2010年高考试题——数学理(福建卷)解析版

2010年高考数学 福建卷（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin 43cos13sin13cos 43︒︒︒︒-的值等于 （ ）A.12B.3C.2D. 2【测量目标】三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数.【考查方式】给出任意角的三角函数，运用三角函数中两角差的正弦公式求解.【难易程度】容易【参考答案】A 【试题解析】原式1sin(4313)sin 302︒︒︒=-==，故选A. 2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.22++2=0x y x B. 22++=0x y x C. 22+0x y x -= D. 2220x y x +-=【测量目标】抛物线的几何性质以及圆的方程.【考查方式】已知抛物线的解析式和其焦点，判断满足以其焦点为圆心的圆的方程.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为1r =，故所求圆的方程为221)1x y -+=（，即2220x x y -+=，选D.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于( )A.6B.7C.8D.9【测量目标】等差数列的通项公式以及前n 项和公式.【考查方式】给出等差数列的通项和其前n 项并运用最值的知识求解.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =，所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值.4．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨-+>⎩…的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3【测量目标】分段函数零点，函数零点判断.【考查方式】给出一个分段函数的解析式运用分类讨论的数学思想求解其零点个数.【参考答案】C【难易程度】容易【试题解析】当0x …时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C.5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于（ ）A.2B.3C.4D.5第5题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】按照程序框图的执行流程分析循环过程得到输出结果.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由程序框图可知，该框图的功能是输出使和123122233211iS i =++++>… 时的i 的值加1，（步骤1）因为1212221011+=<，12312223311++> ， 所以当11S >时，计算到3i =，故输出的i 是4，选C.（步骤2）6．如图,若Ω是长方体1111ABCD A BC D -被平面EFGH 截去几何体11EFGHB C 后得到的几何体,其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且11//EH A D ，则下列结论中不正确．．．的是 （ ） A. EH //FG B.四边形EFGH 是矩形 C. Ω是棱柱 D. Ω是棱台第6题图【测量目标】空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质.【考查方式】给出一个空间几何体，根据已知条件运用空间想象能力和逻辑推理能力推理判断相应命题的正误.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】因为EH ∥11A D ，11A D ∥11B C ，所以EH ∥11B C ，又EH ⊄平面11BCC B ， 所以EH ∥平面11BCC B ，又EH ⊂平面EFGH ，平面EFGH 平面11BCC B =FG ， 所以EH ∥FG ，故EH ∥FG ∥11B C ，所以选项A,C 正确；（步骤1）因为11A D ⊥平面11ABB A ，EH ∥11A D ，所以EH ⊥平面11ABB A ，又EF ⊂平面11ABB A ，故EH ⊥EF ，所以选项B 也正确，故选D.（步骤2）7．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(>0)x y a a-=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP 的取值范围为 ( )A. [3)-+∞B. [3)++∞C. 7[,)4-+∞D. 7[,)4+∞【测量目标】双曲线方程、平面向量的数量积的运算.【考查方式】根据双曲线的简单几何性质求解双曲线中平面向量数量积的范围.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方程为2213x y -=，（步骤1）设点00(,)P x y ，则有220001(3x y x -=，解得220001(3x y x =-，因为00(2,)FP x y =+ ，00(,)OP x y = ，所以2000(2)OP FP x x y =++ =00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，（步骤2）此二次函数对应的抛物线的对称轴为03 4x=-，因为xx时，OP FP取得最小值4313⨯+=3+OP FP的取值范围是[3)++∞，选B.（步骤3）8．设不等式组1230xx yy x⎧⎪-+⎨⎪⎩………所表示的平面区域是1Ω,平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y--=对称,对于1Ω中的任意一点A与2Ω中的任意一点B, ||AB的最小值等于( )A.285B.4C.125D.2【测量目标】不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解.【考查方式】给出不等式组运用转化与化归能力求解两个图形间最小距离.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由题意知，所求的||AB的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y--=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490x y--=的距离最小，故||AB的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=，所以选B.第8题图9．对于复数,,,a b c d,若集合{},,,S a b c d=具有性质“对任意,x y S∈,必有xy S∈”,则当2211abc b=⎧⎪=⎨⎪=⎩时,b c d++等于( )A. 1B. 1-C. 0D. i【测量目标】复数的基本概念与集合的基础知识.【考查方式】给出含有复数的集合，定义一个新的运算性质求解未知数.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由题意，可取1,1,i,ia b c d====-，所以1i i=1b c d++=-++--，选B.10．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ,若存在函数()(,h x kx b k b =+为常数),对任给的正数m ,存在相应的0x D ∈,使得当x D ∈且0x x >时,总有0()()0()()f x h x m h x g x m <-<⎧⎨<-<⎩,则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为D {}|1x x =>的四组函数如下:①2()f x x =,()g x =; ②()102x f x -=+,23()x g x x-=; ③21()x f x x +=,ln 1()ln x x g x x +=; ④22()1x f x x =+,()21e )x g x x -=--（. 其中, 曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是( )A. ①④B. ②③C.②④D.③④【测量目标】函数的性质，分渐近线.【考查方式】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数,通过分析函数存在分渐近线的充要条件：∞→x 时，0)()(→-x g x f ，进行做答.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，0)()(→-x g x f .对于①，当1>x 时便不符合，所以①不存在；（步骤1）对于②，肯定存在分渐近线，因为当x →∞时，0)()(→-x g x f ；（步骤2）对于③，xx x g x f ln 11)()(-=-，设21()ln ,()0x x x x xλλ''=-=>且x x <ln ，所以当∞→x 时x x ln -越来愈大，从而)()(x g x f -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；（步骤3）④当x →∞时，22()()201e 1x f x g x x--=++→+，因此存在分渐近线.故，存在分渐近线的是②④选C.（步骤4）二、填空题： 11．在等比数列{}n a 中,若公比4q =,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a = .【测量目标】等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用.【考查方式】给出等比数列的公比与前几项的和逆推出等比数列的通项公式.【难易程度】容易【参考答案】14n -【试题解析】由题意知11141621a a a ++=，解得11a =，所以通项n a =14n -.12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】直接给出一个几何体的三视图，求原几何体的表面积.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为1222⨯=，侧面积为3216⨯⨯=，所以其表面积为13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 .【测量目标】独立事件概率.【考查方式】给出一个实际问题运用独立事件的概率知识求解问题.【难易程度】容易【参考答案】0.128【试题解析】恰好回答四道，且连续两道答对停止答题，则可能是第一道答对，第二道答错，三、四道答对或者是前两道答错，后两道答对的情况，所以有：2(0.20.20.80.2)(0.8)0.128P =⨯+⨯⨯=,因此概率为0.128.14．已知函数π()3sin()(0)6f x x ωω=->和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同.若π[0,]2x ∈，则()f x 的取值范围是 . 【测量目标】三角函数的图象与性质.【考查方式】给出三角函数解析式，根据其图象的性质判断函数的值域.【难易程度】中等 【参考答案】3[,3]2-【试题解析】由题意知，2ω=，因为π[0,]2x ∈，所以ππ5π2[,]666x -∈-，由三角函数图象知： ()f x 的最小值为π33sin()62-=-，最大值为π3sin =32，所以()f x 的取值范围是3[,3]2-.15．已知定义域为0+∞（，）的函数()f x 满足：①对任意0x ∈+∞（，），恒有(2)2()f x f x =成立；当12]x ∈（，时，()2f x x =-.给出如下结论： ①对任意m ∈Z ，有(2)0m f =；②函数()f x 的值域为[0+∞，）；③存在n ∈Z ，使得(21)9n f +=；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在k ∈Z ，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是 .【测量目标】函数的周期性，单调性.【考查方式】给出一个函数运用函数的周期性与单调性的性质判断若干命题的正误.【难易程度】中等【参考答案】①②④【试题解析】①111(2)(22)2(2)2(2)0m m m m f f f f ---===== …，正确；（步骤1）②取1(2,2]m m x +∈，则]2,1(2∈m x ；m m x x f 22)2(-=，从而()2()2x f x f ==…12()22m m m x f x +==-，其中，0,1,2,m =…，从而),0[)(+∞∈x f ，正确；（步骤2）③122)12(1--=++n m n f ，假设存在n 使9)12(=+n f ，即存在12,,x x 使得102221=-x x ，又，x 2变化如下：2,4,8,16,32，…，显然不存在，所以该命题错误；（步骤3）④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①②④.（步骤4）三、解答题：16．（本小题满分13分）设S 是不等式260x x --…的解集，整数,m n S ∈.（1）记使得“0m n +=成立的有序数组(,)m n ”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；（2）设2m ξ=，求ξ的分布列及其数学期望E ξ.【测量目标】概率与统计、不等式.【考查方式】给出不等式，先化简求其解集再联合概率的相关知识运用分类与整合思想，化归与转化思想进行综合考查.【难易程度】中等【试题解析】（1）由260x x --…得23x -剟，即{}|23S x x =-剟，（步骤1） 由于整数,m n S ∈且0m n +=，所以A 包含的基本事件为(2,2,(2,2),(1,1),(1,1),(0,0)----）.（步骤2）（2）由于m 的所有不同取值为2,1,0,1,2,3,--所以2m ξ=的所有不同取值为0,1,4,9，（步骤3）且有(0)P ξ==16，(1)P ξ==2163=，(4)P ξ==2163=，(9)P ξ==16，（步骤4） 故ξ的分布列为所以E ξ=106⨯+113⨯+143⨯+196⨯=196.（步骤5） 17．（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【测量目标】椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系以及椭圆的简单几何性质.【考查方式】通过已知条件先求出椭圆的一般方程再运用函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想求出与椭圆有相关位置关系的直线.【难易程度】中等【试题解析】（1）依题意，可设椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，且可知左焦点 为(2,0)F -，（步骤1）从而有22||||358c a AF AF =⎧⎨'=+=+=⎩，解得24c a =⎧⎨=⎩，（步骤2） 又222a b c =+，所以212b =，故椭圆C的方程为2211612x y +=.（步骤3） （2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为32y x t =+，（步骤4） 由223211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2233120x tx t ++-=，（步骤5） 因为直线l 与椭圆有公共点，所以有22(3)43(12)0t t ∆=-⨯-…，解得t -，（步骤6）另一方面，由直线OA 与l 的距离44=，从而t =±由于±[-，所以符合题意的直线l 不存在. （步骤7）18．（本小题满分13分）如图，圆柱1OO 内有一个三棱柱111ABC A B C -，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 直径.（Ⅰ）证明：平面11A ACC ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）设1AB AA =，在圆柱1OO 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱111ABC A B C -内的概率为p .（i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；（ii ）记平面11A ACC 与平面1B OC 所成的角为θ(090)θ︒︒<…，当p 取最大值时，求cos θ的值.第18题图【测量目标】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.【考查方式】给出一立体几何体的图象运用空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力求解其面与面的位置关系，考查了数形结合思想、化归与转化思想.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥BC ，（步骤1） 因为AB 是圆O 直径，所以BC ⊥AC ，（步骤2）又AC 1AA A =，所以BC ⊥平面11A ACC ，（步骤3）而BC ⊂平面11B BCC ，所以平面11A ACC ⊥平面11B BCC .（步骤4） （Ⅱ）（i ）设圆柱的底面半径为r ，则12AB AA r ==，故三棱柱111ABC A B C -的体积为 1122V AC BC r =⨯⨯=AC BC r ⨯⨯，（步骤5）又因为22224AC BC AB r +==， 所以222AC BC AC BC + (22)，当且仅当AC BC ==时等号成立，（步骤6）从而312V r …，而圆柱的体积23π22πV r r r == ， 故p =31321,2ππV r V r =…当且仅当AC BC ==，即OC AB ⊥时等号成立，（步骤7） 所以p 的最大值是1π.（步骤8） （ii ）由（i ）可知，p 取最大值时，OC AB ⊥，于是以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则1(,0,0),(0,,0),(0,,2)C r B r B r r ,（步骤9）因为BC ⊥平面11A ACC ，所以(,,0)BC r r =- 是平面11A ACC 的一个法向量，设平面1B OC 的法向量(,,)x y z =n ，由1020OC rx ry rz OB ⎧⊥=⎧⎪⎨⎨+=⊥⎩⎪⎩ 得n n ，故02x y z =⎧⎨=-⎩，（步骤10）取1z =得平面1B OC 的一个法向量为(0,2,1)=-n ，因为090θ︒︒<…，所以cos |cos ,|||||BC BC BC θ==== n n n （步骤11）第18题（Ⅱ）图19．（本小题满分13分）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.【测量目标】利用正余弦定理解决有关距离问题.【考查方式】针对实际问题运用正余弦定理解决有关距离问题.【难易程度】中等【试题解析】（1）如图设小艇的速度为v ，时间为t 相遇，则由余弦定理得 2222cos OC AC OA AC OA OAC =+-⨯⨯∠，即：2224009001200cos60900600400vt t t t t ︒=+-=-+21900()3003t =-+,当13t =时，取得最小值，此时v =第19题图（2）如图，由（1）得10OC AC ==,故OC AC >,且对于线段AC 上任一点P ，有OC OP AC 厖,而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在AC （包含C ）的任意位置相遇，设(090),Rt BOD BOD BD θθθ∠=<<= 则在△中，，OB =，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t =和t ==30,sin (+30)v v θ= 又故剠从而30<90,30tan θθθ= 由于时，取得最小…值，且最小值为3，于是当30θ= 时，1030t θ+=取得最小值，且最小值为23. 此时，在OAB △中，20OA OB AB ===，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.第19题（2）图20．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数3()f x x x =-，其图象记为曲线C .（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点 222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段 11223122,,,S PP P P C S S S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为则为定值； （Ⅱ）对于一般的三次函数32()(0),g x ax bx cx d a =+++≠请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明.【测量目标】利用导数判断或求函数的单调性.【考查方式】给出函数解析式，运用抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力求解单调区间.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）（i ）由3()f x x x =-得2()31f x x '=-=3(x x ，（步骤1）当(,x ∈-∞和+∞）时，()0f x '>；当(x ∈时，()0f x '<，（步骤2） 因此，()f x的单调递增区间为(,3-∞和3+∞（），单调递减区间为(,3-3.（步骤3）（ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111(31)(),y x x x x x =--+-即2311(31)2,y x x x =--（步骤4），由23113(31)2y x x x y x x⎧=--⎪⎨=-⎪⎩得3x x -=2311(31)2x x x --， 即211()2)0x x x x -+=（，解得11212,2x x x x x x ==-=-或故，（步骤5）进而有 1123234111127(32)4x x S x x x x dx x -=-+=⎰，用2x 代替1x ，重复上述计算过程，可得 322x x =-和422274S x =，又2120x x =-≠，所以42127160,4S x ⨯=≠（步骤6） 因此有12116S S =.（步骤7） （Ⅱ）记函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等式3b a-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C 与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())Px g x ，线段11223122,,,.S PP P P C S S S '与曲线所围成封闭图形的面积分别记为则为定值 证明如下： 因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线()y g x =的对称中心(3b g a -（，))3b a -平移至坐标原点，因而不妨设3()(0)g x ax hx x =+≠，类似（i ）（ii ）的计算可得411274S x =，42127160,4S x ⨯=≠故12116S S =. 21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M =11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭N ，且2020⎛⎫= ⎪-⎝⎭MN ， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的直线的方程.【测量目标】矩阵与变换等基础知识.【考查方式】给出矩阵通过变换求解未知参数.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由题设得02200220c ad bc b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩，解得1122a b c d =-⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩；（步骤1）（Ⅱ）因为矩阵M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线3y x =上的两（0，0），（1，3），（步骤2）由11001100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11121132--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：点（0，0），（1，3）在矩阵M 所对应的线性变换下的象是（0，0），（-2，2），从而直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的直线的方程为y x =-.（步骤3）（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=.（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为， 求PA PB +.【测量目标】直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系.【考查方式】给出在直角坐标系中的直线参数方程转化到极坐标系中进行运用与求解.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即22( 5.x y +=（步骤1） （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3)()522-+=，即240,t -+=由于24420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根（步骤2），所以12124t t l P t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线过点故由上式及t 的几何意义得：1212PA PB t t t t +=+=+=（步骤3）（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-.（Ⅰ）若不等式()3f x …的解集为{}|15x x -剟，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++…对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【测量目标】绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识【考查方式】给出不等式，先求解再运用绝对值的意义以及绝对值不等式等基础知识求解未知参数的取值范围.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由()3f x …得||3x a -…，解得33a x a -+剟，（步骤1）又已知不等式()3f x …的解集为{}|15x x -剟，所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩，解得2a =.（步骤2） （Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()=()(5)g x f x f x ++，于是（步骤3）()|2||3|g x x x =-++=21,<35,3221,>2x x x x x ---⎧⎪-⎨⎪+⎩剟，（步骤4）所以当3x <-时，()5g x >；当32x -剟时，()5g x =；当2x >时，()5g x >,m ∴的取值范围为[],5-∞.（步骤5）。

2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类） 第I 卷（选择题共50 分）、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 cos13° -cos43° sin13° 的结果等于6.如图，若「i 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH // A 1 D 1，则下列结论中不正确的是A. EH // FG C. 是棱柱目要求的。

1.计算 sin43y 2=4x 2. 以抛物线 2 2A.x +y +2x=0 C. x +y -x=03. 设等差数列｛ a n ) A.6 B. 74.函数f C 」2D V2的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为2 2B.x +y +x=0 2 2D. x +y -2x=0前n 项和为S n .若a 1= -11,a 4+a 6= -6，则当C.8D.9J?-I-2X -37X <0（X ）= L _2+ln 凡•的零点个数为B. 1C.2S n 取最小值时，n 等于「嚳]A. 05.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输岀的i 值等于A.2B.3C.4D.5D.3B.四边形EFGH D. |是棱台7若点 O 和点F （-2, 0）分别为双曲线2 X22 - y =1 (a>0)的中心和左 a焦占 八A. [3- 2.3,'：)B. [3+2^：=)C. f )D.[-,-:=)4是矩形点P 为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为JC > 1,/ x- 2y + 3 > 0,8.设不等式组 所表示的平面区域是僞，平面区域02与。

1关于直线3x-4y-9对称。

对于。

1中的任意点A 与J 中的任意点B ，I AB I 的最小值等于28 12 A.B. 4C.D. 2559. 对于复数a,b,c,d ，若集合S= ｛a,b,c,d ｝具有性质"对任意 x,y ^s ,必有x,y ^S ”，则当 d 二 1,《护=1,5 时，b+c+d 等于 A. 1 B. -1 C. 0 D. i10. 对于具有相同定义域 D 的函数f (x )和g (x ),若存在函数h (x ) =kx+b ( k,b 为常数)，对任给的正数€m ，存在相应的xo ^D ，使得当x^D 且x>xo 时，总有1°<应(忑)-呂⑴v 阻则称直线l : y=kx+b 为曲线 y=f (x )与y=g (x )的"分渐近线”。

2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A ．12 B. 3 C. 2 D. 2 2.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A. x 2+y 2+2x=0B. x 2+y 2+x=0C. x 2+y 2-x=0D. x 2+y 2-2x=03.设等差数列｛a n ｝前n 项和为S n . 若a 1= -11,a 4+a 6= -6 ,则当S n 取最小值时，n 等于A.6B. 7C.8D.94.函数f （x ）= 的零点个数为A. 0B. 1C.2D.35.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A.2B.3C.4D.56.如图，若 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1 D 1，则下列结论中不正确的是A. EH ∥FGB.四边形EFGH 是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台7.若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线2221x y a -=（a>0）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则op fp 的取值范围为 A. [3-, +∞） B. [3+ +∞） C. [74-, +∞） D. [74, +∞）8.设不等式组所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3x-4y-9对称。

对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，∣AB ∣的最小值等于 A. 285 B. 4 C. 125 D. 2 9.对于复数a,b,c,d ，若集合S=｛a,b,c,d ｝具有性质“对任意x,y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当时，b+c+d 等于A. 1B. -1C. 0D. i10.对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ），若存在函数h （x ）=kx+b （k,b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的x 0∈D ，使得当x ∈D 且x>x 0时，总有则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）与y=g （x ）的“分渐近线”。

一、2010年福建理科数学真题分析【题目分析】1. 考察内容：三角两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆。

难度评级：0.92. 考察内容：抛物线焦点的识记以及原方程的求解。

难度评级：0.83. 考察内容：等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。

难度评级：0.74. 考察内容：基本初等函数的掌握和分段函数的概念难度评级：0.75. 考察内容：程序框图难度评级：0.86. 考察内容：立体几何体的定义和空间想像能力难度评级：0.77. 考察内容：双曲线的参数方程、圆锥曲线与向量、不等式的结合难度评级：0.68. 考察内容：线性规划、点到直线距离公式及对称等图形概念难度评级：0.69. 考察内容：复数难度评级：0.710. 考察内容：以大学内容：数列极限的定义类比构造了分渐近线的概念，考查学生的分析能力难度评级：0.511. 考察内容：等比数列的通项公式以及求和公式难度评级：0.712. 考察内容：三视图的相关概念和空间想象能力难度评级：0.713. 考察内容：相互独立事件概念，加法和乘法原理难度评级：0.614. 考察内容：三角函数图像的理解，三角函数最值的求法难度评级：0.615. 考察内容：抽象函数，函数的周期性、单调性难度评级：0.516. 考察内容：概率的基本定义、数学期望的求法难度评级：0.717. 考察内容：椭圆方程、一元二次方程根存在的条件、平行线间距离公式难度评级：0.618. 考察内容：线面垂直和面面垂直的证明方法、二面角的求法、几何概率难度评级：0.319. 考察内容：三角函数，解三角形，一元二次函数的最值问题，函数应用难度评级：0.520. 考察内容：积分概念的计算、导数的几何意义和计算难度评级：0.321. 考察内容：（1）矩阵运算理解与掌握；（2）极坐标方程化一般方程、参数方程化一般方程；（3）解绝对值不等式难度评级：0.6【题目分类】二、2010年福建文科数学真题分析【题目分析】1. 考察内容：集合的相关运算难度评级：0.92. 考察内容：三角函数中倍角公式的运用难度评级：0.83. 考察内容：三视图的相关概念和空间想象能力难度评级：0.74. 考察内容：复数的运算难度评级：0.85. 考察内容：线性规划的基本运用难度评级：0.76. 考察内容：程序框图难度评级：0.77. 考察内容：分段函数的概念、基本函数的图像难度评级：0.68. 考察内容：充分必要条件的定义、向量的基本概念难度评级：0.69. 考察内容：茎叶图的定义难度评级：0.710. 考察内容：三角函数图像的理解和平移、诱导公式难度评级：0.611. 考察内容：椭圆的定义、圆锥曲线与向量、不等式的结合难度评级：0.712. 考察内容：集合概念的综合考察难度评级：0.513. 考察内容：双曲线的渐近线方程难度评级：0.814. 考察内容：概率分布直方图难度评级：0.715. 考察内容：借用“凸集”的概念，考查图形分析能力难度评级：0.716. 考察内容：推理证明部分的类比题难度评级：0.517. 考察内容：等比数列求和、等差中项的概念难度评级：0.618. 考察内容：基本概率的定义、向量垂直的充要条件难度评级：0.719. 考察内容：抛物线方程、一元二次方程根存在的条件、平行线间距离公式难度评级：0.420. 考察内容：线线平行和线面平行的证明、几何体体积公式、均值不等式难度评级：0.321. 考察内容：三角函数，解三角形，一元二次函数的最值问题，函数应用难度评级：0.522. 考察内容：函数、导数难度评级：0.3【题目分类】三、2010年福建数学真题整体分析（1）从难度角度分析全卷由容易题、中等题和难题组成，难度值在0.7以上的试题为容易题，难度值在0.4~0.7的试题为中等题，难度值在0.4以下的试题为难题，易、中、难试题的比例约为“4:4:2”，全卷难度值控制在0.6左右。

2010福建高考数学试卷及答案【2010福建高考数学试卷及答案】第一部分选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数 f (x) = x² + ax + b 是一个顶点坐标为(1, m) 且与 x 轴交于两个不等点的抛物线（3 ≤ m ≤ 4），那么 a 是____, b 是____。

【解析】函数 f (x) 是一个抛物线，顶点坐标为（1，m），说明它的对称轴 x=1，那么抛物线的方程为f(x)=(x-1)²+a+1，把点（1，m）代入方程，可以得到二元一次方程m=(1-1)²+a+1，即a=m-1。

再由于抛物线与x轴交于两个不等点，说明抛物线的表达式f(x)=x²+ax+b，在抛物线上方，即对应其自变量x的取值，函数值全部为正，即f(x)>0。

根据这一条件，可以得出b>0。

所以该题的解为：a=m-1，b>0. 【答案】a=m-1，b>0.2. 下列数列按顺序排列是________。

n₁=1，n₂=1，n₃=—5，n₄=—1，n₅=5，n₆=1，n₇=—5，n₈=________。

【解析】观察数列可以发现，n₁和n₂都是1，后面的每两项的正负号和数值相同，且前一对正负号后面都是负数和正数。

所以根据这个规律，数列继续下去应该是—5，5，—5，5，________。

所以该题的解为：5.【答案】5.3. 设 a ≠ 1，若 a² + 2a + 2 = 0, 则 a³ + 2a²+ 2a =________。

【解析】将 a³ + 2a² + 2a 写成 a(a² + 2a + 2) 的形式，可以看出括号里的内容与题干中的方程相同。

所以 a³ +2a² + 2a = a × （—2a） = （—2a²）.【答案】（—2a²）.4. 半径为 r 的水管里沟能流过最大的圆盘的半径是________。

2010年高考福建数学试题（理科解析）本文来自学联网第I卷（选择题共60分）本文来自学联网一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

本文来自学联网1．的值等于（）本文来自学联网A. B. C. D. 本文来自学联网【答案】A本文来自学联网【解析】原式= ，故选A。

本文来自学联网【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。

本文来自学联网2．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )本文来自学联网A. B. C. D. 本文来自学联网【答案】D本文来自学联网【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。

本文来自学联网【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

本文来自学联网3．设等差数列的前n项和为,若, ,则当取最小值时,n等于本文来自学联网A.6B.7C.8D.9本文来自学联网【答案】A本文来自学联网【解析】设该数列的公差为，则，解得，本文来自学联网所以，所以当时，取最小值。

本文来自学联网【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

本文来自学联网4．函数的零点个数为( )本文来自学联网A.0B.1C.2D.3本文来自学联网【答案】C本文来自学联网【解析】当时，令解得；本文来自学联网当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。

本文来自学联网【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。

本文来自学联网5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（）本文来自学联网A.2B.3C.4D.5本文来自学联网【答案】C本文来自学联网【解析】由程序框图可知，该框图的功能是本文来自学联网输出使和本文来自学联网时的的值加1，因为，，本文来自学联网所以当时，本文来自学联网计算到，故输出的是4，选C。

2010年高考福建理科数学试题及答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于A ．12 B．3 C．2 D．22．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++=C ．220x y x +-= D ．2220x y x +-=3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S 。

若111a =-，466a a -=-，则当n S 取最小值时，n 等于A ．6B ．7C ．8D ．94．函数2230()2ln 0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，，，的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面EFGH 截去几何体11EFGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台 7．若点O 和点(20)F -，分别为双曲线2221x y a -=（0a >）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP 的取值范围为A ．[3- +∞） B ．[3+ +∞） C ．[74-， +∞） D ．[74， +∞） 8．设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称。

对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于 A ．285B ．4C ．125D ．29．对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，时，b c d ++等于A ．1B ．-1C ．0D ．i10．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x m h x g x m <-<⎧⎨<-<⎩，，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”。

2010福建高考数学试卷及答案（正文）第一部分：选择题1. 已知函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，若 f(x) = 0，则 x 的值是多少？解析：将 f(x) = 0 代入函数，得到 x^2 - 4x + 3 = 0。

将方程进行因式分解，可得 (x - 1)(x - 3) = 0。

因此，得到 x = 1 或 x = 3。

2. 设集合 A = {0, 2, 4, 6}，集合 B = {2, 3, 5}，则 A∪B 的结果是什么？解析：A∪B 表示求两个集合的并集，即将 A 和 B 中的元素放在一起构成一个新的集合。

所以 A∪B = {0, 2, 3, 4, 5, 6}。

3. 一个菱形 ABCD 的边长为2，已知 AC 的延长线与 BD 的交点为E，且 AE = CE，则△BEC 的面积等于多少？解析：首先，连接 AD 和 BC，我们可以得到一个等边三角形。

由于 AC 的延长线与 BD 的交点为 E，AE = CE，所以△ABC 是一个等腰三角形，且 AB = BC = CA = 2。

因此，△ABC 的高等于2√3/2 = √3。

再由于△BEC 与△ABC 相似，所以它们的面积之比为 (BC/EC)^2 =(2/√3)^2 = 4/3。

因此，△BEC 的面积为(4/3) * (√3)^2 = 4。

4. 设 a = log2(x - 4)，b = log3(x - 2)，c = log4(x - 6)，若 a + b + c = 0，则 x 的值为多少？解析：根据对数的性质，我们可以得到 x - 4 = 2^a，x - 2 = 3^b， x - 6 = 4^c。

将这三个式子相加，得到 x - 8 = 2^a + 3^b + 4^c。

因此，x = 2^a + 3^b + 4^c + 8。

由于 a + b + c = 0，所以 x = 2^0 + 3^0 + 4^0 + 8 = 12。

......（接下来是答案部分，同样以正文形式呈现）1. x 的值为 1 或 3。