第五章稳恒磁场.

第五章 稳恒磁场

第一节 磁场 运动电荷的磁场

1. 磁场

磁现象的发现要比电现象早得多，公元前 300 多年我国就发 现了磁石吸铁现象，东汉时期就有了“司南”。从 1820 年开始， 科学家逐步发现了磁和电的紧密关系： ①磁铁有磁性， 即有吸引 铁、钻、镍等磁性物质的性质；②磁铁有磁极 (磁性最强处)，且 恒有N极和S极，磁极间有相互作用力，同性相斥，异性相吸； ③运动电荷和电流对磁针有作用；④磁铁对运动电荷和电流也有 作用；⑤运动电荷和电流与运动电荷和电流之间都有相互作用等。 由此而得，磁铁周围有磁场，运动电荷和电流周围也有磁场，它 们之间的相互作用是通过磁场进行的，而非超距作用，安培磁性 起源假设表明：一切磁现象的根源都是运动电荷 (电流).

2. 磁感应强度

为了表征磁场的强弱及分布，引入物理量磁感应强度，用 B 表示，单位是特斯拉(T) , 1T= 1N-A-1 •m-1。关于B的定义有各种 不同的方法，有的用电流在磁场中受的力来定义，有的用通电线 圈在磁场中受的力矩来定义，为了更好地反映磁场的本质，且与 电场强度E的定义相对应，我们定义：磁感应强度 B为单位运动 正电荷 qv 在磁场中受到的最大力 F ，即

F=q(v x B)

实验证明磁场像电场一样，也满足叠加原理

B 二刀 B 或 B = /dB

第二节 电流的磁场 毕-萨定律

1.电流的磁场

电流周围有磁场，稳恒电流的磁场是稳恒磁场。由于稳恒电 流总是闭合的，且形状各异，所以要想求得总磁场分布，必须先 研究一小段电流的磁场。沿电流方向取一小段电流 I dl,称作电流

元。得出电流元产生磁场的规律：

2

d B =卩 oldl x r/4 n r

称作毕奥-萨伐尔定律，它表明一小段电流元产生的磁感应强度 dB的大小，与电流元I dl成正比，与电流元到场点距离r的平方 成反比，且与I dl和r夹角的正弦成正比，其方向由右手螺旋法 则确定。

毕-萨定律可以从运动电荷的磁场公式中推得，而它也是一 个实验定律，虽然电流元不可能单独存在，但大量间接的实验都 证明了它的正确性。

毕-萨定律在磁场中像库仑定律在电场中一样，是一条最基 本的定律，无论从形式上还是意义上都有十分相似之处，比较如 下：

库仑定律 毕-萨定律

毕-萨定律是求磁感应强度的基本办法，原则上对所有问题通 过场强叠加都可应用它求得，其解题步骤与利用叠加原理求 E相

似，为“选取Idl,写出dB,投影积分，解算讨论”。

2.毕-萨定律应用举例

(1) 长直载流导线的磁场 电场产生于电荷

系数£ 0

与电荷元dq成正比 与距离r的平方成反比 是电场的一条基本定律 磁场产生于电流

系数卩0

与电流元I dl成正比 与距离r的平方成反比 是磁场的一条基本定律 考虑在这直导线旁任意一点P的磁 感应强度（见图4-18）。根据毕奥-萨伐尔 定律叮以看出，任意电流元/川产生的 元磁场MB的方向都一致（在P点垂直

于纸面向内）。因此在求总磁感应强度B 的大小时，只需求d"的代数和。对于 有限的一段导线力i/h来说

从场点P作直导线的垂线P0.设它的 长度为以垂足0为原点，设电流元 川到0的距离为/，由图4・18可以看出：

I -rcos（jr 一 0 ）= 一厂cos0 ,

r0 = rsin（^ — d ） = r sin0o

由此消去厂，得/ =—厂° cot 0 ,

A* ■

取微分：

将上面的积分变i* I换为0后得到

6i Is\x\9d0 P n/ z 门

e} ~= T^( w” L C。"刃

式中e}.e2分别为在已 "2两端〃角的数值。 若导线为无限长，0 ?=亢，则

B=H ■亠=・叫

4 T 厂 0 2 r 0°

以上结果表明和车蓉乖手嘤柠卓号窣卑單妙磷琴磨举車弓号

甲團勺单匸坏右枣枣些巳 *

義们屋丘麻由遇却矗当然不可能真正是无限长的直导线。然

而若在闭合回路中有一段长度为Z的直导线歩在其附近F 0«: /的 范4 ~ dB 围内式可近似计算。

（2）载流圆环轴线上的磁场设圆线圈的中心为O,半径为/?,其上任意点〃处的电流元 在对称轴线上一点P产生元磁场dB,它位于POA平面内H与 P力联线垂直，因此dB与轴线OP的夹角G = ZP〃O（见图4-21 ）e 由于轴对称性，在通过力点的直彳仝的另一端/T点处的电流元产 生的元磁场dB，与〃 B对称，合成后垂直于轴线方向的分量相互 抵消，因此我们只需计算沿轴线方向的磁场分量。对于整个圆周 来说也是一样，由于每个直径两端的电流元产生的元磁场在垂貢 轴线方向一对对地抵消，总磁感应强度B将沿轴线方向，它的大 小等于各元磁场沿轴线分量r/Bcosn的代数和.即

对于轴上的场点P, 0 =专，

si n 1 o令厂°为场点P到圆 心的距离，则r0 = rsina,故

A „ n sWa 4兀厂2。

-^-s i n2acos a (j) dl ,

=2S _____

4"（/?2+疋）3/2 - 2 （/?2

-Hrjy72 °

下面我们考虑两个特殊情形：

（1 ）在圆心处，厂° = 0 ,

”厶辺=連.

4 " /? 2 R、

(2 )当厂°》；？时，

二 “0 2 兀 R2 I

_ 4 斤 rl _ 2rl °(j) dBcos a。

根据毕奥-萨伐尔定律,

/叭 in。

C1B=6 IDL

「口 R

因5 =七寸， 故B=仏2WI s t na— __________

R2 I (3) 载流直螺线管中的磁场

绕在圆柱面上的螺线形线圈(如图d示)叫做螺线管。下面计

算螺线借轴线上的磁场分布G设螺线管的半径为/?,总长度为/…

单位长度内的匝数为％如果螺线管是密绕的，计算轴向磁场时，

我们可以忽略绕线的螺距，把它近似地看成是一系列圆线圈紧密

地并排起来组成的。取螺线管的轴线为工轴-取其中点0为原点

如图b所示，则在长度刃内共有ndl匝，每匝在场点P产生的磁感 应强度都沿轴线方向，其大小都可利用公式来计算。长度川内各 匝的总效果是一匝的“川倍，即

小 _“0 2 兀 R2]

a抒[用苟上一/严严何

其中工是P点的坐标。整个螺线管在P点产生的总磁场为

“Op" 2 兀 R2nldl

”=打]¥ ]/?2 + （工一/）2]3/2。

_ ______ 二 R c

令 r ~ 7R2+（工_1）2 sin/9

力一/ = rcos 0

〃角的儿何意义见图4 -26b。由此二式得

^- = col B

取微分得

dl dp

R sin20

把上面的积分变量/换为0,则有

B ="卫一2兀n 1 sin0d0

4兀 Px

=2 兀n I （cos 0 i-cos02） 4九

式中01、〃2分别是〃角在螺线管两端即/二士#处的数值，由

图上可以看出cos尸],cos尸2与场点坐标攵的关系是 x+f

q /?2+(

将上式代入公式，即得螺线管轴线上任一点p的磁感应强度。 〃随"变化的关系如图C所示中的曲线，由这曲线可以看出9当 L》/?时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀，只在端 点附近〃值才显著下降。

下面我们考虑两个特殊情形：

(1)无限长螺管厶TOO, 〃2=兀，因而

B = Mon/

即*的大小与场点的坐标工无关。这表明在密绕的无限长螺线管 轴线上的磁场是均匀的c其实这结论不仅适用于轴线上，在整个 无限长螺线管内部的空间里磁场都是均匀的，其磁感应强度的大 小为气nl,方向与轴线平行。

(2)在半无限长螺线管的一端，0严0, 守或伏冷

= s无论哪种情形都有 即在半无限长螺线管端点轴上的磁感应强度比中间减少了一半。第三节 高斯定理 环路定理

1磁力线

像电力线一样，对于磁场可以用磁力线来形象地描述磁场的 分布。所谓磁力线，就是一簇假想的曲线，其曲线上任一点的切 线方向与该点B的方向相同。其特点为：

(1) 磁力线是无头无尾的闭合曲线，不像电力线那样有头有 尾，起于正电荷，终于负电荷，所以稳恒磁场是无源场。

(2) 磁力线总是与电流互相套合，所以稳恒磁场是有旋场。

(3) 磁力线的方向即磁感应强度的方向，磁力线的疏密即磁场 的强弱。

2.磁通量

像定义电通量①e 一样，定义：垂直通过某曲面磁力线的条 数叫磁通量，用①m表示，

① m = JJ B • d S

单位是韦伯(Wb) , 1Wb=1T m2。对于闭合曲面，一般规定外法 线为正，所以穿出曲面的磁通量为正，进入曲面的磁通量为负。

3. 咼斯定理

由于磁力线是无头无尾的闭合曲线，所以对于任何一个闭合 曲面，若有多少条磁力线进入闭合曲面，就必然有多少条磁力线 穿出闭合曲面，因此通过任意闭合曲面的磁通量 ①m恒为零，这

就是稳恒磁场高斯定理，其表达式为

/ B • d S = 0

磁场高斯定理是表征磁场性质的一条重要定理，它说明稳恒

磁场是无源场，与静电场的性质不同口

4. 安培环路定理

磁感应强度沿任一闭合曲线的积分(环量)，等于穿过以这个 闭合曲线为边界的任意曲面的电流代数和的 卩0倍，这就是安培 环路定理。该定理可由毕 沙定律给予普遍证明，其表达式为 / B - dl =卩 ol 磁场环路定理和电场环路定理相对应，但在理解和应用中又与电 场高斯定理相类似。

①磁场环路定理是反映磁场性质的一个普遍定理，它表明稳 恒磁场是一个非保守场。

③ 磁场环路定理中所指电流是闭合电流，而不是闭合电流的

某一段，因此它不能象毕 萨定律那样适用于电流元或一段电路。

④ 艺I是电流的代数和，必须按右手螺旋法则确定正负，若 艺I =

0,未必环路内无电流。

⑤ 刀Ii = 0,则环量为零，但并不一定环路上的 B都为零。

⑥ 环路定理为计算磁感应强度 B提供了一种很简便的方法。

5. 利用环路定理求B

安培环路定理是一个普遍的定理，但由该定理求磁场却像利用 高斯定理求E一样，由于数学上的原因，只有磁场分布具有对称 性，也即电流分布具有一定的对称性时才可应用。因此解算时的 步骤和关键也是两点：

(1)对称性分析，通过分析要基本知道磁场分布。

(2)适当选取环路，其原则与选高斯面相似：

① 环路必须过场点，且为规则曲线；

② 环路方向或与B的方向相同或垂直；

③ 最好B是常量，可提到积分号前面，以便容易积分。

例题1:求圆截面的无限长载流直 导线的磁场分布，设导线的半径为R, 电流I均匀的通过横截面。

解：根据轴对称性，磁感应强 度B的大小只与场点到轴线的垂直距 离厂有关。图b是通过任意场点P的 横截面图，其中O是轴线通过的地方。

以0为中心、r为半径作一圆形安培环路 L,在L上B的大小处处 相同。为了分析B的方向，我们取导O R