广西贵港市2017届中考数学总复习 二次函数与几何图形综合题 探究全等三角形的存在性问题试题

第13讲 二次函数的综合应用1．如图，直线y ＝x －3与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 同时经过B ，C 两点，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 在线段BC 上，且S △P AC ＝12S △PAB ，求点P 的坐标．解：(1)∵点B 在x 轴上， ∴0＝x －3，∴x ＝3. ∴点B 的坐标为(3，0)． ∵点C 在y 轴上， ∴y ＝0－3＝－3.∴点C 的坐标为(0，－3)．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过B(3，0)，C(0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3. ∴此抛物线的函数表达式为y ＝x 2－2x －3. (2)过点P 作PM⊥OB 于点M.∵点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，－3)，∴OB ＝3，OC ＝3. ∵S △PAC ＝12S △PAB ，∴S △PAB ＝23S △ABC .∴12·AB·PM＝23×12·AB·OC. ∴PM ＝23OC ＝2.由于点P 在第四象限，可设点P(x P ，－2)． ∵点P 在直线y ＝x －3上， ∴－2＝x P －3.解得x P ＝1. ∴点P 的坐标为(1，－2)．2．(2016·青岛)如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，32m.(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？ 解：(1)由题意，得B(12，34)，C(32，34)，代入抛物线的函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＝34，94a ＋32b ＝34.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.故该抛物线的函数关系式为y ＝－x 2＋2x.∵y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， ∴抛物线的顶点坐标为(1，1)． ∴图案最高点到地面的距离为1 m.(2)由题意，令y ＝－x 2＋2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.∴抛物线与x 轴两交点的坐标为(0，0)和(2，0)，即两交点之间的距离为2 m. ∴最多可连续绘制这样的抛物线型的个数为10÷2＝5(个)．3．如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2. (1)求抛物线的函数表达式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值．解：(1)∵AB＝2，对称轴为直线x ＝2， ∴A(1，0)，B(3，0)．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，∴1、3是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根．由根与系数的关系，得1＋3＝－b ，1×3＝c. ∴b ＝－4，c ＝3.∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接PA.由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)． ∴点C 的坐标为(0，3)．∴BC ＝32＋32＝32，AC ＝32＋12＝10. ∵点A ，B 关于对称轴x ＝2对称， ∴PA ＝PB.∴PA ＋PC ＝PB ＋PC.此时，PB ＋PC ＝BC.∴当P 点在对称轴上运动时，PA ＋PC 的最小值等于BC.4．(2016·泉州)某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销售量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系，如图所示． (1)试求出y 与x 之间的一个函数关系式； (2)利用(1)的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润；②进口产品检验，运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月(30天)，若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？解：(1)根据图象可见，它近似地成一条直线，故可设y ＝kx ＋b(k≠0)，把点(40，32)，(39，34)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝32，39k ＋b ＝34. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝112.∴y＝－2x ＋112.(2)①设每天获得的销售利润为w 元，依题意，得 w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋112)＝－2x 2＋152x －2 240＝－2(x －38)2＋648.∵－2<0，∴当x ＝38时，w 有最大值．即每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润． ②由y ＝－2x ＋112可知y 随x 的增大而减小． 又∵当x ＝30时，y ＝52.∴当x ≥30时，y ≤52. ∴y 的最大值为52.52×(30－5)＝1 300(千克)．答：每月一次进货最多只能是1 300千克．5．(2016·扬州)某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元(a ＞0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天低1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t 为正整数)的增大而增大，a 的取值范围应为0<a ≤5．6．(2016·永州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx 与抛物线交于A ，B 两点．(1)写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O 为线段AB 的中点时，求k 的值及A ，B 两点的坐标；解：(1)令抛物线y ＝ax 2＋bx －3中x ＝0，得y ＝－3， ∴点C 的坐标为(0，－3)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过(－1，0)，(3，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.∴此抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)将y ＝kx 代入y ＝x 2－2x －3，得kx ＝x 2－2x －3，整理，得x 2－(2＋k)x －3＝0， ∴x A ＋x B ＝2＋k ，x A ·x B ＝－3. ∵原点O 为线段AB 的中点， ∴x A ＋x B ＝2＋k ＝0.解得k ＝－2.当k ＝－2时，x 2－(2＋k)x －3＝x 2－3＝0，解得x A ＝－3，x B ＝ 3.∴y A ＝－2x A ＝23，y B ＝－2x B ＝－2 3.∴当原点O 为线段AB 的中点时，k 的值为－2，点A 的坐标为(－3，23)，点B 的坐标为(3，－23)． (3)假设存在这样的实数k.由(2)可知x A ＋x B ＝2＋k ，x A ·x B ＝－3， S △ABC ＝12OC·|x A －x B |＝12×3×（x A ＋x B ）2－4x A ·x B ＝3102， ∴(2＋k)2－4×(－3)＝10，即(2＋k)2＋2＝0.∵(2＋k)2非负，∴无解，∴假设不成立． ∴不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.。

重难点题型(三)函数的图象与性质
类型1函数的图象与性质(不含几何)
1．(2016·株洲)已知，一次函数y 1＝ax＋b 与反比例函数y 2＝k x
的图象如图所示，当y 1<y 2时，x 的取值范围是(D)A．x<2
B．x>5C．2<x<5D．0<x<2或x>5
2．如图，抛物线y＝ax 2＋c 与直线y＝kx＋b 交点的横坐标为－2和3，则不等式ax 2
＋c＋kx<b 的解集为(C)
A．－2<x<3B．x>3或x<－2C．－3<x<2D．x>2或x<－3
3．已知直线y＝mx＋n 和抛物线y＝ax 2＋bx＋c 在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x 轴交于点(－1，0)，(2，0)，抛物线与直线交点的横坐标为1和－32，那么不等式mx＋n<ax 2＋bx＋c<0的解集是(A)
A．1<x<2
B．x<－32
或x>1C．－32
<x<2D．－1<x<2
4.已知函数2－1（x≤3），，
若使y＝k 成立的x 值恰好有一个，则k 的取值范围是k>3或k<－1．类型2二次函数与几何图形综合
1．如图，将抛物线y＝－12
x 2平移后经过原点O 和点A(6，0)，平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线y＝－12x 2相交于点C，则图中直线BC 与两条抛物线围成的阴影部分的面积为(C)。

题型（四） 二次函数与几何综合1.（2017浙江宁波第25题）如图，抛物线21144y x x c =++与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连结AB ，点C （6，215）在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D . (1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M ，连结MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点.①求证：APM AON △∽△；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长(用含m 的代数式表示).【答案】(1)c=-3; 直线AC 的表达式为：y=34x+3；（2）①证明见解析；②52024m m ++ 【解析】试题分析：（1）把点C(6,152)代入21144y x x c =++中可求出c 的值；令y=0，可得A 点坐标，从而可确定AC 的解析式；（2）①分别求出tan∠OAB=tan∠OAD=34，得∠OAB=tan∠OAD，再由M 就PQ 的中点，得OM=MP ，所以可证得∠APM=∠AON，即可证明APM AON △∽△；②过M 点作ME⊥x 轴，垂足为E ，分别用含有m 的代数式表示出AE 和AM 的长，然后利用APM AON △∽△即可求解.（1）把点C(6,152)代入21144y x x c =++解得：c=-3∴211344y x x =+-当y=0时，2113=044x x +-解得：x 1=-4，x 2=3∴A（-4，0）设直线AC 的表达式为：y=kx+b(k≠0)把A （-4，0），C(6,152)代入得0=-4+b 15=6+2k k b ⎧⎪⎨⎪⎩解得343.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的表达式为：y=34x+3. (2)①在Rt ΔAOB 中，tan∠OAB=34OB OA =.在Rt ΔAOD 中，tan∠OAD=34OD OA =，∴∠OAB=∠OAD . ∵在Rt ΔPOQ 中，M 为PQ 的中点，∴OM=MP .∴∠MOP=∠MPO .∵∠MPO=∠AON，∴∠APM=∠AON .∴ΔAPM∽ΔAON. ②如图,过点M 作ME⊥x 轴于点E.又∵OM=MP，∴OE=EP .∵点M 横坐标为m ，∴AE=m+4，AP=2m+4. ∵tan∠OAD=34，∴cos∠EAM=cos∠OAD=45.∴AM=54AE=5(4)4m +.∵ΔAPM∽ΔAON ，∴AM AP AN AO =.∴AN=52024AM AO m AP m +=+.考点：二次函数综合题.2.（2017重庆A 卷第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=3x 2﹣3x 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM+MN+NK 的最小值；（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线y=3x 2﹣3x 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D ，y′的顶点为点F ．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）x+．（2）3，（3）点Q 的坐标为（3），Q′（3）或（3，）或（3，﹣5）． 【解析】试题分析：（1）抛物线的解析式可以变天为从而可得到点A 和点B 的坐标，然后再求得点E 的坐标，设直线AE 的解析式为y=kx+b ，将点A 和点E 的坐标代入，求得k 和b 的值，从而得到AE 的解析式；（3）由平移后的抛物线经过点D ，可得到点F 的坐标，利用中点坐标公式可求得点G 的坐标，然后分为QG=FG 、QG=QF 、FQ=FQ 三种情况求解即可. 试题解析：（1）∵y=3x 2﹣3x ﹣，∴y=3（x+1）（x ﹣3）． ∴A（﹣1，0），B （3，0）． 当x=4时，y=3． ∴E（4，3）． 设直线AE 的解析式为y=kx+b ，将点A 和点E 的坐标代入得：-043k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：k=3，b=3．∴直线AE 的解析式为y=3x+3．（2）设直线CE 的解析式为y=mx ，将点E 的坐标代入得：4m ．∴直线CE 的解析式为x ． 过点P 作PF∥y 轴，交CE 与点F ．设点P 的坐标为（x 2x ），则点F （x x ），则FP=（3x 3x 2﹣3x =-3x 2+3x ．∴△EPC 的面积=12×（-32+3x ）×4=﹣3x 2+3x ． ∴当x=2时，△EPC 的面积最大．∴P（2．如图2所示：作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H ，连接G 、H 交CD 和CP 与N 、M ．∵K 是CB 的中点，∴k（32．∵点H 与点K 关于CP 对称，∴点H 的坐标为（32．∵点G 与点K 关于CD 对称，∴点G （0，0）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O 、N 、M 、H 在条直线上时，KM+MN+NK 有最小值，最小值=GH ．．. ∴KM+MN+NK 的最小值为3．（3）如图3所示：∵y′经过点D ，y′的顶点为点F ，∴点F （3，﹣3）． ∵点G 为CE 的中点，∴G（2，3）．3．∴当FG=FQ 时，点Q （3，3），Q′（3，3）．当GF=GQ 时，点F 与点Q″关于∴点Q″（3，．当QG=QF 时，设点Q 1的坐标为（3，a ）．由两点间的距离公式可知：a+3a=﹣5． ∴点Q 1的坐标为（3）． 综上所述，点Q 的坐标为（3），Q′（3）或（3，3）．考点：二次函数综合题.3.（2017甘肃庆阳第28题）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+4的图象与x 轴交于点B （-2，0），点C （8，0），与y 轴交于点A ．（1）求二次函数y=ax 2+bx+4的表达式；（2）连接AC ，AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点B ，C 重合），过点N 作NM∥AC，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求N 点的坐标；.（3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与AC 的数量关系．【答案】（1）y=﹣14x 2+32x+4；（2）N （3，0）；（3）OM=14AC ． 【解析】试题分析：（1）由B 、C 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设N （n ，0），则可用n 表示出△ABN 的面积，由NM∥AC，可求得AMAB，则可用n 表示出△AMN 的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n 的值，即可求得N 点的坐标； （3）由N 点坐标可求得M 点为AB 的中点，由直角三角形的性质可得OM=12AB ，在Rt△AOB 和Rt△AOC 中，可分别求得AB 和AC 的长，可求得AB 与AC 的关系，从而可得到OM 和AC 的数量关系．试题解析：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入y=ax 2+bx+4可得424064840a b a b ⎧-+=⎨++=⎩， 解得1432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴二次函数的表达式为y=﹣14x 2+32x+4； （2）设点N 的坐标为（n ，0）（﹣2＜n ＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n ． ∵B（﹣2，0），C （8，0）， ∴BC=10， 在y=﹣14x 2+32x+4中，令x=0，可解得y=4， ∴点A （0，4），OA=4， ∴S △ABN =12BN•OA=12（n+2）×4=2（n+2）， ∵MN∥AC， ∴810AM NC nAB BC -==∴810AMN ABNS AM nSAB -==， ∴38n11(8)(2)(n 3)51055AMNABNSS n n -==-+=--+ ∵﹣15＜0， ∴当n=3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大； （3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点， ∵MN∥AC，∴M 为AB 边中点，∴OM=12AB ，====∴AB=12AC ， ∴OM=14AC ． 考点：二次函数综合题．4.（2017贵州安顺第26题）如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，32）或（2，7）或（2，﹣2，﹣1﹣）；（3）E 点坐标为（32，34）时，△CBE 的面积最大． 【解析】 试题分析：（1）由直线解析式可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC 、MP 和PC 的长，分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；（3）过E 作EF⊥x 轴，交直线BC 于点F ，交x 轴于点D ，可设出E 点坐标，表示出F 点的坐标，表示出EF 的长，进一步可表示出△CBE 的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E 点的坐标． 试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B（3，0），C （0，3）， 把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得 9+3b 03c c ⎧+=⎨=⎩，解得b 43c ⎧=⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x 2﹣4x+3；（2）∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为x=2，P （2，﹣1）， 设M （2，t ），且C （0，3），=，MP=|t+1|，∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，（3）如图，过E 作EF⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E （x ，x 2﹣4x+3），则F （x ，﹣x+3）， ∵0＜x ＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x 2﹣4x+3）=﹣x 2+3x ， ∴S △CBE =S △EFC +S △EFB =12EF•OD+12EF•BD=12EF•OB=12×3（﹣x 2+3x ）=﹣32（x ﹣32）2+278， ∴当x=32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为（32，34）， 即当E 点坐标为（32，34）时，△CBE 的面积最大． 考点：二次函数综合题．5.（2017湖北武汉第24题）已知点(1,1),(4,6)A B -在抛物线2y ax bx =+上．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F 的坐标为(0,)(2)m m >，直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ，设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接,FH AE ，求证//FH AE ；（3）如图2，直线AB 分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，个单位长度，同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M 是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时，2QM PM =，直接写出t 的值．【答案】（1）抛物线的解析式为：y=12x 2-12x ；（2）证明见解析；（3.【解析】试题分析：（1）把A ，B 两点坐标代入2y ax bx =+，解方程组求出a ，b 的值，即可得到二次函数解析式；（2）过点A作AN⊥ｘ轴于点N，则N(-1，0)，再求出E点坐标，从而可求tan∠AEN=12,再求出直线AF的解析式与抛物线方程联立,求出点G的坐标,则可得到tan∠FHO=12，从而得证；（3）进行分类讨论即可得解.试题解析：（1）∵点A（-1，1），B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上∴a-b=1，16a+4b=6解得：a=12，b=-12∴抛物线的解析式为：y=12x2-12x（2）过点A作AN⊥x轴于点N，则N(-1，0)∴AN=1当y=0时，12x2-12x=0解得：x=0或1 ∴E（1，0）∴EN=2∴tan∠AEN=AN1= EN2设直线AF的解析式为y=kx+m∵A (-1,1)在直线AF上，∴-k+m=1即：k=m-1∴直线AF的解析式可化为：y=(m-1)x+m与y=12x2-12x联立，得（m-1）x+m=12x2-12x∴(x+1)（x-2m）=0 ∴x=-1或2m∴点G的横坐标为2m ∴OH=2m∵OF=m∴tan∠FHO=FO 1=HO 2∴∠AEN=∠FHO ∴FH∥AE（3）156±；132±.考点：二次函数综合题.6.（2017湖南怀化第24题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点，与y 轴交于点C . (1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以,,B C D 为顶点的三角形与ABC △相似，求点D 的坐标；(3)如图2，CE x ∥轴玮抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积； (4)若点K 为抛物线的顶点，点()4,M m 是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点P ，Q ，使四边形PQKM 的周长最小，求出点P ，Q 的坐标.【答案】(1) y=x 2﹣4x ﹣5，(2) D 的坐标为（0，1）或（0，103）；(3) 当t=52时，四边形CHEF 的面积最大为252．(4) P （137，0），Q （0，﹣133）． 【解析】 试题分析：（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D 的坐标；（3）先求出直线BC 的解析式，进而求出四边形CHEF 的面积的函数关系式，即可求出最大值； （4）利用对称性找出点P ，Q 的位置，进而求出P ，Q 的坐标．试题解析：（1）∵点A （﹣1，0），B （5，0）在抛物线y=ax 2+bx ﹣5上，∴50 25550a ba b⎧--=⎨+-=⎩，∴a=1=-4b⎧⎨⎩，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有AB BCCD BC=或AB BCBC CD=，①当AB BCCD BC=时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当AB BCBC CD=时，6CD=，∴CD=253，∴D（0，103），即：D的坐标为（0，1）或（0，103）；（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣52）2+254，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF=12CE•HF=﹣2（t﹣52）2+252，当t=52时，四边形CHEF的面积最大为252．（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y=73x﹣133，∴P（137，0），Q（0，﹣133）．考点：二次函数综合题．7.（2017新疆建设兵团第23题）如图，抛物线y=﹣12x2+32x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．3①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；(2)①D（3，﹣2）；②四边形ADBC是矩形；理由见解析，(3) 点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．【解析】试题分析：（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．试题解析：（1）当y=0时，0=﹣12x2+32x+2，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）；（2）①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BA D，∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，∴D（3，﹣2）；②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴AC=BD，AD=BC，∴四边形ADBC 是平行四边形，AB=5，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ACB 是直角三角形， ∴∠ACB=90°，∴四边形ADBC 是矩形；（3）由题意可得：则12BD AD =， 当△BMP∽△ADB 时，12PM BD BM AD ==， 可得：BM=2.5， 则PM=1.25， 故P （1.5，1.25）， 当△BMP 1∽△ABD 时， P 1（1.5，﹣1.25）， 当△BMP 2∽△BDA 时， 可得：P 2（1.5，5）， 当△BMP 3∽△BDA 时， 可得：P 3（1.5，﹣5）， 综上所述：点P 的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）． 考点：二次函数综合题．8.(2017河南第23题)如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B .（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为x 轴上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ， ①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM ∆相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”.请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值.【答案】（1）B （0，2），2410233y x x =-++；（2）①点M 的坐标为（118，0）或M （52，0）；②m=-1或m=14-或m=12. 【解析】试题分析：(1) 把点(3,0)A 代入23y x c =-+求得c 值，即可得点B 的坐标；抛物线243y x bx c =-++经过点(3,0)A ，即可求得b 值，从而求得抛物线的解析式；（2）由M N x ⊥轴，M（m ，0），可得N(2410,233m m m -++ )，①分∠NBP=90°和∠BNP =90°两种情况求点M 的坐标；②分N 为PM 的中点、P 为NM 的中点、M 为PN 的中点3种情况求m 的值. 试题解析： （1）直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ， ∴2303c -⨯+=，解得c=2 ∴B（0，2），∵抛物线243y x bx c =-++经过点(3,0)A ， ∴2433203b -⨯++=，∴b=103∴抛物线的解析式为2410233y x x =-++；（2）∵MN x ⊥轴，M （m ，0），∴N(2410,233m m m -++ )①有（1）知直线AB 的解析式为223y x =-+，OA=3，OB=2∵在△APM 中和△BPN 中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，若使△APM 中和△BPN 相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP =90°， 分两种情况讨论如下：（I ）当∠NBP=90°时，过点N 作NC y ⊥轴于点C ， 则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m ， BC=22410410223333m m m m -++-=-+ ∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°， ∴∠BNC=∠ABO， ∴Rt△NCB∽ Rt△BOA∴NC CB OB OA = ,即24103323m mm -+= ，解得m=0（舍去）或m=118 ∴M（118，0）；（II ）当∠BNP=90°时， BN ⊥MN ，∴点N 的纵坐标为2，∴24102233m m -++= 解得m=0（舍去）或m=52∴M（52，0）； 综上，点M 的坐标为（118，0）或M （52，0）； ②m=-1或m=14-或m=12.考点：二次函数综合题.9.(2017四川泸州第25题)如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过)2,0(),0,4(),0,1(C B A -三点. （1）求该二次函数的解析式；（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足CAO DBA ∠=∠(O 是坐标原点)，求点D 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交y BC ,轴与点,,F E 若CEF PEB ∆∆,的面积分别为,,21S S 求21S S -的最大值.【答案】（1）223212++-=x x y ；（2）满足条件的点D 有：),2,3(1D )18,5(2--D ；（3）当35=t 时，21S S -有最大值，最大值为：625.【解析】试题解析：（1）由题意得：设抛物线的解析式为：)4)(1(-+=x x a y ； 因为抛物线图像过点)2,0(C ,,24=-∴a 解得21-=a所以抛物线的解析式为：)4)(1(21-+-=x x y即：223212++-=x x y (2)设BD 直线与y 轴的交点为),0(t M8,24;2tan tan ;,±==∴=∠=∠∴∠=∠∴∠=∠t t CAO MBA CAO MBA CAO DBA 即：当8=t 时，直线BD 解析式为：82+-=x y⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=23,04,223218222112y x y x x x y x y 解得：联立 所以，点)2,3(D当8-=t 时，直线BD 解析式为：82-=x y⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=-=185,04,223218222112y x y x x x y x y 解得：联立 所以，点)18,5(--D综上：满足条件的点D 有：),2,3(1D )18,5(2--D （3）：过点P 作PH//y 轴交BC 直线于点H ，设)22321,(2++-y t t P BC 直线的解析式为221+-=x y 故：)221,(+-t t H ;2212t t y y PH H p +-=-=∴AP 直线的解析式为：;2120),1)(221(t y x x t y -==++-=得：取故：;21)212(2),212,0(t t CF t F =--=-;5,221)1)(22(t t x x y x t y E -=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=解之得：联立)55)(221(21))((2121t t t t x x y y S E B H P --+-=--=∴；ttt S -⋅⋅=52212 ttt t t t t S S ----+-=-∴5221)55)(221(21221 即：;625)35(235232221+--=+-=-t t t S S所以，当35=t 时，21S S -有最大值，最大值为：625.10.（2016·湖北随州·12分）已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3，∴y=﹣x﹣3，当x=2时，y=﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴=，即AB2=AC•PB，∴42=•，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P 的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA ∽△ABC 时，∠CBA=∠PBA ，∴tan ∠CBA=tan ∠PBA ，即=，∴=，即n=﹣3a （m ﹣1），∴，解得，m 1=﹣6，m 2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a ， ∵△PBA ∽△ABC ，∴=，即AB 2=BC•PB，∴42=•，解得，a 1=（不合题意，舍去），a 2=﹣，则点P 的坐标为（﹣6，﹣），综上所述，符合条件的点P 的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；（3）作DM ∥x 轴交抛物线于M ，作DN ⊥x 轴于N ，作EF ⊥DM 于F ，则tan ∠DAN===，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE==EF ，∴Q 的运动时间t=+=BE+EF ，∴当BE 和EF 共线时，t 最小， 则BE ⊥DM ，y=﹣4．11.（2016·湖北武汉·12分）抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；（2） 如图2，已知直线PA 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OCOFOE +是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】二次函数综合；考查了待定系数法求函数解析式；平行线的判定；函数值相等的点关于对称轴对称。

2017年广西贵港市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．7的相反数是（）A．7 B．﹣7 C．D．﹣2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（）A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，23．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（）A． B．C． D．4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C．D．5．下列运算正确的是（）A．3a2+a=3a3 B．2a3•（﹣a2）=2a5C．4a6+2a2=2a3D．（﹣3a）2﹣a2=8a26．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．下列命题中假命题是（）A．正六边形的外角和等于360°B．位似图形必定相似C．样本方差越大，数据波动越小D．方程x2+x+1=0无实数根8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（）A．B．C．D．19．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（）A．45° B．60° C．75° D．85°10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+111．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．112．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）13．计算：﹣3﹣5= ．14．中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为．15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么∠BEF的度数为．16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为．17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）18．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（1）计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2﹣2cos60°；（2）先化简，在求值：（﹣）+，其中a=﹣2+．20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．（1）在OA边上作点P，使OP=2a；（2）作∠AOB的平分线；（3）过点M作OB的垂线．21．如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标．22．在开展“经典阅读”活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：频率分布表阅读时间频数频率（小时）（人）1≤x＜2 18 0.122≤x＜3 a m3≤x＜4 45 0.34≤x＜5 36 n5≤x＜6 21 0.14合计 b 1（1）填空：a= ，b= ，m= ，n= ；（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？24．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．25．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD 沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．①写出BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．2017年广西贵港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．7的相反数是（）A．7 B．﹣7 C．D．﹣【考点】14：相反数．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：7的相反数是﹣7，故选：B．2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（）A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：2，2，2，3，3，4，5，最中间的数是3，则这组数据的中位数是3；2出现了3次，出现的次数最多，则众数是2．故选：C．3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（）A． B．C． D．【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，故选：B．4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C．D．【考点】74：最简二次根式．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含分母，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；故选：A．5．下列运算正确的是（）A．3a2+a=3a3 B．2a3•（﹣a2）=2a5C．4a6+2a2=2a3D．（﹣3a）2﹣a2=8a2【考点】49：单项式乘单项式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】运用合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方等运算法则运算即可．【解答】解：A.3a2与a不是同类项，不能合并，所以A错误；B.2a3•（﹣a2）=2×（﹣1）a5=﹣2a5，所以B错误；C.4a6与2a2不是同类项，不能合并，所以C错误；D．（﹣3a）2﹣a2=9a2﹣a2=8a2，所以D正确，故选D．6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】D1：点的坐标．【分析】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．【解答】解：①m﹣3＞0，即m＞3时，﹣2m＜﹣6，4﹣2m＜﹣2，所以，点P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限；②m﹣3＜0，即m＜3时，﹣2m＞﹣6，4﹣2m＞﹣2，点P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，综上所述，点P不可能在第一象限．故选A．7．下列命题中假命题是（）A．正六边形的外角和等于360°B．位似图形必定相似C．样本方差越大，数据波动越小D．方程x2+x+1=0无实数根【考点】O1：命题与定理．【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可．【解答】解：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题；B、位似图形必定相似，是真命题；C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；D、方程x2+x+1=0无实数根，是真命题；故选：C．8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（）A．B．C．D．1【考点】X6：列表法与树状图法；K6：三角形三边关系．【分析】列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，则P（能构成三角形）==，故选B9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（）A．45° B．60° C．75° D．85°【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．【解答】解：∵B是的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D．10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】根据平移规律，可得答案．【解答】解：由图象，得y=2x2﹣2，由平移规律，得y=2（x﹣1）2+1，故选：C．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】R2：旋转的性质．【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．【解答】解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选B．12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN ∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2﹣x，∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1﹣=，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：D．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）13．计算：﹣3﹣5= ﹣8 ．【考点】1A：有理数的减法．【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：﹣3﹣5=﹣8．故答案为：﹣8．14．中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为 3.7×105．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值，由于370 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：370 000=3.7×105，故答案为：3.7×105．15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么∠BEF的度数为60°．【考点】JA：平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质，得到∠CFB的度数，再根据∠CFE：∠EFB=3：4以及平行线的性质，即可得出∠BEF的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ABF=40°，∴∠CFB=180°﹣∠B=140°，又∵∠CFE：∠EFB=3：4，∴∠CFE=∠CFB=60°，∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE=60°，故答案为：60°．16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为．【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．【分析】连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△A PP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：连接PP′，如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC为等边三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，∴△PCB≌△P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，∴sin∠PAP′===．故答案为．17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为π+2．（结果保留π）【考点】MO：扇形面积的计算；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白ADC即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接O、AD，∵点C为OA的中点，∴∠C DO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO为等边三角形，∴S扇形AOD==π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）=﹣﹣（π﹣×2×2）=π﹣π﹣π+2=π+2．故答案为π+2．18．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是2≤k≤9 ．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】把C的坐标代入求出k≥2，解两函数组成的方程组，根据根的判别式求出k≤9，即可得出答案．【解答】解：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得：k=2×1=2；把y=﹣x+6代入y=得：﹣x+6=，x2﹣6x+k=0，△=（﹣6）2﹣4k=36﹣4k，∵反比例函数y=的图象与△ABC有公共点，∴36﹣4k≥0，k≤9，即k的范围是2≤k≤9，故答案为：2≤k≤9．三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（1）计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2﹣2cos60°；（2）先化简，在求值：（﹣）+，其中a=﹣2+．【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数幂的意义即可求出答案；（2）先化简原式，然后将a的值代入即可求出答案．【解答】解：（1）原式=3+1﹣（﹣2）2﹣2×=4﹣4﹣1=﹣1（2）当a=﹣2+原式=+===7+520．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．（1）在OA边上作点P，使OP=2a；（2）作∠AOB的平分线；（3）过点M作OB的垂线．【考点】N3：作图—复杂作图．【分析】（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；（2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线；【解答】解：（1）点P为所求作；（2）OC为所求作；（3）MD为所求作；21．如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把x=3代入一次函数解析式求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式；（2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B的坐标．【解答】解：（1）把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2，则A的坐标是（3，2）．把（3，2）代入y=得k=6，则反比例函数的解析式是y=；（2）根据题意得2x﹣4=，解得x=3或﹣1，把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6，则B的坐标是（﹣1，﹣6）．22．在开展“经典阅读”活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：频率分布表阅读时间（小时）频数（人）频率1≤x＜2 18 0.12 2≤x＜3 a m 3≤x＜4 45 0.3 4≤x＜5 36 n 5≤x＜6 21 0.14 合计 b 1（1）填空：a= 30 ，b=150 ，m= 0.2 ，n= 0.24 ；（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【分析】（1）根据阅读时间为1≤x＜2的人数及所占百分比可得，求出总人数b=150，再根据频率、频数、总人数的关系即可求出m、n、a；（2）根据数据将频数分布直方图补充完整即可；（3）由总人数乘以时间不足三小时的人数的频率即可．【解答】解：（1）b=18÷0.12=150（人），∴n=36÷150=0.24，∴m=1﹣0.12﹣0.3﹣0.24﹣0.14=0.2，∴a=0.2×150=30；故答案为：30，150，0.2，0.24；（2）如图所示：（3）3000×（0.12+0.2）=960（人）；即估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数为960人．23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？【考点】C9：一元一次不等式的应用；8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．【解答】解：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得：2x+10﹣x=18，解得：x=8，则10﹣x=2，答：甲队胜了8场，则负了2场；（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：2a+（10﹣a）≥15，解得：a≥5，答：乙队在初赛阶段至少要胜5场．24．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．【考点】ME：切线的判定与性质；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，∵PA=PD，∴弧AP=弧DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠1+∠OPA=90°，∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，∴直线AB与⊙O相切；（2）连结BD，交AC于点F，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分，∵AC=8，tan∠BAC=，∴AF=4，tan∠DAC==，∴DF=2，∴AD==2，∴AE=，在Rt△PAE中，tan∠1==，∴PE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，∴R=，即⊙O的半径为．25．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．【解答】解：（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．26．已知，在Rt△ABC中，∠A CB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD 沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．①写出BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x=，推出DN==，由△BDN∽△BAM，可得=，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得=，由此求出AE=，可得EC=AC﹣AE=4﹣=由此即可解决问题．【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，∴AB==2，∵AD=CD=2，∴BD==2，由翻折可知，BP=BA=2．②如图1中，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC=45°，∴∠ADB=∠BDP=135°，∴∠PDC=135°﹣45°=90°，∴∠BCD=∠PDC=90°，∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，∴四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，∴x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∵DB=DA，DN⊥AB，∴BN=AN=，在Rt△BDN中，DN==，由△BDN∽△BAM，可得=，∴=，∴AM=2，∴AP=2AM=4，由△ADM∽△APE，可得=，∴=，∴AE=，∴EC=AC﹣AE=4﹣=，易证四边形PECH是矩形，∴PH=EC=．。

适用精选文件资料分享2017 年贵港市中考数学试卷 ( 含答案和解说 )2017 年广西贵港市中考数学试卷一、选择题：本大题共12 个小题，每题 3 分，共 36 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 . 1．7 的相反数是（） A ．7 B．? 7 C． D．? 2．数据 3，2，4，2，5，3，2 的中位数和众数分别是（） A ．2，3B．4，2 C．3，2 D．2，2 3 ．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（） A ． B ． C． D． 4 ．以下二次根式中，最简二次根式是（）A ．B ．C．D ．5 ．以下运算正确的选项是（）A ．3a2+a=3a3B．2a3?（? a2）=2a5 C．4a6+2a2=2a3 D．（? 3a）2? a2=8a2 6．在平面直角坐标系中，点 P（m? 3，4? 2m）不可以能在（） A．第一象限 B ．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7 ．以下命题中假命题是（） A ．正六边形的外角和等于 360° B ．位似图形必定相似 C．样本方差越大，数据颠簸越小 D．方程 x2+x+1=0 无实数根8 ．从长为 3，5，7，10 的四条线段中任意采用三条作为边，能构成三角形的概率是（） A ． B ． C． D．1 9．如图， A，B，C，D是⊙O上的四个点， B 是的中点，M是半径 OD上任意一点．若∠ BDC=40°，则∠ AMB的度数不可以能是（） A ．45° B．60° C．75° D．85°10．将以以以下图的抛物线向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后，获取的抛物线解析式是（）A．y=（x? 1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x? 1）2+1 D．y=2（x+1）2+1 11 ．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕极点C逆时针旋转获取△A'B'C ，M是 BC的中点， P 是 A'B' 的中点，连接 PM．若 BC=2，∠ BAC=30°，则线段 PM的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．以下五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若 AB=2，则 S△OMN的最小值是，此中正确结论的个数是（） A ．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每题3分，满分 18 分，将答案填在答题纸上） 13 ．计算：? 3? 5= ．14 ．中国的领水面积约为 370 000km2，将数 370 000 用科学记数法表示为．15 ．如图，AB∥CD，点 E 在 AB上，点 F 在 CD上，假如∠ CFE：适用精选文件资料分享∠EFB=3： 4，∠ ABF=40°，那么∠ BEF 的度数为． 16 ．如图，点 P 在等边△ ABC的内部，且 PC=6，PA=8，PB=10，将线段 PC绕点 C 顺时针旋转 60°获取 P'C，连接 AP'，则 sin ∠PAP'的值为． 17 ．如图，在扇形 OAB中， C是 OA的中点， CD⊥OA， CD 与交于点 D，以 O为圆心，OC的长为半径作交 OB于点 E，若 OA=4，∠AOB=120°，则图中暗影部分的面积为．（结果保留π）18 ．如图，过 C（2，1）作 AC∥x轴， BC∥y轴，点 A，B都在直线 y=? x+6 上，若双曲线 y= （x＞0）与△ ABC总有公共点，则 k 的取值范围是．三、解答题（本大题共8 小题，共 66 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ） 19 ．（ 1）计算： | ? 3|+ （ + π）0? （? ）? 2? 2cos60°；（2）先化简，在求值：（ ? ）+ ，其中 a=? 2+ ． 20 ．尺规作图（不写作法，保留作图印迹）：已知线段 a 和∠ AOB，点 M在 OB上（以以以下图）．（1）在 OA边上作点 P，使 OP=2a；（2）作∠ AOB的均分线；（3）过点 M作 OB的垂线． 21 ．如图，一次函数 y=2x? 4 的图象与反比率函数 y= 的图象交于A，B 两点，且点 A 的横坐标为 3．（1）求反比率函数的解析式；（2）求点 B 的坐标． 22 ．在张开“经典阅读”活动中，某学校为认识全校学生利用课外时间阅读的状况，学校团委随机抽取若干名学生，检查他们一周的课外阅读时间，并依照检查结果绘制了以下尚不圆满的统计表．依照图表信息，解答以下问题：频率分布表阅读时间（小时）频数（人）频率 1≤x＜2 18 0.12 2 ≤x＜3 a m 3 ≤x＜4 450.3 4≤x＜5 36 n 5≤x＜ 6 21 0.14 合计 b 1 （1）填空： a= ， b= ，m= ，n= ；（2）将频数分布直方图增补圆满（画图后请注明相应的频数）；（3）若该校由 3000 名学生，请依照上述检查结果，预计该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数． 23 ．某次篮球联赛初赛阶段，每队有 10 场竞赛，每场竞赛都要分出输赢，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分，积分超出 15 分才能获取参赛资格．（1）已知甲队在初赛阶段的积分为 18 分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；（2）假如乙队要获取参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段最少要胜多少场？ 24 ．如图，在菱形 ABCD中，点P在对角线 AC上，且 PA=PD，⊙O是△ PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若 AC=8，tan ∠BAC= ，求⊙O的半径． 25 ．如图，抛物线 y=a（x? 1）（x? 3）与 x 轴交于 A，B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C，其极点为 D．（1）写出 C，D两点的坐标（用含 a 的式子表示）；（2）设 S△BCD：S△ABD=k，求 k 的值；（3）当△ BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 26 ．已知，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点 A 落在点 P 处．（1）如图 1，若点 D 是 AC中点，连接PC．①写出BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图 2，若 BD=AD，过点 P 作 PH⊥BC交 BC的延长线于点 H，求 PH的长．2017 年广西贵港市中考数学试卷参照答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每题 3 分，共 36 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. 1．7 的相反数是（）A．7B．? 7 C． D．? 【考点】 14：相反数．【解析】依照一个数的相反数就是在这个数前方添上“ ? ”号，求解即可．【解答】解： 7 的相反数是 ? 7，应选： B． 2 ．数据 3，2，4，2，5，3，2 的中位数和众数分别是（） A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2 【考点】 W5：众数； W4：中位数．【解析】依照中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大摆列： 2，2，2，3，3，4，5，最中间的数是 3，则这组数据的中位数是3；2 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 2．应选： C． 3 ．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（） A． B． C．D．【考点】U1：简单几何体的三视图．【解析】依照从左侧看获取的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左侧看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，应选： B． 4 ．以下二次根式中，最简二次根式是（） A ． B ． C． D．【考点】 74：最简二次根式．【分析】检查最简二次根式的两个条件能否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，不然就不是．【解答】解： A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故 A 切合题意； B 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 B 不切合题意； C、被开方数含分母，故 C不切合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 D不切合题意；应选：A． 5 ．以下运算正确的选项是（）A．3a2+a=3a3 B．2a3?（? a2）=2a5 C．4a6+2a2=2a3 D．（? 3a）2? a2=8a2 【考点】49：单项式乘单项式； 35：合并同类项； 47：幂的乘方与积的乘方．【解析】运用合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方等运算法规运算即可．【解答】解：与a不是同类项，不可以合并，因此 A 错误； B .2a3? （? a2）=2×（? 1）a5=? 2a5，因此 B 错误；C.4a6 与 2a2 不是同类项，不可以合并，因此C 错误； D．（? 3a）2? a2=9a2? a2=8a2，因此 D正确，应选 D． 6 ．在平面直角坐标系中，点 P（m? 3，4? 2m）不可以能在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】D1：点的坐标．【解析】分点 P 的横坐标是正数和负数两种状况议论求解．【解答】解：①m? 3＞0，即 m＞3 时，? 2m＜? 6，4 ? 2m＜? 2，因此，点 P（m? 3，4? 2m）在第四象限，不可以能在第一象限；②m? 3＜0，即 m＜3 时， ? 2m＞ ? 6， 4 ? 2m＞? 2，点 P（m? 3，4? 2m）可以在第二或三象限，综上所述，点 P不可以能在第一象限．应选 A． 7 ．以下命题中假命题是（） A ．正六边形的外角和等于 360° B ．位似图形必定相似 C．样本方差越大，数据颠簸越小 D．方程 x2+x+1=0 无实数根【考点】 O1：命题与定理．【解析】依照正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行解析即可．【解答】解： A、正六边形的外角和等于 360°，是真命题； B 、位似图形必定相似，是真命题； C、样本方差越大，数据颠簸越小，是假命题； D、方程 x2+x+1=0 无实数根，是真命题；应选： C． 8 ．从长为 3，5，7，10 的四条线段中任意采用三条作为边，能构成三角形的概率是（）A．B．C．D．1【考点】 X6：列表法与树状图法； K6：三角形三边关系．【解析】列举出全部等可能的状况数，找出能构成三角形的状况数，即可求出所求概率．【解答】解：从长为 3，5，7，10 的四条线段中任意采用三条作为边，全部等可能状况有： 3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共 4 种，此中能构成三角形的状况有： 3，5，7； 5，7，10，共2 种，则 P（能构成三角形） = = ，应选 B 9 ．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B 是的中点，M 是半径 OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可以能是（）A ．45° B．60° C．75°适用精选文件资料分享D．85°【考点】M5：圆周角定理； M4：圆心角、弧、弦的关系．【解析】依照圆周角定理求得∠ AOB的度数，则∠ AOB的度数必定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．【解答】解：∵B 是的中点，∴∠ AOB=2∠BDC=80°，又∵M是 OD上一点，∴∠ AMB≤∠ AOB=80°．则不切合条件的只有85°．应选D．10 ．将以以以下图的抛物线向右平移1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后，获取的抛物线解析式是（）A．y=（x? 1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x? 1）2+1 D．y=2（x+1）2+1 【考点】 H6：二次函数图象与几何变换．【解析】依照平移规律，可得答案．【解答】解：由图象，得y=2x2 ? 2，由平移规律，得 y=2（x? 1）2+1，应选：C．11 ．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕极点C逆时针旋转获取△A'B'C ，M是BC的中点，P 是A'B'的中点，连接 PM．若 BC=2，∠BAC=30°，则线段 PM的最大值是（）A．4 B ．3 C．2 D ．1 【考点】 R2：旋转的性质．【解析】如图连接PC．思想求出PC=2，依照PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．【解答】解：如图连接 PC．在 Rt△ABC中，∵∠ A=30°，BC=2，∴AB=4，依照旋转不变性可知， A′ B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC= A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵ PM≤PC+CM，即 PM≤3，∴PM的最大值为 3（此时 P、C、M共线）．应选 B． 12 ．如图，在正方形 ABCD中，O是对角线 AC与 BD的交点， M是 BC边上的动点（点M不与 B，C重合），CN⊥DM，CN与 AB交于点 N，连接 OM，ON，MN．以下五个结论：①△CNB≌△ DMC；②△ CON≌△ DOM；③△ OMN∽△ OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若 AB=2，则 S△OMN的最小值是，此中正确结论的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】 S9：相似三角形的判断与性质；KD：全等三角形的判断与性质； LE：正方形的性质．【解析】依照正方形的性质，挨次判断△ CNB≌△ DMC，△OCM≌△ OBN，△CON≌△ DOM，△OMN∽△ OAD，依照全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵正方形ABCD中， CD=BC，∠BCD=90°，∴∠ BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠ CDM+∠DCN=90°，∴∠ BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△ CNB≌△ DMC（ ASA），故①正确；适用精选文件资料分享依照△ CNB≌△ DMC，可得 CM=BN，又∵∠ OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△ OCM≌△ OBN（ SAS），∴OM=ON，∠ COM=∠BON，∴∠ DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠ DOM=∠CON，又∵ DO=CO，∴△ CON≌△ DOM（ SAS），故②正确；∵∠ BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠ MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△ AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△ OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵ Rt△BMN中， BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△ OCM≌△ OBN，∴四边形 BMON的面积 =△BOC的面积 =1，即四边形 BMON的面积是定值 1，∴当△ MNB的面积最大时，△ MNO的面积最小，设 BN=x=CM，则 BM=2? x，∴△ MNB的面积 = （x2? x）=? x2+x，∴当 x=1 时，△MNB的面积有最大值，此时 S△OMN的最小值是 1? = ，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是 5 个，应选：D．二、填空题（每题 3 分，满分 18 分，将答案填在答题纸上） 13 ．计算：?3?5= ?8．【考点】 1A：有理数的减法．【解析】依照有理数的减法运算法规进行计算即可得解．【解答】解：? 3? 5=?8．故答案为：? 8．14 ．中国的领水面积约为 370000km2，将数 370 000用科学记数法表示为 3.7 ×105 ．【考点】1I ：科学记数法―表示较大的数．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜ 10，n 为整数．确立 n 的值时，要看把原数变为 a 时，小数点挪动了多少位， n 的绝对值与小数点挪动的位数同样．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数．确立a×10n（1≤|a | ＜ 10，n 为整数）中 n 的值，因为 370 000 有 6位，因此可以确立n=6? 1=5．【解答】解：×105，故答案为： 3.7 ×105．15 ．如图， AB∥CD，点 E 在 AB上，点 F 在CD上，假如∠ CFE：∠ EFB=3： 4，∠ ABF=40°，那么∠ BEF的度数为60° ．【考点】 JA：平行线的性质．【解析】先依照平行线的性质，获取∠ CFB的度数，再依照∠ CFE：∠ EFB=3： 4 以及平行线的性质，即可得出∠ BEF的度数．【解答】解：∵ AB∥CD，∠ ABF=40°，∴∠CFB=180°? ∠B=140°，又∵∠ CFE：∠ EFB=3： 4，∴∠ CFE=∠CFB=60°，∵AB∥CD，∴∠ BEF=∠CFE=60°，故答案为：60°． 16 ．如图，点 P 在等边△ ABC的内部，且 PC=6，PA=8，PB=10，将线段 PC绕点 C顺时针旋转 60°获取 P'C，连接 AP' ，则 sin ∠PAP'的值为．【考点】 R2：旋转的性质； KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．【解析】连接 PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠ PCP′=60°，则可判断△ CPP′为等边三角形获取PP′=PC=6，再证明△ PCB≌△ P′CA获取 PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△ APP′为直角三角形，∠ APP′=90°，此后依照正弦的定义求解．【解答】解：连接 PP′，如图，∵线段 PC绕点C顺时针旋转 60°获取 P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′=PC=6，∵△ ABC为等边三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠ PCB=∠P′CA，在△ PCB和△P′CA中，∴△ PCB≌△ P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△ APP′为直角三角形，∠ APP′=90°，∴sin ∠PAP′= = =．故答案为．17 ．如图，在扇形OAB中，C是 OA的中点， CD⊥OA，CD与交于点 D，以 O为圆心， OC的长为半径作交 OB于点 E，若 OA=4，∠ AOB=120°，则图中暗影部分的面积为π+2 ．（结果保留π）【考点】 MO：扇形面积的计算； KG：线段垂直均分线的性质．【解析】连接 OD、 AD，依照点 C为 OA的中点可得∠ CDO=30°，既而可得△ ADO为等边三角形，求出扇形 AOD 的面积，最后用扇形 AOB的面积减去扇形 COE的面积，再减去 S 空白ADC即可求出暗影部分的面积．【解答】解：连接 O、AD，∵点 C为 OA的中点，∴∠ C DO=30°，∠ DOC=60°，∴△ ADO为等边三角形，∴S扇形AOD= = π，∴S暗影=S扇形AOB? S扇形COE? （S扇形AOD? S△COD）= ? ? （π? ×2×2 ）= π? π? π+2 =π+2 ．故答案为π+2 ． 18 ．如图，过 C（2，1）作 AC∥x轴，BC∥y轴，点 A，B 都在直线 y=? x+6 上，若双曲线 y= （x＞0）与△ABC 总有公共点，则 k 的取值范围是 2≤k≤9 ．【考点】 G8：反比率函数与一次函数的交点问题．【解析】把 C的坐标代入求出 k≥2，解两函数构成的方程组，依照根的鉴识式求出k≤9，即可得出答案．【解答】解：当反比率函数的图象过 C点时，把 C的坐标代入得：k=2×1=2；把 y=? x+6 代入 y= 得：? x+6= ，x2 ? 6x +k=0，△=（? 6）2? 4k=36? 4k，∵反比率函数 y= 的图象与△ ABC有公共点，∴36? 4k≥0， k≤9，即 k 的范围是 2≤k≤9，故答案为：2≤k≤9．三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ） 19 ．（ 1）计算： | ? 3|+ （ + π） 0? （? ）? 2? 2cos60°；（2）先化简，在求值：（ ? ）+ ，其中 a=? 2+ ．【考点】 6D：分式的化简求值； 2C：实数的运算； 6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特别角的三角函数值．【解析】（1）依照零指数幂的意义、特别角的锐角三角函数以及负整数指数幂的意义即可求出答案；（2）先化简原式，此后将 a 的值代入即可求出答案．【解答】解：（1）原式 =3+1? （? 2）2? 2× =4? 4? 1=? 1（2）当 a=? 2+ 原式 = + = = =7+520 ．尺规作图（不写作法，保留作图印迹）：已知线段 a 和∠ AOB，点 M在 OB上（以以以下图）．（1）在 OA边上作点 P，使 OP=2a；（2）作∠ AOB的均分线；（3）过点M作 OB 的垂线．【考点】 N3：作图―复杂作图．【解析】（1）在OA上截取 OP=2a即可求出点 P 的地点；（2）依照角均分线的作法即可作出∠ AOB的均分线；（3）以 M为圆心，作一圆与射线 OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于 D点，连接MD即为 OB的垂线；【解答】解：（1）点 P 为所求作；（2）OC为所求作；（3）MD为所求作；21 ．如图，一次函数y=2x? 4的图象与反比率函数 y= 的图象交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为3．（1）求反比率函数的解析式；（2）求点B 的坐标．【考点】G8：反比率函数与一次函数的交点问题．【解析】（1）把 x=3 代入一次函数解析式求得A 的坐标，利用待定系数法求得反比率函数解析式；（2）解一次函数与反比率函数解析式构成的方程组求得 B 的坐标．【解答】解：（ 1）把 x=3 代入 y=2x? 4 得 y=6? 4=2，则 A 的坐标是（ 3，2）．把（3，2）代入 y= 得 k=6，则反比率函数的解析式是 y= ；（2）依照题意得 2x? 4= ，解得 x=3 或? 1，把 x=? 1 代入 y=2x? 4 得 y=? 6，则 B 的坐标是（ ? 1，? 6）． 22 ．在张开“经典阅读”活动中，某学校为认识全校学生利用课外时间阅读的状况，学校团委随机抽取若干名学生，检查他们一周的课外阅读时间，并依照检查结果绘制了以下尚不圆满的统计表．依照图表信息，解答以下问题：频率分布表阅读时间（小时）频数（人）频率 1≤x＜2 18 0.12 2≤x＜3 a m 3 ≤x＜4 45 0. 3 4 ≤x＜5 36 n 5≤x＜6 21合计 b 1（1）填空： a= 30 ，b= 150 ，m=0.2 ，n=；（2）将频数分布直方图增补圆满（画图后请注明相应的频数）；（3）若该校由 3000 名学生，请依照上述检查结果，预计该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．【考点】V8：频数（率）分布直方图； V5：用样本预计整体； V7：频数（率）分布表．【解析】（1）依照阅读时间为 1≤x＜ 2 的人数及所占百分比可得，求出总人数b=150，再依照频率、频数、总人数的关系即可求出 m、n、a；（2）依照数据将频数分布直方图增补圆满即可；（3）由总人数乘以时间不足三小时的人数的频率即可．【解答】解：（1）b=18÷0.12=150（人），∴n=36÷，∴m=1? 0.12 ? 0.3 ? 0.24 ? 0.14=0.2 ，∴a=0.2 ×150=30；故答案为： 30，150，0.2 ，0.24 ；（2）以以以下图：（3）3000×（0.12+0.2 ）=960（人）；即预计该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数为960 人．23 ．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10 场竞赛，每场竞赛都要分出输赢，每队胜一场得2 分，负一场得1 分，积分超出15 分才能获取参赛资格．（1）已知甲队在初赛阶段的积分为 18 分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；（2）假如乙队要获取参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段最少要胜多少场？【考点】 C9：一元一次不等式的应用； 8A：一元一次方程的应用．【解析】（1）设甲队胜了 x 场，则负了（ 10? x）场，依照每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分，利用甲队在初赛阶段的积分为18 分，从而得出等式求出答案；（2）设乙队在初赛阶段胜 a 场，依照积分超出 15 分才能获取参赛资格，从而得出答案．【解答】解：（1）设甲队胜了 x 场，则负了（ 10? x）场，依照题意可得：2x+10? x=18，解得： x=8，则 10? x=2，答：甲队胜了 8 场，则负了 2场；（2）设乙队在初赛阶段胜 a 场，依照题意可得： 2a+（10? a）≥15，解得：a≥5，答：乙队在初赛阶段最少要胜5 场．24 ．如图，在菱形 ABCD中，点 P 在对角线 AC上，且 PA=PD，⊙O是△ PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若 AC=8，tan ∠BAC= ，求⊙O的半径．【考点】 ME：切线的判断与性质； L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．【解析】（1）连接 OP、 OA，OP交 AD于 E，由PA=PD得弧 AP=弧 DP，依照垂径定理的推理得 OP⊥AD， AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠ OAP=∠OPA，因此∠ 1+∠OAP=90°，再依照菱形的性质得∠ 1=∠2，因此∠ 2+∠OAP=90°，此后依照切线的判判断理获取直线 AB与⊙O相切；（2）连接 BD，交 AC于点 F，依照菱形的性质得DB与 AC相互垂直均分，则 AF=4，tan ∠DAC=，获取 DF=2 ，依照勾股定理获取 AD==2 ，求得 AE= ，设⊙O的半径为 R，则 OE=R? ，OA=R，依照勾股定理列方程即可获取结论．【解答】解：（1）连接OP、OA，OP交AD于 E，如图，∵PA=PD，∴弧 AP=弧 DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠ 1+∠OPA=90°，∵OP=OA，∴∠ OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°，∵四边形 ABCD为菱形，∴∠ 1=∠2，∴∠ 2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，∴直线AB与⊙O相切；（2）连接 BD，交 AC于点 F，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴DB 与 AC相互垂直均分，∵AC=8，tan ∠B AC= ，∴AF=4，tan ∠DAC== ，∴DF=2 ，∴AD==2 ，∴AE= ，在 Rt△PAE中，tan ∠1= = ，∴PE= ，设⊙O的半径为 R，则 OE=R? ，OA=R，在 Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（ R? ）2+（）2，∴R= ，即⊙O的半径为． 25 ．如图，抛物线 y=a（x? 1）（x? 3）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴的正半轴交于点C，其极点为 D．（1）写出 C，D两点的坐标（用含 a 的式子表示）；（2）设 S△BCD：S△ABD=k，求 k 的值；（3）当△ BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．【考点】 HF：二次函数综合题．【解析】（1）令 x=0 可求得 C点坐标，化为极点式可求得D 点坐标；（2）令 y=0 可求得 A、B 的坐标，联合 D点坐标可求得△ABD的面积，设直线 CD交 x 轴于点 E，由 C、D坐标，利用待定系数法可求得直线 CD的解析式，则可求得 E点坐标，从而可表示出△ BCD 的面积，可求得 k 的值；（3）由 B、C、D的坐标，可表示出 BC2、BD2和 CD2，分∠ CBD=90°和∠ CDB=90°两种状况，分别利用勾股定理可获取关于 a 的方程，可求得 a 的值，则可求得抛物线的解析式．【解答】解：（1）在 y=a（x? 1）（x? 3），令 x=0 可得 y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x? 1）（x? 3）=a（x2? 4x+3）=a（ x? 2）2? a，∴D（2，? a）；（2）在 y=a（x? 1）（x? 3）中，令 y=0 可解得 x=1或 x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3? 1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如图，设直线 CD交 x 轴于点 E，设直线 CD解析式为 y=kx+b，把 C、D的坐标代入可得，解得，∴直线 CD解析式为 y=? 2ax+3a，令 y=0 可解得 x= ，∴E（，0），∴BE=3? = ∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，? a），∴BC2=32+（ 3a）2=9+9a2，CD2=22+（? a? 3a）2=4+16a2，BD2=（3? 2）2+a2=1+a2，∵∠ BCD ＜∠ BCO＜90°，∴△ BCD为直角三角形时，只好有∠ CBD=90°或∠CDB=90°两种状况，①当∠ CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得 a=? 1（舍去）或 a=1，此时抛物线解析式为 y=x2? 4x+3；②当∠ CDB=90°时，则有 CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得 a=? （舍去）或 a= ，此时抛物线解析式为y= x2 ? 2 x+ ；综上可知当△ BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2? 4x+3 或 y= x2 ? 2 x+ ． 26 ．已知，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是 AC边上的一个动点，将△ ABD沿BD所在直线折叠，使点 A 落在点 P 处．（1）如图 1，若点 D 是 AC 中点，连接 PC．①写出 BP，BD的长；②求证：四边形 BCPD是平行四边形．（2）如图 2，若 BD=AD，过点 P 作 PH⊥BC交 BC的延长线于点H，求 PH的长．【考点】 LO：四边形综合题．【解析】（1）①分别在 Rt△ABC，Rt△BDC中，求出 AB、BD即可解决问题；②想方法证明DP∥BC， DP=BC即可；（2）如图 2 中，作 DN⊥AB于 N，PE⊥AC于 E，延长 BD交 PA于 M．设 BD=AD=x，则 CD=4? x，在 Rt△BDC 中，可得 x2=（4? x）2+22，推出 x= ，推出 DN== ，由△ BDN∽△BAM，可得 = ，由此求出 AM，由△ ADM∽△ APE，可得 = ，由此求出AE= ，可得 EC=AC? AE=4? = 由此即可解决问题．【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵ BC=2，AC=4，∴AB==2 ，∵AD=CD=2，∴BD==2 ，由翻折可知， BP=BA=2．②如图 1 中，∵△ BCD是等腰直角三角形，∴∠ BDC=45°，∴∠ ADB=∠BDP=135°，∴∠ PDC=135°? 45°=90°，∴∠ BCD=∠PDC=90°，∴DP∥BC，∵ PD=AD=BC=2，∴四边形BCPD 是平行四边形．（2）如图 2 中，作 DN⊥AB于 N，PE⊥AC于 E，延长 BD交 PA于 M．设BD=AD=x，则 CD=4? x，在 Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，∴x2=（4? x）2+22，∴x= ，∵DB=DA，DN⊥AB，∴BN=AN=，在Rt△BDN中，DN== ，由△ BDN∽△ BAM，可得 = ，∴ = ，∴AM=2，∴AP=2AM=4，由△ ADM∽△ APE，可得 = ，∴ = ，∴AE= ，∴EC=AC? AE=4? = ，易证四边形 PECH是矩形，∴PH=EC=．2017年7月4日。

题型专项(八)二次函数与几何图形综合题类型1 探究图形面积数量关系及最值等问题1．(2016·贵港模拟)如图甲，四边形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A ，D ，交y 轴于点C.已知A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；(2)设△AOC 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t≤3)时，△AOC 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围； (3)当0＜t≤32时，求S 的最大值．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －3)(x ＋1)． ∵将C(0，3)代入，得－3a ＝3，解得a ＝－1.∴y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴B(1，4)．(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b.∵将A(3，0)，B(1，4)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6，∴y ＝－2x ＋6.过点C 作射线CF∥x 轴交AB 于点F. ∵将y ＝3代入直线AB 的解析式得： －2x ＋6＝3，得x ＝32，∴F(32，3)．图1①当0＜t≤32时，如图1所示．设△AOC 平移到△PNM 的位置，PM 交AB 于点H ，MN 交AC 于点G.则ON ＝AP ＝t ，过点H 作LK⊥x 轴于点K ，交CF 于点L.由△AHP∽△FHM，得AP FM ＝HK HL ，即t 32－t ＝HK 3－HK.解得HK ＝2t. ∴S ＝S △MNP －S △G NA －S △HAP ＝12×3×3－12(3－t)2－12t×2t＝－32t 2＋3t.图2②当32＜t≤3时，如图2所示：设△AOC 平移到△PQR 的位置，RQ 交AB 于点I ，交AC 于点V.∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋6， ∴V(t ，t ＋3)，I(t ，－2t ＋6)．∴IV ＝－2t ＋6－(－t ＋3)＝－t ＋3，AQ ＝3－t. ∴S ＝S △IVA ＝12AQ·IV＝12(3－t)2＝12t 2－3t ＋92.综上所述，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32t 2＋3t （0<t≤32），12t 2－3t ＋92（32<t≤3）.(3)当0＜x≤32时，S ＝－32t 2＋3t ＝－32(t －1)2＋32，当t ＝1时，S 最大＝32.2．(2016·十堰模拟)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)． (1)求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；(2)若点P 在直线x ＝2上运动，当点P 到直线AD 的距离d 等于点P 到x 轴的距离时，求d 的值；(3)如图2，直线AC ：y ＝－x ＋m 经过点A ，交y 轴于点C.探究：在x 轴上方的抛物线上是否存在点M ，使得S △CDA ＝2S △ACM ？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. ∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4.∴D(1，4)．(2)设P(2，y P )，过P 作PE⊥AD 于点E ，设直线AD 与直线x ＝2交于点G ， 则PE ＝d ＝|y P |，直线AD 的解析式为y ＝2x ＋2， ∴G(2，6)．∴PG＝6－y P .∵sin ∠AGP ＝AN AG ＝335，∴PE PG ＝15.∴PG＝5|y P |＝5d. ①若点P 在第一象限，则PG ＝6－d ， ∴5d ＝6－d ，解得d ＝35－32.②若点P 在第四象限，则PG ＝6＋d ， ∴5d ＝6＋d ，解得d ＝35＋32.∴d 的值为35－32或35＋32.(3)∵直线AC 过点A ，所以可求得直线AC ： y ＝－x －1.过点D 作DE∥AC，交y 轴于点E ，可求得直线DE ：y ＝－x ＋5. ∴E(0，5)．∴EC 的中点F(0，2)．∴过点F 平行于AC 的直线为y ＝－x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝－x 2＋2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－132，y 1＝1＋132.或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3＋132，y 2＝1－132.(舍去)∴M(3－132，1＋132)．3．(2016·玉林模拟)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C.其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA ，OC 的长(OA ＜OC)是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝1.(1)求A ，B ，C 三点的坐标； (2)求此抛物线的解析式；(3)若点D 是线段AB 上的一个动点(与点A ，B 不重合)，过点D 作DE∥BC 交AC 于点E ，连接CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵OA，OC 的长是 x 2－5x ＋4＝0的根，OA ＜OC ， ∴OA ＝1，OC ＝4.∵点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的负半轴， ∴A(－1，0)，C(0，－4)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1， ∴由对称性可得B 点坐标为(3，0)．∴A ，B ，C 三点坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－4)．(2)∵点C(0，－4)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上，∴c ＝－4.将A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －4，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，9a ＋3b －4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－83.∴所求抛物线解析式为y ＝43x 2－83x －4.(3)根据题意，BD ＝m ，则AD ＝4－m. 在Rt △OBC 中，BC ＝OB 2＋OC 2＝5.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∴DE BC ＝ADAB .∴DE ＝AD·BC AB ＝5（4－m ）4＝20－5m 4.过点E 作EF⊥AB 于点F ，则sin ∠EDF ＝sin ∠CBA ＝OC BC ＝45.∴EF DE ＝45.∴EF ＝45DE ＝45×20－5m 4＝4－m.∴S △CDE ＝S △ADC －S △ADE ＝12(4－m)×4－12(4－m)(4－m)＝－12m 2＋2m(0＜m ＜4)．∵S ＝－12(m －2)2＋2，a ＝－12＜0，∴当m ＝2时，S 有最大值2.∴点D 的坐标为(1，0)．。

类型2 探究线段的数量关系及最值问题1．(2012·贵港)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的顶点为M(2，－1)，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，其中点B 的坐标为(3，0)． (1)求该抛物线的解析式；(2)设经过点C 的直线与该抛物线的另一个交点为D ，且直线CD 和直线CA 关于直线BC 对称，求直线CD 的解析式；(3)在该抛物线的对称轴上存在点P ，满足PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，求点P 的坐标；并直接写出此时直线OP 与该抛物线交点的个数．解：(1)将M(2，－1)，B(3，0)代入抛物线的解析式中，得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋3＝－1，9a ＋3b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)由抛物线的解析式知：B(3，0)，C(0，3)． ∴△OBC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°.过B 作BE⊥x 轴，交直线CD 于E ，则∠EBC＝∠ABC＝45°. 由于直线CD 和直线CA 关于直线CB 对称， ∴点A ，E 关于直线BC 对称，则BE ＝AB ＝2. ∴E(3，2)．由于直线C D 经过点C(0，3)，可设该直线的解析式为y ＝kx ＋3，代入E(3，2)后，得： 3k ＋3＝2，k ＝－13，∴直线CD 的解析式：y ＝－13x ＋3.(3)设P(2，m)，已知M(2，－1)，B(3，0)，C(0，3)，则 PM 2＝(2－2)2＋(m ＋1)2＝m 2＋2m ＋1，PB 2＝(3－2)2＋(0－m)2＝m 2＋1，PC 2＝(0－2)2＋(3－m)2＝m 2－6m ＋13.已知：PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，则m 2＋2m ＋1＋m 2＋1＋m 2－6m ＋13＝35，化简得：3m 2－4m －20＝0，解得m 1＝－2，m 2＝103.∴P 1(2，－2)，P 2(2，103)．当点P 坐标为(2，103)时，由图可知，直线OP 与抛物线必有两个交点；当点P 坐标为(2，－2)时，直线OP ：y ＝－x ，联立抛物线的解析式有：x 2－4x ＋3＝－x ，即x 2－3x ＋3＝0.Δ＝(－3)2－4×3＜0，∴该直线与抛物线没有交点．综上，直线OP 与抛物线的解析式有两个交点．2．(2016·淄博)已知点M 是二次函数y ＝ax 2(a ＞0)图象上的一点，点F 的坐标为(0，14a)，直角坐标系中的坐标原点O 与点M ，F 在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为18.(1)求a 的值；(2)当O ，Q ，M 三点在同一条直线上时，求点M 和点Q 的坐标；(3)当点M 在第一象限时，过点M 作MN⊥x 轴，垂足为点N ，求证：MF ＝MN ＋OF.解：(1)∵圆心Q 的纵坐标为18，∴设Q(m ，18)，F(0，14a )．∵QO ＝QF ，∴m 2＋(18)2＝m 2＋(18－14a )2，即a ＝1.(2)∵M 在抛物线上，设M(t ，t 2)，Q(m ，18)，∵O ，Q ，M 在同一直线上，∴设直线QM 的方程为y ＝kx ＋b ，将点O ，点Q 以及点M 的坐标代入可得t 2t ＝18m ，即m ＝18t .∵QO ＝QM ，∴m 2＋(18)2＝(m －t)2＋(18－t 2)2.整理得－14t 2＋t 4＋t 2－2mt ＝0，∴4t 4＋3t 2－1＝0，解得t 1＝12，t 2＝－12.当t 1＝12时，m 1＝14；当t 2＝－12时，m 2＝－14.∴M 1(12，14)，Q 1(14，18)；M 2(－12，14)，Q 2(－14，18)．(3)设M(n ，n 2)(n ＞0)，∴N(n ，0)，F(0，14)．∴MF ＝n 2－（n 2－14）2＝（n 2＋14）2＝n 2＋14，MN ＋OF ＝n 2＋14.∴MF ＝MN ＋OF.3．(2016·烟台)如图1，已知▱ABCD 顶点A 的坐标为(2，6)，点B 在y 轴上，且AD∥BC∥x 轴，过B ，C ，D 三点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m，6)是线段AD 上一动点，直线OF 交BC 于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)设四边形ABEF 的面积为S ，请求出S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；(3)如图2，过点F 作FM⊥x 轴，垂足为M ，交直线AC 于P ，过点P 作PN⊥y 轴，垂足为N ，连接MN ，直线AC 分别交x 轴，y 轴于点H ，G ，试求线段MN 的最小值，并直接写出此时m 的值．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，∴设抛物线解析式为y ＝a(x －2)2＋2. ∴抛物线的对称轴方程为x ＝2. ∵BC ∥x 轴，∴BC ＝4.∵AD ∥x 轴，A(2，6)，∴D(6，6)．∵点D 在此抛物线上，∴6＝a(6－2)2＋2.∴a＝14.∴抛物线解析式为y ＝14(x －2)2＋2＝14x 2－x ＋3.(2)当x ＝0时，则y ＝14(x －2)2＋2＝14(0－2)2＋2＝3，∴B(0，3)．∴OB＝3.作FQ⊥BC，垂足为Q ，∴FQ ＝3. 设直线OF 为y ＝kx ，∵F(m ，6)，∴mk ＝6，k ＝6m .∴y＝6m x.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6m x ，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m 2，y ＝3. ∴E(m 2，3)，BE ＝m 2.∵AF ＝m －2，∴S ＝12(AF ＋BE)·FQ＝12(m －2＋m 2)×3＝94m －3.∵点F(m ，6)在线段AD 上，∴2≤m ≤6. 即S ＝94m －3(2≤m≤6)．(3)∵抛物线解析式为y ＝14x 2－x ＋3，∴B(0，3)，C(4，3)．∵A(2，6)，∴直线AC 解析式为y ＝－32x ＋9.∵FM ⊥x 轴，垂足为点M ，交直线AC 于点P ， ∴P(m ，－32m ＋9)(2≤m≤6)．∴PN ＝m ，PM ＝－32m ＋9.∵FM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴， ∴∠MPN ＝90°. ∴MN ＝PN 2＋PM 2＝m 2＋（－32m ＋9）2＝134（m －5413）2＋32413. ∵2≤m ≤6，∴当m ＝5413时，MN 最大＝32413＝181313.。

第13讲 二次函数的综合应用1．如图，直线y ＝x －3与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 同时经过B ，C 两点，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 在线段BC 上，且S △PAC ＝12S △PAB ，求点P 的坐标．解：(1)∵点B 在x 轴上，∴0＝x －3，∴x ＝3.∴点B 的坐标为(3，0)．∵点C 在y 轴上，∴y ＝0－3＝－3.∴点C 的坐标为(0，－3)．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过B(3，0)，C(0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3. ∴此抛物线的函数表达式为y ＝x 2－2x －3.(2)过点P 作PM⊥OB 于点M.∵点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，－3)，∴OB ＝3，OC ＝3.∵S △PAC ＝12S △PAB ，∴S △PAB ＝23S △ABC . ∴12·AB·PM＝23×12·AB·OC. ∴PM ＝23OC ＝2. 由于点P 在第四象限，可设点P(x P ，－2)．∵点P 在直线y ＝x －3上，∴－2＝x P －3.解得x P ＝1.∴点P 的坐标为(1，－2)．2．(2016·青岛)如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，32 m.(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？解：(1)由题意，得B(12，34)，C(32，34)， 代入抛物线的函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＝34，94a ＋32b ＝34.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 故该抛物线的函数关系式为y ＝－x 2＋2x.∵y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴抛物线的顶点坐标为(1，1)．∴图案最高点到地面的距离为1 m.(2)由题意，令y ＝－x 2＋2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.∴抛物线与x 轴两交点的坐标为(0，0)和(2，0)，即两交点之间的距离为2 m.∴最多可连续绘制这样的抛物线型的个数为10÷2＝5(个)．3．如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值．解：(1)∵AB＝2，对称轴为直线x ＝2，∴A(1，0)，B(3，0)．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，∴1、3是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根．由根与系数的关系，得1＋3＝－b ，1×3＝c.∴b ＝－4，c ＝3.∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接PA.由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)．∴点C 的坐标为(0，3)．∴BC ＝32＋32＝32，AC ＝32＋12＝10.∵点A ，B 关于对称轴x ＝2对称，∴PA ＝PB.∴PA ＋PC ＝PB ＋PC.此时，PB ＋PC ＝BC.∴当P 点在对称轴上运动时，PA ＋PC 的最小值等于BC.∴△APC 周长的最小值为AC ＋AP ＋PC ＝32＋10.4．(2016·泉州)某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销售量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系，如图所示．(1)试求出y 与x 之间的一个函数关系式；(2)利用(1)的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润；②进口产品检验，运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月(30天)，若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？解：(1)根据图象可见，它近似地成一条直线，故可设y ＝kx ＋b(k≠0)，把点(40，32)，(39，34)代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝32，39k ＋b ＝34. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝112.∴y＝－2x ＋112. (2)①设每天获得的销售利润为w 元，依题意，得w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋112)＝－2x 2＋152x －2 240＝－2(x －38)2＋648.∵－2<0，∴当x ＝38时，w 有最大值．即每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润．②由y ＝－2x ＋112可知y 随x 的增大而减小．又∵当x ＝30时，y ＝52.∴当x ≥30时，y ≤52.∴y 的最大值为52.52×(30－5)＝1 300(千克)．答：每月一次进货最多只能是1 300千克．5．(2016·扬州)某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元(a ＞0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天低1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t 为正整数)的增大而增大，a 的取值范围应为0<a ≤5．6．(2016·永州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx 与抛物线交于A ，B 两点．(1)写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O 为线段AB 的中点时，求k 的值及A ，B 两点的坐标；(3)是否存在实数k 使得△A BC 的面积为3102？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)令抛物线y ＝ax 2＋bx －3中x ＝0，得y ＝－3，∴点C 的坐标为(0，－3)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过(－1，0)，(3，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. ∴此抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)将y ＝kx 代入y ＝x 2－2x －3，得kx ＝x 2－2x －3，整理，得x 2－(2＋k)x －3＝0，∴x A ＋x B ＝2＋k ，x A ·x B ＝－3.∵原点O 为线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝2＋k ＝0.解得k ＝－2.当k ＝－2时，x 2－(2＋k)x －3＝x 2－3＝0，解得x A ＝－3，x B ＝ 3.∴y A ＝－2x A ＝23，y B ＝－2x B ＝－2 3.∴当原点O 为线段AB 的中点时，k 的值为－2，点A 的坐标为(－3，23)，点B 的坐标为(3，－23)．(3)假设存在这样的实数k.由(2)可知x A ＋x B ＝2＋k ，x A ·x B ＝－3，S △ABC ＝12OC·|x A －x B | ＝12×3×（x A ＋x B ）2－4x A ·x B ＝3102， ∴(2＋k)2－4×(－3)＝10，即(2＋k)2＋2＝0.∵(2＋k)2非负，∴无解，∴假设不成立．∴不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.。

重难点题型(五) 多结论判断题类型1 二次函数中的多结论判断题1．(2016·柳州模拟)如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0；②2a＋b ＝0；③a＋b＋c ＞0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0.其中正确结论的个数为(C)A ．1B ．2C ．3D ．42．(2016·贵港模拟)函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2－4c ＞0；②b＋c ＋1＝0；③3b＋c ＋6＝0；④当1＜x ＜3时，x 2＋(b －1)x ＋c ＜0.其中正确结论的个数为(C)A ．4B ．3C ．2D ．13．(2016·孝感)如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b ＋c>0；②3a＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n )；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是(C)A ．1B ．2C ．3D ．44．(2016·随州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a＋b ＝0；②9a＋c ＞3b ；③8a＋7b ＋2c ＞0；④若点A(－3，y 1)，点B(－12，y 2)，点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；⑤若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜－1＜5＜x 2.其中正确的结论有(B)A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个类型2 几何中的多结论判断题1．(2016·滨州)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC∥BD，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB 平分∠ABD；④AF＝DF ；⑤BD＝2OF ；⑥△CEF ≌△BED.其中一定成立的是(D)A ．②④⑤⑥B ．①③⑤⑥C ．②③④⑥D ．①③④⑤2．(2016·丹东)如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE ＝45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE ，BE 分别交于点G ，H ，∠CBE ＝∠BAD.有下列结论：①FD ＝FE ；②AH ＝2CD ；③BC·AD＝2AE 2；④S △ABC ＝4S △ADF .其中正确的有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2016·龙东)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF，延长FP 交BA 的延长线于点Q ，则下列结论：①AE＝BF ；②AE⊥BF；③sin ∠BQP ＝45；④S 四边形ECFG ＝2S △BGE .其中一定正确的结论个数是(B)A ．4B ．3C ．2D ．14．(2016·昆明)如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC ，DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，DH ，FH.下列结论：①EG＝DF ；②∠AEH＋∠ADH ＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC .其中结论正确的有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2016·深圳)如图，CB ＝CA ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上(与B ，C 不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG⊥CA，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC＝FG ；②S △FAB ：S 四边形CBFG ＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD 2＝FQ·AC.其中正确的结论个数是(D)A ．1B ．2C ．3D ．46．(2016·包头)如图，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝CE ，连接DE 并延长至点F ，使EF ＝AE ，连接AF ，CF ，连接BE 并延长交CF 于点G.下列结论：①△ABE≌△ACF ；②BC＝DF ；③S △ABC ＝S △ACF ＋S △DCF ；④若BD ＝2DC ，则GF ＝2EG.其中正确的结论是①②③④．(填写所有正确结论的序号)7．(2016·安徽)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG＋DF ＝FG.其中正确的是①③④．(把所有正确结论的序号都选上)。

拓展类型7 探究特殊三角形的存在性问题1．(2016·河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图1，在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图2，F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1)当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．当y＝0时,－x2－2x＋3＝0,∴x1＝1,x2＝－3，又A在B的左边，∴A(－3，0),B（1，0）．∵y＝－x2－2x＋3。

∴y＝－(x＋1)2＋4.∴D（－1，4）．（2）如图，作C(0,3）关于x轴的对称点C′（0,－3),连接DC′与x轴的交点即为所求点E，此时△DCE周长最小．设DC′的解析式为y＝kx＋b。

将D(－1，4)，C′（0，－3)代入y＝kx＋b中,得错误!解得错误!∴y＝－7x－3.令y＝0，则－7x－3＝0。

∴x＝－错误!.∴E（－错误!，0）．（3)∵A（－3。

0），C(0，3），∴∠CAB＝45°。

①以A为等腰直角三角形的顶点，则过A作AP⊥AC交抛物线于点P，过P作PF⊥x轴交直线AC于点F,则△APF为等腰直角三角形，可求得P（2，－5)．②若以F为直角顶点，则∠FAP＝45°。

又∠FAO＝45°，∴P在抛物线与x轴交点处．∴P可取（1，0)．③若以P为直角顶点，则∠FAP＝45°。

又∵∠FAO＝45°,∴P在抛物线与x轴交点处．∴P可取(1，0）．∴P（1，0）或（2,－5)．2．（2016·漳州)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3,0），与y轴交于点C(0，3）．(1)求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN 的最大值;（3)在（2）的条件下,当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标;若不存在，请说明理由．解:（1)点B（3，0），C(0，3）在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴错误!∴错误!∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.（2)令x2－4x＋3＝0，则x1＝1,x2＝3。