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张跃辉-矩阵理论与应用 前第四章答案

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张跃辉-矩阵理论与应用 前第四章答案

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《矩阵的秩的等式及不等式的证明》

《矩阵的秩的等式及不等式的证明》

《矩阵的秩的等式及不等式的证明》

- i - 摘 要

矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.

湖南科技大学2011届本科生毕业论文

- ii - 目 录

第一章 绪论 ········································································· 1

第二章 预备知识 ··································································· 2

第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 ························· 3

第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 ························· 6

第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 ······················· 10

第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 ····························· 15

第七章 小结 ················································· 错误!未定义书签。

参考文献 ··········································································· 23

致 谢 ················································································ 2

-矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

-矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

摘要

按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。

本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker积进行介绍和必要的说明。之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。

矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。

关键词：

矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程

Properties and Applications of matrix Kronecker

product

Abstract

According to the definition of matrix multiplication, we know that

to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the

matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product

AB makes no is not two matrices not satisfy this condition will not be

矩阵论往年部分真题讲解题(含解答)

矩阵论往年部分真题讲解题(含解答)

1 2011年《矩阵论》习题解答

一、 掌握线性空间的定义及判断是否为线性空间。

二、 在4R中有两组基，

12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1

12342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3

求 （1）由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵；

（2）向量1234,,,x在基1234,,,之下的坐标；

（3）在两组基下有相同坐标的非零向量。

解：(1)因为 12341234123420561336,,,,,,,,,11211013C

所以由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵2056133611211013C

(2) 112211234123412343344,,,,,,,,,xC

所以向量1,0,1,0在基1234,,,之下的坐标为12134C 或解 非齐次线性方程组的解 11223344kkCkk

2 （3）由 （2）式有112213344C，则有12340CE，该方程组的通解为1,1,1,1Tk,对两个基有相同坐标的非零向量为1234kxxxx，k非零常数。

二、已知线性空间V是矩阵空间22R,

(1) 证明：123410010000,,00001001EEEE是V的一组基；

07-08矩阵论试卷及答案(B)

07-08矩阵论试卷及答案(B)

研究生考试参考答案及评分标准 共 3 页 第 1 页

一、（20分）

解：（1）A的不变因子：1,1,(1)(2)(4)；A的初等因子：(1),(2),(4)；A的最小多项式(1)(2)(4)。

（2）A的Jordan标准形100020004J ，相应的可逆变换矩阵为12033112999422999P。

（3）()41A，故矩阵序列kA发散。

二、（20分）

解：（1）15A；5A；23FA；

(){3,5,15}TAA， 12max2[()]15TAAA 。

（2）设nxC是A相应于特征值的特征向量，,0Axxx，

两边取矩阵范数导出的nC上向量范数可得：xxAxAx，0,xA；

又A可逆，1是1A的特征值，由上述证明可知：11A；

综上所述有：11AA 。 二OO 七 ～二OO 八 学年 第 一 学期 课程名称： 矩阵论

试卷类型 B 卷 课程编号: A000003

参考答案及评分标准制定人： 2008 年 1 月 18 日 共 3 页 第 2 页

三、（20分）

解：（1） 可取21,,xx为3[]Rx的一组基，则线性变换T 在该基下的表示矩阵为

411322003A；

（2）线性变换T的特征值为5，1，3；

在（1）所取基下相应的特征向量分别为21231,13,34xxxx；

（3）T具有3个互异特征值，T可对角化，其对角化的一组基为123,, 。