2020届湖北省名校大联考高三第一次调研考试数学(理)试卷

湖北省、山东省部分重点中学2020届高三第一次调研联考（理科）数学试题1. 已知集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】,选B2. 下列各组函数中，表示同一函数的是A. B.C. D.【答案】D【解析】A,B,C的解析式相同，但定义域不同，中中,所以选D3. 已知函数，则是“函数的最小正周期为”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“函数的最小正周期为”的充要条件是“”知正确答案案为B点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．4. 函数的单调递减区间为A. B.C. D.【答案】A【解析】，要求的单调递减区间，既是求的单调递增区间，所以，解得单调递减区间为答案为 A5. 设，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】A6. 已知函数的零点分别为,则A. B. C. D.【答案】C【解析】根据函数分别与图像交点,可知选C.7. 设，以下等式不一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数是奇函数，只有当时才成立，所以选D.而A,B,C可直接化简得到8. 已知函数在处有极小值，则实数的值为A. 6B. 2C. 2或6D. 0【答案】B【解析】由可得，当时函数先增后减再增，处取极小值；当时，函数在处取极大值，所以选B.9. 已知均为锐角，，则=A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知都为钝角，答案为A点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等10. 已知命题若为假命题，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】由为假命题可得p假q真，若p为假，则无解，可得；若q为真则，所以答案为C11. 设定义在R上的函数，对任意的，都有，且，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】由可知，关于中心对称；当时，可知在上单调递增，且，，于是可得，又由关于中心对称可知，所以答案为C点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等12. 已知曲线恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线为它们的公切线，联立可得①求导可得，令可得，所以切点坐标为，代入可得②.联立①②可得，化简得。

湖北省部分重点中学2020届高三第一次联考高三数学试卷（理科)考试时间：2019年11月8上午8:00- 10:00 试卷满分:150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1.集合A = {0<6|2--x x x }，集合B={1<log |2x x }，则=B AA.( -2,3)B.(-∞,3)C.(-2,2)D.(0,2)2.已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a 等于 A.-1B.1C. 2D. 2-3.若1)2cos(sin 2=+-x x π，则=x 2cos4.已知{n a }为等比数列，若8,253==a a ，则=+87a a A.-32 B.96C.-32或96D.- 96或325.点P 是△ABC 所在平面上一点，若5352+=，则△ABP 与△ACP 的面积之比是 A.53 B. 25 C. 23 D. 326.下列说法正确的个数是①命题“若4≥+b a ，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ②命题“设R b a ∈,，若5≠+b a ,则3≠a 或2≠b ”是一个真命题③“0<,0200x x R x -∈∃”的否定是“0>,2x x R x -∈∀”④已知y x ,都是实数，“1||||≤+y x ”是“122≤+y x ”的充分不必要条件 A.1 B.2 C.3 D.47.下列函数中，既是偶函数，又在（-∞，0)内单调递增的为A. ||2x x y -= B. ||2x y = C. xxy --=22 D. 221||log x x y -=8.已知定义在R 上的奇函数ax f x x +-=212)(，则不等式0<)4()2(2-+-x f x f )的解集为A.(-1,6)B.(-6,1)C.(-2,3)D.(-3,2)9.△AOB 中，b OB a OA ==,，满足2||=-=⋅b a b a ,则△A0B 的面积的最大值为A.3B.2C. 32D. 22 10.已知函数⎩⎨⎧-+-+=)3<<1(,1)2()1<<1(),1(log )(x a x f x x x f a (a>0且1≠a )，若21x x ≠,且)()(21x f x f =，则21x x +的值A.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.以上都不对 11.已知函数0)>(sin )42(cos sin 2)(22ωωπωωx x x x f --⋅=在区间]65,52[ππ-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是 A. ]53,0(B. ]53,21[C. ]43,21[D. )25,21[12.已知对任意实数x 都有1)0(),(2)('-=+=f x f e x f x，若不等式1)-a(x <)(x f ，（其中a<l)的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. )1,23[e B. )1,23[e - C. )23,35[2ee D. )1,35[2e 二、填空题(本大题共4个小题，共20分）13.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20203x y x y x ,则y x z +=3最小值为 .14.非零向量和满足)(|,|||2+⊥=,则与的夹角为 . 15.已知函数)32sin(2)(π+=x x f 在区间),317(a π上是单调函数，则实数a 的最大值为 . 16.已知函数2)(,212ln )(-=+=x e x g x x f ,若),0(,+∞∈∃∈∀n R m ,使得)()(n f x g =成立，则的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分）已知数列{n a }满足...3,2,1,53,111=+=+=+n n a a a n n . 证明：...3,2,1,311==--+n a a n n ;(2)求和: 12221254433221...+--++-+-n n n n a a a a a a a a a a a a .18.(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，772cos ,1475cos -=∠=∠AMC BAM . （1）求∠B 的大小； （2）若7=AM ，求△A BC 的面积.19.(本小题满分12分）已知四棱锥P - ABCD 中，侧面 PAD 丄底面ABCD ，PB 丄AD, △PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点. （1）求证:PA//平面MDB;（2）求二面角A - PB - C 的余弦值. 20.(本小题满分12分)已知椭圆1:2222=+by a x C 的离心率为22，其右顶点为A ，下顶点为定点C(0,2)，△ABC的面积为223，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P, Q 两点，直线BP,BQ 分别与X 轴交于M,N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）试探究M,N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 21.(本小题满分12分)某汽车公司最近研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。

湖北省黄冈、华师附中等八校2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得集合A中绝对值不等式的解集，再求的集合B中函数的值域，最后取它们的交集.【详解】对于集合A，或，对于集合B，由于，所以.所以.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查集合的研究对象，考查绝对值不等式的解法等知识，属于基础题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即的解是，的解是或.在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如本题中集合B，研究对象是函数的值域.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数，然后求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为，所以选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘法运算，考查复数实部和虚部的识别，属于基础题.3.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.4.设函数，若角的终边经过点，则的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】【分析】先根据角的终边经过的点，求得的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.【详解】由于角的终边经过点，故，故，.故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查复合函数求值以及分段函数求值，属于基础题.5.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足，数列满足，则数列的前项和为（）A. 31B. 34C. 62D. 59【答案】B【解析】【分析】利用基本元的思想求得的通项公式，利用求得的通项公式.再利用列举法求得的前项和.【详解】由于成等比数列，故，即，由于，解得，故.当时，，当时，，故.故的前项和为，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查已知求的方法，考查数列求和等知识，属于中档题.要求数列的通项公式，如果已知数列为等差或者等比数列，则将已知条件转化为或者的形式，通过解方程组求得这几个量来求得通项公式.6.下列有关命题的说法正确的是（）A. ，使得成立．B. 命题：任意，都有，则：存在，使得．C. 命题“若且，则且”的逆命题为真命题．D. 若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．【答案】D【解析】【分析】对于A选项，方程无解，由此判断命题不成立.对于B选项，用全称命题的否定是特称命题来判断是否正确.对于C选项，写出逆命题后判断命题是否为真命题.对于D选项，利用等比数列的性质，并举特殊值来判断命题是否为真命题.【详解】由，得，其判别式，此方程无解，故A选项错误.对于B选项，全称命题的否定是特称命题，应改为，故B选项错误.对于C选项，原命题的逆命题是“若且，则且”，如，满足且但不满足且，所以为假命题.对于D选项，若，为等比数列，，但；另一方面，根据等比数列的性质，若，则.所以是的必要不充分条件.故选D.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的概念，考查命题真假性的判断，考查等比数列的性质以及充要条件的判断.属于中档题.7.设不等式组表示的平面区域为，则（）A. 的面积是B. 内的点到轴的距离有最大值C. 点在内时，D. 若点，则【答案】C【解析】【分析】画出可行域，通过求出可行域的面积、可行域内点到轴的距离、可行域内点和连线的斜率的范围、通过特殊点判断的值是否为，根据四个结果判断四个选项的正误.【详解】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到轴的距离也是没有最大值的，故两个选项错误.注意到在可行域内，而，故D选项错误.有图可知，可行域内的点和连线的斜率比的斜率要小，故C选项正确.所以选C.【点睛】本小题主要考查线性规划的问题，考查方向有可行域的面积，点到直线的距离，两点连线的斜率还有特殊点等几个方向.属于基础题.8.将向量列，，…，组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，，则下列向量中与向量垂直的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等和向量列的概念，求出，归纳出规律，由此求得的值，通过向量数量积为零验证出正确选项.【详解】根据等和向量列的概念，，故，，故奇数项都为，偶数项都为.故.注意到可知，C选项正确.故选C.【点睛】本小题考查对新定义的理解和运用，采用的方法是通过列举法找到规律，然后利用这个规律来求和.属于基础题.9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，则函数的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对于四个选项，举出对应的具体函数，然后利用函数的单调性验证是否在上递增，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，取，则，由于，故，故为增函数，符合题意.对于B选项，取，则，由于，故为减函数，不符合题意.对于C选项，取，则，这是一个开口向上的二次函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D选项，取，则，是常数函数，不符合题意.综上所述，选A.【点睛】本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题.10.已知函数，若函数的零点都在区间内，当取最小值时，等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先求得函数是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，零点向右移个单位后得到的零点，由此求得的最小值，最后求定积分即可得出选项.【详解】依题意，化简为，可知，当时，，且当时，根据等比数列求和公式，有，故函数在上为增函数.，故函数零点在区间内，所以零点在内.故.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，考查函数图像平移变换，以及定积分的有关计算，还考查了等比数列求和公式，综合性很强，属于难题.函数求导后，是一个有规律的式子，类似于等比数列，但要注意的是，要考虑公比是否为，公比不为时可利用等比数列前项和公式求和.11.已知同时满足下列三个条件：①时最小值为，②是奇函数，③．若在上没有最大值，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】条件①表示函数的半周期为，由此求得的值. 条件②③可以求出的值，求得函数解析式后，结合函数图像可求得的取值范围.【详解】由于函数的最大值为，最小值为，故条件①表示函数的半周期为，周期为，故.故，根据条件②，有是奇函数，故，.根据条件③，，即，故为偶数，不妨设，由此求得函数的表达式为.画出图像如下图所示，，由图可知，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据已知条件求类型三角函数的解析式，考查三角函数的图像与性质，属于中档题.12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，将已知“直线的斜率的绝对值都不小于”，去绝对值.然后构造函数，利用导数求得函数的单调区间，利用一元二次不等式恒成立问题的解法，求得的取值范围.【详解】，在单调递减.，，.设，则.设，则在上单调递减，则对恒成立.则对恒成立，则，即，解之得或.又，所以.【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的化简.属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则________．【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积求得参数的值，代入向量模的公式求得所求.【详解】根据，解得，故..【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量的加法和减法的坐标运算，还考查了向量模的运算，属于基础题.14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为．若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用已知得，代入所求表达式，利用二倍角公式化简后，可求得表达式的值.【详解】由得，代入所求表达式，可得.【点睛】本小题主要考查方程的思想，考查同角三角函数关系，考查二倍角公式以及诱导公式.属于中档题.15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为____________．（结果用区间．．表示）【答案】【解析】【分析】构造函数，求导后利用已知条件得到函数的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，故函数在上单调递减，且，故不等式可变为，即，解得.【点睛】本小题主要考查利用函数导数求解不等式，考查构造函数法，属于中档题.在阅读题目过程中，提供一个函数值，给的是函数导数小于零，这个可以说明一个函数是递减函数，由此可以考虑构造函数，因为，就可以把已知和求串联起来了.16.已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。

2020届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考考数学（理）试题一、单选题1．集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（ ）A ．()2,3-B ．(),3-∞C ．()2,2-D ．()0,2【答案】A【解析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<, 解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即AB =()2,3-,故选:A. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．B ．1-CD ．1【答案】D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ）A ．89-B ．79-C ．79D ．-1【答案】C【解析】利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3x =所以22cos 212sin 1799x x =-=-= 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.4．已知{}n a 为等比数列，若3528a a ==，，则78a a +=（ ） A ．-32 B ．96C ．-32或96D ．-96或32【答案】C【解析】设公比为q ，利用等比数列的通项公式表示35,a a ，化简得到1,a q ，即可求出78a a +.【详解】 设公比为q2114112282a a q a q q ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或 1122a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 当11,22a q ==-时 6767781111(2)(2)3222a a a q a q +=+=⨯-+⨯-=-当11,22a q ==时，6777811611229622a a a q a q +=+=⨯+⨯= 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的计算，属于基础题. 5．点P 是ABC △所在平面上一点，若2355AP AB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ） A ．35B ．52C ．32D ．23【答案】C【解析】由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解. 【详解】解：因为点P 是ABC △所在平面上一点，又2355AP AB AC =+， 所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ，则点P 在线段BC 上，且32=BP PC ,又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠,又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠， 所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APCS ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题. 6．下列说法正确的个数是（ ）①命题“若4a b +…，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ②命题“设a b R ∈，，若5a b +≠，则3a ≠或2b ≠”是一个真命题 ③“20000x R x x ∃∈-<，的否定是“20x R x x ∀∈->，”④已知x ，y 都是实数，“||||1x y +…”是“221x y +…”的充分不必要条件 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】判断命题①的逆命题的真假；判断命题②的逆否命题的真假；写出命题③的否定即可判断；利用不等式表示的平面区域，即可判断真假.【详解】命题“若4a b +…，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题为:“若a ，b 中至少有一个不小于2，则4a b +…”,当2,0a b ==时，为假命题，故①错误； 命题“设a b R ∈，，若5a b +≠，则3a ≠或2b ≠”的逆否命题为：“设a b R ∈，，若=3a 且=2b ，则=5a b +”为真命题，故②正确；“20000x R x x ∃∈-<，的否定是“20x R x x ∀∈-≥，”故③错误；||||1x y +…表示的区域是以(1,0),(0,1)±±为顶点的正方形及其内部221x y +…表示的区域是(0,0)为圆心，1为半径的圆及其内部 所以22||||11x y x y +⇒+剟成立，反之不成立，故④正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分条件和必要条件的判断，否定等，属于基础题. 7．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ） A ．2||y x x =- B ．||2x y =C ．22x xy -=-D ．212log ||y x x =- 【答案】D【解析】由偶函数的判断依据为()()f x f x =-，先判断各选项的奇偶性，再判断函数在()0,∞+的增减性，再利用函数的奇偶性判断函数在(),0-∞的增减性即可.【详解】解：对于选项A, ()||f x x x =-2，则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，2211()()24f x x x x =-=--，则函数()||f x x x =-2在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数，由函数为偶函数，可得函数()||f x x x =-2在(),0-∞不为增函数，即选项A不合题意；对于选项B, ||()2x f x =，则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，()2x f x =，则函数||()2x f x =在()0,∞+为增函数，由函数为偶函数，可得函数||()2x f x =在(),0-∞为减函数，即选项B 不合题意；对于选项C, ()22x x f x -=-，则()()f x f x =--，即()y f x =为奇函数，即选项C 不合题意；对于选项D ，212()log ||f x x x =-,则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，212()log f x x x =-，函数212()log ||f x x x =-在()0,∞+为减函数，由函数为偶函数，可得函数212()log ||f x x x =-在(),0-∞为增函数，即选项D 符合题意；故选：D. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定及函数单调性的判定，重点考查了函数性质的应用，属中档题.8．已知定义在R 上的奇函数21()2x x f x a-=+，则不等式()2(2)40f x f x -+-<的解集为（ ） A ．（-1，6） B ．（-6，1）C ．（-2，3）D ．（-3，2）【答案】D【解析】利用函数的奇偶性定义求出1a =，结合函数的单调性，对所求不等式化简，即可求解. 【详解】函数21()2x x f x a-=+是定义在R 上的奇函数所以212122x x x xa a----=-++，化简得1a = 即212()12121x x xf x -==-++且()f x 在R 上单调递增 ()()22(2)404(2)f x f x f x f x -+-<⇒-<-242x x ∴-<-，解得：32x -<<故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.9．AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） AB ．2C．D．【答案】A【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解. 【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin |||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=3222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.10．已知函数log (1),(11)()(2)1,(13)a x x f x f x a x +-<<⎧=⎨-+-<<⎩（0a >且1a ≠），若12x x ≠，且()()12f x f x =，则12x x +的值（ ） A ．恒小于2 B ．恒大于2C ．恒等于2D ．以上都不对【答案】B【解析】设12113x x -<<<<，得到2121x -<-<，利用函数的解析式得出()1f x ，()2f x ，令()()12f x f x t ==，利用t 表示12x x +，结合指数函数的单调性即可求解.【详解】设12113x x -<<<< ，则2121x -<-<所以()()()22221log 31a f x f x a x a =-+-=-+- 设()()12f x f x t ==所以()1log 1a x t +=，则11tx a =-又()2log 31a x a t -+-=，所以123t ax a+-=-1122t t a a x x a +-=-∴++若01a <<，则xy a =为减函数，且1t t a <+-，所以1t t a a a +->，所以122x x +> 若1a >，则xy a =为增函数，且1t t a >+-，所以1t t a a a +->，所以122x x +>所以12x x +的值恒大于2 故选：B 【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式的求法及其图像的做法，指数函数的单调性，属于难题.11．已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0]π，上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．30,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】化简函数()f x ，利用正弦函数的图像的性质以及单调性，根据题意列出不等式组，化简即可得出ω的取值范围. 【详解】22cos 1cos 1sin 242x x x ωππωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()sin (1sin )sin sin f x x x x x ωωωω∴=+-=令22x k πωπ=+，即22k x ππωω=+ 因为()f x 在区间[0]π，上恰好取得一次最大值1 所以20,22πππππωωω+>剟，解得：1522ω<…令2222k xk πππωπ-++剟，解得：2222k k x ππππωωωω-++剟 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数唯一含原点的递增区间 所以232562ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩…… ，解得：35ω… 综上，1325ω剟故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简以及正弦函数的图像的性质以及单调性，属于中档题. 12．已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】构造函数()()x f x g x e=，求导利用已知条件，得出()(21)xf x x e =-，求导，得出函数()f x 的单调性，令()(1)h x a x =-，利用()h x 过定点(1,0)以及函数()f x 的图像，数形结合列出不等式组，求解即可. 【详解】 令()()x f x g x e=()()2()()()2x x xf x f x e f x f xg x e e'-+-'=== ，即()2g x x c =+，(c 为常数) 则()(2)xf x x c e =+因为(0)1f =-，所以1c =-，即()(21)xf x x e =-()(21)x f x x e '=+1()02f x x '>⇒>- ，1()02f x x '<⇒<-()f x ∴在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 上单调递减，在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增令()(1)h x a x =-，由于()h x 过定点(1,0)，则函数()f x 和()h x 图像如下图所示要使得()()f x h x <的解集中恰有两个整数，则有253(2)(2)(1)(1)322af eh f h ae⎧-≥-⎪-≥-⎧⎪⎨⎨-<-⎩⎪-<⇒-⎪⎩ 解得：25332a e e≤<故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出()h x 过定点(1,0)，结合函数()f x 的图像，数形结合来分析问题，属于难题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则3z x y =+的最小值为___________. 【答案】5-【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可. 【详解】解：由实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………，作出可行域如图所示，联立2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得(2,1)A -，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点(2,1)A -时，目标函数取最小值，即当2,1x y =-=时，目标函数z 取最小值3(2)15⨯-+=-，故答案为：5-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 14．非零向量a 和b 满足2a b =，()a ab ⊥+，则a 与b 的夹角为___________. 【答案】23π【解析】先由向量的数量积运算可得2a b a ⋅=-，再利用向量的夹角公式cos a ba bθ⋅=，再将已知条件代入运算即可得解. 【详解】解：由非零向量a 和b 满足()a ab ⊥+，则()20a a b a a b ⋅+=+⋅=，即2a b a ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos aa b a b a bθ-⋅==，又 2a b =，则2cos aa bθ-==22122a a-=-，又[]0,θπ∈， 所以23πθ=， 故答案为：23π.【点睛】本题考查了向量的数量积公式及向量的夹角公式，重点考查了运算能力，属中档题. 15．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间173a π⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调函数，则实数a 的最大值为__________. 【答案】7312π【解析】利用函数sin y x =的单调性求解即可. 【详解】sin y x =的单调增区间为2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦当6k =时，sin y x =的单调增区间为12,1222ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦由于1735212,1233322πππππππ⎡⎤⨯+=∈-++⎢⎥⎣⎦则要使函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间173a π⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调函数 必须732123212a a ππππ+≤+⇒≤ 即实数a 的最大值为7312π故答案为：7312π【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性以及利用单调区间求参数的取值，关键是将正弦型函数化归为正弦函数来处理问题，属于中等题. 16．已知函数21()ln()22x x f x g x e -=+=，，若(0)m R n ∀∈∃∈+∞，，使得()()g m f n =成立则n m -的最小值是__________.【答案】2ln【解析】由()()g m f n =，求出m 的表达式，从而得到n m -的表达式，设2()x h x -=，利用导数得到其最小值，即可求出n m -的最小值. 【详解】由题意()()g m f n = ，即21ln 22m n e-=+ 所以12ln ln22n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以22112ln ln ln ln ln ln 2222n n n n n m n e --⎛⎫⎛⎫-=--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设2()2x h x -= ，则2211ln 22()1ln 22x x e x h x x -'⎛⎫+-⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭令()0h x '=，可得11ln022x x +-= 由当0x >时，可得11ln22x x+-递增 当02x <<时，()0h x '<，()h x 递减 当2x >时，()0,()h x h x '>递增即()h x 在2x =处取得极小值且为最小值(22)h =则n m -的最小值是2ln 故答案为：2ln 【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用以及对数和指数的运算，属于难题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，1,2,3n =（1）证明：113n n a a +--=，2,3n =；（2）求和：12233445212122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+【答案】（1）证明见解析（2）293322n n--【解析】（1）由递推式135,1,2,3n n a a n n ++=+=⋅⋅⋅，取n 为1n -，两式做差即可得证；（2）由（1）得{}2n a 为公差为3，首项为7的等差数列，再利用等差数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：（1）135,1,2,3n n a a n n ++=+=⋅⋅⋅①13(1)5,2,3,4n n a a n n -∴+=-+=⋅⋅⋅②①－②得113,2,3n n a a n +--==⋅⋅⋅ ， 即命题得证；（2）12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+-+-+-21343522121()()()n n n a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+- 2462(3)()n a a a a =-⨯+++⋅⋅⋅+由（1）得{}2n a 为公差为3的等差数列，又由11a =，128,a a +=解得27a =，12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+∴-+-+-2(1)933(3)(73)222n n n nn -=-⨯+⨯=--，故12233445212122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+293322n n=--. 【点睛】本题考查了利用数列递推式求解数列的性质，重点考查了等差数列前n 项和公式，属中档题.18．如图，在ABC △中，M 是边BC 的中点，cos BAM ∠=cos AMC ∠=.（1）求B Ð的大小；（2）若AM =ABC △的面积.【答案】（1）23π（2【解析】（1）由cos cos()B AMC BAM ∠=∠-∠，再结合两角差的余弦公式，将已知条件代入运算即可；（2）在ABM ∆中，由正弦定理，得sin sin AM BMB BAM=∠，求出BM ，再利用2ABC ABM S S ∆∆=求解即可.【详解】解：（1）由cos BAM BAM ∠=∠=由cos ,sin 77AMC AMC ∠=-∠=又AMC BAM B ∠=∠+∠cos cos()cos cos sin sin B AMC BAM AMC BAM AMC BAM∴∠=∠-∠=∠⋅∠+∠⋅∠=17147142-+=-因为(0,)B π∈ 故23B π=； （2）在ABM ∆中，由正弦定理，得sin sin AM BM B BAM =∠sin 1sin AM BAMBM B∠∴==∠ 因为M 是边BC 的中点，所以1MC =．故2sin 1ABC AMC S S AM MC AMC ∆∆==⋅⋅∠==故ABC △【点睛】本题考查了两角差的余弦公式及正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题. 19．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点（1）求证：PA 平面MDB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2） 【解析】(1) 连结AC ，交BD 于O ，利用中位线定理证明MO PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可；(2)建立空间直角坐标系，利用坐标求出平面P AB 和平面PBC 的法向量，即可求解. 【详解】 （1）连结AC ，交BD 于O ，连接MO ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点 又M 为PC 的中点，∴MO PA ∥，又MO ⊂面MDB ，PA ⊄面MDBPA ∴平面MDB（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD ∆为正三角形，E 为AD 的中点。

2020届湖北省四地七校考试联盟上学期第一次联考高三数学（理）试题本试题卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将答题卡上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.1．已知复数z 满足264z z i +=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设集合{}2430A x x x =-+≤，集合201x B x x ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则R A B =U ðA ．[]1,3- B ．[]1,2C ．(]1,3- D.[)(,1)1,-∞-+∞U3．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且484a a +=，则11S 的值为A ．44B ．22C ．18D ．12 4．函数x x x f 2log )(+=π的零点所在区间为A．1142⎡⎤,⎢⎥⎣⎦B．1184⎡⎤,⎢⎥⎣⎦C．18⎡⎤,⎢⎥⎣⎦D．112⎡⎤,⎢⎥⎣⎦5．下列选项中，说法正确的是A．命题“x R∃∈，200x x-≤”的否定为“x R∃∈，20x x->”B．命题“在ABC∆中，30A>o，则1sin2A>”的逆否命题为真命题C．若非零向量ar、br满足a b a b+=-r r r r，则ar与br共线D．设{}n a是公比为q的等比数列，则“1q>”是“{}n a为递增数列”的充分必要条件6．设函数3(1)()3(1)xx b xf xx-<⎧=⎨≥⎩，若1(())92f f=，则实数b的值为A．32- B．98- C．34- D．12-7．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P-，函数()sin()(0)f x xωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4fπ=A．35- B．35C．45- D．458．若点(,,)P x y的坐标满足1ln1xy=-，则点P的轨迹图像大致是9．如图，在直角梯形ABCD中，22AB AD DC==，E为BC边上一点，3BC EC=u u u r u u u r，F为AE的中点，则BF=u u u rA．1233AB AD-u u u r u u u rB．2133AB AD-u u u r u u u rC．1233AB AD-+u u u r u u u rD．2133AB AD-+u u u r u u u rD CEF第9题图10．已知函数32()2(1)2f x x x f '=++，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为α，则23sin ()sin()cos()22πππααα+-+-的值为A ．917B ．2017C ．316D ．211911．已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，过点P 作直线l 分别交AB 、AC 于M 、N ，若AM mAB =u u u u r u u u r ，(0,0)AN nAC m n =>>u u u r u u u r，则m n +的最小值为A ．43 B ．53C ．2D ．312．已知函数2()2cos x f x x x π=-+，设12,(0,)x x π∈，12x x ≠且12()()f x f x =，若1x 、0x 、2x 成等差数列，则A ．0()0f x '>B ．0()0f x '=C ．0()0f x '<D ．0()f x '的符号不确定第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r，若//a b r r ，则23a b +=r r __________．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时, ()2xf x =,则4(log 9)f 的值为__________．15．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直。