当前位置：文档之家 › 九年级数学北师大版下册 垂径定理

九年级数学北师大版下册 垂径定理

  • 格式：ppt
  • 大小：3.11 MB
  • 文档页数：12

下载文档原格式

  / 12

合集下载

北师大版九年级下册垂径定理课件(共25张)

北师大版九年级下册垂径定理课件(共25张)

O
C AEB D
变式2:求如证图:,AA⌒CB=、B⌒CDD. 是⊙O的弦,且AB∥CD.
O
F
A
E
B
C
D
G
自学指点2:(4+2分钟)
(一)如图,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分 AB的直径CD,交AB于点M. 1.你能发现图中有哪些相等的量?并说明理由.
AB⊥CD
⌒⌒
AC=BC
C
A
M
B
⌒⌒
垂直于弦的 直径 平分这条 弦 ,并且平分 弦所对的 弧 .
几何语言:
∵∵在在⊙⊙OO中中,,C直D径是C直D径⊥,弦CDA⊥B 弦AB
C
∴ A⌒M=B⌒M
AC=BC
A
M
B
⌒⌒
O
AD=BD
D
应用: 方法:环绕已知弦构造直角三角形.
1.(202X•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点
C,AB=4,OC=1,则OB的长是
.
C
A
M
B
O
D
2.如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,
已知CD=20,CM=4,则AB的长为
.
解:连接OA ∵ CD=20 ∴ AO=CO=10
∴ OM=OC–CM =10–4=6
在⊙O中,直径CD⊥弦AB
∴ AB=2AM
在Rt△OMA中,AO=10,OM=6
根据勾股定理，
AM AO2 OM 2 102 62 8
E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径
是
.
4.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的
弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件


⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我找一找
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有:
.
挑战自我算一算
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
⌒ AB
的中点，OC交AB
于D
例题解析
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8
㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的
半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB， 计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
C
A M└ B 你可以写出相应的命题吗?
●O
相信自己是最棒的!
D
C
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤
北师大版九年级数学下册：垂径定理课件

北师大版九年级数学下册：垂径定理课件


C
A
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直弦的直径平分弦所对的弧） A⌒M－C⌒M＝B⌒M－DM⌒ ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分
AB的直径CD， 交AB于点M.
A
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是
第三章 圆
3.3 垂径定理*
情景导入 例题讲授 课堂小结
获取新知 随堂演练
情景导入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦 的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州 桥主桥拱的半径吗？
获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂足为M. （1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 A 什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你 的理由.
例4 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥 主桥拱的半径吗？
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与弧AB交于点C，则D是AB的中
点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
C MB
O
D
（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD
所在的直线
A
（2）AM=BM，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
C MB
O
D
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M.
求证：AM=BM，A⌒C
3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册

3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册

弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
垂径定理课件北师大版九年级下册数学

垂径定理课件北师大版九年级下册数学


预习导学
2.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧.
3.圆的两条平行弦所夹的弧相等.
预习导学
1.如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝8，OC＝3，则
半径OB的长为( C )
A.3
B.4
C.5
D.10
预习导学
2.如图，☉O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，则
第三章 圆
3 *垂径定理
素养目标
1.会运用圆的对称性探究垂径定理，并会运用垂径定理解决
相应问题.
2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题.
◎重点:知道垂径定理和逆定理及其应用.
预习导学
你知道赵州桥吗？它修建于隋朝，距今已有1360多年的历
史.这座石拱桥是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆
合作探究
解:OC＝OD.理由如下:如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE
＝BE，
又∵AC＝BD，∴CE＝DE.∴OE是CD的中垂线，∴OC＝
OD.
合作探究
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为
更换管道，需确定管道的半径，如图，这是水平放置的破裂管
道有水部分的截面.维修人员测得这个输水管道有水部分的水面
(1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指
平分弦所对的劣弧、优弧.
预习导学
垂径定理的逆定理
阅读教材本课时“想一想”及其后面的内容，并回答问题.
平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ，并且
平分 弦
所及垂径定理还有如下结
论:
1.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
求的点.
合作探究
3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册


*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
北师大版数学九年级下册3.3垂径定理教学课件

北师大版数学九年级下册3.3垂径定理教学课件

则OD=0C-DC=R-2.
O
的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，
解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m， ∵AM ＝ BM，CD为⊙O的直径，
（1）两条弦在圆心的同侧 ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵OE⊥CD，∴CF＝ CD ＝ ×600 ＝ 300（m）， 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
例如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即
C
CD 图中 CD，点O是 则AE＝BE，CE＝DE。
所在圆的圆心）.其中
CD m E OE CD ＝600 ， 为 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
（3）AM ＝ BM；
CD ＝ ， ＝ ,
上一点，且 ⊥ ，垂足
E FD
F EF m 为 ， ＝90 .求这段弯路的半径. AE－CE＝BE－DE。
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2
N
图中 ，点O是 所在圆的圆心）.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON ∴ ∠AOD ＝ ∠BOD
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况。
（1）两条弦在圆心的同侧
（2）两条弦在圆心的两侧
1.两条弦在圆心的同侧
M
（3）AM ＝ BM； 证明：连接OA、OB、OC、OD，
∠BOD ＝ 180°－ ∠BOC，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD， ∵∠AOD ＝ 180°－ ∠AOC，
北师大版九年级数学下册第三章3垂径定理

北师大版九年级数学下册第三章3垂径定理


知识点二 垂径定理的推论 3.下列说法: ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦; ②平分弦的直径平分弦所对的弧; ③垂直于弦的直线必过圆心; ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧. 其中正确的是 ( ) A.②③ B.①③ C.②④ D.①④
答案 D 平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧,故②错误;垂直于弦 且平分弦的直线必过圆心,故③错误.①④正 m,过点E作ME⊥AB,交 AB 于点M,过点F作NF⊥AB,交 AB 于点N.设
︵
AB 所在圆的圆心为点O,连接OA,ON,OD,MN,设MN交CD于点H,可知O,D,C
三点在同一条直线上,MN∥AB,AD= 1 AB=3.6 m.
2
图3-3-7 设OA=r m,则OD=OC-CD=(r-2.4)m. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2, 即r2=3.62+(r-2.4)2,∴r=3.9,
知识点二 垂径定理的推论
内容 详解
应用 格式 推论
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
①推论的条件:直径平分弦,弦不
能是直径;
推论的结论:直径垂直于弦,且平 分弦所对的弧. ②一定不能忽略“被平分的弦 不是直径”这个条件,因为圆中 任意两条直径都是互相平分的, 但它们未必垂直
∵CD平分AB,且CD是直径, ∴CD⊥AB, A︵C= B︵C, A︵D= B︵D
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一 条弧
例2 如图3-3-2,在☉O中,点C是 A︵B 的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB= 12,CD=2.求☉O的半径长.
图3-3-2 分析 连接OA,根据垂径定理的推论得出AD=6,∠ADO=90°,根据勾股定 理列出方程,求出方程的解即可.
北师大版九年级数学课件-垂径定理

北师大版九年级数学课件-垂径定理


4.如圖(1)所示，水準放置的一個油管的截面半徑為13
cm，其中有油部分油面寬AB為24 cm，求截面上有油部
分氏定理即可求出OC的長,進而可求出CD的值.
解:如圖(2)所示，連接OA.根據垂徑定理,得AC=BC=12 cm.
在Rt△OAC中，OA=13 cm，AC=12 cm.
九年級數學·下 新課標[北師]
第三章 圓
學習新知
檢測回饋
學習新知
如右圖所示，“圓材埋壁”是我國古代 數學著作《九章算術》中的問題：“今有圓 材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一 寸，鋸道長一尺,問徑幾何.”用幾何語言可表
述為:CD為☉O的直徑，弦AB⊥CD於E，
CE=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長為多少?
【問題】 當弦AB⊥CD時,你能得出哪些相等的線段? 相等的弧?相等的角?
垂徑定理
【做一做】 如右圖所示，AB是☉O的一
條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M.
問題1 此圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什麼?
這個圖是軸對稱圖形,對稱軸是直徑CD所在的直線.
問題2 你能發現圖中有哪些等量關係?說一說你的理由.
垂徑定理的注意事項: (1)條件中的“弦”可以是直徑; (2)結論中的“弧”指平分弦所對的劣弧、優弧.
符號語言:∵CD是圓的直徑,CD⊥AB於M,∴AM=BM, AC BC，AD BD.
垂徑定理的證明
如右圖所示,已知AB是☉O的一條弦,CD
是☉O的一條直徑,並且CD⊥AB,垂足為
M.求證AM=BM, AC BC，AD BD.
已知其中的兩個結論就可以推導出其他的兩個結論.
如右圖所示,一條公路的轉彎處是一段圓弧(即
圖中 CD ，點O是 CD 所在圓的圓心)，其中 CD=600 m，E為 CD 上一點，且OE⊥CD，垂
北师大版九年级下册垂径定理课件

北师大版九年级下册垂径定理课件


D
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
A C 和 B C 重 合 ,A D 和 B D 重 合 .
A C B C ,A D B D .
定理：
垂直于弦 的直径 平分这条弦， 并且平分弦所对的弧.
C 在⊙O中，直径CD⊥弦AB，
∴ AM = BM =1 AB，
A
2
M B
2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中 OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 答案:D
B．16
C．18
D．20
3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的 中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论 ①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤ AE 1 AB
第三章 圆
3.3 垂径定理
学习目标
1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性. 2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有 关的计算和证明.
【问题】
AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
C
A M└ ●O
D
你能发现图中有哪些等量关系?与同
A．5cm 答案:D
B．2．5cm
C．2cm
D．1cm
6.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，
AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm
B．7 cm
C．12 cm
D．17 cm或7 cm
答案：D
CN D
AM
垂径定理ppt课件

垂径定理ppt课件

连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
返回目录
2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
返回目录
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
返回目录
5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
返回目录
知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .

第3章3.3垂径定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的定义及其证明过程这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示垂径定理的基本原理。
5.培养学生养成良好的学习习惯，提高自主学习、探究学习的能力，形成终身学习的观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解垂径定理的概念：垂径定理是圆的基本性质之一，对于圆的认识具有重要意义。教学过程中应重点讲解垂径定理的定义，使学生明确垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
-掌握垂径定理的证明方法：通过运用勾股定理和圆周角定理，引导学生理解并掌握垂径定理的证明过程，培养学生严谨的逻辑推理能力。
此外，在总结回顾环节，学生们能够较好地掌握垂径定理的基本概念和应用。但我也注意到，部分学生在提问环节显得较为拘况，我将在课堂上鼓励学生大胆提问，充分表达自己的观点，同时给予他们更多的肯定和鼓励。
最后，针对本节课的教学，我认为以下方面需要改进：
a.引导学生观察图形，发现垂径定理的规律。
b.分步骤解释证明过程，强调勾股定理和圆周角定理的应用。
c.通过提问和互动，了解学生在证明过程中遇到的难点，并针对性地进行解答。
d.组织学生进行小组讨论，共同解决证明过程中的问题，培养学生的团队合作能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到圆中某个点，使得从这个点到圆周上某点的距离最短的情况？”（例如：如何在一张纸上剪出一个最大的圆）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。

北师版九年级数学下册3.垂径定理

（ （(2)AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直径CD平分弦AB,并且平分
AB及ADB.这样,我们就得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M. 求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD.
解析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角 形全等.因此,只要连结OA、OB或AC、BC即可.
法,这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方
法一定要掌握. 解：如图,连接OC, 设弯路的半径为R,则OF=(R－90)m
∵OE⊥CD
CF

1 2
CD

1 2
600

300(m)
根据勾股定理,得：OC2=CF2＋OF2
即R2=3002＋(R－90)2 解得R=545源自∴这段弯路的半径为545m.
(2)若AC、AD在AB的异旁, 同理可得：∠DAC=60°＋30°=90°.
例4：有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如下图所示,正常水 位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m.已知水面到拱 顶距离小于3.5m时,就需要采取紧急措施,当洪水泛滥时,水 面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由. 解析：要求当洪水到来时,水面宽MN=32m是 否需要采取紧急措施,只要求出DE的长,因此 只要求半径R,然后运用几何代数解求R. 解：不需要采取紧急措施.
解：如图,连结OA、OB,则OA=OB, 在Rt△OAM和Rt△OBM中
OA=OB OM=OM
∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM＝BM.
∴点A和点B关于CD对称 ∵⊙O关于直（径C（D对称
当（圆沿（着直线CD对（折时（,点（A与（点B重合,AC与BC重合,

北师大九年级数学下32垂径定理

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

垂径定理逆定理:平分弦(不就是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

一、如何运用垂径定理:垂径定理及其逆定理反映了圆的重要性质,就是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系的重要依据。

在解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线,以构成垂径定理的基本图形(而实际中,往往只需要从圆心作一条与弦垂直的线段即弦心距就可以)。

在运用垂径定理时,涉及弦长a、弦心距d、半径r及弓形高(弦所对的弧的中点到弦的距离)h这四者之间的关系,如图所示,它们的关系就是:222)2(adr+=,hdr+=,根据这两个公式,在a,d,r,h四个量中,知道任意两个量便可求出其她两个量。

典型中考题讲解:1、(2014•盘锦三模)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为E,,(1)求AB的长;(2)求⊙O的半径.2、(2014•浦东新区二模)已知:如图,∠PAQ=30°,在边AP上顺次截取AB=3cm,BC=10cm,以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点,求:(1)圆心O到AQ的距离;(2)线段EF的长.3、(2014•金山区一模)如图,已知AB就是⊙O的弦,点C在线段AB上,OC=AC=4,CB=8.求⊙O的半径.4、(2014•槐荫区一模)如图,在⊙O中,点C就是的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2.求⊙O半径的长.5、.(2014•天河区二模)如图,AB就是⊙O的弦,半径OA=20cm,∠AOB=120°,求线段AB的长.二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及其推论:(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。

(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

北师大版九年级数学下册 垂径定理课件


⊙O半径． 解：设⊙O半径为x，
∵OC⊥AB，
∴AD＝
1 2
AB＝4.
在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，
即x2＝42＋(x－2)2，
解得x＝5，
∴⊙O的半径为5.
9.(例3)如图，两个圆都以点O为圆心．求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥CD，垂足为E 则AE＝BE，CE＝DE ∴AE－CE＝BE－DE 即AC＝BD
10.如图，AB是⊙O的弦，点C，D是直线AB上的点， 且OC＝OD.求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E ∵OC＝OD，OE⊥AB ∴EC＝ED(三线合一) ∵OE⊥AB ∴EA＝EB ∴EC－EA＝ED－EB ∴AC＝BD
三、过关检测 第1关 11．如图，⊙O的半径为5 cm，弦AB＝8 cm，OC⊥AB于C，
解：连接OA， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC＝ OA2 OC2 52 32 4 ∴AB＝2AC＝8
垂径定理方法总结：构造由___半__径___、半弦、弦心距组成的 直角三角形，用_____勾__股_____定理求解． 常作的辅助线：①连接半径；②过圆心作弦的垂线段.
6.如图，⊙O的半径为10，AB＝16，则圆心O到AB的距离 为____6____．
2 在Rt△OAD中，有x2＝62＋(x－2)2
解得x＝10.
∴OA的长为10米．
第3关
15．如图，在⊙O中，AB⊥AC，且AB＝AC，OD⊥AB，
OE⊥AC.求证：四边形ADOE是正方形． 证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AB
∴∠A＝∠AEO＝∠ADO＝90°，
AE＝ 1 AC，AD＝ 1 AB
2
2
∴四边形ADOE为矩形

北师大版数学九年级下册第三章 3.3 垂径定理

#北师大版数学九年级下册第三章 3.3 垂径定理1. 引言垂径定理是数学中的一个重要定理，它涉及到直角三角形的性质和垂线的特点。

通过研究垂径定理，我们可以更好地理解直角三角形的性质，并且在解题过程中可以运用这个定理来简化问题。

本文将详细介绍北师大版数学九年级下册第三章中的3.3节垂径定理。

2. 垂径定理的表述垂径定理是指：在直角三角形中，如果一条垂线分别与两个直角边相交，那么这条垂线与两个直角边的交点分别构成的两条线段的乘积相等。

具体地说，设直角三角形ABC中，∠B是直角，BD是BC边上的高，垂足为D，AD称为锐角边上的垂线，CD称为直角边上的垂线。

根据垂径定理可知：AD * CD = BD^2（即锐角边上的垂线与直角边上的垂线之积等于高的平方）。

3. 垂径定理的证明为了证明垂径定理，我们可以利用几何图形中的相似三角形性质来进行推导。

首先，我们假设直角三角形ABC中∠B是直角，BD是BC边上的高，垂足为D，AD为锐角边上的垂线，CD为直角边上的垂线。

由于∠B是直角，所以四边形ABCD是一个矩形，即∠A = ∠C = 90°。

根据几何图形中的相似三角形性质，我们可以得到三个相似三角形：△ADB与△CDB相似，△ABC与△ADC相似，△ABD与△CBD相似。

由于△ADB与△CDB相似，所以有：AD/BD = BD/CD，即AD * CD = BD^2。

由于△ABC与△ADC相似，所以有：AB/AD = AD/CD，即AB * CD = AD^2。

由于△ABD与△CBD相似，所以有：AB/BD = BD/CD，即AB * CD = BD^2。

通过以上三个等式，我们可以发现：AD * CD = BD^2 = AB * CD = AD^2。

综上所述，根据垂径定理的证明，我们得出结论：在直角三角形中，一条垂线分别与两个直角边相交，那么这条垂线与两个直角边的交点分别构成的两条线段的乘积相等。

4. 垂径定理的应用垂径定理在解题过程中有着广泛的应用。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3垂径定理
A
O
C
E
B
运动CD
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊情况？
D
直径AB和弦CD互相垂直
特殊情况
C
O
A
E
D
特殊情况
在⊙O中，AB为弦， CD为直径，AB⊥CD
提问：你在圆中还能 找到那些相等的量？ 并证明你猜得的结论。
例题2
例圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
A
O.
E┐
C
D
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E 则AE＝BE，CE＝DE AE－CE＝BE－DE 所以，AC＝BD
例题3 C A 例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M
D B
B（2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
例题1
例1 如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8厘米，圆心O到 AB的距离为3厘米，求⊙O的 半径。
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘 米 ∴⊙O的半径为5厘米。
D
AC =AB ,
BC=BD.
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
C
c
C
A
O
A
E
B
D
B
O A
O
E
B
D
是
不是
是
2、请画图说明垂径定理的条件和结论。
分析
C
O
A
E
D
条件
结论
｝｛ CD为直径，
CD平分弦 AB
点C平分弧ACB
CD⊥AB
点D平分弧ADB
｝｛ （1）过圆心
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
.O
证明：作直径MN⊥AB
N
∵CMA＝B∥DMCD（，垂∴直M平⌒N分⊥弦C⌒D的则直A径M⌒平＝分B弦⌒M，
所对的弦）
A⌒M－C⌒M＝BM⌒ －D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
B
CE=DE，
AC =AD ,BC=BD
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着
直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆
A
重 合⌒合，，A⌒CA、点A和⌒DB分点别⌒重和合B，C、AE和BE重
BD重合。因此
AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
C
.O
E
B
D
总结
垂径定理
3、图形语言
A
1、文字语言
垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧。
O
C
E
B
2、符号语言
因 为 AB CD于 E， AB为 O的 直 径
CE=DE,