2021届安徽省池州市东至县高三上学期12月大联考数学(理)试题

2021年高三上学期12月月考数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是（）A．{0，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣3，5} D．{﹣3，5，9}2．若的值等于（）A． B．C． D．3．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．4．已知为内一点，满足, ,且,则的面积为（）A． B． C． D．5．设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=，则a3a6a9…a30=（）A．210 B．215 C．216 D．2206．若不等式在区间上有解，则a的取值范围为（）A．（,）B．C．D．7．在直角中，，，为中点（左图）．将沿折起，使得（如图），则二面角的余弦值为A． B． C． D．8．过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、、的圆方程是A． B．C． D．9．如果，那么的值等于（）A．－1 B．－2C．0 D．210．执行下面的程序框图，输出的S＝（）A．25 B．9 C．17 D．20第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．12．的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为22222222++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上(133)(22323)(22323)(122)(133)91述方法，可求得的所有正约数之和为．13．矩阵A＝（k≠0）的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．则a+k = ．14．如图，在中，，，点D在线段AC上，且，，则．15．长、宽、高分别为的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图4，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且平面，求三棱锥的体积．17．已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求k的取值范围．18．已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）？请说明理由．19．选修4­2：矩阵与变换已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝．（1）求矩阵M；（2）求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程．20．某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：、、、、．（1）求图中的值;（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均值和中位数．21．已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，,且，求，和的面积．参考答案1-5：DDCBD 6-10:AAABC11．12．．13．314．15．16．（1）略（2）17．（1）2，1；（2）18．（1）a n＝24－n（n∈N*）， b n＝n2－7n＋14（n∈N*）．（2）不存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）19．（1）（2）x2＋y2＝2．20．（1）（2）73,21．（Ⅰ）；（Ⅱ），，．umV27052 69AC 榬x n-V35089 8911 褑30540 774C 睌30093 758D 疍n26159 662F 是22672 5890 墐。

侧视图正视图 俯视图2021年高三上学期第三次（12月）月考数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．3.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q ：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ） A. B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．6将甲、乙等名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种7．已知变量满足：的最大值为（）A． B． C．2 D．48已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．或D．或9.的图象如图所示，为得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度10. 设数列的前n项和为.且，则=（）A．B． C．D．11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。

二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则展开式的各项系数和=_________.14．如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机取一点,则它落到阴影部分的概率为_________.15.已知M是△ABC内的一点（不含边界），且,若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为，记，则的最小值为_________.16已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分) 已知 ，， 记函数（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设的角所对的边分别为，若a ＝2c sin A,c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数为4次． （1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF 平面ABCD ，EF//AB ，,AD=2,AB= AF=2EF=l ，点P在棱DF 上．（1）若P 为DF 的中点，求证：BF//平面ACP（2）若二面角D-AP-C 的余弦值为，求PF 的长度．20 (本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．21. (本小题满分12分) 设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）试讨论函数极值点的个数； （Ⅲ）求证：对任意的，不等式恒成立．考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲. 如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点. （1） 求长；（2）当 ⊥时，求证：.AEODC B23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|.24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲. 已知，的最小值为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）解关于的不等式.第三次模拟考试 数学（理）参考答案1～12 ABCC BCDC DBAA 13. 14. 15.36 16.4517【解析】（1）由题意，得)62sin(22cos 2sin 3)(π-=-=•=x x x x f ,当取最大值时，即，此时， 所以的取值集合为．（2）由a ＝2c sin A 及正弦定理得，sin A ＝2cos C sin A. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝，∴C ＝π3.∵△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 18【解析】（1）25])810()89()87()86[(41)(2222=-+-+-+-=甲x D29])810()810()87()85[(41)(2222=-+-+-+-=乙x D∵ ∴ 甲运动员的射击水平平稳（2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为 ∴ 甲的成绩大于乙的成绩的概率为依题意，的取值分别是0，1，2，3,4，且～ ∴(运算式子形式表示也可) 因此，的分布列如下：OBAC DE FPzyxPFEDCAB∴19．解析：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF // OP，因为BF平面ACP，OP平面ACP，所以BF // 平面ACP．(II)因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．所以，，，．因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．设P点坐标为，在平面APC中，，，所以平面APC的法向量为，所以121212||cos,||||(n nn nn n⋅<>===⋅-解得，或（舍）．此时．20.解：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以．又因为，所以．所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，因为，，所以，，所以， 所以．由，得（判别式）， 得，，即． 设， 则中点坐标为，因为，关于直线对称， 所以的中点在直线上， 所以，解得，即．由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直， 所以 ，解得． 21解：（1）当时，，则，曲线在原点处的切线方程为（２）()1,122122'->+++=++=x x ax x x a x x f ，令 当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点；当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点； 当时，，令０，则，当时，，，此时有２个极值点； 当时，，，此时有１个极值点；综上：当时，无极值点；当时，有２个极值点；当时，有１个极值点； 8（３）对于函数，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++ 则，，所以函数在上单调递增，又时，恒有 即恒成立.取，则有恒成立，即不等式恒成立.22、解：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ． ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ． ∴， ∵OC =OD =6，AC =4，∴，∴BD=9．（2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO23解 ：(1)设P(x ，y)，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分) 24【解析】（Ⅰ），① 而 ② ③当且仅当时， ①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立； 则当且仅当时，③式等号成立，即取得最小值. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，则，即，， 解得原不等式的解集为.22246 56E6 囦 39744 9B40 魀327604 6BD4 比21076 5254 剔37427 9233 鈳t32962 80C2 胂330478117 脗ob8v'。

2021年高三上学期12月月考数学理试题 含答案保国平 张宏汉一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．是虚数单位，复数＝ （ ）A ．B ．C ．D ． 2．设全集是实数集则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A ． B ． C ． D ．3．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ．3 4．函数()sin()(,0,0,0)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><<的部分 图像如图所示．则的解析式为 A ． B ．C ．D ．5．已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．15 6．已知等比数列{}的前n 项和，则…等于（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知关于x 的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为 A ．1B ．C ．2D ．8．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）则该几何体的体积为（）．A．B．C．D．9．已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A．B．C．D．10．函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C．2 D．11．已知点是的重心，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．12．已知抛物线C：与经过A（0，1），B（2，3）两点的线段AB有公共点，则m的取值范围是( )A．，[3，B．[3，C．[－1，3] D．，二、填空题（每题5分，共20分，注意将答案写在答题纸上）13．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是．14．观察下列等式：12=1，12—22=—3，12—22+32=6，12—22+32—42=-10，…………………由以上等式推测到一个一般的结论：对于，12—22+32—42+…+（—1）n+1n2=15．在中，角A，B，C所对应的边分别为，则角A的大小为．16．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①的定义域是R，值域是；②点的图像的对称中心；③函数上是增函数；④函数的最小正周期为1；则其中真命题是 。

东至县2021届高三上学期12月大联考理科数学满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合11M xx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，(){}2log 1N x x a =-<，M N ⊆，则a 的取值范围是（ ） A. ()1,0- B. ()0,1 C . []1,0- D. []0,12. 命题p ：0a b ⋅<，则,a b 为钝角；q ：()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则以下真命题是（ ） A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝3. 函数1sin ()lg,cos 22x f x x x ππ+⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致是（ ）A. B. C. D.4. 已知0a >，0b >且a b ≠，A a b =+，4abB a b=+，22b a C a b =+，则A ，B ，C 的大小关系是（ ） A. A B C >> B. C A B >> C. A C B >>D. C B A >>5. 2y x =与()ln y x a =+有一条斜率为2的公切线，则a =（ ） A. 1ln 22-B. 1ln 22C. ln 2-D. ln 26. 已知等差数列{}n a 满足：10a >，35S a =，1a ，2a ，42a +成等比数列，则12222n a a a++⋅⋅⋅+=（ ）A.()2413n- B.()1413n- C. 41n-D. 44n-7. 函数()3sin 4cos f x x x =+在区间[]0,π上的对称轴为x ϕ=，则cos ϕ=（ ）A. -1B. 0C.35D.458. 已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，12,x x R ∈，()()12f x f x m ==，且120x x +=，则m =（ ）A.12B. 1C.32D. 29. 数列{}n a 满足：123a =，311n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为3的等比数列，则1220a a a ⋅⋅⋅=（ ） A. 2020313+ B. 202013123+⋅ C . 2020313- D. 202013123-⋅ 10. 已知函数()()ln 1f x x =-，()()f a f b >，以下命题：①若2a >，则a b >；②若a b >，则2a >；③若2a >，则111a b +<；④若2a >，则111a b+>.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 411. 如图，A ，B ，C ，D ，P 是球O 上5个点，ABCD 为正方形，球心O 在平面ABCD 内，PB PD =，2PA PC =，则PA 与CD 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.12. 若函数()()x x f x e e m mx =--有两个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. ()1,+∞ C. ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. (),e +∞ 二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分.13. 已知向量()1,3a =，()4,1b =-，则a b +=________.14. 实数x ，y 满足条件101010x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩，则2x y -的最大值为________.15. 已知函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈，恒有'()2()f x f x >，()ln 2a ef =，()40b ef =，142c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是_________.16. 我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k .已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体M ；以A ，B 分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为β，平面//αβ，且距离为h ，若平面α截圆柱体N 所得截面面积为1S ，平面α截环体M 所得截面面积为2S ，则12S S =________，环体M 体积为_________.三、解答题：共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 17. 数列{}n a 前n 项和为n S ，满足：12a =，122n n a S +=+. （1）求证：数列{}1n S +是等比数列； （2）求和：12n S S S ++⋅⋅⋅+. 18. 已知函数2()28f x x x =--.（1）画出()f x 的图象，并写出()f x 的增区间（不需要证明）；（2）若()f x 的图象与216y x kx k =-+-在[]2,4-上没有公共点，求k 的取值范围. 19. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足：1sin sin sin (sin sin )2a Ab Bc C a B b A +=++.（1）求C ∠；（2）若ABC △周长为6，求ABC △面积的最大值. 20. 已知函数2()ln 1f x x a x =--的最小值为0. （1）求a ；（2）设()00,x y 是()y f x =上一点，证明：()()000()'f x f x x x y ≥-+.21. 四棱台1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，1112AB AD DD A B ===，2CD AB =，//AB CD .（1）证明：平面11DBB D ⊥平面11BCC B ；（2）若BD BC =，平面1C AD 交1BB 于M ，求CM 与平面11DCC D 所成角的正弦值. 22.已知函数()x f x e =.（1）对0x ≥，()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围；（2）证明：1ni =<121ni n i a a a a ==⋅⋅⋅∏. 东至县2021届高三上学期12月大联考理科数学试卷参考答案一、选择题 1.【答案】C 【解析】111001x x x x->⇒>⇒<<，2log ()12x a a x a -<⇒<<+，由题意得：01021a a a ≤⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩，故选C.2.【答案】B【解析】当,180a b =︒时，0a b ⋅<，故p 为假命题：3()tan tan 244f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭tan tan 044x x ππ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎝，故q 为真命题，故选B.3.【答案】A【解析】1sin 1sin ()()lg lgcos cos x xf x f x x x-+-+=+221sin lg 0()()cos x f x f x x -==⇒-=-，可知：()f x 是奇函数，排除C 、D ，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，1sin 1cos x x +>，1sin lg 0cos xx+>，故选A.4.【答案】B【解析】2442a b ab a b B A a b a b +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭≤=+⇒<++，223322()b a b a a b ab C A a b a b ab+---=+-+=()222()()()()0a b a ab b ab a b a b a b abab+-+-++-==>，故C A B >>.5.【答案】B【解析】由'221y x x ==⇒=，由点斜式得切线方程：()121y x -=-，对曲线()ln y x a =+，11'22y x a x a ==⇒=-+，代入()ln y x a =+得：ln 2y =-，将1,ln 22a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入21y x =-，得：11ln 221ln 222a a ⎛⎫-=--⇒= ⎪⎝⎭.6.【答案】A【解析】由()()11211133432a d a d a a d a d +=+⎧⎪⎨++=+⎪⎩，解得：11a =，2d =，故21n a n =-，∴2112224n a n n --==⋅，()121321142222222241143nn a a a n n--+++=+++=⋅=--.7.【答案】D【解析】343sin 4cos 5sin cos 5sin()55y x x x x x θ⎛⎫=+=⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，其中3cos 5θ=，4sin 5θ=（θ为锐角），22k k ππθπϕϕπθ+=+⇒=+-，仅当0k =时，符合题意，故4cos cos sin 25πϕθθ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.8.【答案】B【解析】不妨设120x x <<，则()()212122f x f x x x =⇒-=-而21x x =-，∴222221x x x =-⇒=，故()11m f ==.9.【答案】B【解析】()111131313131331133331n n n nn n n n n a a a a a ----++=⋅=⇒==--++， ∴()()()122020122020011931313113123331331331a a a ++++=⋅=⋅+++. 10.【答案】C【解析】由()f x 的图象可知：①②正确，对③、④，当2a >时，若2b ≥，则111a b+<，若12b <<，则()()()()ln 1ln 1f a f b a b >⇒->-()()ln 1ln 1a b ⇒->--，化为()()ln 11011a b ab a b ⇒-->⇒--+>111a b⇒+<，故③正确.11.【答案】D【解析】ABCD 为正方形，故//AB CD ，PAB ∠即为所求异面直线所成角，2224PA PC R +=与2PA PC =，求得：PA =，AB =，PB PD PO BD PB =⇒⊥⇒=，22216225cos 42R R R PAB R+-∠==.12.【答案】B【解析】解法一：2()xx f x eme mx =--，()22'()221x x x x f x e me m e e m =--=-+，显然0m ≤时，'()0f x >，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，()f x 至多只有一个零点，不符合题意；0m >时，2'()2x x y f x e me m ==--，令x t e =，0t >，则22y t mt m =--，易知，函数在()0,+∞上有且仅有一个零点，记为0t ，设00xt e =，则00220x xe me m --=①，()00,t t ∈时，0y <，即()0,x x ∈-∞时，'()0f x <，()0,t t ∈+∞时，0y >，即()0,x x ∈+∞时，'()0f x >， ∴()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 又x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞. ∵()f x 有两个不同零点，∴()002min 00()0x x f x f x eme mx ==--<②，又由①得00221x x e m e =+③，代入②式得：()0000220201x x x x e e e e x -+⋅<+，即00210x x e +->，记()21xg x e x =+-，'()20xg x e =+>，∴()g x 在(),-∞+∞上单调递增，又()00g =，∴00x >，∴001x t e=>，∴00220020022211111x x t e t e m t t ===>+++，∴m 的取值范围为()1,+∞.解法二：当0m =时，2()0xf x e=>恒成立，()f x 无零点，不符合题意；当0m ≠时，令()0f x =得20xxme e mx --=，∴()2xxx m e e +=，∴21x x m e xe+=.记2()x x e x g x e +=，221'()x xg x e e x --+=，记()21xh x e x =--+，'()20xh x e =--<恒成立， ∴()h x 在(),-∞+∞上单调递减，又()00h =， ∴(),0x ∈-∞时，()()00h x h >=，∴'()0g x >，()0,x ∈+∞时，()()00h x h <=，∴'()0g x <，∴()g x 在(),0-∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上单调递减， 又x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →，()01g =，∵()f x 有两个不同零点，∴1y m=与2()x x e x g x e +=有两个不同交点，∴101m<<，∴1m >.二、填空题 13.【答案】5【解析】()3,45a b a b +=-⇒+= 14.【答案】3【解析】不等式组表示的平面区域如图，2x y z -=可化为2y x z =-，斜率为2的直线，当截距z -最小时，z 取最大值，此时最优解为()2,1，3z =.15.【答案】b c a <<【解析】[]22()''()2()0x xf x e f x f x e --⎡⎤=->⎣⎦，故2()()xg x f x e -=为增函数，由10ln 22<<可知：()()10ln 22g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1(ln 2)2(0)4f f f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭<<，故14(0)4(ln 2)2ef fef ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b c a <<. 16.【答案】12π28π【解析】14S ==222S r r ππ=-外内，其中，(224r=+外，(224r =内，故212S S ππ==，即1212S S π=，环体M 体积为：22248V ππππ=⋅=柱.三、解答题 17.【答案】见解析【解析】（1）()1112232131n n n n n n a S S S S S +++=+⇒=+⇒+=+， ∵112S a ==，132n n S S +=+， ∴0n S >，∴10n S +>， ∴1131n n S S ++=+对任意*n N ∈恒成立，故数列{}1n S +是以113S +=为首项，公比为3的等比数列；（2）由（1）知：11333n n n S -+=⋅=，即31nn S =-，故1212313131nn S S S +++=-+-++-1133331322n n n n +-=⋅-=---.18.【答案】见解析【解析】（1）()f x 的图象如图.增区间为()2,1-，()4,+∞（写作[]2,1-，[)4,+∞亦可）. （2）24x -≤≤时，方程222816x x x kx k --=-+-， 化为：()222816x x x kx k ---=-+-，即22(2)240x k x k -++-=在[]2,4-上无解， 令2()2(2)24g x x k x k =-++-， 由()1240g =-<，可知：[]2,4-上，()0g x <恒成立，等价于(2)82(2)24004(4)324(2)240g k k k g k k -=+++-<⎧⇒<<⎨=-++-<⎩.19.【答案】见解析【解析】（1）由正弦定理得：222122a b c ab +=+⋅， 得：2221cos 22a b c C ab +-==，又018060C C ︒<∠<︒⇒∠=︒； （2）由66a b c c a b ++=⇒=--，代入222222(6)a b c ab a b a b ab +=+⇒+=--+，整理得：124()ab a b +=+≥t =，则281206t t t -+≥⇒≥或236t ab ≤⇒≥或4ab ≤，而226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故4ab ≤，故ABC △的面积11sin 4222ABC S ab C =≤⋅⋅=△即ABC △ 20.【答案】见解析【解析】（1）∵()10f =与()f x 的最小值为0可得：()'102f a =⇒=. 代入检验得：2a =符合题意.（2）证明：令()()000()()'g x f x f x x x y =---，则()0'()'()'g x f x f x =-， 令2()'()2h x f x x x ==-，则22'()20h x x=+>， 故()'()h x f x =为增函数，故在()00,x 上，()0'()'()'0g x f x f x =-<；在()0,x +∞上，()0'()'()'0g x f x f x =->； ∴()()000()0g x g x f x y ≥=-=， 故()()000()'f x f x x x y ≥-+. 21.【答案】见解析【解析】（1）取CD 中点为Q ，则DQ AB =且DQ AB =且//DQ AB ⇒四边形ABQD 为平行四边形， 故BQ AD AB DQ QC ====， ∴CDB DBQ ∠=∠，DCB CBQ ∠=∠， 由三角形内角和为180︒，得90DBC ∠=︒， ∴BC DB ⊥.又1DD ⊥平面1ABCD DD BC ⇒⊥， ∵又1DD DB D =，∴BC ⊥平面11BDD B ，又BC ⊂平面11BCC B ，平面11DBB D ⊥平面11BCC B . （2）由（1）知：90DBC ∠=︒，又BD BC =， ∴45BDC ABD ADB ∠=︒=∠=∠， ∴90ADC ∠=︒.不妨设2AB =，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 方向为x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()10,2,2C ，()11,1,2B ，()0,4,0C ，设(),,M x y z 且1BM BB λ=，则222x y z λλλ-=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，()2,2,2M λλλ--，设平面1ADC 的法向量为(),,m a b c =，则10202200m DA a b c m DC ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，令1b =，则()0,1,1m =-，222030m DM λλλ⇒--=⇒⋅==，故444,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭，484,,333CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，平面11CDD C 法向量为()2,0,0DA =，设CM 与平面11DCC D 所成角为θ，82sin CM DA CM DAθ⋅⋅⋅===故CM 与平面11DCC D 所成角的正弦值为6.22.【答案】见解析【解析】（1）由()0f x ≥恒成立可得：xe ≥2221x x x e m ++≥恒成立，令22()21xg x ex mx =---，0x ≥，()()00g x g ≥=的一个充分条件是2'()240x g x e x m =--≥，而2''()440xg x e=-≥，故'()g x 是增函数，故只需'(0)202g m m =-≥⇒≤，2m >时，在区间10,ln 22m ⎛⎫⎪⎝⎭上，12ln 2222'()24220mx x g x e x m e m e m ⋅=--<-<-=，()g x 为减函数，()()00g x g <=，不合题意.∴2m ≤. 又由定义域可知：0x ≥时，2210x mx ++≥恒成立，当0x =时成立，显然成立.且0x >时，12m x x⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭恒成立，∴m ≥-∴2m -≤；（2）由（1xe ≤，对0x ≥恒成立，将2(1,2,3,,)(1)ix i n n ==+2(1)(1,2,3,,)in e i n +≤=，故()22212(11)(1)1nn i nn n e ee +++=⋅⋅⋅⋅2121(1)2(1)2n n n n e ee +++++==<=。

2021年高三12月联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．1．若集合，且，则集合可能是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以答案选A.2．复数在复平面上对应的点的坐标是A．B．C．D．【答案】D【解析】复数，所以对应的点位,选D.3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知，B正确。

4．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面边长为2，底面面积故此三棱锥的体积为，选A.5．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】做出约束条件对应的可行域如图，，由得。

做直线，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，所以最大值，选C.6．已知数列为等比数列，，，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】在等比数列中，，所以公比，又，解得或。

由，解得，此时。

由，解得，此时991101111(1)8(1)78a a a a q a q +=+=+=--=-，综上，选D.7． 已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】因为，所以函数为偶函数，因为函数在上是增函数，所以当时，，此时为减函数，所以当，函数单调递增。

因为，所以有，解得，即，选B.8．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理知可知，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐进线方程为，即。

2021年高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）设集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∪B=（1，+∞）．考点：并集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A，集合B，然后求解它们的并集即可．解答：解：因为集合A={x|y=log2（x﹣2）}={x|x＞2}，集合B={x|x2﹣5x+4＜0}={x|1＜x＜4}，所以A∪B={x|x＞1}．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查集合的求法并集的基本运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）已知点A（﹣1，﹣5）和向量，若，则点B的坐标为（5，7）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设B（x，y），则=（x+1，y+5），然后由==（6，12）可求x，y，即可求解B解答：解：设B（x，y），则=（x+1，y+5）∵==（6，12）∴x+1=6，y+5=12∴x=5，y=7故答案为：（5，7）；点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题4．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．5．（5分）已知x∈R，那么的必要不充分条件（“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意把x2＞1，解出来得x＞1或x＜﹣1，然后根据命题x＞1与命题x＞1或x＜﹣1，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵x2＞1，∴x＞1或x＜﹣1，∴x＞1⇒x2＞1，反之不能推出，∴那么的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．点评：此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．6．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：阅读型．分析：根据函数的平移左加右减的原则，把y=cos2x的向右平移个单位得到函数的图象．解答：解：将函数函数y=cos2x的图象向右平移个单位得到函数的图象，故答案为右，点评：本题主要考查了三角函数图象的变换．属基础题．7．（5分）若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数f（x）=2x2﹣ax+2，若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0，进而可得实数a的取值范围解答：解：令f（x）=2x2﹣ax+2若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，即a＜4，或a＜5故a＜5即实数a的取值范围是（﹣∞，5）故答案为：（﹣∞，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键．8．（5分）（xx•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆柱的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（5分）（xx•如皋市模拟）已知=．考点：两角和与差的正弦函数．分析：观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解．解答：解：∵，∴，∴===，故答案为：点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．10．（5分）定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f（x）的最大值是2．考点：函数的值域．专题：新定义．分析：根据min{a，b，c}的意义，画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，可得答案．解答：解：解：画出y=2x+4，y=x2+1，y=5﹣3x的图象，观察图象可知，当x≤﹣1时，f（x）=2x+4，当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2+1，当x＞1时，f（x）=5﹣3x，f（x）的最大值在x=±1时取得为2，故答案为：2点评：本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．11．（5分）在直角三角形ABC中，AB⊥AC，AB=AC=1，，则的值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：先建立直角坐标系，由可求D的坐标，代入可求，，然后代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：建立如图所示的直角坐标系则A（0，0），B（0，1），C（1，0），设D（x，y）∴=（x，y﹣1），=（1﹣x，﹣y）∵∴x=，y﹣1=∴x=，y=则=（）•（，）==故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是合理的建立直角坐标系．12．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c将用”＜”连接得c＜a＜b．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：因为=，=ln ，=，所以先比较，，的大小，然后再比较，，的大小关系．解答：解：∵=，=ln ，=，∵，，，，∴，考察对数函数y=lnx，它在（0，+∞）是增函数，∴∴．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查对数值的大小比较，解题时要注意对数单调性的合理运用．13．（5分）（xx•四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB ﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．∴AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．14．（5分）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．解答：解：当x∈（，1]时，是增函数，y∈（，1]，当x∈[0，]时，f（x）=﹣x+是减函数，∴y∈[0，]，如图．∴函数的值域为[0，1]．值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数的最值，分段函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．二．解答题：（本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，且，A∪B=R，（1）求A；（2）实数a+b的值．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：（1）由分式不等式的解法，解＞0可得其解集，即可得集合A；（2）根据题意，由（1）的结论，分析可得集合B，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案．解答：解：（1）根据题意，＞0⇒（2x﹣1）（x+2）＞0，解可得x＜﹣2或x＞，则A=（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；（2）由（1）可得又由，A∪B=R，必有B={x|﹣2≤x≤3}，即方程x2+ax+b=0的解是x1=﹣2，x2=3于是a=﹣（x1+x2）=﹣1，b=x1x2=﹣6，∴a+b=﹣7．点评：本题考查集合的交集、并集的应用，（2）的关键是根据A、B的交集与并集，求出集合B．16．（14分）如图，斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C 是菱形，，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB1C1C；（2）平面CEF⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，证明FM，推出四边形EFMC1为平行四边形，然后证明EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，证明OCA1E，得到ECA1O1，证明A1O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．解答：证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，所以FM，因为E为A1C1的中点，AC，所以EF∥EC1，又FM∥A1C1从而四边形EFMC1为平行四边形，所以EF∥C1M，又因为C1M⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C，EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，因为∠A1AC=60°，所以AO=AA1=AC，从而O为AC的中点．所以OCA1E，因而ECA1O1，因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC，又因为EC⊂平面EFC，所以平面CEF⊥平面ABC．点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想像能力和推理论证能力．17．（14分）若a、b、c是△ABC三个内角A、B、C所对边，且asinAsinB+bcos2A=a （1）求；（2）当cosC=时，求cos（B﹣A）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用正弦定理即可求得；（2）利用余弦定理可求得c=a，从而可判断三角形△ABC为直角三角形，利用两角差的余弦即可求得答案．解答：解：（1）由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA（2分）即sinB=sinA，∴= （6分）（2）∵=，∴b=a，∴由余弦定理=得c=a（8分）∴b2=3a2=a2+2a2=a2+c2，∴B=90°（10分）∴cos（B﹣A）=sinA=cosC=．（12分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和与差的余弦与诱导公式的应用，属于中档题．18．（16分）如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．考点：已知三角函数模型的应用问题．专题：综合题．分析：（1）根据规划要求△ECF的周长为2km，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；（2）先表示三角形的面积，再利用三角函数求面积的最值，从而可确定点E、F的位置．解答：解：（1）设CE=x，CF=y（0＜x≤1，0＜y≤1），则tanα=1﹣x，tanβ=1﹣y，由已知得：x+y+，即2（x+y）﹣xy=2…（4分）∴tan（α+β）===1∵0＜α+β，∴α+β=；…（8分）（2）由（1）知，S△EAF==AE×AF====…（12分）∵，∴2α=，即α=时，△EAF的面积最小，最小面积为﹣1．∵tan=，∴tan=﹣1，故此时BE=DF=﹣1．所以，当BE=DF=﹣1时，△EAF的面积最小．…（15分）点评：本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线l：x=2．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．①若PQ=，求圆D的方程；②若M是l上的动点，求证：点P在定圆上，并求该定圆的方程．考直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．点：专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可知：，解方程可求a，c利用b2=a2﹣c2，可求b，即可求解椭圆C的方程（2）①先设M（2，t），然后求出圆D的方程及直线PQ的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知，可求t，进而可求②设出P，由①知P满足圆D及直线PQ的方程，代入后消去参数t即可判断解答：解：（1）由题意可知：，∴a=，c=1，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程为：（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），则圆D的方程：，直线PQ的方程：2x+ty﹣2=0，∴，∴∴t2=4，t=±2∴圆D的方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2 ②证明：设P（x1，y1），由①知：，即：消去t得：=2∴点P在定圆x2+y2=2上．点评：本题综合考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与圆，与椭圆位置关系的应用，还考查了运算的能力20．（16分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求导函数，令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y 轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1，则是否存在P，Q等价于方程﹣t2+F（t）（t3+t2）=0在t＞0且t≠1时是否有解．解答：解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：x 0f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极小值↗极大值↘∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O （O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强．三、附加题21．（10分）设函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的运算法则即可得到f′（x），再利用导数与函数单调性、极值与最值的关系即可得到f（x）的最小值．解答：解：对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1﹣x）ln（1﹣x）]'=lnx﹣ln（1﹣x）=．令f′（x）=0，则，解得．当0＜在区间是减函数，当1＞在区间是增函数．所以时取得最小值，．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值是解题的关键．22．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）求：（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量a分别与向量垂直，且|a|=，求向量a的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）由已知中空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），我们分别求出向量，，的坐标，进而根据它们三个的模相等，判断出三角形ABC为等边三角形，进而得到以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）根据（1）中结论，易向量分别与向量垂直，且||=，设出向量的坐标，进而构造方程组，解方程组即可求出向量的坐标．解答：解：（1）∵空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），=（3，﹣2，﹣1）∵||=||=||=∴△ABC为等边三角形，故以向量为一组邻边的平行四边形的面积S==7 （2）设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量垂直，且||=，∴解得x=y=z=±1=（1，1，1）或=（﹣1，﹣1，﹣1）点评：本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键．23．（10分）（2011•日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考充分条件；命题的真假判断与应用．点：分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．24．（10分）（xx•江苏二模）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1，D1P⊥平面PCE．试求：（1）线段D1P的长；（2）直线DE与平面PCE所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，利用D1P⊥平面PCE，确定P的坐标，从而可求线段D1P的长；（2）由（1）知，平面平面PCE，利用向量的夹角公式可求直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，2），E（2，1，0），C （0，2，0）．设P（x，y，2），则，，因为D1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP，D1P⊥EC，所以，解得（舍去）或…（4分）即P（），所以，所以．…（6分）（2）由（1）知，平面平面PCE，设DE与平面PEC所成角为θ，与所成角为α，则所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．…（10分）点评：本题考查的知识点是用空间向量表示直线与平面所成角，建立适当的空间直角坐标系，将空间点，线，面之间的关系问题转化为向量问题是解答此类问题的关键．29520 7350 獐39259 995B 饛32199 7DC7 緇b31391 7A9F 窟Ml32561 7F31 缱29074 7192 熒z 21206 52D6 勖。

2021年高三上学期12月月考数学试卷（理科）含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]2．“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A 到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x24．下列各图形中，不可能是某函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A． B． C． D．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）7．若f（10x）=x，则f（3）的值为（）A．log310 B．lg3 C．103D．3108．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．函数f（x）=x3﹣3x2+7的极大值是．10．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．11．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于．12．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．13．函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=x3﹣3x及曲线y=f（x）上一点P（1，﹣2），（I）求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．18．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．19．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．20．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天（t∈N*）的部分数据如下表：天数T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入Q（单位：万元）218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q=at+b，Q=﹣t2+at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．xx学年北京市海淀区科迪实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【考点】交集及其运算．【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．【解答】解：∵M={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}=（﹣3，2），N={x|1≤x≤3}=[1，3]，∴M∩N=[1，2）故选A2．“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先后分析“x＞2”⇒“x2＞4”与“x2＞4”⇒“x＞2”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．【解答】解：当x＞2时，x2＞4成立，故“x＞2”⇒“x2＞4”为真命题故“x＞2”是“x2＞4”的充分条件；当x2＞4时，x＜﹣2或x＞2，即x＞2不成立故“x2＞4”⇒“x＞2”为假命题故“x＞2”是“x2＞4”的不必要条件；综上“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件；故选A3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2【考点】映射．【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．4．下列各图形中，不可能是某函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义可知，B中不满足y值的唯一性．【解答】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的每一个x，都要唯一的y与x对应，A，C，D满足函数的定义．B中当x＞0时，对应的y值有两个，所以不满足函数的定义，所以B不是函数的图象．故选B．5．若函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A． B． C． D．【考点】导数的运算．【分析】先根据二次函数的判断出a，b的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，∴a＞0，﹣＞0，∴b＜0，∵f′（x）=2ax+b，∴函数f′（x）的图象经过一，三，四象限，∴选项A符合，故选：A．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2∴函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（0，2）．故答案为D．7．若f（10x）=x，则f（3）的值为（）A．log310 B．lg3 C．103D．310【考点】函数的值．【分析】法一：根据题意可得f（3）=f（10lg3），代入已知函数解析式可求法二：利用换元法可求出函数解析式，然后把t=3代入即可求解函数值【解答】解：法一：∵f（10x）=x，∴f（3）=f（10lg3）=lg3故选B法二：∵f（10x）=x，令t=10x，则x=lgt∴f（t）=﹣lgt∴f（3）=lg3故选B8．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x）恒成立，故可得f（x）=f（x﹣8），可得此函数的周期是8．又当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），由此f=f（2）+f（3）=log2（2﹣1）+log2（3﹣1）=1，故选：C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．函数f（x）=x3﹣3x2+7的极大值是7．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】令f′（x）=0，可得x=0或x=2，根据导数在x=0和x=2两侧的符号，判断故f（0）为极大值．【解答】解：∵f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴函数f（x）在（﹣∞，0）是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）是增函数，∴函数f（x）在x=0时取得极大值7，故答案为：7．10．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．【考点】幂函数的性质．【分析】先设出幂函数的解析式，把点代入求出α的值，再把27代入解析式求出x的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵过点，∴=（﹣2）α，解得α=﹣3，∴f（x）=x﹣3，∴f（x）=27=x﹣3，解得x=．故答案为：．11．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于5．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5故答案为：512．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．【考点】二次函数的性质．【分析】有顶点公式可得出对称轴，对称轴应在（﹣∞，2]的右侧，可得不等式，求解．【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的对称轴为x=﹣a，又∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，∴﹣a≥2，∴a≤﹣，故答案为（﹣∞，﹣]．13．函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是[1，+∞）．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由于函数=，利用复合函数的单调性的判定方法即可得出．【解答】解：函数=，利用复合函数的单调性的判定方法可知：当x≥1时，函数f（x）单调递减；当x＜1时，函数f（x）单调递增．∴函数f（x）的单调减区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）的图象，关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为直线y=a（x+1）与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，求出直线与曲线y=相切时的斜率，即可得到a的取值范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象，如右图：作出直线y=a（x+1），则直线恒过（﹣1，0），关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，当直线与曲线y=相切时，设切点为（m，），则y′=，则切线斜率为=a，又a（m+1）=，由此解得，a=（负的舍去），故a的取值范围是（0，）．故答案为（0，）．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】解绝对值不等式可求出集合A，解分式不等式可以求出集合B，由A∩B=A可得A ⊆B，结合集合包含关系定义，可构造关于a的不等式组，解得实数a的取值范围．【解答】解：若|x﹣a|＜2，则﹣2＜x﹣a＜2，即a﹣2＜x＜a+2故A={x||x﹣a|＜2}={x|a﹣2＜x＜a+2}．…若，则，即，即﹣2＜x＜3．…因为A∩B=A，即A⊆B，所以．解得0≤a≤1，…故实数a的取值范围为[0，1]…16．已知函数f（x）=x3﹣3x及曲线y=f（x）上一点P（1，﹣2），（I）求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出f（x）的导数，可得P处切线的斜率，可得切线方程；（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），代入f（x）可得n=m3﹣3m，求得切线的斜率和方程，代入（1，﹣2），可得m的方程，解得m，即可得到所求切线的方程．【解答】解：（I）函数f（x）=x3﹣3x的导数为f′（x）=3x2﹣3，点P（1，﹣2）处的切线斜率为3﹣3=0，则与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程为y=﹣2；（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），且n=m3﹣3m，可得切线的斜率为3m2﹣3，切线的方程为y﹣n=（3m2﹣3）（x﹣m），点P（1，﹣2）代入上式，可得﹣2﹣m3+3m=（3m2﹣3）（1﹣m），整理可得2m3﹣3m2+1=0，即为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=﹣（1舍去），可得切线的斜率为﹣，则所求切线的方程为y+2=﹣（x﹣1），即为9x+4y﹣1=0．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣2处取得极值，所以f′（﹣2）=0，又因为函数与直线在点（1，0 ）处相切，所以f′（1）=﹣3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．（2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于0可求增、减区间．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0∴12﹣4a+b=0 ①又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ②，由①②解得a=1，b=﹣8又f（x）过点（1，0），∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6所以f（x）的解析式为：f（x）=x3+x2﹣8x+6（2）由（1）知：f（x）=x3+x2﹣8x+6，所以f′（x）=3x2+2x﹣8令3x2+2x﹣8＜0解得，令3x2+2x﹣8＞0解得x＜﹣2，或故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（，+∞），f（x）的单调递减区间为（﹣2，）18．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得斜率为0，可得a=3：（II）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（Ⅲ）运用参数分离，可得a＜在x＞1时恒成立，令h（x）=1+x2﹣lnx，求得导数，判断函数的单调性，运用单调性即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．定义域为（0，+∞），导数．依题意，f′（1）=0．所以f′（1）=3﹣a=0，解得a=3；（II）a=3时，f（x）=lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣3=，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞），单调递减区间为（，1）；（III）由f（x）＞0，得a＜在x＞1时恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=1+x2﹣lnx，则h′（x）=2x﹣=，所以h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0．故g'（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）为增函数，即有g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．19．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t ∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t﹣t的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：0 （0，+∞）x （﹣∞，0）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0 （0，+∞）0）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．20．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天（t∈N*）的部分数据如下表：天数T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入Q（单位：万元）218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q=at+b，Q=﹣t2+at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，也不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将（1，218）、（8，288）代入Q=﹣t2+at+b，代入Q，即得函数解析式；（2）由二次函数的图象与性质，利用配方法可求取最值．【解答】解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而Q=at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，∴选取二次函数进行描述最恰当．…将（1，218）、（8，288）代入Q=﹣t2+at+b，可得，解得a=19，b=200．∴Q=﹣t2+19t+200，（1≤t≤20，t∈N*）；（2）Q=﹣t2+19t+200=﹣（t﹣）2+，∵1≤t≤20，t∈N*，∴t=9或10时，Q取得最大值290万元．精品文档xx年11月30日Q29452 730C 猌30791 7847 硇27496 6B68 歨37042 90B2 邲`26773 6895 梕x39106 98C2 飂27219 6A53 橓31600 7B70 筰33470 82BE 芾;D实用文档。

2021年高三数学12月联考试题理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第I卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2-x）}，则P∩Q=(1)设集合P={y|y =2cosx}，Q={x∈N|y =log5A.{x|-2≤x≤2)B.{x|-2≤x<2} C．{0,1,2} D.{0,1}(2)命题p：存在x∈[0，]，使sinx +cosx>；命题q：命题“x o∈(0，+∞)，lnx o=x o-1”的否定是 x∈(0，+∞)，lnx≠x-1，则四个命题(p) V(q)、pq、(p) q、p V（q）中，正确命题的个数为A.l B．2 C．3 D．4(3)已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足，数列{a n}的前n项的和为S n,则S xx为A.504B.588C.-588D.-504(4)在△ABC中，已知向量=(2，2)， =2，= -4，则△ABC的面积为A.4 B．5 C．2 D.3(5)定义在[-2，2]上的函数f(x)满足（x1- x2）[f(x1)-f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2-a>[(2a -2)，则实数a的范围为A.[一l,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[一1,1)(6)设f(x)= sinx+cosx，则函数f(x)在点（-，0）处的切线方程为A． B．C． D.(7)已知函数y=Acos（ax+）+b（a>0，0<<）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A．y=2cos（2x+）-1 B．y=2cos（x一）-1C．y=2cos（x+）-1 D．y=2cos（2x一）一1(8)已知S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，a2·a4 =16，S3 =7，则a8=A．32 B．64 C．128 D．256(9)已知函数f(x）=e x- 2ax，函数g（x）=-x3-ax2. 若不存在x1，x2∈R，使得f'(x1）=g'（x2），则实数a的取值范围为A．（-2,3) B．（-6,0) C.[-2,3] D．[-6,0](10)已知锐角△ABC中，角a+的终边过点P( sinB - cosA,cosB - sinA)，且cos（a+）=，则cos2a的值为A． B． C． D．(11)已知实数x，y满足，若目标函数z= ax+by +5（a>0，b>0）的最小值为2，则的最小值为A． B． C． D．(12)若y=ax+b为函数f(x）=图象的一条切线，则a+b的最小值为A．-4 B．-1 C．1 D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)奇函数f(x）的周期为4，且x∈[0，2]，f(x)=2x-x2，则f(xx)+f(xx)+f(xx)的值为．(14)在平面直角坐标系内，已知B(-3，一3)，C（3，-3），且H(x，y)是曲线x2 +y2 =1任意一点，则的最大值为．(15)已知函数f(x）=sinx+cosx的图象关于x=对称，把函数f(x）的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[-，]上的单调递减区间为__ 。

2021年高三数学12月联考试题理一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合，则_______.2. 已知为等差数列，++=9，=15，则．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为．4. 如果函数是奇函数，则5．设的反函数为，若函数的图像过点，且，则．6．方程cos2x+sinx=1在上的解集是_______________．7. 若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．8. 函数在区间上的取值范围是．9．已知，与的夹角为，则在上的投影为．10. 在锐角中，角B所对的边长，的面积为10，外接圆半径，则的周长为．11. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，若，则公比的取值范围是．12．已知函数，若在上是增函数，则的最大值．13. 记数列是首项，公差为2的等差数列；数列满足，若对任意都有成立，则实数的取值范围为．14．若平面向量满足且，则可能的值有个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设是两个命题，（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16. 数列{a n}中，已知S1 =1，S2=2 ，且S n+1－3S n +2S n－1 =0(，n∈N*)，则此数列为（）A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列17.关于函数和实数的下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则18. 函数,下列关于函数的零点个数的判断正确的是（）A．无论为何值,均有2个零点 B．无论为何值,均有4个零点C．当时,有3个零点；当时,有2个零点D．当时,有4个零点；当时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分.如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求直线SC与平面SAB所成角；（2）求绕棱SB旋转一圈形成几何体的体积。

2021年高三数学12月联考试题理新人教A版本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数(其中为虚数单位)的虚部为( )A．B．C．D．2．命题“,”的否定是( )A．, B．,C．, D．,3. 设向量,,且,方向相反,则的值是( )A．B．C．D．4. 下列四个函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是( )A．B．C．D．5．已知三个正态分布密度函数(,)的图象如图所示,则( ) Array A．,B．,C．,D．,6．已知在上是奇函数,且满足,当时,,则( )A．B．C．7．已知双曲线的中心在原点,一个焦点为,点在双曲线上方程是( )侧视图俯视图图2ABCDPO图4A ．B ．C ．D ．8. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续xx 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是( )A ．没有最大元素,有一个最小元素B ．没有最大元素,也没有最小元素C ．有一个最大元素,有一个最小元素D ．有一个最大元素,没有最小元素二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分） (一)必做题(9～13题)9. 一支田径队有男运动员人,女运动员人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取________人.10.一个几何体的三视图(单位:)如图所示,则该几何体的体积是 _ .11.某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的值为,则等于______. 12.若(),记,则的值为_______.13.已知为平面内的一个区域.:点；:点.如果是的充分条件,那么区域的面积的最小值是_________．(二)选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中,已知曲线:(为参数)与曲线:(为参数)相交于、两点,则线段的长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图,、为的两条割线, 若,,,,则 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12分)设的内角所对边的长分别为,且. (Ⅰ) 求的度数； (Ⅱ) 若,,求的面积.CC 1B 1AA 1BD图517.(本题满分12分)某中学校本课程共开设了共门选修课,每个学生必须且只能选修门选修课,现有该校的甲、乙、丙名学生.(Ⅰ) 求这名学生选修课所有选法的总数； (Ⅱ) 求恰有门选修课没有被这名学生选择的概率； (Ⅲ) 求选修课被这名学生选择的人数的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图,三棱柱中,,,平面平面, 与相交于点. (Ⅰ) 求证:平面； (Ⅱ) 求二面角的余弦值.19.(本题满分14分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且(). (Ⅰ) 求的值及数列的通项公式； (Ⅱ) 记数列的前项和为,求证:()；20.(本题满分14分)已知两点、,动点与、两点连线的斜率、满足.(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）是曲线与轴正半轴的交点,曲线上是否存在两点、,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,请说明有几个；若不存在,请说明理由.21.(本题满分14分)已知函数,(其中).(Ⅰ) 如果函数和有相同的极值点,求的值,并直接写出函数的单调区间；(Ⅱ) 求方程在区间上实数解的个数.xx届七校第二次联考理科数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分[必做题]9．； 10．； 11．； 12．； 13.； [选做题]14．； 15.CC 1 B 1AA 1BDH第18题传统法图B三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.【解析】(Ⅰ) 因为,,所以, ………………………………………………………………………2分 又,所以,所以, ………………………………………………4分因为,所以. …………………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 在中, 由余弦定理可得,………………………………………8分 即,解得或(舍去) ……………………………………………………10分 所以 ……………………………………………………12分17.【解析】(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数 ………2分 (Ⅱ) 设“恰有门选修课没有被这名学生选择”为事件,则,即恰有门选修课没有被这名学生选择的概率为.…………………5分 (Ⅲ) 的所有可能取值为,且 , ,, ……………………………………………… 9分 所以的分布列为所以期望27279130123646464644EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………12分 或:因为选修课被每位学生选中的概率均为,没被选中的概率均为. 所以的所有可能取值为,且, , ,, …………………………………… 9分 所以的分布列为所以的数学期望.12分 18.【解析】(Ⅰ)依题意,侧面是菱形,是的中点,因为,所以, 又平面平面,且平面,平面平面所以平面.………………………………………………………………………………5分 (Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知平面,面,所以, 又,,所以平面, 过作,垂足为,连结,则,所以为二面角的平面角. …………9分在中,, 所以,……12分所以,即二面角的余弦值是. ………………………14分[向量法]以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, …………………………………6分 由已知可得112,1,AC AD BD A D DC BC =====故()()(()()10,0,0,1,0,0,,1,0,0,D A B C C -, 则,………………8分……………………10分 ……………………10分设平面的一个法向量是, 则,即,解得令,得………………………………………11分 显然是平面的一个法向量, ……………12分所以cos ,55DC DC DC⋅<>===n n n ,即二面角的余弦值是.………14分 19.【解析】(Ⅰ)当时,,解得或(舍去)． ……2分 当时,,,相减得,………4分 即,又,所以,则,所以是首项为,公差为的等差数列,故． ………………………………………6分 (Ⅱ) 证法一:当时,． ………………………………………………7分 当时,()()()3322111118881181n a n n n n n n n n ==<=⋅-+-……10分 所以()()3111111112161223233411n n n n ⎡⎤<+-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯-+⎣⎦ ()1111111581621816232n n ⎡⎤=+-<+⨯=⎢⎥+⎣⎦. 综上,对任意,均有成立.………………………………………………………14分 证法二:当时,． ………………………………………………7分 当时,先证,即证()()()232414420n n n n n n n n --=-+=-≥显然成立.所以………………………………………………10分 所以3111111111111511232223183283232n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=+-<+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,综上,对任意,均有成立.………………………………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ)设点的坐标为(),则,,……………………2分 依题意,所以,化简得,……………………………4分所以动点的轨迹的方程为().………………………………………5分 注:如果未说明(或注),扣1分. （Ⅱ）设能构成等腰直角,其中为,由题意可知,直角边,不可能垂直或平行于轴,故可设所在直线的方程为, (不妨设),则所在直线的方程为…………………………………………7分 联立方程,消去整理得,解得, 将代入可得,故点的坐标为. 所以HM ==………………………………………9分 同理可得,由,得,所以,整理得,解得或……………11分当斜率时,斜率；当斜率时,斜率； 当斜率时,斜率, 综上所述,符合条件的三角形有个.…………………………………………………………………14分21.【解析】(Ⅰ),则, ……………………………………………………1分 令,得或,而二次函数在处有极大值,所以或,解得或； ……………………………………………………………………………………4分 当时,的递增区间为,,递减区间为.………………………………5分 当时,的递增区间为,递减区间为.……………………6分 (Ⅱ)()()()()221f x g x x x a x a x a ⎡⎤-=---+-+⎣⎦,…………………………………………………………………………8分 令,,当即时,无实根,故原方程的解为,满足题意,即原方程有唯一实数解；……………………………………………………………9分 当即或时,若,则的实数解为,故原方程在区间上有唯一实数解；若,则的实数解为,故原方程在区间上有两实数解,或；……10分 当即或时,若,由于()()()110,01,31330h a h h a -=+<==->,此时在区间上有一实数解,故原方程有唯一实数解； …………………………………………………………………11分若时,由于()()()114,01,3133h a h h a -=+>==-,当即时,在区间上有唯一实数解,故原方程有一实数解； 若即时,在区间上无实数解,故原方程有无实数解；…13分 综上,当时,原方程在上无实数解；当或时,原方程在上有唯一实数解；当时,原方程在上有两不等实数解.……………………………………………………14分• 32403 7E93 纓@20347 4F7B 佻30086 7586 疆 o22218 56CA 囊21771 550B 唋R38738 9752 青(。