解二元一次方程的方法

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二元一次方程的“特殊解”

我们知道，任何一个二元一次方程都有无数多个解，但二元一次方程的特殊解例如“自然数解或者正整数解”，往往是有限多个。例如二元一次方程52yx的解有无数多个，但是其正整数解只有2个，分别是1,3xy和2,1;xy自然数解有3个，分别是1,3,xy2,1,xy0,5.xy二元一次方程的特殊解在解决实际问题时，可以助你一臂之力。

例1 2008年北京奥运会的球类比赛的门票价格如下：

某球迷购买了x张男篮比赛的门票，y张足球比赛的门票，共用去12000元。

⑴列出二元一次方程；

⑵写出各种购票的方案。

析解：⑴男篮比赛的门票x张，每张1000元，费用为1000x元；足球比赛的门票y张，每张800元，费用为800y元，所以可得到二元一次方程120008001000yx。

⑵根据题意，求各种购票的方案，就是求二元一次方程120008001000yx的自然数解的问题，方程120008001000yx经过整理可以化为6045yx，易得出其自然数解为0,15,xy4,10,xy8,5,xy 12,0.xy所以有以下购票方案：购男篮比赛门票12张；或者购男篮比赛门票8张，足球比赛5张；或者购男篮比赛门票4张，足球比赛门票10张；或者购足球比赛门票15张。

例2 当围绕一点拼在一起边长相等的正五边形和正十边形，怎样组合才能比赛项目 票价（元/场）

男 篮 1000

足 球 800

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铺满地面？

析解：本题可以通过列二元一次方程的方法解决。正五边形的每个内角为108度，正十边形的每个内角为144度，设在一个拼接点处有xy个正五边形,个正十边形。根据题意，得360144108yx，该方程仅仅有一个正整数解2,1.xy所以在一个拼接点处有2个正五边形和1个正十边形组合才能铺满地面。

1.解一元二次方程练习题(配方法)

1．用适当的数填空：

①、x2+6x+ =（x+ ）2；

②、x2－5x+ =（x－ ）2；

③、x2+ x+ =（x+ ）2；

④、x2－9x+ =（x－ ）2

2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．

3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．

4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，•所以方程的根为_________．

5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）

A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对

6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）

A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1

7．把方程x+3=4x配方，得（ ）

A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2

8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）

A．2±10 B．-2±14 C．-2+10 D．2-10

10．用配方法解下列方程：

（1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9

（3）x2+12x-15=0 （4）41 x2-x-4=0

2.解一元二次方程练习题(公式法)

一．填空题

1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________．

2．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，•若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________．

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）

二元一次方程解法大全

小编寄语：同学们对于二元一次方程的解法了解多少呢，自己又掌握了几种？下面小编为大家精心整理了二元一次方程的解法，供大家参考。

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n0)的方程，其解为x=根号下n+m.

例1．解方程〔1〕(3x+1)2=7〔2〕9x2-24x+16=11

分析：〔1〕此方程显然用直接开平方法好做，〔2〕方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解。

〔1〕解：(3x+1)2=7

(3x+1)2=5

3x+1=(注意不要丢解)

x=

原方程的解为x1=,x2=

〔2〕解：9x2-24x+16=11

(3x-4)2=11

3x-4=

x=

原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2

方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

当b^2-4ac0时，x+=

x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方〕

解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=

x=

原方程的解为x1=,x2=.

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0