能力升级练(一) 集合与常用逻辑用语一、选择题1.命题“∃x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是()A.∃x∈Z,使x2+2x+m>0B.不存在x∈Z,使x2+2x+m>0C.∀x∈Z,使x2+2x+m≤0D.∀x∈Z,使x2+2x+m>0.故选D.2.(2019山东滨州模拟)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6{1,2,3},B={4,5},又M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},∴M={5,6,7,8},即M中有4个元素.3.(2019山东日照质检)已知全集U={0,1,2,3,4},若A={0,2,3},B={2,3,4},则(∁U A)∩(∁U B)=()A.{0,1}B.{1}C.{0,2}D.{1,4}全集U={0,1,2,3,4},A={0,2,3},B={2,3,4},∴∁U A={1,4},∁U B={0,1},因此(∁U A)∩(∁U B)={1}.4.已知集合A={x∈N|x2-2x-8≤0},B={x|2x≥8},则集合A∩B的子集的个数为()A.1B.2C.3D.4{x ∈N |x 2-2x-8≤0}={0,1,2,3,4},B={x|x ≥3},所以A ∩B={3,4},所以集合A ∩B 的子集个数为4.5.已知集合M={x|y=√x -1},N={x|y=log 2(2-x )},则∁R (M ∩N )=( )A.[1,2)B.(-∞,1)∪[2,+∞)C.[0,1]D.(-∞,0)∪[2,+∞)M={x|x ≥1},N={x|x<2},∴M ∩N={x|1≤x<2},∴∁R (M ∩N )={x|x<1或x ≥2}.6.设集合A={(x ,y )|x+y=1},B={(x ,y )|x-y=3},则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3{x +x =1,x -x =3,得{x =2,x =-1,∴A ∩B={(2,-1)}.由M ⊆(A ∩B ),知M=⌀或M={(2,-1)}.7.(一题多解)已知集合A={x|y=lg(x-x 2)},B={x|x 2-cx<0,c>0},若A ⊆B ,则实数c 的取值范围为( )A.(0,1]B.[1,+∞)C.(0,1)D.(1,+∞)由题意知,A={x|y=lg(x-x 2)}={x|x-x 2>0}={x|0<x<1},B={x|x 2-cx<0,c>0}={x|0<x<c }.由A ⊆B ,画出数轴,如图所示,得c ≥1.方法二 A={x|y=lg(x-x 2)}={x|x-x 2>0}={x|0<x<1},结合选项,取c=1,得B={x|0<x<1},则A ⊆B 成立,可排除C 、D;取c=2,得B={x|0<x<2},则A ⊆B 成立,排除A .8.(2019河南焦作模拟)命题p :cos θ=√22,命题q :tan θ=1,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件cos θ=√22,得θ=±π4+2k π,k ∈Z ,则tan θ=±1,故p q ,p 是q 的不充分条件; 由tan θ=1,得θ=π4+k π,k ∈Z ,则cos θ=±√22, 故q p ,p 是q 的不必要条件;所以p 是q 的既不充分也不必要条件.9.已知命题p :“∀x ∈[0,1],a ≥e x”,命题q :“∃x 0∈R ,x 02+4x 0+a=0”.若命题p 和q 都成立,则实数a 的取值范围是( )A.(4,+∞)B.[1,4]C.[e,4]D.(-∞,-1)p成立,a≥(e x)max,∴a≥e.对于q成立,知x2+4x+a=0有解,则Δ=16-4a≥0,解得a≤4.综上可知e≤a≤4.二、填空题10.设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(∁R S)∩T= .S={x|x≤2或x≥3},∴∁R S={x|2<x<3},故(∁R S)∩T={x|2<x<3}.x|2<x<3}11.(2017江苏,1)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.1∈B,2∉B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.12.已知“p:(x-m)2>3(x-m)”是“q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围是.:x>m+3或x<m,q:-4<x<1.因为p是q成立的必要不充分条件,所以m+3≤-4或m≥1,故m≤-7或m≥1.-∞,-7]∪[1,+∞)13.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .Δ=16-4n≥0,得n≤4,又n∈N*,则n=1,2,3,4.当n=1,2时,方程没有整数根;当n=3时,方程有整数根1,3;当n=4时,方程有整数根2,综上知n=3或4.或4三、解答题14.(2019浙江杭州调研)已知集合A={x|x 2-5x-14≤0},集合B={x|m+1<x<2m-1},若B ⊆A ,求实数m 的取值范围.{x|x 2-5x-14≤0}={x|-2≤x ≤7}.当B=⌀时,有m+1≥2m-1,则m ≤2,此时满足题意.当B ≠⌀时,若B ⊆A ,如图.则{x +1≥-2,2x -1≤7,x +1<2x -1,解得2<m ≤4.综上,m 的取值范围为(-∞,4].15.(2019山东临沂月考)设p :实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,a ∈R ;q :实数x 满足x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0.若a<0且p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.p ,得(x-3a )(x-a )<0,当a<0时,3a<x<a.由q ,得x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0,则-2≤x ≤3或x<-4或x>2,则x<-4或x ≥-2.设p :A=(3a ,a ),q :B=(-∞,-4)∪[-2,+∞),又p 是q 的充分不必要条件.可知A ⫋B ,∴a ≤-4或3a ≥-2,即a ≤-4或a ≥-23.又∵a<0,∴a ≤-4或-23≤a<0,即实数a 的取值范围为(-∞,-4]∪[-23,0).。
