平行线的证明与性质一、平行线的断定方法1.平行：假如两条直线a与b不相交，那么这两条直线a与b互相平行，记作a//b．2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3.平行公理推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即假如a//b，b//c，那么a//c．4.断定方法1：两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线互相平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．5.在同一平面内，两条不同的直线的位置关系只有2种，就是相交和平行．例1.〔1〕在同一平面内，以下说法正确的有〔〕①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线有且只有一个交点；③过一点有且只有一条直线与直线垂直；④过一点有且只有一条直线与直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个〔2〕以下各种说法，正确的选项是〔〕①在平面内的两条线段，假如没有公一共点，那么这两条线段平行；②假如两条射线平行，那么这两条射线没有公一共点；③假如两条直线没有公一共点，那么这两条直线平行；④在平面内的两条直线，不相交那么一定平行A．②③④B．②③C．①②D．②④答案：〔1〕B 〔2〕D例2.〔1〕如图，假设∠1=∠2，那么_________//_________；假设∠2=∠3，那么____∥_____；假设∠3=_________，那么l3//l4；假设∠4=_________，那么l1//l2．〔2〕l1.l2.l3被l4所截，假设要使l1//l3，那么添加的一个条件是〔〕A．∠1=∠2 B．∠2=∠3C．∠1=∠3 D．∠1=∠4〔3〕如图，直线MN分别交AB.CD于E.F，∠MFD=50°，EG平分∠MEB，那么当∠MEG=_________时，AB//CD．答案：〔1〕l3 l4；l1 l2；∠4；∠1〔2〕C〔3〕25°提示：当∠MEB＝∠MFD时，AB∥CD即∠1＝∠2＋∠3又EG平分∠MEB，∴∠2＝∠3∴2∠2＝∠1＝50°，∴∠2＝25°例3.〔1〕如图，∠2=3∠1，且∠1＋∠3=90°，试说明AB//CD．∵∠1＋∠2=180°，且∠2=3∠1，∴∠1＋3∠1=180°，∴∠1＝45°又∠1＋∠3=90°，∴∠3=45°∴∠1＝∠3，∴AB//CD．〔2〕如图，∠1=∠2，AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，怎样说明PQ//MN．解：∵AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，∴∠EAQ＝2∠1，∠EBN＝2∠2，又∠1＝∠2，∴∠EAQ＝∠EBN∴PQ∥MN〔3〕如图，直线A.B.c被直线D.e所截，∠1=∠2，∠3=∠4，那么直线a与直线c平行吗？为什么？解：直线a与直线c平行．理由如下：∵∠1＝∠2，∴a∥b又∠3＝∠4，∴b∥c∴a∥c(平行公理推论)二、平行线的断定方法1.断定方法2：两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.2.断定方法3：两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.例1.〔1〕如图，要使得AB//CD，必须具备的条件是________或者________或者__________.〔2〕如图，以下条件中，不能判断直线l1//l2的是〔〕A．∠1=∠3 B．∠2=∠3C．∠4=∠5 D．∠2＋∠4=180°〔3〕如图，以下判断错误的选项是〔〕A．∵∠1=∠2，∴l3//l4B．∵∠3=∠4，∴l3//l4C．∵∠1=∠3，∴l3//l4D．∵∠2=∠3，∴l1//l2〔4〕如图，∠1=∠2，那么在结论：①∠3=∠4 ②AB//CD ③AD//BC中〔〕A．三个都正确B．只有一个正确C．三个都不正确D．只有一个不正确〔5〕如图，①假如∠1=________，那么DE//AC；②假如∠1=________，那么EF//BC；③假如∠AED＋_________=180°，那么AC//ED；④假如∠2＋_______=180°，那么AB//DF.答案：〔1〕∠1=∠2，∠3=∠2，∠2＋∠4=180°〔2〕B 〔3〕C 〔4〕B〔5〕①∠C ②∠FED ③∠A ④∠AED例2.如图，∠B=∠C，∠B＋∠D=180°，试说明为什么BC//DG？解：因为∠B=∠C，∠B＋∠D=180°，所以∠C＋∠D=180°，所以BC//DG.例3.如图，∠B=∠C，∠1=∠D，试问OM//AB吗？为什么？解：OM//AB．理由如下：因为∠B=∠C，所以AB∥CD又∠1=∠D，所以OM//CD所以 AB∥OM.例4.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2=90°，AB//CD吗？为什么？解：AB//CD．理由如下：因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，所以∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2所以∠ABD＋∠BDC＝2〔∠1＋∠2〕又∠1＋∠2＝90°，所以∠ABD＋∠BDC＝180°所以AB∥CD.例5.如图，AC是∠BAD的平分线，∠1=∠3，∠2=∠4，试说明以下结论为什么成立？〔1〕AB//CD 〔2〕AC//DE解：〔1〕因为AC平分∠BAD，所以∠1＝∠2.又∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.所以AB∥CD.〔2〕因为∠2＝∠3，∠2＝∠4.所以∠3＝∠4，所以AC∥DE.三、平行线的性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.例1.〔1〕如图，AB//CD，直线EF与AB.CD分别相交于G、H，∠AGE=60°，那么∠EHD的度数是〔〕A．30°B．60°C．120°D．150°〔2〕如图，直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2的度数是________.〔3〕如图，∠1=∠2，∠3=80°，那么∠4等于〔〕A．80°B．70°C．60°D．50°〔4〕如图，是明明养的小乌龟上的一块花纹，DE//FG，BC//DE，EF//DC，DC//AB，那么∠B 与∠F的关系是_____________.答案：〔1〕C 〔2〕56°〔3〕A 〔4〕∠B=∠F例2.〔1〕如图，AB//EF//CD，EG//DB，图中与∠1相等的角〔∠1除外〕一共有〔〕A．6个B．5个C．4个D．3个〔2〕如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB//DE，测得∠B=140°，∠D=120°，那么∠C的度数为〔〕A．120°B．100°C．140°D．90°〔3〕在同一平面内有两个角，它们有一条边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是〔〕A．相等B．互补C．相等且互补D．相等或者互补答案：〔1〕B 〔2〕B 〔3〕D例3.如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，且∠E=∠3，试说明AD平分∠BAC的理由.解：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，∴∠E＝∠2，∠3＝∠1又∠E=∠3，∴∠1＝∠2∴AD平分∠BAC例4.，如图，∠1=∠2，∠A=∠F，试说明为什么∠C=∠D？解：∵∠A＝∠F，∴DF∥AC，∴∠C＝∠4∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2＝∠3，∴DB∥EC，∴∠D＝∠4又∠C＝∠4∴∠C＝∠D例5.如图，∠1＋∠2=180°，∠B=∠3，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由.解：∠AED＝∠C．理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠5＝180°∴∠2＝∠5，∴AB∥EF∴∠4＝∠3又∠B＝∠3，∴∠4＝∠B∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C例6.如图，AD⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2=90°，那么BC⊥AB，说明理由.解：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD∴∠1＝∠3，∠2＝∠4又∠1＋∠2＝90°∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°即∠ADC＋∠BCD＝180°∴ AD∥BC又 AD⊥AB∴ BC⊥AB一、选择题1.以下说法正确的选项是〔〕A．不相交的两条直线是平行线B．互相平行的两条直线在同一平面内C．同一平面内，不相交的两条线段是平行线D．假设线段AB和线段CD无交点，那么它们一定平行2.直线l外点A，过点A作直线与l平行，那么这样的直线〔〕A．有两条B．不存在C．有且只有一条D．有一条或者不存在3.以下推理正确的选项是〔〕A．因为a∥d，b∥c，所以c//dB．因为a∥c，b//d，所以c∥dC．因为a∥b，a∥c，所以b//cD．因为a∥b，c//d，所以a∥c4.在同一平面内，直线a与b相交，直线c与b相交，那么a，c的位置关系是〔〕A．一定相交B．一定平行C．也可能平行，也可能相交D．上述都不对5.在同一平面内，以下说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不一样的直线有且只有一个公一共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与直线平行，其中正确的个数为〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个6.如下图立方体，以下说法正确的有〔〕①AA1∥BB1；②AA1∥CC1；③AA1∥DD1；④AA1∥A1B1．A．0个 B．1个C．2个 D．3个7.在同一平面内有三条直线，假设其中两条平行但与第三条直线不平行，那么它们的交点的个数为〔〕A．0个 B．1个C．2个 D．3个8.如下图，假如∠D=∠EFC，那么〔〕A．AD//BC B．EF//BCC．AB//DC D．AD//EF9.如下图，P是直线l外一点，直线l1，l2都过点P，假如l1//l，那么l2与l__________，根据____________．10.如下图，在∠AOB的内部有一点P，∠AOB=60°．(1)过点P作PC∥OA，PD∥OB；(2)量出∠CPD的度数，说出它与∠AOB的关系．11.假设直线a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d吗?为什么?对于n条直线l1，l2，l3，…，ln，假设l1∥l2，l2∥l3，…，ln－1∥ln，那么又可得出什么结论?BCCCCDCD〔1〕略〔2〕∠CPD=60°，∠CPD与∠AOB相等或者互补．10.解：∵a∥b，b∥c，∴a∥c，又c∥d，∴a∥d．同理l1∥l2∥l3∥…∥ln－1∥ln．作业1一、选择题1.如下图，以下条件中，能判断AB//CD的是〔〕A．∠BAD=∠BCD B．∠1=∠2C．∠3=∠4 D．∠BAC=∠ACD2.如下图，在以下给出的条件中，不能判断AB//DF的是〔〕A．∠A＋∠2=180° B．∠A=∠3C．∠1=∠4 D．∠1=∠A3.如下图，∠1=∠2，∠A=∠D，那么以下推理正确的选项是〔〕A．因为∠1=∠2，所以AB//CDB．因为∠1=∠2，所以BE//CFC．因为∠A=∠D，所以AB//CDD．因为∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3=∠4二、填空题4.如下图.〔1〕如图∠1=∠3，可推出_______//________，其理由是________________；〔2〕假如∠2=∠4，可推出_______//__________，其理由是________________；〔3〕假如∠B＋∠BAD=180°，那么可推出_______//__________，其理由是________________.5.如下图，请你填写上一个适当的条件：___________，使AD//BC.6.在同一平面内，假设直线a1⊥a2，a2//a3，a3⊥a4，a4//a5，…，a9⊥a10，那么a1与a10的位置关系为___________〔a1与a10不重合〕.三、综合题7.如下图，∠A=∠ACE，∠B=∠BDF，且∠A=∠B，那么CE//DF吗？8.如下图，点B在直线DE上，AB⊥CB，∠A=50°，∠CBD=40°，那么AC与BD是否平行？为什么？9.如下图，直线EF交直线AB，CD于点M，N，∠EMB=∠END，MG平分∠EMB，NH平分∠END．试探究MG与NH的位置关系，并说明理由.4.〔1〕AD//BC，内错角相等，两直线平行.〔2〕AB∥CD，内错角相等，两直线平行.〔3〕AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行.5.∠ADB＝∠DBC或者∠DAB＋∠ABC＝180°.6.a1⊥a107.解：CE//DF．理由如下：因为∠A=∠ACE，∠B=∠BDF，且∠A=∠B，所以∠ACE＝∠BDF.因为∠ACE＋∠ECD＝∠BDF＋∠CDF＝180°，所以∠ECD＝∠CDF，所以CE//DF.8.解：平行，理由如下：∵AB⊥CB∴∠ABC=90°∵∠CBD=40°∴∠ABE=180°－∠ABC－∠CBD=180°－90°－40°=50°∵∠A=50°∴∠A=∠ABE∴AC//BD9.解：∵MG平分∠EMB∴∠EMG=∠EMB∵NH平分∠END∴∠ENH=∠END又∠EMB=∠END∴∠EMG=∠ENH∴MG//NH作业2一、填空题1.如图，直线a//b，∠1=70°，那么∠2=_______.2.在第1题中，假设a//b，那么∠1与∠3的关系是_________________.3.如图，l1//l2，那么∠1=________.4.如图，DE//BC，∠D=2∠DBC，∠1=2∠2，那么∠DEB=________.二、选择题5.如图，假设AD∥BC，那么有：①∠A＋∠B＝180°，②∠B＋∠C＝180°，③∠C＋∠D＝180°．以上结论正确的选项是〔〕A．①B．②C．③D．①③6.如图，CD//AB，OE平分∠DOB，假设∠D=50°，那么∠AOE为〔〕A．145°B．155°C．165°D．175°7.假设两条直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线〔〕A．互相平行B．互相垂直C．重合D．相交三、综合题8.如图，AB//CD，∠B=∠D，试断定AD与BC的位置关系，并证明.9.有一条直的的等宽纸带，按图折叠时，纸带重叠局部中∠α是多少？10.如图，直线AC//BD，连结AB，直线AC.BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个局部，规定：线上各点不属于任何局部.当动点P落在某个局部时，连结PA.PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角.〔提示：有公一共端点的两条重合的折射所组成的角是0°角〕〔1〕当动点P落在第①局部时，求证：∠APB=∠PAC＋∠PBD；〔2〕当动点P落在第②局部时，∠APB=∠PAC＋∠PBD是否成立〔直接答复成立或者不成立〕？〔3〕当动点P在第③局部时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的详细位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.1.70°2.∠1＋∠3=180°3.60°4.40°DBD8.平行．理由如下：∵AB//CD，∴∠B+∠C＝180°∵∠B＝∠D∴∠D+∠C＝180°∴AD∥BC9.75°10.〔1〕解法一：如图1延长BP交直线AC于点E∵ AC∥BD, ∴∠PEA = ∠PBD. ∵∠APB = ∠PAE ＋∠PEA, ∴∠APB = ∠PAC ＋∠PBD.解法二：如图2过点P作FP∥AC,∴∠PAC = ∠APF.∵ AC∥BD，∴FP∥BD.∴∠FPB =∠PBD.∴∠APB =∠APF ＋∠FPB =∠PAC＋∠PBD.解法三：如图3，∵ AC∥BD，∴∠CAB ＋∠ABD = 180°即∠PAC ＋∠PAB ＋∠PBA ＋∠PBD = 180°.又∠APB ＋∠PBA ＋∠PAB = 180°,∴∠APB =∠PAC ＋∠PBD.〔2〕不成立.〔3〕(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC＋∠APB.(b)当动点P在射线BA上，结论是∠PBD =∠PAC ＋∠APB.或者∠PAC =∠PBD ＋∠APB 或者∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD〔任写一个即可〕.(c) 当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC =∠APB ＋∠PBD.选择(a) 证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M∵ AC∥BD,∴∠PMC =∠PBD.又∵∠PMC =∠PAM ＋∠APM,∴∠PBD =∠PAC ＋∠APB.选择(b) 证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.∵ AC∥BD ,∴∠PBD =∠PAC.∴∠PBD =∠PAC ＋∠APB或者∠PAC =∠PBD＋∠APB或者∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.选择(c) 证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F ∵ AC∥BD ,∴∠PFA =∠PBD.∵∠PAC =∠APF ＋∠PFA,∴∠PAC =∠APB ＋∠PBD.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
