,3AB m CD =--=-uu u r uu u rQ ， ∴由//AB CD ,得()13341,3m m -=∴=10,53BD ⎛⎫∴ -⎪⎭=⎝uu u r ，又()2,1,,65BD AC AC cos BD AC BD AC ⋅=-==∴uu u r uuu ruuu r uu u r uuu r uu u r uuu r(2)()()()4,1,2 ,2,1,3AB m BC m CD =--=-=-uu u r uu u r uu u r，若AB BC ⊥,则()()4220m m ---=,即26 100,0m m -+=∆<,方程无解.若AB CD ⊥uu u r uu u r，则430m --=,解得1m =. 若BC ED ⊥uu u r uu u r，则 260m -+=,解得4m =-. 综上, 1m =或4m =-. 【点睛】本题考查了向量共线及垂直的坐标运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.20．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+. (1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约1210焦耳，试确定该次地震的类型;(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (3.2=) 【答案】(1) 破坏性地震 (2) 32倍【解析】(1)先阅读题意，再计算12 10 4.8= 4.81.5lg M -=，即可得解；(2)结合地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为4.8 1.5lgE M =+，再求出12 ,E E ，再求解即可.【详解】解:(1)当某次地震释放能量约102焦耳时,1210E =，代入 4.8 1.5lg E M =+,得12 10 4.812 4.8= 4.81.5 1.5lg M --==.因为4. 8 4.7>,所以该次地震为“破坏性地震”. (2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为12,E E . 由题意知,12 16.8, 18.3lg E Ig E ==，即16.818.31210 , 10E E ==,所以1.52110E E ==3.2=,得2132E E = 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的32倍. 【点睛】本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属中档题.21．已知函数()1 11sin x cos x sinx cosxf x sinx cosx sinx cosx+-+=++-1+++(1)化简()f x ,并求()f x 的最小正周期; (2)若()8f a =,求 2cos a ; (3)求()f x 的单调递增区间. 【答案】(1) ()in =2s f x x,最小正周期2π. (2)78(3) 2,2()()2k k k Z ππππ--∈和()()2,22k k k Z ππππ++∈.【解析】(1)由二倍角的正、余弦公式可得()222sin 2sin cos 2222cos 2sin cos222x x x f x x x x +=+2sin x =，得解；(2)由（1）得14sin α=，所以27 212 8cos sin a α==-，得解；(3) 设u sinx =,因为函数2y u=在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2x k k Z ππ≠-+∈)的单调递减区间,再求解即可. 【详解】 解:(1)因为()222sin 2sin cos 2222cos 2sin cos 222x x x f x x x x +=+222cos 2sin cos sin cos 222222sin 2sin 2sin cos cos sin22222x x x x x x x x x x x ++=+=+， 所以最小正周期 2T π=. (2)因为()8f a =,所以14sin α=， 所以27 212 8cos sin a α==-； (3)设u sinx =,因为函数2y u=在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2x k k Z ππ≠-+∈)的单调递减区间,所以()f x 的单调递增区间为2,2()()2k k k Z ππππ--∈和()()2,22k k k Z ππππ++∈.【点睛】本题考查了三角恒等变形及三角函数的单调区间的求法，重点考查了三角函数的定义域，属中档题.22．已知二次函数()2441f x kx kx k =-++.(1)若12,x x 是()f x 的两个不同零点,是否存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由.(2)设1k =-,函数()()28,048,0f x x t x g x x x t x ⎧--<=⎨--≥⎩,存在3个零点.(i)求t 的取值范围;(ii)设,m n 分别是这3个零点中的最小值与最大值,求n m -的最大值. 【答案】(1) 不存在.理由见解析； (2) (i) 41t <<-(ii)32+【解析】(1) .假设存在实数k 满足题意，由韦达定理可得：()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +==，解得12k =,又()216 161 160k k k k ∆=-+=->，即k 0<，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数()h x 的图象，观察图像即可求出t 的取值范围;(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .即3 2B A n m x x +-=-=，因为25=+510≤+=，代入运算可得解.【详解】解:(1)依题意可知,0k ≠.假设存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立. 因为()f x 有两个不同零点，.所以()216 161 160k k k k ∆=-+=->,解得k 0<.由韦达定理得121211,4k x x x x k++==所以()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +== 解得12k =,而k 0<,故不存在. (2)因为1k =-,设()()h x g x t =+,则()2244,0,48,0x x x h x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩,当0x <时,()214112()h x x =-++≤;当0x ≥时,()()24144h x x =--≥-.(i)作出函数()h x 的图象，如图所示,所以41t <<-.(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .由244x x t --=,得12A m x --==由248x x t -=,得B n x ==所以 B A n m x x -=-=因为25+=+510≤+=，所以当32t =-+.故n m -的最大值为32+.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点之间的关系，重点考查了重要不等式及数形结合的数学思想方法，属中档题.23．已知函数()()2 ,xf x e ax ag x lnx =--=.(1)讨论()f x 的单调性;(2)用{},max m n 表示,m n 中的最大值，若函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>只有一个零点,求a 的取值范围.【答案】(1) ()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2) )1, [⎪⎪⎩+∞⎭U【解析】(1)先求函数的导函数()'2xf x e a =-，再讨论0a ≤时, 0a >时,函数()f x 的单调性即可；(2)分别讨论函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>在当1,() x ∈+∞，当1x =时，当()0,1x ∈时,函数()h x 零点个数，然后结合函数在(0, )+∞的零点个数即可得解.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域为R ,且()'2xf x e a =-.当0a ≤时,() 0f x >对x ∈R 恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 当0a >时,令()0f x '=,得() 2x ln a =,当(),2()x ln a ∈-∞时,()0f x '<;当()2,()x ln a ∈+∞时,()0f x '>. 所以()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2)①当1,() x ∈+∞时, () 0g x ln x =>,从而()()(){}() ,0h x max f x g x g x =≥>,所以()h x 在(1, )+∞上无零点， ②当1x =时, ()13f e a =-,若()()(){}(),11,1103ea h max f g g ≥===,所以1x =是()h x 的零点; 若()()(){}() ,11,1103ea h max f g f <==>,所以1x =不是()h x 的零点.③当()0,1x ∈时, ()l 0g x n x =<,所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在()0,1上的零点个数.()f x 在()0,1上的零点个数()0f x ⇔=在()0,1上实根的个数21xe a x ⇔=+在()0,1上实根的个数.令函数()(),0,121xe x x x ϕ=∈+,则()()()22121x x e x x ϕ-'=+,所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1(,1)2上单调递增；又()01ϕ=，()31e ϕ=，2e ϕ⎛⎫⎪⎭= ⎝当a <或1a ≥时，()f x 在()0,1上无零点;当a =13ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有唯一零点，3ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有两个零点，综上可得：当2a <时，()h x 在(0, )+∞上有无零点,当2a =时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,当12a <<时，()h x 在(0, )+∞上有2个零点, 当1a ≥时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,则()h x 在(0, )+∞上有唯一零点, a的取值范围为)1, [⎪⎪⎩+∞⎭U . 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用函数研究函数的单调性及函数的大致图像，属难度较大的题型.。

2020年山东省济南市章丘第四中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则tanα=（）A．B．2 C．D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得 tan2α的值，可得tanα的值．【解答】解：∵已知，即sin（﹣α）?cos（﹣α）=﹣，即sin（﹣2α）=﹣，即?cos2α=﹣，∴cos2α=﹣==，∴tan2α=4．再结合tanα＞0，可得tanα=2，故选：B．2. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1 C．1D．3参考答案：A3. 以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“”成立的必要不充分条件C．对于命题，使得，则，均有D．若为真命题，则与至少有一个为真命题参考答案：D4. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．B．1 C．D．3参考答案：D5. 函数f（x）=1+log2x和g（x）=21+x在同一直角坐标系下的图象大致是( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．【解答】解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上平移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、C，又∵g（x）=2x+1的图象是由y=2x的图象左平移1而得故其图象也必过（﹣1，1）点，故排除B故选D．【点评】本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题，属于中档题．6. 关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．（，0）C．(，0) D．(0，2参考答案：A7. 已知变量具有线性相关关系,测得的一组数据如下:,其回归方程为,则的值等于（）A．0.9 B．0.8 C．0.6D．0.2参考答案：A8. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差参考答案：C【命题立意】本题考查统计学中的数字特征与统计图。

2020届山东省济南市章丘区第四中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A B =（）A ．(]0,1B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．[]0,1【答案】A【解析】化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可. 【详解】因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞， 所以0,1]A B =（，故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2．复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果. 【详解】因为21(1)(1)(1)21222i i i i i i i ----==-==+，所以虚部是1，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.3．命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．2a ≤ C ．3a ≤ D ．4a ≤【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为[]22,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案.【详解】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立只需2min (2)2a x ≤=，所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题， “[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 选A. 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 4．函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C【解析】计算每个函数的定义域,再求交集得到答案. 【详解】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=+⇒+≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A.32B.23-C.23D.32-【答案】D【解析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（ ）A.6x π=-B.12x π=-C.6x π=D.12x π=【答案】D【解析】函数的对称轴方程满足：()232x k k Z πππ+=+∈ ,即：()212k x k Z ππ=+∈ ,令0k = 可得对称轴方程为12x π= . 本题选择D 选项.7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．若函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的,则实数a 的取值范围为（ ） A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】根据实数a 的不同取值进行分类讨论.利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】当0a =时, ()23f x x =-,因为20>,所以函数()23f x x =-是整个实数集上的增函数,故在区间(),4-∞上也是单调递增的,符合题意；当0a ≠时，要想函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的只需满足：102442a a a<⎧⎪⇒-≤<⎨-≥⎪⎩,综上所述：实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】本题考查了已知函数的单调区间求参数问题,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.9．函数sin()26x y π=+的图像可以由函数cos 2xy =的图像经过 A.向右平移3π个单位长度得到 B.向右平移23π个单位长度得到 C.向左平移3π个单位长度得到D.向左平移23π个单位长度得到【答案】B【解析】把函数cossin 222x x y π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度，可得函数sin sin 23226x x y πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选B.10．函数()f x 的定义域为D ，若满足如下两个条件：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”，则t 的取值范围是（） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”,所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的. 所以22log log m a na a t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩即22m m n na t aa t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 20x xa a t ∴--=有2个不等的正实数根，140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->解得104t -<<，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题. 11．已知函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上一定（ ） A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D【解析】由二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值得知其对称轴(),1x a =∈-∞，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上的单调性. 【详解】由于二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值，可知其对称轴(),1x a =∈-∞，()()222f x x ax a ag x x a x x x-+===+-.当0a <时，由于函数12y x a =-和函数2ay x=在()1,+∞上都为增函数， 此时，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数； 当0a =时，()2g x x a =-在()1,+∞上为增函数；当01a <<时，由双勾函数的单调性知，函数()2ag x x a x=+-在)+∞上单调递增，())1,+∞⊆+∞Q ，所以，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数. 综上所述：函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上为增函数，故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了ay x x=+型函数单调性的分析，解题时要注意对a 的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.二、多选题12．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 B ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1 【答案】AD【解析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值. 【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42333x πππ∴≤+≤sin(2)123x π∴-≤+≤ 故选AD. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题.13．设函数()()2ln 02ax f x ax a e=->，若()f x 有4个零点，则a 的可能取值有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】先判断函数是偶函数，则条件等价为当0x >时，()f x 有2个零点，求函数的导数，研究函数的单调性，求出函数的极小值，让极小值小于0即可. 【详解】因为函数定义域为{|0}x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数为偶函数， 故函数()f x 有4个零点等价于0x >时， ()f x 有2个零点，当0x >时，()()2ln 02ax f x ax a e =->，则221()2ax a ax ax ef x e ax e x ex'-=-=-=当,()x f x →+∞→+∞，当0,()x f x →→+∞ 由()0f x '=得x =x >()0f x '>，当0x <<时，()0f x '<， 如图：所以()f x有极小值f ，要使函数有4个零点，只需0f <即可，即111ln(ln 02222ea a f a ae e ⋅=-=-=-<， 解得1a >，所以a 可取2,3,4，故选BCD. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当0x >时()f x 有2个零点，利用导数研究函数的单调性及极值，属于难题.三、填空题14．已知α为第二象限的角,3sin 5α=,则tan2α=________. 【答案】247-【解析】利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,结合α为第二象限的角,可以求出cos α的值,再利用同角的三角函数关系式中的商关系可以求出tan α的值,最后利用二倍角的正切公式可以求出tan2α的值. 【详解】因为α为第二象限的角,所以4cos 5α===-,于是有3sin 35tan 4cos 45ααα===--,因此2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===----. 故答案为：247- 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的正切公式,考查了数学运算能力. 15．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16．在 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,2sin 3sin 4b c a B C -==，则cos A 的值为_______. 【答案】14-【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =∴=∴=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-．【考点】1．正弦定理；2．余弦定理的推论．17．若函数2'1()(2)ln 2f x x f x ⋅=+,则()f x 的极大值点为_______，极大值为_________.()1l n 212- 【解析】对函数进行求导，把2x =代入导函数中,求出'(2)f 的值,这样可以确定函数的解析式以及函数的导函数,这样利用导函数可以判断函数的单调性,最后求出函数的极大值点和极大值. 【详解】2'''11()(2)ln ()(2)2f x x f x f x x f x=+⇒⋅=⋅+,因此有 '''11(2)2(2)(2)22f f f =⋅+⇒=-,所以2'111()ln ,()42f x x x f x x x=-+=-+2'112(()222x x x f x x x x x-++=-+==-,因为0x >,所以当x >,函数()f x 单调递减,当0x <, 函数()f x 单调递增,因此()f x ,极大值为11(ln 21)22f =-+=-.()1ln 212-【点睛】本题考查了求函数的极大值点及极大值问题,正确求出函数的解析式是解题的关键,考查了数学运算能力.四、解答题18．已知函数()()lg 1f x x =+的定义域为集合A ,函数()()2lg 2g x x x a =-+的定义域为集合B ．(1)当8a =-时,求AB ；(2)若{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,求a 的值． 【答案】（1）{}|45x x <≤；（2）3-.【解析】(1)根据二次根式被开方数为非负数,对数的真数大于零,得到不等式组和不等式,解不等式组和不等式即可求出集合,A B ,利用集合交集定义求出AB ；(2)先求出R C B ,再根据{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,可以求出a 的值． 【详解】(1)函数()()lg 1f x x =+有意义,则有5010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得15x -<≤,当8a =-时,()()2lg 28g x x x =--,所以2280x x -->,解得4x >或2x <-,所以{}|45A B x x ⋂=<≤；(2){}{}212|20|R C B x x x a x x x x =-+≤=≤≤ 12()x x ≤, 由(){}|13R A C B x x ⋂=-<≤,可得11x ≤-,23x =,将23x =代入方程,解得3a =-,11x =-,满足题意，所以3a =-．【点睛】本题考查了求函数定义域,考查了集合的交集定义,考查了已知集合交集运算的结果求参数问题,考查了数学运算能力.19．已知()()4sin sin 13f x x x x R π⎛⎫=⋅++∈ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期；(2)当[]0,2x π∈时,求()f x 的单调递减区间.【答案】(1)π；(2)5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,411,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)先用两角和的正弦公式展开化简计算,最后运用辅助角公式把函数()f x 的解析式化成正弦型函数解析式形式,运用求正弦型函数最小正周期公式求出求()f x 的最小正周期；(2)利用正弦型函数的单调性,结合[]0,2x π∈,求出()f x 的单调递减区间.【详解】（1）()14sin sin 12f x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 1x x x =+2cos 2x x =-+2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以最小正周期为π.（2）当3222262k x k πππππ+≤-≤+, 即()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈时,()f x 为减函数, ∵[]0,2x π∈,∴()f x 的单调递减区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,411,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了两角和的正弦公式,考查了辅助角公式,考查了正弦型函数的最小正周期公式以及单调性,考查了数学运算能力.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a+-+=+是奇函数. (1)求,a b 的值；(2)若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2,1；(2)13k <-. 【解析】1）由定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数．可得()00f =，()1(1)f f =--，联立即可解得,a b ，并验证即可．（2）由（1）得：11()221x f x =-++．利用2y x =在R 上单调递增，可得()f x 在R 上单调递减．再利用奇偶性可得：对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立⇔()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+．即可解出．【详解】(1)因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即102b a-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a +-+=+.又由()1(1)f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意 (2)由(1)知12111()22221x x x f x +-+==-+++， 由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+． 因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k =+<，解得13k <-. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性、指数函数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．在ABC ∆中，角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c 2sin a B =.(1)求角A ；(2)将函数1sin y x =的图象向左平移6π个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）,得到函数()y f x =的图象,若()12f A =,1b =,且ABC ∆的面积S =判断ABC ∆的形状. 【答案】(1)3A π=或23A π=；(2)ABC ∆是以角C 为直角的Rt ABC ∆. 【解析】(1)运用正弦定理实现边角转化,再利用特殊角的三角函数值,可以求出角A ；(2)按照正弦函数图象的平移变换、伸缩变换的解析式之间的关系,求出()y f x =的解析式,根据面积公式、余弦定理、勾股定理的逆定理最后可以判断出ABC ∆的形状.【详解】(1)2sin sin B A B =，因为()0,B π∈，所以sin 0B >，所以sin A =， 又()0,A π∈，得：3A π=或23A π=. (2)已知可得：()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，由1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得3A π=. 又1sin 2S bc A ==，得2c =.由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得a =显见222+=a b c ，所以ABC ∆是以角C 为直角的Rt ABC ∆.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式.考查了正弦函数图象的平移变换、伸缩变换.22．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件，需另投入成本为()C x ,当年产量不足80千件时,()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元）.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)()21402503L x x x =-+-；(2)年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元．【解析】(1)根据题意可以分成两种情况进行分析讨论：一是当080x <<时,二是当80x ≥时，根据年利润=销售收入-成本,这样可以用分段函数形式写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)分别利用配方法和基本不等式求出当080x <<时、当80x ≥时,函数()L x 的最大值,通过比较,最后求出函数()L x 的最大值.【详解】(1)∵每件商品售价为0.05万元,∴x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元, ①当080x <<时,根据年利润=销售收入-成本,∴()()210.0510********L x x x x =⨯---21402503x x =-+-； ②当80x ≥时,根据年利润=销售收入-成本,∴()()100000.051000511450250L x x x x =⨯--+-100001200x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 综①②可得,()2140250,0803100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)①当080x <<时,()()2211402506095033L x x x x =-+-=--+, ∴当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =万元；②当80x ≥时,()10000120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭,当且仅当10000x x=,即100x =时,()L x 取得最大值()1001000L =万元． 综合①②,由于9501000<,∴年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元．【点睛】本题考查了利用函数的最值解决实际问题的能力.考查了配方法和基本不等式的应用,考查了数学运算能力.23．已知函数()21xx f x e +=. （1）求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()()()ln 21f x g x x a x =⋅++，当2a ≤时，求证：()1g x <. 【答案】（1）2350x e y +-=（2）详见解析【解析】（1）求出函数的导数，计算(1),(1)f f '，写出切线方程即可（2）由题意转化为只需证()2ln 22x x e +<，构造函数()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-，利用导数研究函数的极小值，得出函数最小值，只需证明最小值大于0即可.【详解】（1）()()22421212x x x x e x e x f x e e-+⋅--'==， ()231f e -'=，()221f e =， ()22231y x e e-=--， 整理得，所求切线方程为：2350x e y +-=.（1）要证()1g x <，只需证()2ln 2xx a e +<， 又∵2a ≤，∴只需证()2ln 22xx e +<， 即证()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-， ∵()()122t h t e t t '=->+单调递增， ()1110h e '-=-<，()10102h '=->， ∴必有()01,0t ∈-，使()00h t '=，即0012t e t =+，即()00ln 2t t =-+.且在()02,t -上，()00h t '<；在()0,t +∞上，()00h t '>，∴()()()020000min 0011ln 2022t t h t e t t t t +=-+=+=>++， ∴()()ln 20t h t e t =-+>，即()1g x <.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的切线方程，利用导数研究函数的最值，证明不等式恒成立，属于难题.。

山东省济南市章丘四中2020届高三数学上学期10月阶段检测试题一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，其中1-10题是单选题，11-13题是多选题）1. 设集合，则（）A. B. C. D.2. 复数（i为虚数单位）的虚部是（）A. B.1 C.-1 D.i3. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.4..函数的定义域为（）A. B. C. D.5.定义在R上的奇函数满足，且在上，则（）A. B. C. - D. -6.函数图像的对称轴方程可能是（）山东中学联盟A．B．C．D．7. 函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）8.若函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围为（）A. B. C . D.sdzxlmA.向右平移单位长度得到B.向右平移单位长度得到C.向左平移单位长度得到D.向左平移单位长度得到10.函数的定义域为，若满足如下两个条件：（1）在D内是单调函数；（2）存在,使得在上的值域为，那么就称函数为“希望函数”，若函数是“希望函数”，则的取值范围是（）以下是多选题11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A.在上的最小值为B. 在上的最小值为-1C.在上的最大值为D. 在上的最大值为1 ,12.已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数13. 设函数，若有4个零点，则的可能取值有（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14.已知为第二象限的角，，则________.15.曲线在点处的切线方程为____________.16.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.17.若函数则的极大值点为，极大值为三、解答题（本大题共6小题。

第18题10分、第19-21题14分、第22-23题15分，共82分）18.（本小题满分10分）. 山东中学联盟已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．（1）当时，求；（2）若，求a的值．19. （本小题满分14分）已知（1）求的最小正周期；（2）当时求的单调递减区间。

2020届山东省济南市章丘区第四中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A B =（）A ．(]0,1B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．[]0,1【答案】A【解析】化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可. 【详解】因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞， 所以0,1]A B =（，故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2．复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果. 【详解】因为21(1)(1)(1)21222i i i i i i i ----==-==+，所以虚部是1，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题.3．命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．2a ≤C ．3a ≤D ．4a ≤【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为[]22,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案.【详解】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立只需2min (2)2a x ≤=，所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题， “[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 选A. 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 4．函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C【解析】计算每个函数的定义域,再求交集得到答案. 【详解】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=+⇒+≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A.32B.23-C.23D.32-【答案】D【解析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（ ）A.6x π=-B.12x π=-C.6x π=D.12x π=【答案】D【解析】函数的对称轴方程满足：()232x k k Z πππ+=+∈ ,即：()212k x k Z ππ=+∈ ,令0k = 可得对称轴方程为12x π= . 本题选择D 选项.7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．若函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的,则实数a 的取值范围为（ ） A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】根据实数a 的不同取值进行分类讨论.利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】当0a =时, ()23f x x =-,因为20>,所以函数()23f x x =-是整个实数集上的增函数,故在区间(),4-∞上也是单调递增的,符合题意；当0a ≠时，要想函数()223f x ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的只需满足：102442a a a<⎧⎪⇒-≤<⎨-≥⎪⎩,综上所述：实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】本题考查了已知函数的单调区间求参数问题,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.9．函数sin()26x y π=+的图像可以由函数cos 2xy =的图像经过 A.向右平移3π个单位长度得到 B.向右平移23π个单位长度得到 C.向左平移3π个单位长度得到D.向左平移23π个单位长度得到【答案】B【解析】把函数cossin 222x x y π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度，可得函数sin sin 23226x x y πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选B.10．函数()f x 的定义域为D ，若满足如下两个条件：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”，则t 的取值范围是（） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”,所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的. 所以22log log m a naa t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩即22m m n na t aa t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 20x xa a t ∴--=有2个不等的正实数根，140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->解得104t -<<，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题. 11．已知函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上一定（ ） A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D【解析】由二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值得知其对称轴(),1x a =∈-∞，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上的单调性. 【详解】由于二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值，可知其对称轴(),1x a =∈-∞，()()222f x x ax a ag x x a x x x-+===+-.当0a <时，由于函数12y x a =-和函数2ay x=在()1,+∞上都为增函数， 此时，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数； 当0a =时，()2g x x a =-在()1,+∞上为增函数；当01a <<时，由双勾函数的单调性知，函数()2ag x x a x=+-在)+∞上单调递增，())1,+∞⊆+∞，所以，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数. 综上所述：函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上为增函数，故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了ay x x=+型函数单调性的分析，解题时要注意对a 的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.二、多选题12．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 B ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1 【答案】AD【解析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值. 【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42333x πππ∴≤+≤sin(2)13x π≤+≤ 故选AD. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题.13．设函数()()2ln 02ax f x ax a e=->，若()f x 有4个零点，则a 的可能取值有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】先判断函数是偶函数，则条件等价为当0x >时，()f x 有2个零点，求函数的导数，研究函数的单调性，求出函数的极小值，让极小值小于0即可. 【详解】因为函数定义域为{|0}x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数为偶函数， 故函数()f x 有4个零点等价于0x >时， ()f x 有2个零点，当0x >时，()()2ln 02ax f x ax a e =->，则221()2ax a ax ax ef x e ax e x ex'-=-=-=当,()x f x →+∞→+∞，当0,()x f x →→+∞ 由()0f x '=得exa =，当ex a >时，()0f x '>，当0ex a<<时，()0f x '<， 如图：所以()f x 有极小值)e f a ，要使函数有4个零点，只需)0e f a<即可， 即111()ln()ln 02222ea e e a f a ae ae a e a ⋅=-=-=-<， 解得1a >，所以a 可取2,3,4，故选BCD. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当0x >时()f x 有2个零点，利用导数研究函数的单调性及极值，属于难题.三、填空题14．已知α为第二象限的角,3sin 5α=,则tan2α=________. 【答案】247-【解析】利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,结合α为第二象限的角,可以求出cos α的值,再利用同角的三角函数关系式中的商关系可以求出tan α的值,最后利用二倍角的正切公式可以求出tan2α的值. 【详解】因为α为第二象限的角,所以2234cos 1sin 1()55αα=-=-=-,于是有3sin 35tan 4cos 45ααα===--,因此2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===----. 故答案为：247- 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的正切公式,考查了数学运算能力. 15．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16．在 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,2sin 3sin 4b c a B C -==，则cos A 的值为_______. 【答案】14-【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =∴=∴=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-．【考点】1．正弦定理；2．余弦定理的推论．17．若函数2'1()(2)ln 2f x x f x ⋅=+,则()f x 的极大值点为_______，极大值为_________.()1ln 212- 【解析】对函数进行求导，把2x =代入导函数中,求出'(2)f 的值,这样可以确定函数的解析式以及函数的导函数,这样利用导函数可以判断函数的单调性,最后求出函数的极大值点和极大值. 【详解】2'''11()(2)ln ()(2)2f x x f x f x x f x=+⇒⋅=⋅+,因此有 '''11(2)2(2)(2)22f f f =⋅+⇒=-,所以2'111()ln ,()42f x x x f x x x=-+=-+2'112(()222x x x f x x x x x-++=-+==-,因为0x >,所以当x >,函数()f x 单调递减,当02x时, 函数()f x 单调递增,因此()f x ,极大值为11(ln 21)22f =-+=-.()1ln 212-【点睛】本题考查了求函数的极大值点及极大值问题,正确求出函数的解析式是解题的关键,考查了数学运算能力.四、解答题18．已知函数()()lg 1f x x =+的定义域为集合A ,函数()()2lg 2g x x x a =-+的定义域为集合B ．(1)当8a =-时,求AB ；(2)若{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,求a 的值． 【答案】（1）{}|45x x <≤；（2）3-.【解析】(1)根据二次根式被开方数为非负数,对数的真数大于零,得到不等式组和不等式,解不等式组和不等式即可求出集合,A B ,利用集合交集定义求出AB ；(2)先求出R C B ,再根据{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,可以求出a 的值． 【详解】(1)函数()()lg 1f x x =+有意义,则有5010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得15x -<≤,当8a =-时,()()2lg 28g x x x =--,所以2280x x -->,解得4x >或2x <-,所以{}|45A B x x ⋂=<≤；(2){}{}212|20|R C B x x x a x x x x =-+≤=≤≤ 12()x x ≤, 由(){}|13R A C B x x ⋂=-<≤,可得11x ≤-,23x =,将23x =代入方程,解得3a =-,11x =-,满足题意，所以3a =-．【点睛】本题考查了求函数定义域,考查了集合的交集定义,考查了已知集合交集运算的结果求参数问题,考查了数学运算能力.19．已知()()4sin sin 13f x x x x R π⎛⎫=⋅++∈ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期；(2)当[]0,2x π∈时,求()f x 的单调递减区间.【答案】(1)π；(2)5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,411,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)先用两角和的正弦公式展开化简计算,最后运用辅助角公式把函数()f x 的解析式化成正弦型函数解析式形式,运用求正弦型函数最小正周期公式求出求()f x 的最小正周期；(2)利用正弦型函数的单调性,结合[]0,2x π∈,求出()f x 的单调递减区间.【详解】（1）()14sin sin cos 122f x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 1x x x =+2cos 2x x =-+2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以最小正周期为π.（2）当3222262k x k πππππ+≤-≤+, 即()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈时,()f x 为减函数, ∵[]0,2x π∈,∴()f x 的单调递减区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,411,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了两角和的正弦公式,考查了辅助角公式,考查了正弦型函数的最小正周期公式以及单调性,考查了数学运算能力.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a+-+=+是奇函数. (1)求,a b 的值；(2)若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2,1；(2)13k <-. 【解析】1）由定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数．可得()00f =，()1(1)f f =--，联立即可解得,a b ，并验证即可．（2）由（1）得：11()221x f x =-++．利用2y x =在R 上单调递增，可得()f x 在R 上单调递减．再利用奇偶性可得：对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立⇔()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+．即可解出．【详解】(1)因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即102b a-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a +-+=+.又由()1(1)f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意 (2)由(1)知12111()22221x x x f x +-+==-+++， 由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+． 因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k =+<，解得13k <-. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性、指数函数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．在ABC ∆中，角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c 2sin a B =.(1)求角A ；(2)将函数1sin y x =的图象向左平移6π个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）,得到函数()y f x =的图象,若()12f A =,1b =,且ABC ∆的面积S =判断ABC ∆的形状. 【答案】(1)3A π=或23A π=；(2)ABC ∆是以角C 为直角的Rt ABC ∆. 【解析】(1)运用正弦定理实现边角转化,再利用特殊角的三角函数值,可以求出角A ；(2)按照正弦函数图象的平移变换、伸缩变换的解析式之间的关系,求出()y f x =的解析式,根据面积公式、余弦定理、勾股定理的逆定理最后可以判断出ABC ∆的形状.【详解】(1)2sin sin B A B =，因为()0,B π∈，所以sin 0B >，所以sin A =， 又()0,A π∈，得：3A π=或23A π=. (2)已知可得：()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，由1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得3A π=. 又1sin 22S bc A ==，得2c =.由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得a =显见222+=a b c ，所以ABC ∆是以角C 为直角的Rt ABC ∆.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式.考查了正弦函数图象的平移变换、伸缩变换.22．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件，需另投入成本为()C x ,当年产量不足80千件时,()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元）.每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)()21402503L x x x =-+-；(2)年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元．【解析】(1)根据题意可以分成两种情况进行分析讨论：一是当080x <<时,二是当80x ≥时，根据年利润=销售收入-成本,这样可以用分段函数形式写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)分别利用配方法和基本不等式求出当080x <<时、当80x ≥时,函数()L x 的最大值,通过比较,最后求出函数()L x 的最大值.【详解】(1)∵每件商品售价为0.05万元,∴x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元, ①当080x <<时,根据年利润=销售收入-成本,∴()()210.0510********L x x x x =⨯---21402503x x =-+-； ②当80x ≥时,根据年利润=销售收入-成本,∴()()100000.051000511450250L x x x x =⨯--+-100001200x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 综①②可得,()2140250,0803100001200,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)①当080x <<时,()()2211402506095033L x x x x =-+-=--+, ∴当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =万元；②当80x ≥时,()10000120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭,当且仅当10000x x=,即100x =时,()L x 取得最大值()1001000L =万元． 综合①②,由于9501000<,∴年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元．【点睛】本题考查了利用函数的最值解决实际问题的能力.考查了配方法和基本不等式的应用,考查了数学运算能力.23．已知函数()21xx f x e +=. （1）求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()()()ln 21f x g x x a x =⋅++，当2a ≤时，求证：()1g x <. 【答案】（1）2350x e y +-=（2）详见解析【解析】（1）求出函数的导数，计算(1),(1)f f '，写出切线方程即可（2）由题意转化为只需证()2ln 22x x e +<，构造函数()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-，利用导数研究函数的极小值，得出函数最小值，只需证明最小值大于0即可.【详解】（1）()()22421212x x x x e x e x f x e e-+⋅--'==， ()231f e -'=，()221f e =， ()22231y x e e-=--， 整理得，所求切线方程为：2350x e y +-=.（1）要证()1g x <，只需证()2ln 2xx a e +<， 又∵2a ≤，∴只需证()2ln 22xx e +<， 即证()()()ln 2022th t e t t x =-+>=>-， ∵()()122t h t e t t '=->+单调递增， ()1110h e '-=-<，()10102h '=->， ∴必有()01,0t ∈-，使()00h t '=，即0012t e t =+，即()00ln 2t t =-+.且在()02,t -上，()00h t '<；在()0,t +∞上，()00h t '>，∴()()()020000min 0011ln 2022t t h t e t t t t +=-+=+=>++， ∴()()ln 20t h t e t =-+>，即()1g x <.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的切线方程，利用导数研究函数的最值，证明不等式恒成立，属于难题.。

山东省济南市章丘四中2020届高三数学上学期10月阶段检测试题一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，其中1-10题是单选题，11-13题是多选题）1. 设集合，则（）A. B. C. D.2. 复数（i为虚数单位）的虚部是（）A. B.1 C.-1 D.i3. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.4..函数的定义域为（）A. B. C. D.5.定义在R上的奇函数满足，且在上，则（）A. B. C. - D. -6.函数图像的对称轴方程可能是（）山东中学联盟A．B．C．D．7. 函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）8.若函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围为（）A. B. C . D.sdzxlmA.向右平移单位长度得到B.向右平移单位长度得到C.向左平移单位长度得到D.向左平移单位长度得到10.函数的定义域为，若满足如下两个条件：（1）在D内是单调函数；（2）存在,使得在上的值域为，那么就称函数为“希望函数”，若函数是“希望函数”，则的取值范围是（）以下是多选题11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A.在上的最小值为B. 在上的最小值为-1C.在上的最大值为D. 在上的最大值为1 ,12.已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数13. 设函数，若有4个零点，则的可能取值有（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14.已知为第二象限的角，，则________.15.曲线在点处的切线方程为____________.16.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.17.若函数则的极大值点为，极大值为三、解答题（本大题共6小题。

第18题10分、第19-21题14分、第22-23题15分，共82分）18.（本小题满分10分）. 山东中学联盟已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．（1）当时，求；（2）若，求a的值．19. （本小题满分14分）已知（1）求的最小正周期；（2）当时求的单调递减区间。

2020届山东省新高考质量测评联盟高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|log 2B x x =≤，则A B 等于（ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1,2C.{}1,2D.{}0,1【答案】C【解析】先化简集合B ，再由交集的概念，即可求出结果. 【详解】因为{}{}2|log 2|04=≤=<≤B x x x x ，{}1,0,1,2A =-， 所以{}1,2A B =.故选C 【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．命题“1x ∃>，2x x e +≥”的否定形式是（ ） A.1x ∀≤，2x x e +< B.1x ∀>，2x x e +< C.1x ∃>，2x x e +< D.x ∃≤1，2x x e +<【答案】B【解析】根据特称命题的否定是特称命题，可直接写出结果. 【详解】命题“1x ∃>，2x x e +≥”的否定是“1x ∀>，2x x e +<”. 故选B 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，熟记含有一个量词的命题的否定即可，通常只需改写量词和结论即可，属于基础题型.3．总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A.3 B.19 C.38 D.20【答案】B【解析】根据题意，直接从所给随机数表中读取，即可得出结果. 【详解】由题意，编号为01~50的才是需要的个体； 由随机数表依次可得：41，48，28，19，16，20…… 故第四个个体的编号为19. 故选B 【点睛】本题主要考查随机数表法确定抽取的样本，熟记随机数表法的抽取原则即可，属于基础题型.4．下列函数中是偶函数，且在区间()0,∞+上是减函数的是（ ） A.1y x =+ B.12y x =C.1y x x=+D.3x y -=【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义，排除BC ，由函数单调性，排除A ，即可得出结果. 【详解】A 选项，因为11-+=+x x ，所以1y x =+是偶函数；又0x >时，1y x =+显然单调递增，不满足题意，排除A ；B 选项，12y x =的定义域为[)0,+∞，所以12y x =是非奇非偶函数，排除B ； C 选项，因为11⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭x x x x ，所以1y x x =+是奇函数，排除C ； D 选项，因为33---=xx，所以3xy -=是偶函数；当又0x >时，3331--⎛⎫== =⎪⎝⎭xxxy ，单调递减，满足题意，D 正确. 故选D 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性判定函数解析式，熟记函数奇偶性，以及基本初等函数单调性即可，属于常考题型.5．在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩()286,X N σ~，若已知()80860.36P X <≤=，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（ ） A.0.86 B.0.64C.0.36D.0.14【答案】D【解析】由正态分布的特征，得到()1(8092)922-<≤>=P X P X ，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】 因为()286,X N σ~，()80860.36P X <≤=，所以()1(8092)12(8086)10.72920.14222-<≤-<≤->====P X P X P X .故答案为D 【点睛】本题主要考查正态分布中求指定区间的概率问题，熟记正态分布的特征即可，属于常考题型.6．已知α是第一象限的角，且5cos 13α=，求()sin 4cos 23πααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值为（ ）B.D. 【答案】A【解析】根据题中条件，先求出sin α，再将所求式子化简整理，即可求出结果. 【详解】因为α是第一象限的角，且5cos 13α=，所以12sin 13α==，因此()22sin cos )cos )422cos 23cos 2sin cos πααααααπααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭==+--2217sin cos 3413αα===+. 故选A 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 7．设函数()()()321f x x ax a x a R =++-∈为奇函数，则曲线2()=f x y x在点()1,0处的切线方程为（ ） A.22y x =-+ B.1y x =-+ C.22y x =- D.1y x =-【答案】C【解析】先由函数奇偶性，求出0a =，得到()3f x x x =-，进而得到2()1==-f x y x x x ，对其求导，计算曲线2()=f x y x 在点()1,0处的切线斜率，从而可求出切线方程. 【详解】因为函数()()()321f x x ax a x a R =++-∈为奇函数，所以()()()(1)1111120+=-+-++++-==-f f a a a a a ，故0a =； 所以()3f x x x =-，因此322()1-===-f x x x y x x x x, 所以211'=+y x ， 因此曲线2()=f x y x 在点()1,0处的切线斜率为12x k y ='==， 所以曲线2()=f x y x在点()1,0处的切线方程为2(1),22y x y x =-=-. 故选C 【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 8．在空间中，已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A.若l αβ=，m α，m β⊥，则αβ⊥ B .若m α，n β，αβ∥，则m nC.若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥D.若m αβ=，m γ⊥，n m ⊥，则∥γn【答案】A【解析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，结合线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A 选项，因为m α，m β⊥，根据面面平行的判定定理，即可得出αβ⊥；A 正确；对于B 选项，若m α，n β，αβ∥，则m n 或mn 、异面；B 错误； 对于C 选项，若m α⊥，αβ⊥，则m β或m β⊂，又n β，所以m n 或m n 、异面或mn 、相交；C 错误； 对于D 选项，若m αβ=，m γ⊥，n m ⊥，则∥γn 或γ⊂n ；D 错误.故选A 【点睛】本题主要考查线面关系、面面关系相关命题的真假性判断，熟记线线、线面、面面位置关系，以及判定定理与性质定理即可，属于常考题型.9．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为1314cm ~，径粗0.20.3cm ~，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数字.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这6根算筹能表示的两位数的个数为（ ）A.13B.14C.15D.16【答案】D【解析】根据题意，确定6根算筹，可以表示的数字组合，进而可确定每个组合可以表示的两位数，即可得出结果. 【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，3），（3，7），（7，7）；数字组合（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，7）中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；而数字组合（3，3），（7，7）每组可以表示1个两位数，共2个两位数； 因此，用这6根算筹能表示的两位数的个数为16个. 故选D 【点睛】本题主要考查简单的排列组合的应用，熟记排列组合的定义即可，属于常考题型. 10．函数()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】C【解析】先由函数奇偶性，排除BD ；再由函数值的大致范围，即可确定结果. 【详解】 因为()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，x ∈R 所以()222111111-⎛⎫--⎛⎫-=--=--=-⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭x x x x x xe e ef x x x x e e e 1122211()1111-+-⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅=--=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭x x x x xx e e x x x x f x e e ee ， 所以()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭是偶函数，排除BD ；又当0x >时，22110111-<-=++xe ，所以2()101⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭x f x x e ， 当0x <时，22110111->-=++x e ，所以2()101⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭xf x x e ， 故排除D ，选C. 故答案为C 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型.11．在正方形ABCD 中，2AB =，E 是AB 中点，将ADE ∆和BCE ∆分别沿若DE 、EC 翻折，使得A 、B 两点重合，则所形成的立体图形的外接球的表面积是（ ）A.283πB.193πC.9πD.4π【答案】B【解析】根据题意，作出翻折后的几何体，取CD 中点M ，记A C D ∆外接圆圆心为G ，过点G 作⊥NG 平面ACD ，由题中条件得到//NG AE ，记几何体外接球球心为O ，连接,OA OE ，得到12=OG AE ，再由题中数据，即可求出外接球半径，从而可得出球的表面积. 【详解】由题意，作出翻折后的几何体如图所示： 取CD 中点M ，记ACD ∆外接圆圆心为G ，因为在正方形ABCD 中，2===BC AD CD ，所以翻折后，ACD ∆为等边三角形， 则ACD ∆外接圆圆心即是ACD ∆重心，所以、、A G M 三点共线，且23===AG AM ； 过点G 作⊥NG 平面ACD ，记所求几何体外接球球心为O ，外接球半径为r ， 则球心在直线NG 上，连接,OA OE ，则==OA OE r又AE AD ⊥，BE BC ⊥，所以翻折后，EA AD ⊥，EA AC ⊥， 所以EA ⊥平面ACD ，因此//EA NG ， 又==OA OE r ，所以OAE ∆是等腰三角形， 易得111242===OG AE AB ，所以====r OA故所求外接球表面积为21943ππ==S r . 故选B【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积问题，熟记三棱锥的结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.12．函数()2321,0log ,0x x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，则方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数是（ ） A.7 B.5 C.3 D.1【答案】A【解析】根据题意，分别讨论()0f x >，和()0f x ≤两种情况，根据函数解析式，即可求出结果. 【详解】因为()1f f x ⎡⎤=⎣⎦（1）当()0f x >时，由()3log ()1⎡⎤==⎣⎦f f x f x ，解得()3f x =或1()3f x =， 若0x >，则3lo g 3=x 或31log 3=x ，解得27x =或127=x ；或13x 3=或133-=x ； 若0x ≤，则2213-++=x x 或21213-++=x x，解得32-=x ； （2）当()0f x ≤时，由()[]2()2()11⎡⎤=-++=⎣⎦f f x f x f x ，解得()0f x =或()2f x =（舍），所以()0f x =.若0x >，则3log 0=x ，解得1x =； 若0x ≤，则2210-++=x x，解得1x =-综上，方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数是7个.故选A 【点睛】本题主要考查由复合函数值求参数的问题，灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.二、填空题13．已知函数()2xf x a =-（0a >且1a ≠），则()y f x =的图象恒过的定点的坐标为______. 【答案】()0,1-【解析】由指数函数恒过定点的坐标，即可得出结果. 【详解】因为指数函数xy a =恒过定点(0,1)， 所以()2xf x a =-恒过定点(0,1)-.故答案为()0,1- 【点睛】本题主要考查函数恒过定点的问题，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型. 14．若2x >，则函数342y x x =+-的最小值为______.【答案】8+【解析】根据题意，由基本不等式，即可求出最小值. 【详解】因为3344888822=+=-++≥=+--y x x x x当且仅当3482-=-x x ，即2=x即函数342y x x =+-为8+故答案为8+【点睛】本题主要考查由基本不等式求最小值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.15．如图，在圆柱的轴截面ABCD 中，4AB =，2BC =，1O ，2O 分别为圆柱上下底面的中心，M 为12O O 的中点，动点P 在圆柱下底面内（包括圆周）.若AM MP ⊥，则点P 形成的轨迹的长度为______.【解析】由题意，以2O 为坐标原点，以2O B 方向为y 轴，以底面内垂直于2O B 的直线为x 轴，以21O O 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，设(,,0)P x y ，用向量的方法，确定点P 形成的轨迹是底面的一条弦，根据圆的弦长公式，即可求出结果. 【详解】以2O 为坐标原点，以2O B 方向为y 轴，以底面内垂直于2O B 的直线为x 轴，以21O O 方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为4AB =，2BC =，所以(0,2,0)A -，(0,0,1)M ，设(,,0)P x y ， 所以(0,2,1)=AM ，(,,1)=-MP x y ，又AM MP ⊥，所以210⋅=-=AM MP y u u u r u u u r，所以12y =， 即点P 形成的轨迹是，底面上与x 轴平行，且过2O B 靠近点2O 的四等分点的线段（也是底面圆的一条弦）；所以形成的轨迹长度为==【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.16．关于二项式)20201及其展开式，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是-1；②该二项展开式中第六项为610072020C x ；③该二项展开式中不含有理项；④当100x =时，)20201除以100的余数是1.其中，正确命题的序号为______.【答案】①④【解析】根据二项展开式的通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为二项式)20201的展开式的第1r +项为()20202120201-+=-r r r rTCx，对于①，当2020=r 时，得到常数项为20211=T ；又二项式)20201的展开式的各项系数和为)202010= ，所以该二项展开式中非常数项的系数和是1-；故①正确； 对于②，因为该二项展开式中第六项为()20205526202051-=-T C x，故②错误；对于③，当20202()-=∈r n n N 时，对应的各项均为有理项；故③错误；对于④，当100x =时，)20220200(1011)-=0202001201912018220182019120192020020202020202020202020202010(1)10(1)...10(1)10(1)10(1)=-+-++-+-+-C C C C C 因为02020012019120173201720202020202010(1)10(1)...10(1)-+-++-C C C 显然是100的倍数，能被100整除，而20182201820191201920200202020202020202010(1)10(1)10(1)-+-+-C C C 1010201910020200110102018100101000202001=⨯⨯-+=⨯⨯+-+10102018100808011001=⨯⨯+=⋅+m ，m N ∈，所以)20201除以100的余数是1. ④正确；故答案为①④ 【点睛】本题主要考查二项展开式的有理项，系数和，以及整除问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.三、解答题17．已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<. （1）求实数a ，b 的值； （2）求关于x 的不等式0ax bx c->+（c 为实数）的解集. 【答案】（1）1a =，3b =；（2）①当3c =-时，不等式的解集为{}|3x x ≠；②当3c >-时，不等式的解集为{|x x c <-或}3x >；③当3c <-时，不等式的解集为{|3x x <或}x c >-.【解析】（1）根据题意得到1和b 是方程2430ax x -+=的两个实数根，由韦达定理列出方程组，求解，即可求出结果；（2）先由题意，将不等式化为()()30x x c -+>，分别讨论3c -=，3c -<和3c ->三种情况，即可得出结果. 【详解】（1）因为不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<， 所以1和b 是方程2430ax x -+=的两个实数根，且0a >， 由韦达定理可得41b a =+，且31b a=⨯， 且16120a α=->，0a >， 解得1a =，3b =. （2）关于x 的不等式0ax bx c->+等价于()()0ax b x c -+>， 即()()30x x c -+>，①当3c -=，即3c =-时3x ≠；②当3c -<，即3c >-时x c <-或3x >；③当3c ->，即3c <-时3x <或x c >-， 综上：①当3c =-时，不等式的解集为{}|3x x ≠；②当3c >-时，不等式的解集为{|x x c <-或}3x >； ③当3c <-时，不等式的解集为{|3x x <或}x c >-. 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，以及含参数的不等式的解法，熟记三个二次之间的关系，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型. 18．已知函数()222sin 4cos 1f x x x =-+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【答案】（1）π；（2）最小值是-3，最大值是32. 【解析】（1）先将函数化简整理，得到()3cos 2=-f x x ，从而可得出最小正周期； （2）由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数的单调性，即可得出结果. 【详解】（1）()222sin 4cos 1f x x x =-+()1cos221cos21x x =--++ 3cos2x =-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 于是1cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()33,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是-3，最大值是32.【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.19．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()1323xx f x +⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()13,02332,03x x x x f x x x ⎧+⎛⎫-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎪-+<⎪⎩；（2）13k <-.【解析】（1）0x <时，0x ->，由题意，得到()1332233xx x x f x --+-⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭，再由奇函数的性质，即可得出结果；（2）先由题意得到()f x 在[)0,+∞上单调递减，根据函数奇偶性，推出()f x 在(),-∞+∞上单调递减，再将不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，转化为2320t t k -->在t R ∈上恒成立，进而可得出结果.【详解】（1）当0x <时，0x ->，则()1332233xx x x f x --+-⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭， 又因为()f x 为奇函数，所以()323xx f x --=+， 所以()323xx f x -=-+，所以()13,02332,03x x x x f x x x ⎧+⎛⎫-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎪-+<⎪⎩. （2）因为当0x ≥时，()1323xx f x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，33+=-x y 也单调递减，因此()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又()f x 为奇函数，所以()f x 在(],0-∞上单调递减， 所以()f x 在(),-∞+∞上单调递减，因为()()22220f t t f t k -+-<在t R ∈上恒成立， 所以()()2222f t t f t k -<--，又因为()f x 为奇函数，所以()()2222f t t f k t-<-，所以2222t t k t ->-在t R ∈上恒成立， 即2320t t k -->在t R ∈上恒成立， 所以4120k ∆=+<，即13k <-. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，以及由不等式恒成立求出参数的问题，熟记函数奇偶性的定义，以及函数单调性解不等式即可，属于常考题型. 20．甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和34.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立.（1）用X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）7144. 【解析】（1）先由题意，得到X 服从二项分布，以及X 的所有可能的取值，求出对应的概率，即可得出分布列与数学期望；（2）先设Y 为乙连续3次答题中答对的次数，由题意得到Y 服从二项分布，根据二项分布的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意知2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，()030321103327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()1213212121333399P X C ⎛⎫⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()2123214142333939P X C ⎛⎫⎛⎫===⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()33321833327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为数学期望()2323E X =⨯=. （或()124801232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.） （2）设Y 为乙连续3次答题中答对的次数， 由题意知33,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ()030331104464P Y C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121331914464P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()P M P =（3X =且1Y =）P +（2X =且Y 0=）894172764964144=⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查二项分布的分布列与数学期望，熟记二项分布与分布列的概念，以及二项分布的数学期望即可，属于常考题型.21．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为3.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ；（2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为10？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 位于AS 的靠近A 点的三等分点. 【解析】（1）根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）假设存在点E 满足题意，根据题中条件，先求出AD 的长，再以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，得到()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，分别表示出平面PEB 与平面SAD 的一个法向量，根据向量夹角余弦值，求出13λ=，即可得出结果. 【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是SA 、SB 的中点， 所以EF AB ∥，在矩形ABCD 中，AB CD ∥， 所以EF CD ∥，又因为E 、P 分别是SA 、AD 的中点， 所以∥EP SD ，又因为EF CD ∥，EF EP E ⋂=，,EF EP ⊂平面PEF ，,SD CD ⊂平面SCD ，所以平面∥PEF 平面SCD .（2）解：假设棱SA 上存在点E 满足题意. 在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ， 平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S ABCD -的高， 设AD m =，则SP =，ABCD S m =矩形，所以1133S ABCD ABDD V S SP m -=⋅==矩形 所以2m =，以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，()()1,0,0PE PA AE λ=+=+-()1λ=-，()1,1,0PB =，设平面PEB 的一个法向量为()1,,n x y z =，有()11100n PE x z n PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令3x λ=，则()13,,1n λλ=-，易知平面SAD 的一个法向量()20,1,0n =u u r，所以121212cos ,7n n n n n n ⋅==10=， 因为01λ≤≤， 所以13λ=， 所以存在点E ，位于AS 的靠近A 点的三等分点.【点睛】本题主要考查证明面面平行，以及由二面角的大小求其它量的问题，熟记面面平行的判定定理以及空间向量的方法求二面角的大小即可，属于常考题型.22．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ，b ，c ，d 共25场，在a ，b ，c ，d 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的y 与x 数据：（i ）用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程； （ii ）40yx +叫做运动场月惠值，根据（i ）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值.参考数据和公式：4z =，()721700ii x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑，320e =，()()()71721ˆiii i i x x z z bx x ==--=-∑∑，a y bx =-$$.【答案】（1）分布列见解析，252；（2）（i ）13102ˆz x =+；（ii ）20.【解析】（1）根据题意，确定抽样比，得到a ，b ，c ，d 的值分别为5，6，9，5；所以这两数和ξ的所有可能的取值为10，11，14，15，求出对应概率，即可得出分布列与数学期望；（2）（i ）由最小二乘法，结合题中数据，求出a ，b 的估计值，从而可得回归直线方程；（ii ）由（i ）得到1001313102102yz e x =+=+，所以100ln y x =，设()100ln 4040y x g x x x ==++，用导数的方法求其最值即可.【详解】（1）根据题中所给的条形图，易知总场数为100，所以抽样比例为2511004=， 所以a ，b ，c ，d 的值分别为5，6，9，5.所以这两数和ξ的所有可能的取值为10，11，14，15. 于是()2411106P C ξ===，()2421113P C ξ===， ()2421143P C ξ===，()2411156P C ξ===， 所以随机变量ξ的分布列为：所以()1111251011141563362E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.第 21 页 共 21 页 （2）（i ）因为25x =，4z =，()721700i i x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑， 所以()()()717217017010ˆ0i ii i i x x z z b x x ==--===-∑∑， 即13425ˆ102ˆa z bx =-=-⨯=， 所以z 与x 之间的回归直线方程为13102ˆzx =+. （ii ）因为1001313102102y z e x =+=+， 所以100ln y x =，设()100ln 4040y x g x x x ==++， 则()()2401ln '10040x x g x x +-=+，令()401ln h x x x =+-，()2401'0h x x x=--<在()0,∞+恒成立， 则()y h x =在()0,∞+为减函数，又()200h =，所以当()0,20x ∈时，()0h x >，()'0g x >，所以()g x 在()0,20上单调递增， 当()20,x ∈+∞时，()0h x <，()'0g x <，所以()g x 在()20,+∞上单调递减， 所以估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值为20.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，回归直线方程的求法，以及导数的方法求函数的最值问题，熟记离散型随机变量分布列与期望的概念，会用最小二乘法求回归直线系数的估计值，以及导数的应用即可，属于常考题型.。

山东省2020版数学高三上学期理数10月月考试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·攀枝花模拟) 设集合，若，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知，那么的值是（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高一下·济南期中) 将函数y=sinx的图像的横坐标扩大3倍，再将图像向右平移3个单位，所得解析为（）A . y=sin（3x+1）B . y=sin（ x﹣1）C . y=sin（3x+3）D . y=sin（ x﹣3）4. （2分） (2019高一上·会宁期中) 三个数a＝0.22 ， b＝log20.2，c＝20.2之间的大小关系是（）A .B .C .D .5. （2分）已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是（）A . 64B . 48C . 32D . 166. （2分）(2017·厦门模拟) 函数f（x）= 的图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·南沙期中) 下列各式中值等于的是（）A . sin15°cos15°B .C . cos2 ﹣sin2D .8. （2分） (2017高一上·黄石期末) 若sin（﹣α）=﹣，则cos（+2α）=（）A . -B . -C .D .9. （2分）已知函数 f(x)=x2-2x+1+alnx 有两个极值点 x1,x2 ，且x1<x2 ，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 的值等于（）A .B . 10C .D .11. （2分） (2016高一下·肇庆期末) 若α∈[0， ]，sin（α﹣）= ，则cosα的值是（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·天津模拟) 对于任意x∈R，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≥1时，函数f(x)＝lnx，若a＝f(2－0.3)，b＝f(log3π)，c＝f(－ )，则a，b，c大小关系是（）A . b>a>cB . b>c>aC . c>a>bD . c>b>a二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·浦东期中) 命题“若x＞1且y＜﹣3，则x﹣y＞4”的等价命题是________．14. （1分） (2018高二下·如东月考) 已知函数，则过（1,1）的切线方程为________．15. （1分）在△ABC中，若cosBcosC﹣sinBsinC≥0，则这个三角形的形状一定不会是________三角形（填“锐角”，或“直角”，或“钝角”）．16. （1分）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=（x﹣a）2﹣a2 ，且对x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），则实数a的取值范围为________三、解答题 (共6题；共40分)17. （10分） (2018高二上·鹤岗月考)（1）已知命题 :实数满足，命题 :实数满足方程表示的焦点在轴上的椭圆，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）设命题 :关于的不等式的解集是； :函数的定义域为 .若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.18. （10分）(2020·淮安模拟) 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且.（1）求的大小；（2）若的面积为，求的周长.19. （5分） (2019高一下·蛟河月考) 函数的一段图像过点，如图所示.（1）求在区间上的最值；（2）若 ,求的值.20. （5分） (2016高一上·西安期中) 已知f（x）= （a，b为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=（1）求函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数并求值域；（3）求不等式f（2t﹣1）+f（t）＜0的解集．21. （5分）(2018·河北模拟) 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．22. （5分） (2019高二上·德惠期中) 已知函数与函数在点处有公共的切线，设 .（1）求的值（2）求在区间上的最小值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。