证明平面与平面平行的方法

8．5.3 平面与平面平行

考点 学习目标 核心素养

平面与平面平行的判定 理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号

语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平

行的判定定理证明空间面面位置关系 直观想象、逻辑推理

平面与平面平行的性质 理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面

与平面平行的性质定理解决有关的平行问题 直观想象、逻辑推理

问题导学

预习教材P139－P142的内容，思考以下问题：

1．面面平行的判定定理是什么？

2．面面平行的性质定理是什么？

1．平面与平面平行的判定定理

文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α

图形语言

■名师点拨

(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．

(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．

2．平面与平面平行的性质定理

文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行

符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

图形语言

■名师点拨

(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：

①平面α和平面β平行，即α∥β；

②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；

③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.

以上三个条件缺一不可．

(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．

(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )

平面与平面平行的性质

备课人 授课时间

课题 §2.2.4平面与平面平行的性质

教

学

目

标 知识与技能 掌握两个平面平行的性质定理及其应用学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用

过程与方法 启发引导，充分发挥学生的主体作用

情感态度价值观 进一步提高学生空间想象能力、思维能力

重点 性质定理

难点 性质定理的证明；性质定理的正确运用。

教 教学内容 教学环节与活动设计 学

设

计 〔一〕复习线面平行的性质定理

〔二〕研探新知

1、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？

学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。

再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？

在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过程，于是得到两个平面平行的性质定理。

学生阅读

并回答相

应的问题

教 教学内容 教学环节与活动设计 学

设

计 定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ= a a∥b

β∩γ= b

教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

4、例5

以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。

教

学

小

结 掌握两个平面平行的性质定理

课后

反思

证明平面与平面平行的方法

一、引言

在几何学中，平面是一个基本的概念，它可以用来描述许多物理现象。平面可以与另一个平面平行，这种关系在几何学中也非常重要。本文将介绍证明平面与平面平行的方法。

二、定义

在几何学中，两个平面如果没有交点，则称它们是平行的。这里需要注意的是，两个不同的平面可以相互垂直。

三、证明方法

1. 通过等角条件证明

首先，我们需要了解等角条件。若两个角度相等，则称这两个角度为等角。

现在假设我们有两个不同的平面P和Q，并且它们不相交。我们需要证明P和Q是平行的。

我们可以从P中选择一条直线l，并且从Q中选择一条与l相交的直线m。然后我们需要找到P和Q上每个点对应的角度。

我们可以从l上选择一个点A，并且从m上选择一个点B。然后我们分别以A和B为顶点，在P和Q上画出与l和m相交的直线C和D。

根据等角条件可知，∠ACB=∠BDC。因此，如果我们能够证明∠ACB=∠BAD，则说明P与Q是平行的。

2. 通过距离条件证明

其次，我们需要了解距离条件。如果两个平面上的任意一点到另一个平面的距离相等，则称这两个平面是平行的。

现在假设我们有两个不同的平面P和Q，并且它们不相交。我们需要证明P和Q是平行的。

我们可以从P中选择一条直线l，并且从Q中选择一条与l相交的直线m。然后我们需要找到P和Q上每个点到另一个平面的距离。

我们可以从l上选择一个点A，并且从m上选择一个点B。然后我们分别以A和B为顶点，在P和Q上画出与l和m垂直的直线C和D。

因为C垂直于l，所以AC是P上任意一点到Q的距离。同样地，因为D垂直于m，所以BD是Q上任意一点到P的距离。

如果能够证明AC=BD，则说明P与Q是平行的。

3. 通过向量条件证明

最后，我们需要了解向量条件。如果两个平面所在空间中存在两个向量，它们分别垂直于这两个平面，则这两个平面是平行的。

现在假设我们有两个不同的平面P和Q，并且它们不相交。我们需要证明P和Q是平行的。

证明两平面平行的方法

1. 基于平行线的判定，两平面平行的一个充分必要条件是它们的截线平行。如果两个平面的截线平行，那么这两个平面也是平行的。这个方法是最直接的方法之一，可以通过观察两个平面的截线是否平行来判断它们是否平行。

2. 基于法向量的判定，两平面平行的另一个充分必要条件是它们的法向量成比例。如果两个平面的法向量成比例，那么这两个平面也是平行的。可以通过计算两个平面的法向量，并判断它们是否成比例来证明两个平面是否平行。

3. 基于平面的交角的判定，两平面平行的另一个判定方法是它们的交角为零。如果两个平面的交角为零，那么这两个平面也是平行的。可以通过计算两个平面的法向量，然后计算它们的夹角来判断两个平面是否平行。

4. 基于平行四边形的判定，如果两个平面分别与一条直线平行，且这两条直线不在同一个平面上，那么这两个平面是平行的。这个方法可以通过构造平行四边形来证明两个平面的平行关系。

综上所述，我们可以通过观察两个平面的截线、计算它们的法向量、计算它们的夹角或者构造平行四边形来证明两个平面是否平行。这些方法可以从不同角度全面地证明两个平面的平行关系。