线性代数 同济六版电子教案1

线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。

教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。

教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。

教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。

教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。

1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。

教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。

教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。

教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。

教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

课时安排：2课时教学目标：1. 理解线性代数的基本概念，包括向量、线性空间、线性变换等。

2. 掌握线性方程组的解法，包括高斯消元法、克拉默法则等。

3. 理解矩阵的基本性质和运算，包括矩阵的乘法、逆矩阵、特征值和特征向量等。

4. 能够运用线性代数的知识解决实际问题。

教学重点：1. 线性方程组的解法。

2. 矩阵的基本性质和运算。

3. 特征值和特征向量的概念及计算方法。

教学难点：1. 线性方程组的解法在高维空间中的应用。

2. 特征值和特征向量的物理意义及其在工程中的应用。

教学准备：1. 多媒体课件。

2. 练习题。

教学过程：第一课时一、导入1. 引入线性代数的概念，介绍线性代数在工程中的应用。

2. 简述线性代数的研究对象，如线性空间、线性变换和线性方程组。

二、教学内容1. 向量空间- 向量的概念及其运算。

- 线性空间的基本性质。

- 子空间的概念及其性质。

2. 线性变换- 线性变换的定义及其表示。

- 线性变换的运算。

- 线性变换的性质。

三、实例分析1. 通过实例展示线性代数在工程中的应用，如电路分析、信号处理等。

2. 分析实例中的线性方程组，介绍高斯消元法及其应用。

四、课堂练习1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

2. 指导学生完成练习，解答学生疑问。

第二课时一、复习上节课内容1. 回顾向量空间、线性变换等概念。

2. 回顾高斯消元法及其应用。

二、教学内容1. 矩阵- 矩阵的定义及其运算。

- 矩阵的基本性质。

- 矩阵的秩及其计算。

2. 线性方程组- 克拉默法则及其应用。

- 线性方程组的解的性质。

三、实例分析1. 通过实例展示矩阵在工程中的应用，如矩阵分解、矩阵求逆等。

2. 分析实例中的矩阵运算，介绍矩阵的逆及其应用。

四、课堂练习1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

2. 指导学生完成练习，解答学生疑问。

五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

教学反思：1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略。

线性代数教案第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。

同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=再计算321,,DDD第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第5节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。

线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源和发展介绍线性代数的起源和发展历程，理解线性代数在数学和其他领域的重要性。

1.2 向量空间和线性映射定义向量空间和线性映射，理解它们的基本性质和概念。

1.3 矩阵和行列式介绍矩阵和行列式的概念，理解它们在线性代数中的重要性。

1.4 线性方程组理解线性方程组的定义和性质，学习解线性方程组的方法。

第二章矩阵和行列式2.1 矩阵的概念和运算介绍矩阵的概念和基本运算，如加法、减法、乘法和转置。

2.2 行列式的定义和性质定义行列式并学习其基本性质，如行列式的值与矩阵的行（列）向量之间的关系。

2.3 行列式的计算学习计算行列式的不同方法，如按行（列）展开、代数余子式和行列式的逆。

2.4 矩阵的逆定义矩阵的逆并学习其性质，如矩阵的逆与矩阵的行列式之间的关系。

第三章线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法解线性方程组的步骤和应用。

3.2 克莱姆法则理解克莱姆法则的原理，学习如何使用克莱姆法则解线性方程组。

3.3 线性方程组的解的性质学习线性方程组的解的性质，如唯一解、无解和有无限多解。

3.4 线性方程组的应用了解线性方程组在实际问题中的应用，如线性规划、电路分析和物理学中的问题。

第四章向量空间和线性映射4.1 向量空间的概念和性质定义向量空间并学习其基本性质，如向量加法和标量乘法的封闭性。

4.2 子空间和线性相关性理解子空间的概念并学习如何判断向量组线性相关性。

4.3 线性映射的概念和性质定义线性映射并学习其基本性质，如线性映射的矩阵表示和图像。

4.4 特征值和特征向量定义特征值和特征向量，学习如何求解线性映射的特征值和特征向量。

第五章特征值和特征向量5.1 特征值和特征向量的概念定义特征值和特征向量，理解它们在线性代数中的重要性。

5.2 特征值和特征向量的计算学习如何计算线性映射的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式。

5.3 特征空间和不变子空间理解特征空间和不变子空间的概念，学习它们的性质和应用。

线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。

同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。

线性代数教案同济版一、教案概述本教案以同济版《线性代数》教材为基础，共十个章节。

本教案的主要目标是帮助学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学目标1. 了解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、线性方程组等。

2. 掌握线性代数的基本运算，如矩阵的加法、减法、乘法、转置等。

3. 学会解线性方程组，并能运用高斯消元法进行计算。

4. 理解线性空间、线性变换和特征值、特征向量的概念。

5. 学会运用线性代数的方法解决实际问题。

三、教学内容1. 向量：向量的概念、向量的运算、向量空间。

2. 矩阵：矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的逆。

3. 线性方程组：线性方程组的解法、高斯消元法。

4. 线性空间与线性变换：线性空间的概念、线性变换的概念、特征值与特征向量。

5. 应用举例：线性方程组的应用、线性变换的应用。

四、教学方法1. 讲授法：通过讲解，使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法。

2. 实践法：通过例题和习题，使学生熟悉线性代数的运算和应用。

3. 问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探讨，培养学生的解决问题的能力。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的表现。

2. 作业与测验：检查学生完成作业和测验的情况，评估学生的理解和掌握程度。

3. 课程报告：评估学生完成课程报告的质量，考察学生的独立研究和解决问题的能力。

六、教案内容第六章：向量空间与线性变换教学目标1. 理解向量空间的概念，包括基、维数、张量等。

2. 学习线性变换的定义和性质，包括线性变换的矩阵表示。

3. 掌握特征值和特征向量的概念，并学会求解线性变换的特征值和特征向量。

教学内容1. 向量空间：定义、基、维数、张量。

2. 线性变换：定义、性质、矩阵表示。

3. 特征值和特征向量：定义、求解方法、应用。

教学方法1. 讲授法：介绍向量空间和线性变换的基本概念。

2. 案例分析法：通过具体例子讲解特征值和特征向量的求解。

线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数 课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。

2. 知道n 阶行列式的定义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p L 是1,2,,n L 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。

先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++L 。

2. n 阶行列式1212111212122212()12(1)n n nnt p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a ==-∑L L L L M M M L其中12n p p p L 为自然数1,2,,n L 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p L 求和。

n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。

3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122a a D a a a a a a ==-111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。

2023REPORTING (完整版)线性代数教案(正式打印版)•课程介绍与教学目标•行列式与矩阵•向量与向量空间•线性方程组与高斯消元法•特征值与特征向量•二次型与正定矩阵•线性变换与矩阵对角化•课程总结与复习指导目录CATALOGUE20232023REPORTINGPART01课程介绍与教学目标线性代数课程简介线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换及其性质。

它是现代数学、物理、工程等领域的基础课程，对于培养学生的抽象思维、逻辑推理和问题解决能力具有重要作用。

本课程将系统介绍线性代数的基本概念、理论和方法，包括向量空间、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、线性变换等内容。

掌握线性代数的基本概念、理论和方法，理解其本质和思想。

能够运用所学知识解决实际问题，具备分析和解决问题的能力。

培养学生的抽象思维、逻辑推理和创新能力，提高学生的数学素养。

教学目标与要求教材及参考书目教材《线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社。

参考书目《线性代数及其应用》，David C.Lay著，机械工业出版社；《线性代数讲义》，Gilbert Strang著，清华大学出版社。

2023REPORTINGPART02行列式与矩阵•行列式的定义：由n阶方阵的元素所构成的代数和，其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。

行列式的性质行列式与它的转置行列式相等。

互换行列式的两行（列），行列式变号。

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和：a1j=b1+c1，a2j=b2+c2，....，anj=bn+cn ，则此行列式等于两个行列式之和。

行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

矩阵概念及运算矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。

适用标准线性代数课程教案学院、部系、所讲课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教课设计授型理授 3授目（教课章或主）：第一章队列式§ 1二与三队列式§ 2全摆列及其逆序数§ 3n 队列式的定§ 4本授元教课目或要求：1. 会用角法算 2和 3 队列式。

2.知道 n 队列式的定。

本授元教课内容（包含基本内容、要点、点，以及引学生解决要点点的方法、例等）：基本内容：队列式的定1.算摆列的逆序数的方法p1 p2p n是1,2,, n n 个自然数的任一摆列，并定由小到大准序次。

先看有多少个比p1大的数排在p1前面， t1；再看有多少个比p2大的数排在p2前面， t2；⋯⋯最后看有多少个比p n大的数排在p n前面， t n；此摆列的逆序数t t1t2t n。

2.n 队列式a11a12a1nD a21a22a2 n( 1)t a1 p a2 p2a npn( p1 p2 p n )1a n1a n 2a nn此中 p1 p2p n自然数1,2,, n 的一个摆列，t 个摆列的逆序数，乞降符号∑是全部摆列( p1 p2 p n ) 乞降。

n 队列式D中所含n2个数叫做D的元素，位于第i 行第 j 列的元素a ij，叫做 D 的 (i , j ) 元。

3. 角法：只2和 3队列式合用D a11a12a11a22 a12a21 a21a22a11a12a13D a21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a31a32a33a13a22a31a12a21a33a11a23a32要点和难点：理解队列式的定义队列式的定义中应注意两点：(1)和式中的任一项为哪一项取自D 中不一样行、不一样列的n 个元素的乘积。

由摆列知识可知， D 中这样的乘积共有 n! 项。

(2)和式中的任一项都带有符号( 1)t，为摆列 ( p p p )的逆序数，即当 p p p 是偶摆列时，t 1 2n 1 2n 对应的项取正号；当 p1 p2p n是奇摆列时，对应的项取负号。

线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源与发展介绍线性代数的概念、起源和发展历程。

强调线性代数在数学、物理、工程、计算机科学等领域的应用。

1.2 为什么要学习线性代数解释线性代数的重要性，包括解决实际问题和理论研究。

引导学生理解线性代数与其他数学分支的关系。

1.3 线性代数的基本概念介绍向量、向量空间、线性相关与线性无关等基本概念。

解释向量的几何表示和坐标表示。

1.4 线性方程组介绍线性方程组的定义和基本性质。

解释线性方程组的解法和求解过程。

第二章矩阵及其运算2.1 矩阵的定义与基本性质介绍矩阵的概念和矩阵的元素。

解释矩阵的运算规则和矩阵的转置。

2.2 矩阵的运算教授矩阵的加法、减法、乘法、除法等基本运算。

给出矩阵运算的例子和练习题。

2.3 逆矩阵介绍逆矩阵的概念和性质。

教授逆矩阵的求法和应用。

2.4 矩阵的特殊类型介绍单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵等特殊类型的矩阵。

解释特殊矩阵的性质和应用。

第三章线性方程组的求解3.1 高斯消元法介绍高斯消元法的原理和步骤。

给出高斯消元法的例题和练习题。

3.2 克莱姆法则介绍克莱姆法则的原理和条件。

解释克莱姆法则的应用和求解过程。

3.3 矩阵的秩介绍矩阵秩的概念和性质。

教授矩阵秩的求法和应用。

3.4 线性方程组的解的结构解释线性方程组解的性质和结构。

给出线性方程组解的例子和练习题。

第四章向量空间与线性变换4.1 向量空间的概念与性质介绍向量空间的概念和向量空间的性质。

解释向量空间的基本运算和向量空间的基。

4.2 线性变换的概念与性质介绍线性变换的定义和性质。

解释线性变换的矩阵表示和线性变换的域。

4.3 线性变换的运算教授线性变换的加法、减法和乘法等运算。

给出线性变换的例子和练习题。

4.4 特征值与特征向量介绍特征值和特征向量的概念和性质。

教授特征值和特征向量的求法和应用。

第五章特征值与特征向量5.1 特征值和特征向量的概念与性质介绍特征值和特征向量的定义和性质。

对换模型481765392对逆序数20排列20逆序数481765392利用该模型研究以下问题1什么叫奇排列？什么叫偶排列2什么叫对换？3对换排列中任意两个元素，排化？把你观察出的结论描述出4在模型中任意输入一个排列，准排列，观察对换的次数与排12-237-5202-2行列式的定义模型展清=12*(-5)*(-2)+ (-2)*2*0+ 3*7*2利用该模型研究以下问题1在三阶行列式的定义中，每一项是3这3个元素在行列式中的位置有什么2三阶行列式的定义中有6项，按相同列式应该有多少项，n 阶行列式呢？3在三阶行列式定义中的6项中，有3项代数余子式性质模型21-511-30-602-1214-76按行号为4按列号为4利用该模型研究以下问题1什么叫余2什么叫代3在模型中行（或列矩阵乘积模型135234-941243432154-26534利用该模型研究以下问题1两个矩阵的行数2乘积矩阵的行数3在模型中输入一 A 的逆矩阵为：矩阵的求逆模型10001052-9A =-1/ 9-9 0 0 0-9 0-5-2 1A -1=,det A 利用该模型1求秩模型2-3424-6837901111A ＝四请选择子式的行和列确利用该模型研究以202A =三阶矩阵的判定模型利用初等矩阵模型利用该模型研究以下质初等矩阵的性质: E (i, j )⨯A 3 ⨯ 1 02请先输入i , j 的值i =j =1质初等矩阵的性质: A 3 ⨯3 ⨯E (i (k )请先输入i , k 的值质初等矩阵的性质: E (ij (k ))⨯A 3 求逆序数模型214395768本模型最多只能处理9个元素的排列请在下列输入框中输入互不相等的单个数字计　清811t=0+1+0+1+0+1+1+2+1于是排列的逆序数为元素的前面有个利用该模型研究以下问题1什么叫排列的逆序数？2利用本模型探究排列逆序数的计3排列的逆序数还有其他计算方法洁的语言叙述之。