3列方程解应用题(教师版)

第七讲列方程解应用题（一）在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。

它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题目里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。

但是，两种解答方法的解题思路却不同。

由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。

用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。

特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。

1.基本概念：（1）像4x+2=9这样的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元一次方程；（2）像2x+y=8这样的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解.2.列方程解应用题的一般步骤是：①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系；②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：直接设未知数（问什么设什么），间接设未知数；③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；④解方程；⑤将结果代入原题检验。

概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”.列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。

寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不变量”找等量关系。

1.理解一元一次方程、二元一次方程（组）及确定方程解的概念，会解一元一次方程、二元一次方程组；2.能根据题意列方程解答问题。

例1：解下列方程：（1）357x x +=+（2）452x x -=- （3）12(3)7x x +-=+ （4）132(23)5(2)x x --=--（5）5118()2352x x ⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦ （6）1123x x +-= （7）527x y x y +=⎧⎨+=⎩（8）2311329x y x y +=⎧⎨+=⎩分析：（1）移项得：375x x -=-，注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：22x =，等式两边同时除以2可得1x =，把1x =代入原式，满足等式。

五年级下册数学教案3.1 列方程解应用题（三）（相遇问题）▏沪教版教案：五年级下册数学教案3.1 列方程解应用题（三）（相遇问题）▏沪教版我作为一名经验丰富的教师，今天我要为大家分享的是五年级下册数学教案3.1，主要内容是列方程解应用题（三）（相遇问题）。

一、教学内容我们今天使用的教材是沪教版五年级下册的数学课本，主要涉及第三章节第一节的内容，即相遇问题。

相遇问题是解决两个或多个物体在同一时间从不同地点出发，最终在某一点相遇的问题。

二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生们能够掌握相遇问题的基本概念，学会使用方程来解决相遇问题，提高他们解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点本节课的重点是让学生掌握相遇问题的解题方法，难点是让学生能够自己发现并运用方程来解决问题。

四、教具与学具准备为了帮助学生们更好地理解相遇问题，我准备了PPT、黑板、粉笔等教具，同时要求学生们准备好纸和笔，以便于他们随堂练习。

五、教学过程1. 实践情景引入：我会在课堂上创设一个实践情景，比如两个同学从学校的东西两端同时出发，相向而行，最终在学校门口相遇。

我会提问学生们，他们需要多长时间才能相遇？2. 例题讲解：我会选取一些典型的相遇问题题目，向学生们展示如何使用方程来解决问题。

我会 stepstep 地讲解，确保学生们能够理解并掌握解题方法。

3. 随堂练习：在讲解完例题后，我会给出一些类似的题目，让学生们在课堂上独立解决。

我会及时给予他们反馈和指导。

4. 小组讨论：我会让学生们分成小组，共同讨论一些复杂的相遇问题，鼓励他们互相交流和合作，共同解决问题。

六、板书设计我会在黑板上设计一些简洁明了的板书，列出相遇问题的解题步骤和关键公式，方便学生们随时查阅和复习。

七、作业设计为了让学生们在课后继续巩固今天所学的内容，我会布置一些相关的作业题目。

其中包括一些典型的相遇问题题目，要求学生们使用方程来解决。

八、课后反思及拓展延伸在课后，我会对今天的学习进行反思，看看学生们对相遇问题的掌握情况，并根据他们的反馈进行调整。

1．综合复习小学所学的多种类型的应用题解法；2．训练列方程解应用题的熟练程度，提高速度和准确度．（此环节设计时间在10－15分钟）在解决和差倍问题时，要注意找到“1倍量”，一般将其设为x后，根据总数的和或差的关系列出方程。

回顾上次课的预习思考内容写出下列应用题中的等量关系：(1) 故宫的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。

天安门广场的面积多少万平方米？___________________＝____________________________________________。

(2) 妈妈今年的年龄儿子的3倍，妈妈比儿子大24岁。

儿子和妈妈今年分别是多少岁？____________＝____________________；____________＝____________________。

(3) 甲、乙两人原来存款数相同。

后来甲取出250元，而乙又存入350元，这时乙的存款数正好是甲存款数的4倍。

原来每人存款多少元？（此环节设计时间在50－60分钟）例题1：有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人．如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？教法说明：先让学生找出本题中的等量关系，再根据等量关系设未知数。

参考答案：设甲校有x人，则乙校有（x－5）人，丙校（x－7）人，x－5＋x－7＝40x＝26乙：x－5＝21（人），丙：x－7＝19（人）答：甲、乙、丙三所小学的分别有26、21、19人参加比赛。

试一试：甲、乙、丙三个人每人都有一些弹珠，其中甲的弹珠比乙多3颗，乙的弹珠比丙多9颗，如果甲、丙两人共有100颗弹珠，那么三人各有多少颗弹珠？参考答案：56、53、44试一试：一群黄鼠狼给鸡拜年，黄鼠狼和鸡一共有24只，鸡的总腿数比黄鼠狼的总腿数多18条，求黄鼠狼和鸡各有几只？参考答案：5只、19只此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。

第一讲列方程解应用题——典型题（教师版）★1、一辆公共汽车上有乘客43人，在同志街站有7人下车，又上来一些人，这时车上有乘客52人，在同志街站上车多少人？解：设在同志街站上车x人43－7＋x=52x=52－43＋7x=16答：在同志站上车16人。

1、小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17 张，问两种邮票各买多少张？答：二角8张，1角9张。

3、、某商店原有一些橘子，又购进120千克，卖出430千克后，还剩70千克。

商店原有橘子多少千克？解：设商店原有橘子x千克x+120-430=70x=70+430-120x=380答：商店有橘子380千克。

4、商店运来桃和梨两种水果，运来桃的重量是梨的3倍。

已知桃比梨多78千克，运来桃和梨一共多少千克？解：设运来梨x千克，则桃3x千克3x-x=782x=78x=393x=39×3=11739+117=156（棵）答：运来桃和梨一共156棵。

5、小刚和小华两人集邮，小刚的邮票数是小华的3倍，如果把小刚的邮票给小华45枚，那么两人邮票枚数相等。

求小刚和小华各有多少枚邮票？解：设小华有邮票x枚，则小刚有3 x枚3x-45=x+452x=90x=4545×3=135（枚）答：小华有邮票45枚，小刚有邮票135枚。

6、父亲今年的年龄是儿子年龄的4倍，8年后父子年龄的和是61，父亲和儿子今年各是多少岁？解:设儿子今年x岁,则父亲今年4 X岁（x+8）+（4x+8）=615x=61-16x=94x=4×9=36答:儿子今年9岁,父亲今年36岁.★★7、机器制造厂原来做一个零件用钢材2.2千克，为了增加它的耐久性，现在每个零件多用钢材0.3千克。

原来做600个零件的钢材现在可以做多少个？解:设原来做600个零件的钢材现在可以做X个（2.2+0.3）x=2.2×6002.5x=1320x=528答:原来做600个零件的钢材现在可以做528个.8、一车间加工一批零件，每人加工5个，还剩3个零件，如果其中2人各加工4个，其余人各加工6个，恰好完工，这批零件有多少个？解:设共有x人5x+3=4×2+（x-2）×65x+3=8+6x-12x=75x+3=5×7+3=38答:这批零件有38个.9、有三堆煤，甲堆比乙堆的3倍多30千克，丙堆比乙堆少15千克，三堆煤共240千克。

【例1】一种药品经过两次降价后，每盒的价格从原来的60元降到现在的48.6元，设平均每次的降低率是x 元，则可以列方程：_____________，降低率是________． 【难度】★【答案】()260148.6x -=，10%．【解析】设平均每次的降低率为x ，依题意可得：()260148.6x -=，解得：10.1x =，2 1.9x =（舍），即得降低率是10%．【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例2】某公司2014年各项经营收入中，经营电脑配件收入为500万元，占全部经营总收入的13，该公司预计2016年经营总收入达到2160万元，求从2014年到2016年每年经营总收入的平均年增长率． 【难度】★★【答案】()2150012160x +=，20%．【解析】设从2014年到2016年每年经营总收入的平均年增长率为x ，依题意可得： ()2150012160x +=，解得：10.2x =，2 2.2x =-（舍），即得平均增长率是20%． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例3】一辆汽车，新车的购买价是20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后的价值是 11.56万元，求这辆车第二、三年的折旧率． 【难度】★★ 【答案】15%．【解析】设这辆车第二、三年的折旧率为x ，依题意可得：()()220120%111.56x --=， 解得：10.15x =，2 1.85x =（舍），即得这辆车第二、三年的折旧率是15%． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例4】某工厂甲、乙两个车间在6月份共生产231台仪器，每个车间都比上月增产，且增产的百分率相同，已知甲车间上个月月产量不少于100台，6月份比上个月增产5台，乙车间上月生产120台．问：甲车间上月生产多少台?6月份每个车间增产的百分率是多少?例题解析【难度】★★【答案】甲车间上月生产100台，增产百分率是5%【解析】设甲车间上月生产x 台，则6月份生产()5x +台，依题意可得：551201231x x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，整理得21066000x x -+=，解得：1100x =，26x =（舍），即得甲车间上月生产100台，每个车间增产百分率为5100%5%100⨯=． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例5】某农户种植花生，原来种植的亩产量为200千克，出油率为50%，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的12，求新产品花生亩产量的增长率? 【难度】★★ 【答案】20%．【解析】设新产品花生亩产量的增长率x ，则出油率增长率为12x ，依题意可得：()1200150%11322x x ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭，整理得22575160x x +-=，解得：10.2x =，2 3.2x =-（舍），即得新产品花生亩产量增长率是20%． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例6】某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为2:3，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量． 【难度】★★★【答案】甲产品每月产量增长率是25%，乙产品1月份的产量为20件．【解析】设甲种产品每月的增长率为x ，则甲2月份的产量为()161x +，3月份的产量为()2161x +，则乙3月份产量为()265161x -+，2月份的产量为()26516110x -+-，依题意可得：()()2161:65161102:3x x ⎡⎤+-+-=⎣⎦，整理得21656150x x +-=，解得：10.25x =，2 3.75x =-（舍），即得甲产品每月产量增长率是25%， 乙产品1月份的产量为()26516125%101020-⨯+--=件． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用，注意各个月份产量的表示．【例7】（1）一项工程甲单独做需要a 天完成，乙单独做需要b 天完成，则甲乙合作需要_____天完成；（2）甲、乙两个工程队合作修筑一条通道，已知甲工程队比乙工程队每天多修5米，甲工程队修筑80米所用的时间与乙工程队修筑70米所用的时间相同，那么甲工程队每天修________米，如果设甲工程队每天修x 米，则可列出方程__________． 【难度】★ 【答案】（1）ab a b +；（2）40，80705x x =-． 【解析】（1）设工程量为1，则甲的工作效率为1a ，乙的工作效率为1b， 合作完成需要的天数为111aba ba b=++； （2）依题意可得80705x x =-，解得：40x =，经检验40x =是原方程的解，且符合题意， 故甲工程队每天修40米．【总结】考查工程问题和相应工作效率的表示，注意分式方程解完要检验．【例8】某服装厂准备加工300套演出服，在加工了60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服． 【难度】★ 【答案】20【解析】设该厂原来每天加工x 套演出服，依题意可得：603006092x x-+=， 解得：20x =，经检验20x =是原方程的解，且符合题意， 即该厂原来每天加工20套演出服．【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．【例9】汛期到来之前，某施工队承接了一段长300米的河提加固任务，加固80米后，接到防汛指挥部的指示，要求加快施工速度，为此施工队在保证质量的前提下，每天多加工15米，这样一共用了6天完成了任务，问接到指示后，施工队每天加固河堤多少米． 【难度】★ 【答案】55．【解析】设指示后施工队每天加固河堤x 米，则指示前每天加工()15x -米，依题意可得：8030080615x x-+=-，解得：55x =， 经检验55x =是原方程的解，且符合题意，故接到指示后施工队每天加固河堤55米． 【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．【例10】有一项工程，甲单独做比甲、乙合作的天数多5天，如果甲、乙先合作4天，再由乙单独做3天，才能完成全部工作的一半，问甲、乙单独完成此项工程各需要多少天． 【难度】★★【答案】甲单独完成需要15天，乙单独完成需要30天．【解析】设甲单独完成需要x 天，则甲乙合作完成需要()5x -天，乙单独完成需要2151155x x x x -=--天，依题意可得215143552x x x ⋅+⋅=--，整理得213300x x -+=，解得：115x =，22x =-（舍），经检验均是原方程的解，但22x =-不符合题意，舍去，即甲单独完成需要15天，乙单独完成需要215515305-⨯=天． 【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．【例11】某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天? 【难度】★★★【答案】甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天． 【解析】设甲原来需要x 天，则乙原来需要()1x +天，依题意可得：12120%2x x +-=+，解得：7.5x =，即甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天． 【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式．【例12】已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a 倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b 倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍． 【难度】★★★【答案】21a b ab ++-．【解析】设甲、乙、丙需要的工作时间分别为x ，y ，z ，依题意可得111x a y z=⋅+，111y b x z=⋅+，分别整理可得()111a x ab z +=-，()111b y ab z+=-， 相加得()1121a b x y ab z+++=-，由此得2111a b z ab x y ⎛⎫++=+ ⎪-⎝⎭．【总结】考查工程问题的应用，注意找准字母之间的关系．【例13】一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满? 【难度】★★★【答案】单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．【解析】设甲需要xh ，则乙需要()10x h +，依题意可得10116110x x x ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，整理得2121600x x --=，解得：120x =，28x =-， 经检验均是原方程的解，但28x =-不符合题意，舍去，故单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池． 【总结】考查工程问题的应用，合作加独做合为单位“1”，注意分式方程要检验．．【例14】某各个体户以2元/kg 的价格购进一种食品，以3元/kg 的价格出售，每天可售出200kg ，为促销，该个体户决定降价销售，经调查，这种食品每降价0.1元/kg ，每天可多售出40kg ，另外每天房租等固定成本24元，此人想每天盈利200元，应将售价降低为多少元/kg ? 【难度】★★【答案】应将售价降低为2.7元/千克．【解析】设应将售价降低为x 元/kg ，依题意可得：()3220040242000.1x x -⎛⎫-+⋅-= ⎪⎝⎭， 整理得2502753780x x -+=，即()()51410270x x --=，解得：1 2.7x =，2 2.8x =， 因为是促销，即应将售价每千克应降低为2.7元． 【总结】考查利润问题的应用，总利润=单个利润×总销量．【例15】甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料? 【难度】★★【答案】甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料． 【解析】设甲店进货x 箱饮料，则乙店进货()25x -箱饮料，依题意可得100010003501025x x+-=-，整理得226025000x x -+=， 解得：110x =，2250x =，经检验均是原方程的解，但2250x =不符合题意，舍去， 故甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料． 【总结】考查销售问题，注意对题意的准确理解．【例16】某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低 0.5元/千克．（1） 求甲乙两种水果各购进了多少千克?（2） 购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出35，剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，赚多少?如果不赚钱，那么赔了多少?【难度】★★★【答案】（1）甲种水果购进40千克，乙种水果购进50千克；（2）赚了29.6元【解析】（1）设购进甲种水果x 千克，乙种水果x +10千克，由题意得1001000.510x x -=+，解得：x =40，经检验x =40是原方程的解，且符合题意，故购进甲种水果是40千克，乙种水果是40+10=50千克；（2）利润为：3250(2.82)40(2.8 2.5)40(1.4 2.5)29.6055⨯-+⨯-+⨯-=>，故赚了29.6元．【总结】本题主要考察了利润问题，找出题目中的等量关系再列方程．【例17】某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是80元和120元；（1）求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套?（2）在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱?【难度】★★★【答案】（1）甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案三．【解析】（1）设甲小组每天修理x套旧桌椅，则乙小组每天修理()8x+套旧桌椅，依题意可得960960208x x-=+，整理得283840x x+-=，解得：116x=，224x=-，经检验均是原方程的解，但224x=-不符合题意，舍去，即得甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案一需要的费用为(8010)960165400+⨯÷=元；方案二需要的费用为(12010)960245200+⨯÷=元；方案三需要的费用为(8012010)960(1624)5040++⨯÷+=元，可知方案三更省钱．【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程要检验．【例18】小王从甲地到乙地需要m分钟，若小李同时从乙地到甲地，则两人经过n分钟相遇，则小李从乙地到甲地需要_________分钟（用含m、n的代数式表示）．【难度】★★【答案】mnm n-．【解析】小李需要的分钟数为111mnm nn m=--．【总结】考查行程问题的应用，注意平均速度的求解．【例19】甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走多少米?【难度】★★【答案】甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．【解析】设甲每小时走x 千米，则乙每小时走()1x -千米，依题意可得：1515112x x -=-， 整理得2300x x --=，解得：16x =，25x =-（舍）， 经检验均是原方程的解，但25x =-不符合题意，故舍去， 所以甲每小时走6千米，乙每小时走5千米． 【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验．．【例20】已知A 、B 两地相距125km ，甲乙两人同时A 、B 两地出发，相向而行，每走10km 甲比乙快36分钟，经5小时两人相遇，求甲乙两人的速度． 【难度】★★ 【答案】甲的速度为50/3km h ，乙的速度为25/3km h ． 【解析】设甲的速度为/xkm h ，依题意可得1051251035x x +=+（），整理得232512500x x +-=， 解得：1503x =，225x =-，经检验均是原方程的解，但225x =-不符合题意，故舍去， 所以甲的速度为50/3km h ，乙的速度为1255025/533km h -=． 【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验．【例21】甲、乙两人分别从相距27千米的A 、B 两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B 地比乙到达A 地少用1小时21分钟，求两人的速度． 【难度】★★★【答案】甲的速度为5/km h ，乙的速度为4/km h ． 【解析】设甲的速度为/xkm h ，乙的速度为/ykm h ．依题意可得()32727272720x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：54x y =⎧⎨=⎩，经检验54x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，且符合题意，故甲的速度为5/km h ，乙的速度为4/km h ．【总结】考查行程问题的应用，，注意分式方程组要检验．．【例22】函数y =2x 图像上一点P 到点A （5，0）的距离是5，求点P 的坐标． 【难度】★【答案】()124P ，，()200P ，． 【解析】设()2P x x ，，依题意可得()()22525x x -+=，解得：12x =，20x =，经检验12x =，20x =均是原方程的解，故得()124P ，或()200P ，． 【总结】考查点坐标的求取，根据点所在的直线设点坐标，注意无理方程要验根．【例23】已知直角三角形的两条直角边的差是2cm ，它的面积是12cm 2，求这两条直角边的长． 【难度】★【答案】两直角边长分别为6cm 和4cm 、【解析】设较长一边为xcm ，则另一直角边为()2x cm -，依题意可得()12122x x -=，整理得22240x x --=，解得：16x =，24x =-（舍），即得一边长为6cm ，另一边长为624cm -=． 【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．【例24】将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度围成一个正方形，两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗?若能，求出两段铁丝的长度，若不能，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】不能．【解析】设一个正方形边长为xcm ，则另一个边长为()5x cm -，依题意可得()512x x -=， 方程无解，即不可能．【总结】考查面积问题的应用，一边作设，一边相应表示出来列方程求解即可．例题解析【例25】如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．【难度】★★【答案】离A处处【解析】设AE xkm=，则10BE x=-，6.4x=，经检验 6.4x=是原方程的解，故超市应建在离A处6.4km处．【总结】考查根据勾股定理确定相应长度表示进行求解．【例26】有一块长x米，宽120米（x>120）的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200米，求x的值．【难度】★★【答案】160或200．【解析】依题意可得()()1201201203200x x---=⎡⎤⎣⎦，整理得2360320000x x-+=，解得：1160x=，2200x=，即x的值为160或200．【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．【例27】有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度【难度】★★【答案】2m【解析】设边的长度为xm，依题意可得2802502352x x x+⋅-=，整理得2901760x x-+=，解得：12x=，288x=（舍），即得路宽为2m．【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．A BCDEAB甲乙丙【例28】等腰Rt △ABC 中，8 cm AB BC ==，动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 移动.通过点P引平行于BC 、AC 的直线与AC 、BC 分别交于点R 、Q ，问：AP 等于多少厘米时，平行四边形PQCR 的面积等于16cm 2． 【难度】★★ 【答案】4cm【解析】设AP xcm =，则8BP x =-，由题意可知APR ∆和PBQ ∆ 均为等腰直角三角形，依题意可得()816x x -=， 解得：124x x ==，即AP 长为4cm ． 【总结】考查动点问题的应用求解．【例29】m 、n 为两条互相垂直的笔直公路，工厂A 在公路n 上，距公路m 为1千米，B 与工厂A 在公路m 的同侧，且距公路m 为2千米，距公路n 为3千米．现要在公路m 上建造一个车站P ，使它与A 、B的距离之和为P【难度】★★★【答案】点P 在两道路交点上下方2km 或211km 处． 【解析】以公路n 、m 分别为x 、y 依题意得()10A ，，()123B ，或()23B -，，设()0P y ，整理得2112440y y -+=或2112440y y ++=， 解得：12y =，2211y =，32y =-，4211y =-，经检验均是原方程的解，但32y =-，4211y =-不符合题意，故舍去， 所以点P 在两道路交点上下方2km 或211km 处． 【总结】考查根据题目条件建立平面直角坐标系进行点坐标的确定进而确定相应位置．【例30】已知A （0，-1），B （0，4），点P 在坐标轴上，且P A +PB =P 的坐标． 【难度】★★★【答案】()120P ，，()220P -，，30P ⎛ ⎝⎭，40P ⎛ ⎝⎭． ABC QR【解析】当P 在x 轴上时，设()0P x ，= 解得：12x =，22x =-，即得()120P ，，()220P -，；当P 在y 轴上时，设()0P x ，，依题意可得41x x -++=解得：1x 2x =30P ⎛ ⎝⎭，40P ⎛ ⎝⎭． 【总结】考查根据题目条件进行相应作设求解，注意分类讨论．【例31】有一个非零数，它与4的和的正平方根再加上2后恰好等于它本身，求这个数． 【难度】★ 【答案】5【解析】设这个数为x ，2x =，解得：15x =，20x =（舍），即这个数是5． 【总结】考查数位问题根据题目条件作设求解．【例32】有一个两位数，如果个位上的数与十位上的数的和是5，并且个位上的数的平方比十位上的数大1，求这个两位数． 【难度】★ 【答案】32．【解析】设十位数为x ，则个位数为5x -，依题意可得()251x x --=，整理得211240x x -+=，解得：13x =，28x =（舍）， 则这个数个位上是2，这个数是32． 【总结】考查数位问题根据题目条件作设求解．【例33】某剧场有座位800个，每排的座位数一样多，在每排增加5个座位，并增加2排后就有座位1020个，问原来座位多少排?原每排多少个座位． 【难度】★★【答案】这个剧院有10排，每排有80个座位；或这个剧院有32排，每排有25个座位．【解析】设原来有x 排，则每排有800x 个座位，依题意可得()800251020x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭， 整理得2423200x x -+=，解得：110x =，232x =，经检验均是方程的解且符合题意．即这个剧院有10排，每排有8008010=个座位； 或这个剧院有32排，每排有8002532=个座位． 【总结】考查根据题目条件进行相应方程求解列式的应用，注意两种解都成立，另分式方程解完别忘记检验．【例34】植树节前，园林局把植数1600棵的任务交给了一个小队，小队被分成若干个组，计划每个组植树的棵树相同，但后来又4个组另有任务不能参加，所以其他组就要比原计划多植树20棵，每个小分队共分成了多少个组． 【难度】★★ 【答案】20【解析】设共分成了x 个小组，依题意可得16001600204x x-=-， 整理得243200x x --=，解得：120x =，216x =-（舍），即共分成了20个小组． 【总结】考查工程问题的应用，解完别忘记检验．【例35】学校甲、乙、丙三个摄影兴趣小组进行了一次摄影作品交流活动，活动时，每位同学向不同组的每个组员送一张摄影作品，这样互相交流的摄影作品共310张，已知甲组人数是丙组人数的2倍，乙组比甲组少3人，这三个摄影小组各有多少人? 【难度】★★【答案】甲组有10人，乙组有7人，丙组有5人．【解析】设丙组有x 人，则甲组有2x 人，乙组有()23x -人，依题意可得()()()()223232232310x x x x x x x x x +-+-++-+=，整理得2891550x x --=，即()()58310x x -+=，解得：15x =，2318x =-（舍）， 即丙组有5人，甲组有10人，乙组有7人． 【总结】考查握手问题的应用．【例36】小强放学回家后，向爸爸、妈妈询问火箭队与雄鹿队的当天的篮球比赛的结果，妈妈说：“本场比赛火箭队的姚明比雄鹿的易建联多得了12分”．爸爸说：“如果把姚明的分数乘以易建联的得分再加上36分，恰好等于他们两人的得分之和的15倍，并且，如果姚明的得分不超过30分，则雄鹿队胜，否则，火箭队胜”，请你帮小强算一下，这场比赛，究竟是哪个队胜了?姚明和易建联各得了多少分? 【难度】★★【答案】姚明得分为36分，易建联得分为24分，火箭队获胜． 【解析】设姚明得分为x 分，则易建联得分为()12x -分，依题意可得()()12361512x x x x -+=+-，整理得242+2160x x -=， 解得：136x =，26x =（舍），即姚明得分为36分，则易建联得分为24分，可知火箭队获胜． 【总结】考查根据题意列方程进行方程的求解．【习题1】 某公司1996年出口创收135万元，1997年、1998年每年都比上一年增加a %，那么1998年这个公司出口创收_________元． 【难度】★【答案】()21351%a +．【解析】考查增长率问题的应用．【习题2】 甲、乙两个工程队合修一条路要6天完成，如果各队单独修路，则甲队比乙队少用5天，设甲、乙两队单独修路所需天数分别为x 天和y 天，则可列方程组为（ ）A ．65x y x y +=⎧⎨=-⎩B ．65x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．11165x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩D ．11165x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩【难度】★随堂检测【答案】C【解析】考查工程问题的应用．【习题3】 已知点A （12，2），B （3，-1），在x 轴上找一点P ，使P A =2PB ． 【难度】★【答案】()160P ，，()260P -，【解析】设()0P x ，=，整理得236x =，解得：16x =，26x =-，即得()160P ，或()260P -，． 【总结】考查满足一定条件的点坐标求取的应用．【习题4】 甲、乙两组工人合做某项工作，10天以后，因甲组另有任务，乙组再单独做2天才完成，如果单独完成这项工作，甲组比乙组可以快4天，求各组单独完成这项工作所需要的天数． 【难度】★★【答案】甲单独做需要20天，则乙单独做需要24天． 【解析】设甲单独做需要x 天，则乙单独做需要()4x +天，依题意可得111102144x x x ⎛⎫++⋅= ⎪++⎝⎭，整理得218400x x --=， 解得：120x =，22x =-，经检验均是原方程的解，但22x =-不符合题意，故舍去． 即甲单独做需要20天，则乙单独做需要20424+=天． 【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程解完要检验．【习题5】 有一面积为150平方米的长方形饲养场，饲养场一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米，求饲养场的长和宽． 【难度】★★【答案】饲养场长为15m ，宽为10m ．【解析】设饲养场长为xm ，依题意可得351502xx -⋅=，整理得2353000x x -+=，解得：115x =，220x =（舍），即饲养场长为15m ，宽为10m ． 【总结】考查面积问题的应用．【习题6】 修建360米长的一段高速公路,甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米.甲工程队每天修建的费用为2万元,乙工程队每天修建的费用为3.2万元.（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；（2）为在35天内完成修建任务应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少?并说明理由 【难度】★★【答案】（1）甲每天修12m ，则乙每天修18m ；（2）甲． 【解析】（1）设甲每天修xm ，则乙每天修()6x m +，依题意可得360360106x x -=+，整理得262160x x +-=， 解得：112x =，218x =-（舍）， 即甲每天修12m ，则乙每天修18m ；（2）甲需要30天，乙需要20天，所以在35天内都可以完成．甲所需的费用为30260⨯=万元，乙所需的费用为20 3.264⨯=万元，6064<，所以选择甲． 【总结】考查工程问题的应用．【习题7】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【难度】★★ 【答案】8【解析】设应邀请需要x 个队参赛， 依题意可得()1472x x -=⨯，整理得2560x x --=，解得：18x =，27x =-（舍）， 即应邀请6个队参赛．【总结】考查比赛问题，注意赛制是单循环还是双循环．【习题8】 初二（1）班班委会主动为班级上一位生病住院的同学筹集部分医药费，计划筹集600元，由全体班委同学分担，后来又6位同学知道消息后也自愿参加了捐助和班委同学一起分担，因此每个班委的同学比原来少分担了50元，问：该班委有几个人?按照原计划每个班委平均分摊多少元． 【难度】★★【答案】班委有6个人，原计划每个班委分摊100元【解析】设班委有x 个人，依题意可得600600506x x -=+，整理得26720x x +-=，解得：16x =，212x =-，经检验均是原方程的解，但212x =-不符合题意，故舍去． 即班委有6个人，原计划每个班委分摊6001006=元． 【总结】考查列方程解应用题的应用，注意分式方程解完要检验．【习题9】 制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价是625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月将比第一个月提高6%，为了使两个月后的原销售利润不变，该产品的成本价平均每月应降低多少? 【难度】★★ 【答案】10%【解析】设成本价平均每月降低x ，依题意可得：()()()2625120%16%5001625500x -+--=-， 解得：10.1x =，2 1.9x =（舍），即成本价平均每月降低10%． 【总结】考查利润问题的应用，根据题目条件找到等量关系．【习题10】 一汽艇用一定速度驶完一段路程，若汽艇每小时少走8千米，则走完全程要多用4小时，若汽艇每小时多走8千米，则走完全程可少用2小时，试求这段路的长度以及汽艇原来的速度． 【难度】★★【答案】这段路长192km ，汽艇原来速度为24/km h ． 【解析】设这段路长为xkm ，汽艇原来的速度为/ykm h ，依题意可得4828x x y y x x y y ⎧-=⎪-⎪⎨⎪-=⎪+⎩，即得()()84828x y y y y =-=+，解得：12121920240x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 经检验220x y =⎧⎨=⎩不是原方程组的解，故舍去，即这段路长192km ，汽艇原来速度为24/km h ．【总结】考查行程问题的应用，注意这是一个分式方程组，解完后要检验．【习题11】 有两块正方形的木板，其中大块的面积比小块的面积大45平方分米，已知小木块的边长比大木块的边长短3分米，求这两块木板的面积分别是多少． 【难度】★★【答案】大块木板面积为281dm ，小块木板的面积为236dm ． 【解析】设小块木板的边长为xdm ，则大块木板的边长为()3x dm +，依题意可得()22345x x +-=，解得：6x =，即得大块木板面积为()226381dm +=，小块木板的面积为22636dm =． 【总结】考查面积问题的应用．【习题12】 坐标轴上有B 、C 两动点．B 从P (4，0)点以1B v =的速度沿x 轴负方向运动，同时C 点从y 轴某处以2C v =的速度直线运动．问两点能否在OP 的中点A 处相遇，若能，求C 点的起始坐标；若不能，说明原因． 【难度】★★★【答案】(10C，(20C -，．【解析】依题意可得运动时间2t =，则有224BC =⨯=，此时2OA =，设()0C y ，，4=，解得：y =±(10C或(20C -，． 【总结】考查简单的图形运动问题的结合应用．。

1、 熟练掌握不定方程的解题技巧2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、 学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11132001x y +=，要让x取最小值，y 取最大值．知识精讲教学目标列不定方程解应用题可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可见12213x +是整数，满足这一条件的x 最小为7，且当7x =时，148y =． 则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12．6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【答案】甲比乙搬得多，多24块【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设5角和8角的邮票分别有x 张和y 张，那么就有等量关系：5847x y +=．尝试y 的取值，当y 取4时，x 能取得整数3，当y 再增大，取大于等于6的数时，x 没有自然数解．所以8角的邮票需要4张．【答案】8角的邮票需要4张【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】北大附中，资优博雅杯【解析】 若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。

列方程解应用题（三）1、校园里的杨树和柳树共有36棵，杨树的棵树是柳树的2倍。

杨树和柳树各有多少棵？2、校园里的杨树比柳树多36棵，杨树的棵树是柳树的2倍。

杨树和柳树各有多少棵？3、城南小学四、五年级共有学生330人，四年级学生的人数是五年级1.2倍。

两个年级各有多少人？4、中心小学田径队有队员66人，其中男队员是女队员的1.2倍，男、女队员各有多少人？5、果园里苹果树比梨树多90棵，苹果树的棵数是梨树的3倍。

苹果树和梨树各有多少棵？6、小青妈妈的年龄是小青年龄的4倍。

小青比妈妈小27岁。

她们俩人的年龄各是多少岁？7、一条长54cm长的铁丝围成一个长方形，长是宽的2倍，围成的长方形的长和宽各是多少？面积是多少？8、两桶油共重102千克，甲桶油的重量是乙桶油的2.4倍．两桶油各重多少千克？9、友谊小学二年级人数是一年级的1.5倍，二年级比一年级多30人，一、二年级各有多少人？10、两个连续的自然数的和是107，这两个自然数分别是多少？列方程解应用题（二）1、妈妈买了5千克苹果和8千克梨，一共用了27元．每千克苹果1.4元，每千克梨多少元？2、学校操场是一个长方形，它的周长是360米，长是60米，宽是多少米？3、买3张桌子和4把椅子一共用了308元．每把椅子32元，每张桌子多少元？4、装厂有240米花布．做了一批连衣裙，每件用布2.5米，还剩65米．这批连衣裙有多少件？5、买3枝钢笔比买5枝圆珠笔要多花0.9元．每枝圆珠笔的价钱是2.6元，每枝钢笔的价钱是多少钱？6、甲乙两艘轮船同时从一个码头向相反方向开出，航行了4小时，两船相距118千米。

甲船每小时行18千米，乙船每小时行多少千米？7、天津到济南的铁路长357千米。

一列快车从天津开出，同时有一列慢车从济南开出，两车相向而行，经过3小时相遇。

快车平均每小时行79千米，慢车平均每小时行多少千米？8、师傅和徒弟共同加工480个零件，用5小时完成任务，师傅每小时加工25个，徒弟每小时加工多少个？9、一座大楼高28.4米，上面8层是住宅一楼是商店，层高4米。

知识要点 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值。

这个含有未知数的等式就是方程。

列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。

解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。

列方程解应用题的主要步骤是：1. 仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；2. 设这个量为x ，用含x 的代数式来表示题目中的其他量；3. 找到题目中的等量关系，建立方程；4. 运用加减法、乘法的互逆关系解方程；5. 通过求到的关键量求得题目答案；6. 检验答案。

前置知识：解方程以及方程组1. 等式的基本性质1）等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式.2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式.* 含有未知数的等式叫做方程。

只含一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化成ax b =（0a ≠且a 、b 为已知数）的形式2.解一元一次方程的基本步骤1）去括号，将等式两边都化成最简式；2）移项，我们习惯将含有未知数的项都移到等号的左边，常数量移到右边；3）将未知数系数化为1，即等式左右两边同时除以未知数的系数，求出未知数的取值。

3.同时满足组成方程组的所有方程的未知数的解就是方程组的解。

列方程解应用题直接设未知数1.长方形周长是64厘米，长比宽多3厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？【解析】 解：设长方形的宽是x 厘米，则长方形的长3x +（）厘米 [3]266366233323015x x x x x x x x ++⨯=++=÷++===（）（） 15318+=（厘米）答：长方形的长18厘米，长方形的宽是15厘米．2.(全国小学数学奥林匹克)一个半圆形区域的周长等于它的面积，这个半圆的半径是．(精确到0.01，π 3.14=)【解析】 设半圆的半径为r ，则21π2π2r r r =+， 即 π2π2r =+， 所以，半圆的半径42 3.27πr =+≈．3.用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？【解析】 设这个足球上共有x 块白色皮块，则共有3x 条边是黑白皮块共有的．另一方面，黑色皮块有32x -（）块，共有532x -（）条边是黑白皮块共有的（如图）．由于在这个足球上黑白皮块共有的边是个定值，列得方程：3532x x =-（），解得20x =．即这个足球上共有20块白色皮块．4.(2003年全国小学数学奥林匹克)某八位数形如2abcdefg ，它与3的乘积形如4abcdefg ，则七位数abcdefg 应是 ．【解析】 设x abcdefg =，则(20000000)3104x x +⨯=+，759999996x =，8571428x =，即七位数应是85714285.有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是 ．【解析】 设五位数是x ，那么第一个六位数是107x +，第二个六位数是700000x +．依题意列方程7000005107x x +=+（），解得14285x =．6.有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数.【解析】 设最小的那个数为x ，那么中间的数和最大的数分别为1x +和2x +．则2(1)3(2)68x x x ++++=6868x +=660x =10x =．所以这三个连续整数依次为10、11、12．7.兄弟二人共养鸭550只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？【解析】 解：设兄原来养鸭x 只，则弟原来养鸭550x -（）只． 255070248023960320x x x x x x x x -÷=---=-⨯==（）（） 550320330-=（只）．8.某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？【解析】 如果从第一组调x 人到第二组去，那么第一组还有(26)x -人，第二组有(22)x +人，现在第一组人数是第二组的一半，根据这个等量关系可以列出方程．设应从第一组调x 人到第二组去，由题意得： 126(22)2x x -=+⨯ 两边同乘以2得：52222x x -=+25222x x +=-10x =9.寒暑表上通常有两个刻度，摄氏度(记为℃)和华氏度(记为F 。

列方程解应用题一、1.甲乙两个仓库各存放一批粮食，甲仓存粮是乙仓的3倍，从甲仓运走850袋，从乙仓运走150袋后，两仓粮食相等，两仓原存粮各多少袋？解：设乙仓原存粮x袋．列出方程错误的是（）A. 3x-x=850-150B. 3x-850=x-150C. 3x+150=x+850D. 3x+850=x+1502.一架飞机每小时飞行1350千米，比火车的速度的19倍还多172千米．求火车的速度．解：设火车每小时行x千米列出方程正确的是（）A. 19x-172=1350B. 19x=1350+172C. 19x+172=1350D. 19(x+172)=13503.用汽车往工地运土，计划每天运150车，20天运完，实际只用了15天，实际每天运土多少车？解：设实际每天运土x车．列出方程正确的是（）A. 15x=150×20B. 20x=150×15C. 150x=20×15D. x·(20-15)=1504.铺设一条长6000米的铁轨，计划每天铺250米，铺设16天后，要求余下的在5天之内完成，平均每天铺多少米？解：设平均每天铺x米列出方程正确的是（）A. 5x=6000-250×16B. 5x+250=6000C. 6000+5x=250×16D. (5x+250)×16=60005.从甲城到乙城，汽车每小时行32千米，4.5小时可以到达．如果骑自行车从甲城到乙城，要比汽车多用3.5小时．骑自行车每小时行多少千米．解：设骑自行车每小时行x千米．列出方程正确的是（）A. 3.5x=32×4.5B. 3.5x=32×(4.5-3.5)C. (4.5-3.5)x=32×4.5D. (3.5+4.5)x=32×4.56.小明在少儿银行存款50元，小刚存88元，以后每月小明存5元，小刚存12元，几个月后小刚存款是小明存款的2倍？解：设x个月后小刚存款是小明存款的2倍列出方程错误的是（）A. (50+5x)×2=88+12xB. 50+5x=(88+12x)÷2C. (12-5×2)x=100-88D. 50+5x×2=88+12x7.学校买来文艺书的本数是科技书的4倍，文艺书比科技书多234本．两科书各买了多少本？解：设买科技书x本列出方程正确的是（）A. 4x=234B. 5x=234C. 3x=234D. 2x=2348.甲水槽有水69千克，乙水槽有水15千克，现在甲水槽向外放水，每分钟放2千克．多少分钟后甲、乙两个水槽的水相等？解：设x分钟后甲、乙两个水槽的水相等列出方程错误的是（）A. 2x+15=69B. 2x=69-15C. 2x=69+15D. 69-2x=159.4千克苹果比5千克桔子贵2.1元，苹果每千克2.4元，桔子每千克多少元？解：设桔子每千克x元．列出方程正确的是（）A. 2.4×2.1=5xB. 2.4×4-5x=2.1C. 5x-2.1=2.4×4D. 5x-2.4×4=2. 110.畜牧场养羊的头数是牛的4倍，羊和牛一共有175头．养羊和牛各有多少头？解：设养牛x头列出方程正确的是（）A. 5x=175B. 4x=175C. 3x=175D. 2x=175答案解析部分一、列方程解应用题73871.【答案】D【考点】列方程解含有多个未知数的应用题【解析】【分析】题意可知，乙仓库存粮是1倍量，甲仓库存粮是几倍量，数量之间存在以下相等关系：甲仓库存粮–850=乙仓库存粮–150；850袋与150袋是从两个仓库运走的粮食，不是两个仓库运进的粮食。

列方程解应用题知识要点从三年级开始，我们学习了各种类型的应用题，如和倍差倍、植树、盈亏、鸡兔同笼、年龄、还原、行程等，总体说来，往往用的是逆向思维的方法，有利于我们训练逻辑思维能力。

而列方程解应用题，用的是顺向思维来思考问题，思路比较简单直接。

列方程解应用题的基本思路是：首先用字母代替待求的未知数，然后沿着题目的条件找出等量关系，并将字母当作已知数建立方程，进而算出未知数的值。

列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。

解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。

针对方程是代数思想的重要体现，我们在小学阶段四、五年级各设一讲，系统地讲解方程及其应用。

列方程解应用题的主要步骤是：1、仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；2、设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其它量；3、找到题目中的等量关系，建立方程；4、运用加减法、乘法的互逆关系解方程；5、通过求到的关键量求得题目答案；6、检验答案。

代数之父——丢番图（Diophantine）是一位古希腊的大数学家，为第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。

其中丢番图最著名的可能就是他的墓志铭了：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。

我们可以从中知道：“丢番图的一生，幼年占16，青少年占112，又过了17才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半。

”计算丢番图的方程为5461272x x x xx +++++=，84x =，由此知道丢番图享年84岁。

直接型【例 1】 一个三角形的面积是18平方厘米，底是9厘米，求三角形的高是多少厘米？ 【分析】设三角形的高是x 厘米，92189364x x x ⨯÷=⨯==　答：三角形的高是4厘米。

列方程解应用题1.列方程解应用题--一步（1）小雨身上有50元钱，买了一些文具后还剩下7.5元。

小雨买文具花了______元。

（2）五(1)班有52名学生，比四(1)班多4人。

四(1)班有学生______人。

（3）乐乐有88枚邮票，比琪琪少7枚。

琪琪有邮票______枚。

（4）一张桌子的售价是97元，比一把椅子的售价贵11元。

一把椅子的售价是______元。

（5）在第31届夏季奥林匹克运动会中，中国选手龙清泉以307公斤的总成绩获得男子56公斤级举重冠军，并以2公斤之差打破了土耳其选手穆特鲁保持16年之久的世界纪录。

穆特鲁保持的原纪录是______公斤。

（6）黄豆长成豆芽后的质量是原来质量的9倍，现在需要豆芽495千克。

需要黄豆______千克。

（7）榆树和夹竹桃树对空气中的尘埃都有过滤作用,每平方米榆树叶能吸附灰尘12克,是夹竹桃叶片的2倍，每平方米夹竹桃叶片能吸附灰尘______克。

2.列方程解应用题--两步（1）豆豆有356张邮票，在集邮册的每页都放10张邮票，放完后还剩6张邮票，一共放了______页。

（2）商店里有210箱牛奶，每4箱装一大箱，装完后还剩2箱，一共装了______大箱。

（3）果园里共有1198个苹果，每25个苹果装一箱，装完后还剩23个，一共装了______箱。

（4）明明有23.5元钱，周末到文具店买了5支彩笔，还剩下3.5元，每支彩笔______元。

（5）一块长方形菜地的长是8.4米，比宽的5倍少1.6米，长方形菜地宽为______米。

（6）一本字典98.6元，是一本笔记本的20倍少1.4元，这本笔记本的价格是______元。

（7）一只鹅的质量是9.35千克，是一只鸡的9倍多0.35千克，一只鸡重______千克。

3.列方程解应用题--三步（1）小华到商店买2个文具盒和3支圆珠笔，共用了7.8元，已知一个文具盒是2.1元，每支圆珠笔是______元。

（2）一幢11层的大楼高34.5米，一、二、三层每层高3.5米，其余8层平均每层高______米。

1、意义：是用字母来代替未知数，根据等量关系，列出含有未知数的等式，也就是方程，然后解出未知数的值。

2、关键：能够正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程。

而找出等量关系，在于熟练运用数量之间的各种已知条件。

掌握了这两点就能正确地列出方程。

3、步骤：（1）弄清楚题意，找出未知数，用x 表示；（2）通过分析，找出数量之间的等量关系，列出方程；（3）解方程，需要熟练掌握各种类型方程的解法。

（4）检验所求出的解是否符合题意，舍去不合题意的解。

列方程解（简单和差倍）应用题：某纺织厂女职工比男职工多1000人，且女职工人数比男职工的3倍少200人，问：男女职工各多少人？【答案】600人；1600人 【知识点】差倍问题 【难度】A【分析】解：设男职工有x 人，则女职工有()2003-x 人。

()10002003=--x x ，解得600=x女职工：3×600－200=1600（人）。

答：男职工600人，女职工1600人。

列方程解应用题：某纺织厂有职工2700人，女职工比男职工的3倍多100人，问：男女职工各多少人？【分析】解：设男职工有x 人，则女职工有()1003+x 人。

27001003=++x x ，解得650=x女职工：3×650＋100=2050（人）答：男职工650人，女职工2050人。

列方程解（和差倍）应用题：被除数与除数的差是48，如果被除数与除数都减去9，那么被除数是除数的4倍，求原来被除数和除数各是几？【答案】73,25 【知识点】列方程解应用题 【难度】B【分析】根据题意，被除数比除数多48，如果被除数、除数都减去9，那么除数是一倍量，被除数是4倍量，那么本题的等量关系是（除数－9）×4=被除数－9解：设原除数为x ，则被除数为()48+x ，()()94894-+=-x x ，解得25=x所以被除数：25＋48=73答：被除数为73，除数为25。

列方程解应用题：五（2）班有学生76人，其中13名女生与男生的一半参加数学竞赛，剩下的男、女生人数相等，这个班的男生比女生多多少人？【分析】解：设男生有x 人，则女生有(x -76)人。

人教版小学五年级上册数学《列方程解应用题》教案范文（通用6篇）人教版小学五年级上册数学《列方程解应用题》范文篇1教学目标：1、能够找出数量间的等量关系，列出方程；2、根据等式的性质，解方程。

教学过程：一、等量关系用含字母的式子表示出题中的数量关系；找出数量间的等量关系，再列方程。

单价×（）＝总价工作时间＝（）÷（）（）×时间＝路程（）×数量=总产量三角形面积＝（）×（）÷2 长方形面积＝（）×（）正方形周长÷（）＝边长（上底＋下底）×（）÷（）＝梯形面积长方形周长＝（＋）×2 平行四边形面积＝（）×（）二、列方程解应用题列方程解应用题的一般步骤是（1）弄清题意，找出（），并用（）表示；（2）找出应用题中（）的相等关系，列方程；（3）（）；（4）检验，写出（）。

常用关系：付出的钱数－（）＝找回的钱数已修的米数＋（）＝总共要修的米数总路程－（）＝剩下的路程三、归纳总结，布置作业人教版小学五年级上册数学《列方程解应用题》教案范文篇2 教学目标：1.在理解题意的基础上寻找等量关系，初步掌握列方程解两、三步计算的简单实际问题。

2.从不同角度探究解题的思路，让学生学会在计算公式中求各个量的方法。

3.让学生初步体会利用等量关系分析问题的优越性。

教学重点：1.让学生学习在计算公式中求各个量的方法。

2.让学生体会利用等量关系分析问题的优越性。

教具准备：配套教与学的平台教学过程：一、复习引入1.解方程8x ÷ 2 ＝28 7（x＋3）÷ 2 ＝282（x ＋17 ）＝40 6（5＋x）÷ 2 ＝362.任意选择一题进行检验。

3.复习以前学过的公式：C＝2（a＋b）C＝4a S＝ab S＝ah÷2 S＝（a＋b）h÷2 ……4.揭示课题：列方程解应用题（1）[说明：复习部分安排解方程，一方面帮助学生巩固方程的合理解法；另一方面也对方程的检验格式稍作复习，便于学生养成良好的验算习惯。

列方程解应用题2(2)一、教学目标：1、进一步掌握根据等量关系列方程解两、三步计算应用题的方法。

2、初步体会利用等量关系分析问题的优越性。

二、教学过程（一）复习引入1、上节课我们学习了列方程解应用题，下面我们先来复习一下。

列方程解应用题。

篮球和足球共有84只，其中篮球的数量是足球数量的3倍，篮球和足球各有多少只？2、说说列方程解应用题的一般步骤。

3、今天这节课我们继续学习列方程解应用题。

揭示课题。

（二）探究新知1、探究一篮球比足球多84只，其中篮球的数量是足球数量的3倍，篮球和足球各有多少只？1）比较这两题，题目有些什么变化？教师在学生回答的基础上出示线段图。

84只足球篮球2）条件发生了变化，等量关系变了吗？等量关系是什么？篮球的只数-足球的只数 = 篮球比足球多的数量或足球的只数+篮球比足球多的数量=篮球的只数3）学生独立尝试解答。

4）交流汇报。

解：设足球有X只，那么篮球有3X只。

3X - X = 84 或 X + 84 = 3X2X = 84 2X = 84X = 42 X = 423X＝3×42＝126 3X＝3×42＝126检验：126÷42＝3，126—42＝84答：足球有42只，篮球有126只。

5）代入检验结果的正确性。

小结：与复习相比，这题两者的和变为了两者的差，等量关系发生了变化，列方程解应用题的步骤不变。

2．探究二：小胖的邮票比小巧多116张，是小巧邮票张数的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？1）寻找未知量与已知量之间的等量关系.(1) 先读一读题目,找一找例题中告诉我们哪些条件,求什么问题.(2) 学生回答,教师可画出相关的线段图.(3) 分析:设小巧有x张邮票,那么小胖的邮票张数可以用3x表示.2）. 请你找一找未知量与已知量之间的等量关系,小组讨论.3）. 集体交流,根据不同的等量关系列出不同的方程:(1)等量关系:小胖的邮票张数－小巧的邮票张数=小胖比小巧多的邮票张数列方程解应用题: 解:设小巧有x张邮票,那么小胖有3x张邮票.3x－x = 116,2x =116,x =58.3x= 3×58=174.答:小巧有58张邮票,那么小胖有174张邮票.(口头检验)(2)等量关系:小巧的邮票张数+小胖比小巧多的邮票张数=小胖的邮票张数列方程解应用题:解:设小巧有x张邮票,那么小胖有3x张邮票.x+ 116 = 3x,2x =116,x =58.3x= 3×58=174.答:小巧有58张邮票,那么小胖有174张邮票.(口头检验)水果市场里，苹果的价格比梨便宜0.7元，梨的价格是苹果价格的1.35倍。