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2021年高考数学总复习第十六章算法初步课时检测第1讲程序框图及简单的算法案例1．(xx年广东)执行如图K1611所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为( )A．105 B．16 C．15 D．1图K1611图K16122．(xx年新课标)如果执行程序框图K1612，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，则( )A．A＋B为a1，a2，…，a N的和B.A＋B2为a1，a2，…a N的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数3．在图K1613的程序框图中，函数f′n(x)表示函数f n(x)的导函数．若输入函数f1(x)＝sin x－cos x，则输出的函数f n(x)可化为( )图K1613A.2sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π4B．－2sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π4C.2sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4D．－2sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π44．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x ＝－4的值时，V3的值为( )A．－144 B ．－136 C．－57 D．345．(xx年重庆)执行如图K1614所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是( )A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9图K1614图K16156．(xx年湖北)阅读如图K1615所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2, 则输出的结果i＝________.7．(xx年江苏徐州模拟)已知某算法的伪代码如图K1616，根据伪代码，若函数g(x)＝f(x)－m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是__________．Read xIf x≤－1 Thenf x←x＋2ElseIf －1<x≤1Thenf x←x2Elsef x←－x＋2End IfEnd IfPrint f x图K16168．(xx年湖北)阅读如图K1617所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.图K1617图K1618 9．(xx年江苏)图K1618是一个算法流程图，则输出的k的值是________．第十六章 算法初步第1讲 程序框图及简单的算法案例 1．C 2.C 3.C4．B 解析：v 0＝3，v 1＝v 0·(－4)＋5＝－7，v 2＝v 1·(－4)＋6＝34，v 3＝v 2·(－4)＋0＝－136.5．B 解析：根据题意，该算法的功能为s ＝1×log 23×log 34×…×log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1)＝3.k ＝7，k →k ＋1＝8，此时才退出程序．6．4 解析：根据题意，该算法的功能为 第一步：i ＝1，A ＝1×2，B ＝1×1，A >B ；第二步：i ＝2，A ＝2×2＝4，B ＝1×2＝2，A >B ； 第三步：i ＝3，A ＝2×4＝8，B ＝2×3＝6，A >B ；第四步：i ＝4，A ＝2×8＝16，B ＝6×4＝24，A <B .输出4.7．(－∞，0)∪{1} 解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x ≤1，－x ＋2，x >1的函数值，其函数图象如图D91所示，图D91又∵函数g (x )＝f (x )－m 在R 上有且只有两个零点， 则由图可得m ＜0或m ＝1，故答案为：(－∞，0)∪{1}． 8．9 解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当n ＝1时，得s ＝1，a ＝3. 第二圈循环： 当n ＝2时，得s ＝4，a ＝5. 第三圈循环：当n ＝3时，得s ＝9，a ＝7. 此时n ＝3，不再循环，所以输出s ＝9.9．5是否继续循环 k k 2－5k ＋4 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈 否 输出5第十七章 复 数第1讲 复数的概念及运算 1．C 2.C 3.A4．B 解析：(a ＋4i)i ＝－4＋a i ＝b ＋i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4⇒a －b ＝5.5．D 解析：z 1·z 2＝(2＋i)(1－a i)＝(2＋a )＋(1－2a )i 对应的点在虚轴上，则为纯虚数，有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝0，1－2a ≠0，得a ＝－2.6．A 解析：根据z i ＝1－i ，知：z ＝1－i i＝－i －1.故选A.7．A 解析：(1－a i)i ＝a ＋i ，实部为a ，虚部为1，实部与虚部互为相反数，则a ＝－1.故选A.8．m ＝－2 解析：m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.9．A 解析：根据复数求根公式：x ＝－6±62－13×42＝－3±2i，所以方程的一个根为－3＋2i.故选A.10．B 解析：当a ＝0，b ＝0时，a ＋b i ＝0是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；若a ＋b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，因此是必要条件．故选B.11．B 解析：由题意1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0， ∴1＋2 2i －2＋b ＋2b i ＋c ＝0.∴⎩⎨⎧1－2＋b ＋c ＝0，2 2＋2b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3.故选B.12．8 解析：由a ＋b i ＝11－7i 1－2i ，得a ＋b i ＝11－7i1－2i＝11－7i1＋2i 1－2i1＋2i＝11＋15i ＋141＋4＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3，a ＋b ＝8.第十八章 选考内容 第1讲 几何证明选讲1．π 2.123．2 3 解析：BC ＝CD ，AC ⊥BD ，∴AB ＝AD ＝6，连接OC ，OC ⊥EC ，OC ∥AD ，∴AD ⊥EC ，在Rt △ACD 中，CD 2＝DE ·DA ＝2×6＝12，∴BC ＝CD ＝2 3.4.3 55 解析：延长BO 交⊙O 于点C ，由题设，知BD ＝1，DC ＝3，AD ＝5.又由相交弦定理，知AD ·DE ＝BD ·DC ，得DE ＝3 55.5.212 解析：由题，可得AC ＝2 3，∠CAD ＝π6，AE ＝AB 2＝32， ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos π6＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋32－2×32×3×32＝214， 则ED ＝212. 6．30° 解析：C ，D ，E ，F 四点共圆，则∠CEF ＝∠CDF ＝∠B ＝30°. 7.3 77解析：∵∠POD ＝120°，OD ＝OB ＝1，PO ＝2，∴PD ＝PO 2＋OD 2－2OD ·PO ·cos120°＝7.由切割线定理，得PE ·PD ＝PB ·PC ，∴PE ＝PB ·PCPD＝1×37＝3 77.8．4π 解析：由弦切角定理，得∠PAC ＝∠ABC .由∠PAB ＝120°，∠CAB ＝90°，得∠PAC ＝∠ABC ＝30°.在Rt △ABC 中，2R ＝BC ＝2AC ＝2×2＝4，R ＝2，S ＝πR 2＝4π.9.125解析：∠ADC 为直径AC 所对的圆周角，则∠ADC ＝90°.在Rt △ACB 中，CD ⊥AB .由等面积法，有AB ·CD ＝CA ·CB ，故CD ＝125.10．6 2 解析：圆O 的半径为5 cm ，点P 是弦AB 的中点，OP ＝3 cm ，AP ＝BP ＝4 cm ，AP ·BP ＝CP ·DP ＝13CD ×23CD ＝16，CD 2＝72，CD ＝6 2.11. 6 解析：设PO 交圆O 于C ，D ，如图D92，设圆的半径为r ，由割线定理，知：PA ·PB＝PC ·PD ，即1×(1＋2)＝(3－r )(3＋r )，∴r ＝ 6.图D9212．2 解析：连接OC ，由于OD ⊥CD ，因此CD ＝OC 2－OD 2.线段OC 长为定值，即需求解线段OD 的最小值．根据弦中点到圆心的距离最短，此时D 为AB 的中点，点C 与点B 重合，因此|CD |＝12|AB |＝2.第2讲 极坐标与参数方程1．B 解析：将ρ＝2cos θ转换成普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，该圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别x ＝0或x ＝2，再转换成极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos ＝2.故选B.2．②① 3.⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4 4.15．ρsin θ＝ 3 解析：方法一，先将极坐标化成直角坐标，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化为(1，3)，过(1，3)且平行于x 轴的直线为y ＝3，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝ 3.方法二，在极坐标系中，直接构造直角三角形由其边角关系得方程ρsin θ＝ 3. 6.3 34 解析：△AOB 的面积为S ＝12×1×3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π3＝3 34 ，也可以转化成直角坐标求解，只不过对于本题而言，利用极坐标的意义解决更简洁．7．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2 解析：将点⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝2sin t转换成普通方程为x 2＋y 2＝2，k OC＝1，切线的斜率为－1, 切线的方程为y －1＝－1(x －1)，x ＋y ＝2，再转换成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤转换成ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2也可 8．2 解析：消去参数t ，得抛物线方程为y 2＝2px ，准线方程为x ＝－p2.因为M 为抛物线上一点，所以有|MF |＝|ME |.又|MF |＝|EF |，所以△MEF 为等边三角形，根据|EF |＝|MF |，得p 2＋6p ＝14p 2＋3p ＋9，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)．9．4 解析：直线l 1：x －2y －1＝0，l 2：2x －ay －a ＝0，l 1∥l 2，有12＝－2－a ⇒a ＝4.10.82 解析：把直线和圆的参数方程化为普通方程，得x ＋y ＋1＝0，(x －3)2＋(y＋1)2＝25，于是弦心距d ＝3 22，弦长l ＝2 25－92＝82.11．2 2 解析：点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2为(0,1)，曲线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝32 2为直线x －y －3＝0，点到直线的最短距离为d ＝|0－1－3|2＝2 2.12.1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ 解析：设直线上的任一点为P (ρ，θ)，因为∠PAx ＝π6，所以∠OPA＝π6－θ.根据正弦定理，得OP sin ∠OAP ＝OA sin ∠OPA ，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ，即ρ＝2sinπ6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.35379 8A33 訳3$h34124 854C 蕌$22515 57F3 埳 B28851 70B3 炳l30999 7917 礗/39760 9B50 魐25556 63D4 揔。
第一章《算法初步》复习课【教学目标】明确算法的含义，熟悉算法的三种基本结构：顺序、条件和循环，以及基本的算法语句【知识回顾】1、算法概念：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的_____________ 和_________ 的步骤;算法特征有：_________ 、_____________ 、_____________ .2、程序框图（流程图）主要由__________ 和_____________ 组成。
3、三种结构、五种算法语句(8)【基础练习】1.算法共有三种逻辑结构：顺序结构，条件结构和循环结构，下列说法正确的是（ ）A. 一个算法只能含有一种逻辑结构B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构C. 一个算法必须含有上述三种逻辑结构D. 一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合2、在一个算法中，算法的流程根据条件可以有的不同的流向的种数是 （）A .1 B 3. 用二分法求方程2 0的近似根的算法中要用哪种算法结构（ 4. A.顺序结构F 列各式中的S 值不能设计算法求解的是•条件结构 C •循环结构）D •以上都用5、 A 、S C 、S如图1 22 32 L100100 的程序运行的结果是A. 1,2 ,3B. 2, 3,C. 2, 3, 2D. 3, 2, 16、 如图2的程序运行后的输出结果为7、 840和1764的最大公约数是（）A. 84B.12C.168 &下列各数中最小的数是 A.111111⑵ B.210C.1000 （4）D.71【典型例题】例1 :分别用当型与直到型循环结构设计求1 + 2 + 3WHILE i 82* i 3WEND PRINT S ENDD.252 n 的值的算法（要求：写出算法.3 D .多于3个图1并画出程序框图）(8)例2: (1 )用辗转相除法求 270与396的最大公约数，并用更相减损术验证，写出详细过程(2)用秦九韶算法，求多项式f(x) 2x 5 5x 4 4x 3 6x 7当x=5时的值.(3) 把七进制数2010(7)化为二进制数•【课后作业】1、 •赋值语句N=N+1的意思是() A.N 等于N+1B.N+1等于NC.将N 的值赋给N+1D.将N 原值加1再赋给N,即N 的值增加12、 如下图(左1)所示的程序框图的算法功能是 ________________________ , ___ .3、 如图所示的程序框图能判断任意输入的数 x 的奇偶，其中判断框内应填入的条件是 ____________INPUT m,n DOr m MOD n m n n rLOOPUNTIL r 0 PRINT m ENDn=5s =0WHILE s<14S -H + Qn=n-1 WEND PRINT nKND/输人讥/ ft第2题第3题第5题4、如图所示的程序执行后输出的结果是( )A. —1B.0C.1D.25. 如图的程序表示的算法是（）A.变换m和n的位置B. 辗转相除法C. 更相减损术6. 用秦九韶算法求多项式f（x） 1 2x x2 -3x3 2x4在xA. - 4B. -1C. 5D. 67. 把二进制数1011001⑵化为五进制数是 _________ .& 288和123的最大公约数是_ _ .9、国庆期间，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总则不予优惠；②若超过200元，但不超过500元，则按标价价格给予元，500元的部分按②条优惠，超过500元的部分给予7折优惠，编框图和程序。
1．1．1算法的概念一、三维目标：1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。
（2）能够用自然语言叙述算法。
（3）掌握正确的算法应满足的要求。
（4）会写出解线性方程（组）的算法。
（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
（6）会应用Scilab 求解方程组。
2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。
由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器四、教学设想：1、创设情境：算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。
如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。
算法初步与程序框图1、算法的概念：算法通常指按照一定的规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
2、程序框图：用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形叫做程序框图或流程图。
（1）用框图表示算法步骤的一些常用的图形符号图形符号名称功能终端框（起止框）表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置处理框（执行框）赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内判断框判断某一条件是否成立，成立时出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框，表示算法进行的前进方向以及先后顺序连接点如果一个流程图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码（2）程序框图的结构形式①顺序结构；②条件结构；③循环结构；（3）基本算法语句①输入语句；②输出语句；③赋值语句；④条件语句；⑤循环语句；3、程序框图举例：开始11（1）（2）4、辗转相除法：5、更相减损术：6、秦九韶算法：7、二分法：8、进位制：9、流程图和结构图框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系，框图可分为流程图和结构图，流程图与结构图直观形象、简洁、明了，在日常生活中应用广泛.一、流程图：流程图常常用来表示一个动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”.程序框图是流程图的一种.流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤.它是由图形符号和文字说明构成的图示.流程图用于描述一个过程性的活动，活动的每一个明确的步骤构成流程图的一个基本单元，基本单元之间用流程线联系.基本单元中的内容要根据需要而确定.可以在基本单元中具体说明，也可以为基本单元设置若干子单元.10、流程图的种类(1)算法流程图①算法流程图在必修课程中已经学过,它是一种特殊的流程图,主要适用于计算机程序的编写.②在算法流程图内允许有闭合回路.(2)工艺流程图①工艺流程图是常见的一种流程图,又称统筹图，在日常生活、生产实践等各方面经常用到工艺流程图.②用来描述具有先后顺序的时间特征的动态过程.③工艺流程图的构成由矩形框、流程线和名称（代号）构成.④工艺流程图可以有一个或多个“起点”，一个或多个“终点”，对于同一个矩形框可以有多个流出点和流入点.⑤在工艺流程图中不允许出现几道工序首尾相连接的圈图或循环回路.20、绘制流程图的一般过程首先，用自然语言描述流程步骤；其次，分析每一步骤是否可以直接表达，或需要借助于逻辑结构来表达； 再次，分析各步骤之间的关系；最后，画出流程图表示整个流程.二、结构图：表示一个系统中各部分之间的组成结构的框图叫做结构图.10、结构图的种类常用的结构图一般包括知识结构图、组织结构图、建筑结构图、布局结构图及分类结构图.20、绘制结构图步骤：（1）确定组成系统的基本要素，及它们之间的关系.（2）将系统的主体要素及其之间的关系表示出来.（3）确定主体要素的下位要素（从属主体的要素）“下位”要素比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象.（4）逐步细化各层要素，直到将整个系统表示出来为止.三、结构图与流程图的区别：流程图和结构图不同.流程图是表示一系列活动相互作用、相互制约的顺序的框图.结构图是表示一个系统中各部分之间的组成结构的框图.流程图描述动态过程，结构图刻画系统结构.流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基本单元之间由有向线连接；结构图则更多地表现为“树”状结构，其基本要素之间一般为逻辑关系.四、考点详解考点一:流程图类型一:算法流程图例1、写出方程0ax b += (,a b 为常数)的根的流程图.分析：因为,a b 是实数，要解方程需先判断a 是否为0,当0a ≠时，方程根为b x a =-;当0a =时，需再次判断b 是否为0,若0b =,则方程根为全体实数，若0b ≠,则方程无解，因此可以用算法中的条件结构来实现，相应程序语句是条件语句.解：根据以上的算法分析可得出算法流程图：点评:算法流程图是学习算法语言的必备工具,在使用时必须用其标准的图形符号.变式练习1:某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7类型二: 工序流程图例2、某工厂装配一辆轿车的工序、工序所花的时间及各工序的先后关系如下表所示：开始输入,a b0a ≠? b x a=- 0b ≠? 输出方程无解 输出方程根是全体实数输出原方程根为x 结束否 否是是注：紧前工序，即与该工序相衔接的前一工序．（1）画出装配该轿车的工序流程图；（2）装配一辆轿车的最短时间是多少小时？分析：要画工序流程图，首先要弄清整项工程应划分为多少道工序，这当然应该由上到下，先粗略后精细，其次是仔细考虑各道工序的先后顺序及相互联系、制约的程度，最后考虑哪些工序可以平行进行，哪些工序可以交叉进行．一旦上述问题都考虑清楚了，一个合理的工序流程图就成竹在胸了，依据其去组织生产，指挥施工，就能收到统筹兼顾的功效．解：（１）工序流程图如下图所示：（2）装配一辆轿车的最短时间是1154125340+++++=（小时）．点评: 有关工序流程图应先理清工序大体分几个阶段，再对每一阶段细分，每一步应注意先后顺序，这是十分关键的，否则会产生错误.在画工序流程图时，不能出现几道工序首尾相接的圈图或循环回路.变式练习2:某成品的组装工序图如下，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是（ ）A. 11小时B. 13小时C. 15小时D. 17小时考点二: 结构图类型一: 知识结构图例3、设计一个结构图，表示《数学{5}》第二章“数列”的知识结构图． 分析:画知识结构图的过程与方法：首先，要对所画结构图从头到尾抓住主要脉络进行分解；然后将每一步分解进行归纳与提炼，形成一个个知识点，并将其逐一地写在矩形框内；最后，按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并且用线段相连，这样就画成了知识结构图．解：本章的知识结构图如下：点评：要熟悉知识结构，注意实际问题的逻辑顺序和概念上的从属关系,这个结构图从整体上反映了数列的结构，从左向右反映的是要素之间的从属关系．在画结构图时，应根据具体需要确定复杂程度，简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点．另外在画结构图时还应注意美观、明了． 变式练习3:下图是《集合》的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在（ ）A. “集合的概念”的下位B. “集合的表示”的下位C. “基本关系”的下位D. “基本运算”的下位类型二: 组织结构图例4、下面为某集团的组织结构图，请据下图分析财务部和人力资源部的隶属关系．分析: 根据组织结构图,分析好各部门之间的从属关系,最后作答.解：由组织结构图可分析得：财务部直属总裁管理；而总裁又由董事长管理，董事长服从于董事会管理．人力资源部由董事长助理直接管理，董事长助理服从董事长管理，董事长又服从于董事会管理，董事会是最高管理部门．点评：有关组织结构图一般都呈“树”形结构．这种图直观，容易理解，被应用于很多领域中．在组织结构图中，可采用从上到下或从左到右的顺序绘制图，注意各单元要素之间的关系，并对整个组织结构图进行浏览处理，注重美观、简洁、明了．变式练习4:某公司做人事调整：设总经理一个，配有经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副经理A 管理生产部、安全部和质量部，经理B 管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗。
第十六单元算法初步、复数、推理与证明教材复习课“算法初步、复数、推理与证明”相关基础知识一课过算法的三种结构[过双基]三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程序框图1．(2018·成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )A．－ 3 B．0C. 3 D．336 3解析：选C 由框图知输出的结果s ＝sin π3＋sin2π3＋…＋sin 2 018π3， 因为函数y ＝sin π3x 的周期是6，所以s ＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 6π3＋sin π3＋sin 2π3＝336×0＋32＋32＝ 3.2．执行如图所示的程序框图．若输出y ＝－3，则输入的角θ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3解析：选D 由输出y ＝－3<0，排除A 、C ，又当θ＝－π3时，输出y ＝－3，故选D.3．执行如图所示的程序框图，已知输出的s ∈[0,4]，若输入的t ∈[m ，n ]，则实数n －m 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 由程序框图得s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，作出s 的图象如图所示．若输入的t ∈[m ，n ]，输出的s ∈[0,4]，则由图象得n －m 的最大值为4.4．某程序框图如图所示，若输出的p 值为31，则判断框内应填入的条件是( )A ．n >2?B ．n >3?C ．n >4?D ．n >5?解析：选B 运行程序：p ＝1，n ＝0；n ＝1，p ＝2；n ＝2，p ＝6；n ＝3，p ＝15；n ＝4，p ＝31，根据题意，此时满足条件，输出p ＝31，即n ＝3时不满足条件，n ＝4时满足条件，故选B.[清易错]1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是74，则a ＝________.解析：由已知可得该程序的功能是计算并输出S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1aa ＋1＝1＋1－12＋12－13＋…＋1a －1a ＋1＝2－1a ＋1. 若该程序运行后输出的值是74，则2－1a ＋1＝74， 解得a ＝3. 答案：3复数的基本运算 [过双基]1．复数的有关概念 名称 内容备注复数的概念 形如a ＋b i(a ∈R ，b ∈R)的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数 复数相等 a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ ―→对应的复数为z ＝a ＋b i ，则向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 22.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ ―→. 3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d ic ＋d i c －d i＝ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2(c ＋d i≠0)．[小题速通]1．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( )A ．1B ．－1C.45＋35iD.45－35i 解析：选D ∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. 2．若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由题意，得z ＝32＋121＋i ＝21－i1＋i 1－i＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．3．复数2i1＋i (i 为虚数单位)实部与虚部的和为( )A ．2B ．1C ．0D ．－2解析：选A 因为2i1＋i ＝2i 1－i 1＋i 1－i ＝1＋i ，所以复数2i1＋i(i 为虚数单位)实部与虚部的和为2.4．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝10－5i5＝2－i ，∴z ＝2＋i. 答案：2＋i[清易错]1．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 2．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．1．已知4＋m i1＋2i ∈R ，且m ∈R ，则|m ＋6i|＝( )A ．6B ．8C ．8 3D ．10解析：选D4＋m i 1＋2i ＝4＋m i1－2i 1＋2i1－2i ＝4＋2m ＋m －8i5，因为复数4＋m i1＋2i ∈R ，故m ＝8，所以|m ＋6i|＝|8＋6i|＝10.2．已知5i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝______.解析：5i 2－i ＝5i 2＋i 2－i 2＋i＝－1＋2i ， 由5i2－i＝a ＋b i ，得－1＋2i ＝a ＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2， ∴a ＋b ＝1. 答案：1合情推理与演绎推理1．合情推理类型定义特点归纳 推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般 类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． [小题速通]1．已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数，某同学运用演绎推理证明如下：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．这个同学证明是错误的，错误原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能解析：选A 大前提：无理数与无理数之和是无理数，错误； 小前提：2和3都是无理数，正确； 结论：2＋3也是无理数，正确， 故只有大前提错误．2.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与x 轴，直线y ＝h (h ＞0)及渐近线y ＝bax 所围成的阴影部分(如图)绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为________．解析：由题意可知，该几何体的横截面是一个圆环，设圆环的外半径与内半径分别为R ，r ，其面积S ＝π(R 2－r 2)．∵x 2a 2－y 2b 2＝1⇒R 2＝a 2＋a 2b 2y 2， 同理：r 2＝a 2b2y 2，∴R 2－r 2＝a 2，由祖暅原理知，此旋转体的体积等价于一个半径为a ，高为h 的柱体的体积，为πa 2h .答案：πa 2h 3．有如下等式： 2＋4＝6；8＋10＋12＝14＋16；18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；……以此类推，则2 018出现在第________个等式中． 解析：①2＋4＝6； ②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30， ……其规律为：各等式首项分别为2×1,2×(1＋3)，2×(1＋3＋5)，…， 所以第n 个等式的首项为2[1＋3＋…＋(2n －1)]＝2×n 1＋2n －12＝2n 2,当n ＝31时，等式的首项为2×312＝1 922, 当n ＝32时，等式的首项为2×322＝2 048, 所以2 018在第31个等式中． 答案：31证明方法1．直接证明 内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→…→Q n ⇒QQ ⇐P 1→P 1⇐P 2→…→得到一个明显成立的条件文字语言 因为……，所以…… 或由……，得……要证……，只需证……，即证……间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤： ①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止； ③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立． [小题速通]1．(2018·成都一模)要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．3．下列命题适合用反证法证明的是________．(填序号) ①已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2， 求证：1＋x y 和1＋y x中至少有一个小于2；③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．解析：①是“否定”型命题，②是“至少”型命题，③是“唯一”型命题，且命题中条件较少，④中条件较少，不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．答案：①②③④一、选择题1．若z ＝i(3－2i)(其中i 为复数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3iD ．2－3i解析：选D 由z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，得z ＝2－3i. 2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝a －3i1－i在复平面上对应的点在y 轴上，则a为( )A ．－3B ．－13C.13D ．3解析：选A ∵z ＝a －3i1－i＝a －3i1＋i 1－i 1＋i ＝a ＋3－3－a i2，又复数z ＝a －3i1－i在复平面上对应的点在y 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，3－a ≠0，解得a ＝－3.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：选Cb 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.4．[n ]表示不超过 n 的最大整数． 若S 1＝[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，S 2＝[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，S 3＝[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21，…… 则S n ＝( ) A ．n (n ＋2)B ．n (n ＋3)C ．(n ＋1)2－1D ．n (2n ＋1)解析：选D 观察得到：S n 是从n 2开始到n ＋12(不含)之前共2n ＋1个n 的和，所以S n 为n (2n ＋1)．即[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[n ＋12－1]＝n (2n ＋1)．5．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53D.85解析：选C 运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3；k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为53.6．若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 因为数列{a n }是等差数列，所以b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋(n －1)·d2(d 为等差数列{a n }的公差)，{b n }也为等差数列，因为正项数列{c n }是等比数列，设公比为q ，则d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝nc 1·c 1q ·…·c 1qn －1＝c 1qn －12，所以{d n }也是等比数列．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是99199，则判断框内应填的内容是( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101?解析：选B 由14n 2－1＝12n －12n ＋1＝1212n －1－12n ＋1， 可知程序框图的功能是计算并输出S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1的值． 由题意令n 2n ＋1＝99199，解得n ＝99,即当n <99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S 的值．8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n n ＋12个“整数对”，注意到10×10＋12＜60＜11×11＋12，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．二、填空题 9．M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为__________． 解析：因为M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋210－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1， 所以M <1. 答案：M <1 10．若复数z ＝a ＋ii(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a ＝________.解析：因为复数z ＝a ＋i i ＝a i ＋i 2i2＝1－a i ，所以－a ＝1，即a ＝－1. 答案：－111．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝________.解析：a ＝14，b ＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b ＝18－14＝4； 第二次循环：14≠4且14>4，a ＝14－4＝10； 第三次循环：10≠4且10>4，a ＝10－4＝6； 第四次循环：6≠4且6>4，a ＝6－4＝2； 第五次循环：2≠4且2<4，b ＝4－2＝2； 第六次循环：a ＝b ＝2，跳出循环，输出a ＝2. 答案：212．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f (21)＝32，f (22)＞2＝42，f (23)＞52，f (24)＞62，∴归纳得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．答案：f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)三、解答题13．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c . 证明：要证d ＋a ＜b ＋c ， 只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2， 即证a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ，因为a ＋d ＝b ＋c ，所以只需证ad ＜bc ，即证ad ＜bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )＜0， 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝1＋2，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)，得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 高考研究课(一)算法与程序框图考查2类型——推结果、填条件 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度循环结构 5年10考 循环结构程序框图的输出功能及应用程序框图补条件 5年1考补全满足框图的条件程序框图的推结果问题[典例] a ＝－1，则输出的S ＝( )A．2 B．3C．4 D．5(2)(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )A．0,0 B．1,1C．0,1 D．1,0[解析] (1)运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.(2)当输入x＝7时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x成立，故a＝1，输出a的值为1.当输入x＝9时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x不成立且x 能被b 整除，故a ＝0，输出a 的值为0.[答案] (1)B (2)D [方法技巧]解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. (2)累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . (3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i . [即时演练]1．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：选C 输入x ＝0，y ＝1，n ＝1， 运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36； 运行第二次，x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36；运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，输出x ＝32，y ＝6.由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在直线y ＝4x 上，故选C. 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 是________．解析：第一次循环：i＝1，s＝1；第二次循环：i＝2，s＝－1；第三次循环：i＝3，s ＝2；第四次循环：i＝4，s＝－2，此时i＝5，执行s＝3×(－2)＝－6，故输出s＝－6.答案：－6程序框图的补全及逆向求解问题[典例] (1)《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为( )A．4 B．5C．7 D．11(2)一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为3655，则空白处应填入的条件为( )A．i≤9? B．i≤6?C．i≥9? D．i≤8?[解析] (1)起始阶段有m＝2a－3，i＝1,第一次循环：m＝2×(2a－3)－3＝4a－9，i＝2,第二次循环：m＝2×(4a－9)－3＝8a－21，i＝3,第三次循环：m＝2×(8a－21)－3＝16a－45，i＝4,第四次循环：m ＝2×(16a －45)－3＝32a －93, 跳出循环，输出m ＝32a －93＝35，解得a ＝4. (2)由1i i ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋2及题意知，该程序框图的功能是计算S ＝121－13＋12－14＋…＋1i －1－1i ＋1＋1i －1i ＋2＝34－121i ＋1＋1i ＋2的值，由S ＝3655，得i ＝9. 故空白处应填入的条件为：i ≤9. [答案] (1)A (2)A [方法技巧]程序框图的补全及逆向求解问题(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止； (3)根据此时各个变量的值，补全程序框图． [即时演练]1．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为16，则判断框内可填入的条件是( )A ．S <1510？B ．S >85？C ．S >1510？D ．S <85？解析：选D 运行程序：k ＝10，S ＝1；S ＝1110，k ＝11；S ＝1210，k ＝12；S ＝1310，k ＝13；S ＝1410，k ＝14；S ＝1510，k ＝15；S ＝1610＝85，k ＝16，此时不满足条件，循环结束，输出k ＝16，所以判断框内可填入条件是S <85？.2．运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是________．解析：该程序的功能是计算分段函数的值， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ＜－1，x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x ＞1.当x ＜－1时，由0≤3－x ≤10，可得－7≤x ＜－1； 当－1≤x ≤1时，0≤x 2≤10成立；当x ＞1时，由0≤x ＋1≤10，可得1＜x ≤9， 综上，输入的x 值的范围是[－7,9]． 答案：[－7,9]1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2解析：选D 程序框图中A ＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n ，所以判断框中应填入A ≤1 000，由于初始值n ＝0，要求满足A ＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n ＝n ＋2.2．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：选D 执行程序框图，S＝0＋100＝100，M＝－10，t＝2；S＝100－10＝90，M＝1，t＝3，S<91，输出S，此时，t＝3不满足t≤N，所以输入的正整数N的最小值为2.3．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34解析：选C 第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，s＝17.4.(2016·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n ＝( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选B 程序运行如下：开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.5.(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C.6．(2014·全国卷Ⅰ)执行如图所示程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158解析：选D 第一次循环：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环：M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；第三次循环：M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4.则输出M ＝158.7．(2014·全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A．4 B．5C．6 D．7解析：选D 执行循环体，第一次循环，M＝2，S＝5，k＝2；第二次循环，M＝2，S＝7，k＝3.故输出的S＝7.一、选择题1．(2017·山东高考)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )A．x＞3 B．x＞4C．x≤4 D．x≤5解析：选B 当x＝4时，若执行“是”，则y＝4＋2＝6，与题意矛盾；若执行“否”，则y＝log24＝2，满足题意，故应执行“否”．故判断框中的条件可能为x＞4.2．执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2，则输出的b的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．4解析：选A 第一次循环，a ＝12，b ＝1，i ＝2；第二次循环，a ＝－1，b ＝－2，i ＝3；第三次循环，a ＝2，b ＝4，i ＝4；第四次循环，a ＝12，b ＝1，i ＝5；……；由此可知b 的值以3为周期出现，且当i ＝2 019时退出循环，此时共循环2 018次，又2 018＝3×672＋2，所以输出的b 的值为－2.3．某班有50名学生，在一次数学考试中，a n 表示学号为n 的学生的成绩，则执行如图所示的程序框图，下列结论正确的是( )A ．P 表示成绩不高于60分的人数B ．Q 表示成绩低于80分的人数C ．R 表示成绩高于80分的人数D ．Q 表示成绩不低于60分，且低于80分的人数解析：选D P 表示成绩低于60分的人数，Q 表示成绩低于80分且不低于60分的人数，R 表示成绩不低于80分的人数．4．(2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 第一次循环，24能被3整除，N ＝243＝8>3；第二次循环，8不能被3整除，N ＝8－1＝7>3； 第三次循环，7不能被3整除，N ＝7－1＝6>3； 第四次循环，6能被3整除，N ＝63＝2<3，结束循环，故输出N 的值为2.5．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．－15解析：选D 第一次执行程序，得到S ＝0－12＝－1，i ＝2； 第二次执行程序，得到S ＝－1＋22＝3，i ＝3； 第三次执行程序，得到S ＝3－32＝－6，i ＝4； 第四次执行程序，得到S ＝－6＋42＝10，i ＝5； 第五次执行程序，得到S ＝10－52＝－15，i ＝6， 结束循环，输出的S ＝－15.6．某校为了了解高三学生日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位学生进行调查．下表是这50位同学睡眠时间的频率分布表：组别(i)睡眠时间组中值(Z i)频数频率(P i)1[4.5,5.5)520.042[5.5,6.5)660.123[6.5,7.5)7200.404[7.5,8.5)8180.365[8.5,9.5)930.066[9.5,10.5)1010.02 现根据如下程序框图用计算机统计平均睡眠时间，则判断框①中应填入的条件是( )A．i＞4? B．i＞5?C．i＞6? D．i＞7?解析：选B 根据题目中程序框图，用计算机统计平均睡眠时间，总共执行6次循环，则判断框①中应填入的条件是i>5(或i≥6？)．7．下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y的值为3，那么应输入x＝( )A．1 B．2C．3 D．6解析：选B 该程序的作用是计算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x >66，2<x ≤6，5－x ，x ≤2的函数值，由题意，若x ＞6，则当y ＝3时，x －3＝3，解得x ＝6，舍去； 若x ≤2，则当y ＝3时，5－x ＝3，解得x ＝2， 故输入的x 值为2.8．给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，…，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )A ．i ≤30？；p ＝p ＋i －1B ．i ≤29？；p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？；p ＝p ＋iD ．i ≤30？；p ＝p ＋i解析：选D 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故①中应填写“i ≤30？”．又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，故②中应填p ＝p ＋i .二、填空题9．(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥1，2＋log 2x ，0<x <1，所以当输入的x的值为116时，y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.答案：－210．按下列程序框图来计算：如果输入的x ＝5，则应该运算________次才停止． 解析：由题意，该程序按如下步骤运行：经过第一次循环得到x ＝3×5－2＝13，不满足x ＞200，进入下一步循环； 经过第二次循环得到x ＝3×13－2＝37，不满足x ＞200，进入下一步循环； 经过第三次循环得到x ＝3×37－2＝109，不满足x ＞200，进入下一步循环； 经过第四次循环得到x ＝3×109－2＝325，因为325＞200，结束循环并输出x 的值 因此，运算进行了4次后，输出x 值而程序停止．故答案为4. 答案：411．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，该算法的程序框图如图所示. 执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝3，输入的a 依次为由小到大顺序排列的质数(从最小质数开始)，直到结束为止，则输出的s ＝________.解析：运行程序：x ＝3，n ＝3，k ＝0，s ＝0；a ＝2，s ＝2，k ＝1；a ＝3，s ＝9，k ＝2；a ＝5，s ＝32，k ＝3；a ＝7，s ＝103，k ＝4，此时满足条件，循环结束，输出s ＝103.答案：10312．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a ＝________.解析：运行程序，可得a＝10，i＝1，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝5，i＝2，不满足i≥5，满足a是奇数，a＝16，i＝3，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝8，i＝4，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝4，i＝5，满足i≥5，退出循环，输出a的值为4.答案：413．已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．解析：第一次循环结束时，n＝2，x＝3，y＝1；第二次循环结束时，n＝4，x＝9，y＝3；第三次循环结束时，n＝6，x＝27，y＝3.此时满足n>4，结束循环，输出log y x＝log327＝3.答案：314．(2018·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝________.解析：第一次循环，得S ＝2；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝92；第三次循环，得n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝354；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝1358>10，结束循环，输出的n ＝4.答案：41．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A 1，A 2，…，A 16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是( )图1图2A ．6B ．7C ．10D ．16解析：选C 由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.2．如果执行程序框图，如果输出的S＝2 550，则判断框内应填入的条件是( )A．k≤50? B．k≥51?C．k＜50? D．k＞51?解析：选A 根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环得到S＝2，k＝2；经过第二次循环得到S＝2＋4，k＝3；经过第三次循环得到S＝2＋4＋6，k＝4；……设经过第n次循环得到2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＝2 550，解得n＝50，由此说明，当n＞50时不满足判断框中的条件，则正好输出S＝2 550，∴判断框应填入的条件是k≤50？.高考研究课(二)数系的扩充与复数的引入的命题3角度——概念、运算、意义[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度复数的有关概念5年4考虚部、模等有关概念与运算结合考查复数的几何意义5年2考与运算结合考查几何意义复数的运算5年6考考查乘法、除法、幂的运算复数的有关概念(a∈R)是纯虚数，则a的值为( ) [典例] (1)设i是虚数单位．若复数a－3－iA．－3 B．－1C．1 D．3(2)已知复数z 满足z1＋i ＝|2－i|，则z 的共轭复数对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(3)若复数 z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2C. 2D. 3[解析] (1)∵复数a －103－i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i 为纯虚数，∴a －3＝0，∴a ＝3.(2)∵z1＋i＝|2－i|＝5，∴z ＝5＋5i ，则z 的共轭复数5－5i 对应的点(5，－5)位于复平面内的第四象限.(3)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则由z (1＋i)＝2i ，得(a ＋b i)·(1＋i)＝2i ，所以(a－b )＋(a ＋b )i ＝2i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝2，解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i ，故|z |＝12＋12＝ 2.法二：由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i1－i 2＝i －i 2＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2. [答案] (1)D (2)D (3)C [方法技巧]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，再根据题意求解．[即时演练]1．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3解析：选A 法一：由题意可知z ＝a －3i ，∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 法二：z ·z ＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.2．若复数2＋a i1－i (a ∈R)是纯虚数(i 是虚数单位)，则复数z ＝a ＋(a －3)i 在复平面内对应的点位于第________象限．解析：∵2＋a i1－i ＝2＋a i1＋i 1－i1＋i ＝2－a ＋2＋a i 2＝2－a 2＋2＋a2i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＝0，2＋a 2≠0，解得a ＝2.∴z ＝2－i ，在复平面内对应的点(2，－1)位于第四象限． 答案：四3．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案：5 2复数的代数运算[典例] (1)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 018＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1(2)(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i(3)(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．3＋3i[解析] (1)∵1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i ＝1－2i －12＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＝(－i)2 018＝(－i)2 016·(－i)2＝－1.(2)3＋i 1＋i＝3＋i 1－i 1＋i1－i ＝4－2i2＝2－i. (3)(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i. [答案] (1)B (2)D (3)B [方法技巧]复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． [提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.[即时演练]1．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A 2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.2．已知复数z ＝3＋i 1－3i 2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i 1－3i 2＝3＋i－2－23i＝3＋i －21＋3i ＝3＋i1－3i －21＋3i1－3i＝23－2i －8＝－34＋14i ， 故z ＝－34－14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：143．已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________.解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＋i 6＝i 1 009＋i 6＝i4×252＋1＋i 4＋2＝i ＋i 2＝－1＋i.答案：－1＋i复数的几何意义[典例] (1)已知复数z ＝a ＋i(a ∈R)．若|z |<2，则z ＋i 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2017·北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] (1)因为复数z ＝a ＋i(a ∈R)．若|z |<2，则a 2＋1<2，解得－1＜a ＜1，所以z ＋i 2＝a －1＋i 在复平面内对应的点(a －1,1)位于第二象限.(2)复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 其在复平面内对应的点(a ＋1,1－a )在第二象限，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.[答案] (1)B (2)B [方法技巧](1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[即时演练]1.如图，若向量OZ ―→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i解析：选 D 由图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋41＋i 1－i 1＋i ＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.2．若z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1＜a ＜2.即实数a 的取值范围是(－1,2). 答案：(－1,2)1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题； 对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx。
高中数学-算法初步测试练习题1. 下列说法正确的是（）A.算法就是某个问题的解题过程B.算法执行后可以产生不同的结果C.解决某一个具体问题算法不同结果不同D.算法执行步骤的次数不可以为很大，否则无法实施2. 将两个数a=2，b=−6交换，使a=−6，b=2，下列语句正确的是（）A.a=b，b=aB.c=a，a=b，b=cC.b=a，a=bD.a=c，c=b，b=a3. 算法：S1m=aS2若b<m，则m=bS3若c<m，则m=cS4若d<m，则m=dS5输出m，则输出m表示（）A.a，b，c，d中最大值B.a，b，c，d中最小值C.将a，b，c，d由小到大排序D.将a，b，c，d由大到小排序4. 观察下列各式：，则的末四位数为（）A.3125B.5624C.0625D.81255. 给出下列问题：(1)求面积为1的正三角形的周长；(2)求键盘所输入的三个数的算术平均数；(3)求键盘所输入两个数的最小数；(4)求函数f(x)={2xx2(x≥3)(x<3)当自变量取相应值时的函数值．其中不需要用条件语句描述的算法的问题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6. 执行如下的程序框图，则输出的结果是（）A.1 132B.833C.1112D.147. 阅读如图所示的程序框图，若输入m=2020，则输出S为()A.20202B.10092C.10102D.101128. 某程序的框图如图所示，若执行该程序，输出的S值为( )A.45B.36C.25D.169. 图中程序是计算2+3+4+5+6的值的程序．在WHILE后的①处和在s=s+i之后的②处所就填写的语句可以是（）A.①i>1②i=i−1B.①i>1②i=i+1C.①i>=1②i=i+1D.①i>=1②i=i−110. 如图，程序运行后输出的结果为（）A.3B.5C.2D.011. 下面的流程图中，能实现数据A，B互相交换的有________．（要求把符合条件的图形序号全填上）12. 用辗转相除法求324和243的最大公约数为________．13. 下列给出的几个式子中，正确的赋值语句是（填序号）________．①3←A；②M←−M；③B←A←2；④x+y←0．14. 已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99．求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步：取A=89，B=96，C=99；第二步：________；第三步：________；第四步：输出计算的结果．15. 用秦九韶算法计算多项式f(x)=1+8x+7x2+5x4+4x5+3x6在x=5时所对应的v4的值为________．16. 用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是________．17. 写出下列语句的运行结果：输入aif a<0tℎen输出“是负数”else t=√a输出ta=−4，输出结果为________，a=9，输出结果为________．18. 阅读程序框图，则输出的S=________．19. 若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y=________．20. 用秦九韶算法求多项式f(x)=4x5+2x4−3x2+1，当x=3时，v3=________．21. 某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费只需画出程序框图即可．22. 在程序语言中，下列符号分别表示什么运算*；\；∧；SQR；ABS？23. 执行如图所示的伪代码，则输出的S值为________.24. x的取值范围为[0, 10]，给出如图所示程序框图，输入一个数x．求：（1）输出的x(x<6)的概率；（2）输出的x(6<x≤8)的概率．25. 已知10b1（2）=a02（3），求数字a，b的值．参考答案与试题解析高中数学-算法初步测试练习题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】算法的概念【解析】广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等．在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成，根据算法的定义进行逐一判定即可．【解答】解：选项A，算法不能等同于解法，故不正确；选项B，判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种，故正确；选项C，解决某一个具体问题算法不同结果应该相同，否则算法构造得有问题，故不正确；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次，故不正确.故选B.2.【答案】B【考点】赋值语句【解析】要实现两个变量a，b值的交换，需要借助中间量c，先把a的值赋给中间变量c，这样c=2，再把b的值赋给变量a，这样a=−6，把c的值赋给变量b，这样a=2．问题解决．【解答】解：先把a的值赋给中间变量c，这样c=a，再把b的值赋给变量a，把c的值赋给变量b，故选：B3.【答案】B【考点】算法的概念【解析】逐步分析算法图中的各语句的功能，第二步条件结构是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量m中，第三步条件结构是比较m，c的大小，并将m，c中的较小值保存在变量m中，第四步条件结构是比较m，d的大小，并将m，d中的较小值保存在变量m中，故变量m的值最终为a，b，c中的最小值．由此不难推断程序的功能．【解答】解：逐步分析框图中的各框语句的功能，第二步条件结构是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量m中，→第三步条件结构是比较m，c的大小，并将m，c中的较小值保存在变量m中，→第四步条件结构是比较m，d的大小，并将m，d中的较小值保存在变量m中，故变量m的值最终为a，b，c中的最小值．由此程序的功能为求a，b，c三个数的最小数．故选B4.【答案】C【考点】进位制排序问题与算法的多样性用辗转相除计算最大公约数【解析】由54=3125,54=15.5=78.53=390625,55=195312510=97676.562…可以看出这些幂的最后四位是以4为周期进行变化的，因此52016的末四位数0625，故选C．【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】条件语句算法的概念【解析】由于条件语句适用于不同前提条件下不同处理方式的问题的解决，可依次对四个问题进行分析找出具有不同前提条件下不同处理方式这一特征的问题，即可得到正确选项【解答】解：(1)求面积为1的正三角形的周长用顺序结构即可，故不需要用条件语句描述；(2)求键盘所输入的三个数的算术平均数用顺序结构即可解决问题，不需要用条件语句描述；(3)求键盘所输入两个数的最小数，由于要作出判断，找出最小数，故本问题的解决要用到条件语句描述；(4)求函数f(x)={2xx2(x≥3)(x<3)当自变量取相应值时的函数值，由于此函数是一个分段函数，所以要用条件结构选择相应的函数解析式，需要用条件语句描述．综上，(3)(4)两个问题要用到条件语句描述，(1)，(2)不需要用条件语句描述故选B6.【答案】C程序框图循环结构的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：开始：T=0，S=0，n=1：T=2，S=12=1−12；n=2：T=2×3，S=12+12×3=12+12−13=1−13；n=3：T=3×4，S=12+12×3+13×4=12+12−13+13−14=1−14；…n=11：T=11×12，S=1−112，此时满足n>10，跳出循环结构，输出S=1112.故选C.7.【答案】D【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：当输入m=2020时，执行第1次循环，S=1，i<m，i=1+2=3，执行第2次循环，S=1+3=4，i<m，i=3+2=5，执行第3次循环，S=4+5=9，i<m，i=5+2=7，⋯由此可得，当i>m时，i=2021，此时S=0+1+3+⋯+2021=1011(1+2021)2=10112.故选D.8.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由题意模拟程序的运行，可得k=1,s=0，满足条件k≤8，执行循环体，S=1，k=3；满足条件k≤8，执行循环体，S=4，k=5；满足条件k≤8，执行循环体，S=9，k=7；满足条件k≤8，执行循环体，S=16，k=9;此时，不满足条件k≤8，退出循环，输出S的值为16.故选D．9.【答案】A【考点】循环语句【解析】根据流程图所表示的算法功能可知求2+3+4+5+6的和，从而应该利用累积加的表达式，以及数i是逐一减小的，可得处理框应填的内容．【解答】解：程序框图是计算2+3+4+5+6的和则第一个处理框应为i>1，i是减小1个，i=i−1从而答案为：①i>1②i=i−1．故选A．10.【答案】A【考点】输入、输出语句【解析】分析已知中程序的语句及结构，我们易得本程序的功能是利用循环判断2∼12中，4的倍数的个数，根据约束的定义，即可求出答案．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是利用循环判断2∼12中，4的倍数的个数，由于2∼12中，4的倍数有4，8，12三个故选A．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】①②③【考点】顺序结构的应用【解析】对三个图形的运算过程进行分析，根据运行的顺序检验运算的结果，可判断出正确结果【解答】解：①中引入了一个中间量，先把A记入C，再把B赋给A，然后把C赋给B，实现数据交换；②先把两者的和记到A 里，再用和减去B 赋给B ，此过程把A 记到B 中了，再计算A −B ，此时差为原来的B ，将其赋给A ，可以实现数据交换；③同理可得，③也可以实现数据交换，故①②③都正确故答案为①②③12.【答案】81【考点】辗转相除法【解析】用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．【解答】解：∵ 324÷243=1⋯⋯81，243÷81=3，∴ 324和243的最大公约数是81.故答案为：81.13.【答案】②【考点】赋值语句【解析】根据赋值语句的功能和格式，逐一分析四个答案中四个赋值语句，根据赋值号左边只能是变量，右边可以是任意表达式，即可得到答案．【解答】解：赋值号的左边是常量，故①错误；赋值语句不能连续赋值，故③错误；x +y =0中，赋值号的左边是表达式，故④错误；只有②是正确的赋值语句，故答案为：②14.【答案】S =A +B +C ,x ¯=A+B+C 3【考点】算法的概念【解析】由题意，第二步，求和，第三步，计算平均成绩．【解答】解：由题意，第二步，求和S =A +B +C ，第三步，计算平均成绩x ¯=A+B+C 3． 故答案为：S =A +B +C ；x ¯=A+B+C 3．15.【答案】2507【考点】秦九韶算法【解析】首先把一个n次多项式f(x)写成(…（(a[n]x+a[n−1])x+a[n−2]）x+...+a[1]）x+ a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V4的值．【解答】解：∵f(x)=1+8x+7x2+5x4+4x5+3x612+35x−8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=(（（（(3x+4)x+5）x+0）x+7）x+8)x+1，∴v0=a6=3，x=5时，v1=v0x+a5=3×5+4=19，v2=v1x+a4=19×5+5=100，v3=v2x+a3=100×5+0=500，v4=v3x+a4=500×5+7=2507∴V4的值为2507；故答案为：2507．16.【答案】2【考点】用辗转相除计算最大公约数辗转相除法【解析】用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，又得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数，从而得到需要做除法的次数．【解答】解：∵294÷84=3...42，84÷42=2，∴用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数2．故答案为217.【答案】负数,3【考点】条件语句输入、输出语句【解析】根据所给的语句看出运行结果的表达式，根据所写的表达式在两种不同的情况下分别求解，得到结果．【解答】解：由语句可知，这是一个条件语句，对应的输出运行结果的表达式是t ={负数，a <0√a ，a ≥0当输入的值是−4时，选择代入的表达式，输出结果为负数当输入的值是9时，选择代入的表达式，输出结果为√9=3故答案为：负数；3．18.【答案】40【考点】循环结构的应用【解析】写出前5次循环的结果，判断出各次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足判断框中的条件执行输出结果．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为T =2，S =2，i =2，不满足判断框中的条件，执行“否”经过第二次循环得到的结果为T =5，S =7，i =3，不满足判断框中的条件，执行“否” 经过第三次循环得到的结果为T =8，S =15，i =4，不满足判断框中的条件，执行“否”经经过第四次循环得到的结果为T =11，S =26，i =5，不满足判断框中的条件，执行“否”过第五次循环得到的结果为T =14，S =40，i =6，满足判断框中的条件，执行“是”，输出40．故答案为：40．19.【答案】1【考点】进位制【解析】将二进制、八进制转化为十进制，利用两数相等及进制数的性质，即可解得x ，y 的值，从而得解．【解答】解：∵ 100y011（2）=1+1×21+y ×23+1×26=67+8y ，x03（8）=3+x ×82=3+64x ，∴ 由3+64x =67+8y ，解得：8+y =8x ，∵ y ∈{0, 1}，x ∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, }，∴ 解得：x =1，y =0．x +y =1．故答案为：1．20.【答案】【考点】秦九韶算法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）21.【答案】解：依题意得，费用y与人数n之间的关系为：y={5(n≤3)5+1.2(n−3)(n>3)．程序框图如图所示：【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用【解析】本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，我们根据题目已知中应收取的卫生费计费方法，然后可根据分类标准，设置两个判断框的并设置出判断框中的条件，再由各段的输出，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可画出流程图，再编写满足题意的程序．【解答】解：依题意得，费用y与人数n之间的关系为：y={5(n≤3)5+1.2(n−3)(n>3)．程序框图如图所示：22.【答案】解：“*”表示乘法运算；“\”表示除法运算；“∧”表示乘方运算；“SQR()”表示求算术平方根运算；“ABS()”表示求绝对值运算．【考点】输入、输出语句【解析】由程序语句中各种运算符表示的意义对题目中的各运算符逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：“*”表示乘法运算；“\”表示除法运算；“∧”表示乘方运算；“SQR()”表示求算术平方根运算；“ABS()”表示求绝对值运算．23.【答案】30【考点】伪代码（算法语句）【解析】此题暂无解析【解答】解：模拟程序的运行过程如下：i=1，S=2；S=2，i=3；S=6，i=5；S=30，i=7；此时不满足循环条件，故输出S=30.故答案为：30.24.【答案】解：（1）由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数y ={x −1,x >7x +1,x ≤7的值， 当x <6时，输出x +1，此时输出的结果满足x +1<6，所以x <5，所以输出的x(x <6)的概率为5−010−0=12；（2）当x ≤7时，输出x +1，此时输出的结果满足6<x +1≤8解得5<x ≤7；当x >7时，输出x −1，此时输出的结果满足6<x −1≤8解得7<x ≤9；综上，输出的x 的范围中5<x ≤9．则使得输出的x 满足6<x ≤8的概率为9−510=25．【考点】程序框图【解析】（1）由已知中的程序框图，我们根据选择结构的功能，可能分析出程序的功能是计算并输出分段函数y ={x −1,x >7x +1,x ≤7的值，输出的x(x <6)，可得x <5，即可求出输出的x(x <6)的概率；（2）由输出的结果在区间6<x ≤8上，我们可以分当x ≤7时和x >7时两种情况，分别讨论满足条件的x 的取值范围，得到输出结果的范围，最后根据输入x 的取值范围利用几何概型求出概率即可．【解答】解：（1）由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数y ={x −1,x >7x +1,x ≤7的值， 当x <6时，输出x +1，此时输出的结果满足x +1<6，所以x <5，所以输出的x(x <6)的概率为5−010−0=12；（2）当x ≤7时，输出x +1，此时输出的结果满足6<x +1≤8解得5<x ≤7；当x >7时，输出x −1，此时输出的结果满足6<x −1≤8解得7<x ≤9；综上，输出的x 的范围中5<x ≤9．则使得输出的x 满足6<x ≤8的概率为9−510=25．25.【答案】解：10b1（2）=1×20+b ×21+0×22+1×23=9+2b ．a02（3）=2×30+0×31+a×32=9a+2，∵10b1（2）=a02（3），b∈{0, 1}，a∈{0, 1, 2}，且9+2b=9a+2∴a=b=1．【考点】进位制【解析】把两个数都化为10进制，即可求出结果．【解答】解：10b1（2）=1×20+b×21+0×22+1×23=9+2b．a02（3）=2×30+0×31+a×32=9a+2，∵10b1（2）=a02（3），b∈{0, 1}，a∈{0, 1, 2}，且9+2b=9a+2∴a=b=1．。
1.2.3 循环语句1．下列四个程序框图中，能用UNTIL语句描述的是( )[解析] UNTIL语句对应的程序是先进入循环体，再推断条件是否满意，若满意退出循环体，否则再次进入循环体．[答案] A2．关于WHILE语句的一般格式，下列说法正确的是( )A．总是执行循环体B．执行一次循环体C．条件为真时，执行循环体D．遇到WEND就结束[解析] 执行WHILE语句时，先推断条件，若条件成立，就执行循环体，再推断，为真，接着执行，直到条件为假时结束循环．[答案] C3．有人编写了下列程序，则 ( )A．输出结果是1B．能执行一次C．能执行10次D．是“死循环”，有语法错误[解析] 从循环语句的格式看，这个循环语句是直到型循环语句，当满意条件x>10时，终止循环．但是第一次执行循环体后x＝1，由于x＝1>10不成立，则再次执行循环体，执行完成后x＝1，则这样无限循环下去，是一个“死循环”，有语法错误，循环终止的条件恒久不能满意．[答案] D4．下列程序中循环体运行的次数是( )A．4 B．5C．6 D．60[解析] 循环体第1次运行后，i＝50，第2次运行后，i＝60，第3次运行后，i＝70，第4次运行后，i＝80，第5次运行后，i＝90，第6次运行后，i＝100>90起先成立，循环终止，则共运行了6次．[答案] C5．下列问题可以设计成循环语句计算的有( )①求1＋3＋32＋…＋39的和；②比较a，b两个数的大小；③对于分段函数，要求输入自变量，输出函数值；④求平方值小于100的最大整数．A．0个B．1个C．2个D．3个[解析] ①和④用到循环语句；②③用不到．故选C.[答案] C循环语句在实际问题中的应用在现实生活中，我们会遇到一些须要反复执行且有规律的任务，例如已知年平均增长率求若干年后的人口总数，已知年初产量及月增长率求年末的产量……要想让这些困难的运算让计算机来完成，应考虑用循环语句编写程序.【典例】相传古代印度国王舍罕要褒赏他聪慧能干的宰相达依尔(国际象棋的独创者)，问他须要什么？达依尔回答说：“国王只要在国际象棋棋盘的第1个格子里放1粒麦粒，第2个格子里放2粒麦粒，第3个格子里放4粒麦粒，以后按此比例每格加一倍，始终放到第64格(国际象棋共有8×8＝64格)，我就感谢不尽了，其他的我就什么也不要了．”国王想：“这才有多少！这还不简单！”让人扛来一袋麦子，用完了，再扛来一袋，又用完了，结果全印度的小麦全用完了还不够．国王纳闷了，怎样也算不清这笔账．请你设计一个程序，帮助国王计算一下，共须要多少粒麦子？[解] 程序框图如图所示：程序如图所示：利用循环语句编写程序解实际应用题的步骤(1)审清题意.(2)建立数学模型，即常见的累加、累乘等数学问题．(3)设计算法分析解决数学问题．(4)依据算法分析，画出程序框图．(5)依据程序框图编写程序.[针对训练] 某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给他开了一些消炎药，并嘱咐他每天早晚8时各服用一片药片．现知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.设计一个程序，求他第n次服药后体内此药的残留量，并画出程序框图．[解] 算法分析：第一次服药后体内此药的残留量：V1＝220；其次次服药后体内此药的残留量：V2＝V1×0.4＋220；第三次服药后体内此药的残留量：V3＝V2×0.4＋220；……；第n次服药后体内此药的残留量：V n＝V n－1×0.4＋220.故可用循环语句求解．程序框图如图：程序如图：。
高中数学《算法初步》教案新人教A版必修一、教材分析本节课所使用的教材为新人教A版高中数学必修教材，内容涉及算法初步。
算法初步是高中数学的重要组成部分，主要让学生了解算法的基本概念、特点和应用。
通过学习算法初步，学生能够理解算法的本质，提高解决问题的能力。
二、教学目标1. 了解算法的概念、特点和表示方法。
2. 掌握算法的基本逻辑结构，如顺序结构、条件结构和循环结构。
3. 能够分析实际问题，设计简单的算法解决问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点：算法的概念、特点和表示方法。
算法的基本逻辑结构。
设计简单算法解决问题的方法。
2. 教学难点：算法的设计和分析。
循环结构在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中认识算法的重要性。
2. 通过案例分析，让学生理解算法的基本逻辑结构。
3. 利用编程实践，培养学生设计算法解决问题的能力。
4. 采用小组讨论、合作学习的方式，提高学生的参与度和积极性。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生了解算法在日常生活中的应用。
提问：什么是算法？算法有什么特点？2. 讲解算法的基本概念：解释算法的定义，强调算法是解决问题的一系列步骤。
阐述算法的特点，如确定性、有穷性和可行性。
3. 学习算法表示方法：介绍算法的图形表示和伪代码表示。
举例说明不同表示方法在解决问题中的应用。
4. 掌握算法的基本逻辑结构：顺序结构：按照一定的顺序执行步骤。
条件结构：根据条件选择不同的执行路径。
循环结构：重复执行某些步骤直到满足条件。
5. 设计简单算法解决问题：分析实际问题，如计算Fibonacci 数列的前n项和。
引导学生设计算法，并利用编程工具实现。
6. 课堂小结：强调算法在解决问题中的重要性。
7. 课后作业：完成课后练习，巩固所学内容。
设计一个简单的算法，解决实际问题。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，分析学生的掌握情况。
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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计算机执行下面的程序段后,输出的结果是（）1a=3b=a a b=+b a b=-PRINT a,bA ．1,3 B．4,1 C．0,0 D．6,05．当2=x时,下面的程序运行后输出的结果是A．3 B．7 C．15 D．176. 给出以下四个问题:①输入一个数x, 输出它的相反数②求面积为6的正方形的周长③输出三个数,,a b c 中的最大数 ④求函数1,0()2,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩的函数值其中不需要用条件语句来描述其算法的有 （ ) A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个7．图中程序运行后输出的结果为 （ ） A. 3 43 B 。
